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第二节 向心力与向心加速度
第2课时 向心力与向心加速度
学习任务一 匀速圆周运动向心力的大小
学习任务二 对向心加速度的理解
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
学习任务一 匀速圆周运动向心力的大小
［科学思维］ 几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 _________________________________________ 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 __________________________________________________ 绳的拉力(弹力)提供向心力
实例分析 图例 向心力来源
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 _____________________________________________________ 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时 ___________________________________________________ 拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时 _________________________________________________________ 绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力
续表
例1 如图所示，长为的细线拴一质量为的小球，细线另一端固定于点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动.已知运动中细线与竖直方向的夹角为 ，重力加速度为,求：
(1) 小球在水平面内做匀速圆周运动的向心力大小;
[答案]
[解析] 建立如图所示的坐标系，重力与细线拉力的合力提供向心力，有
(2) 细线对小球的拉力的大小；
[答案]
[解析] 竖直方向上有
解得
(3) 小球在水平面内做匀速圆周运动的线速度大小.
[答案]
[解析] 小球运动中受到重力和细线拉力，小球做圆周运动的半径为
向心力，即
解得
变式1 [2024·佛山一中月考] 如图所示,质量相等的、两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上,随圆筒一起做匀速圆周运动,则下列关系错误的是 ( )
D
A.运动周期 B.筒壁对它们的弹力
C.线速度 D.受到的摩擦力
[解析] 两物体绕同一转轴转动，角速度和周期相同，由可知，线速度，选项A、C正确；物体在竖直方向上受力平衡，故受到的摩擦力，选项D错误；在水平方向上，由向心力公式得，可得筒壁对它们的弹力，选项B正确.
【要点总结】
匀速圆周运动问题的解题步骤
学习任务二 对向心加速度的理解
［教材链接］ 阅读教材，完成下列填空：
1.定义：在匀速圆周运动中，是指向圆心的向心力，所以加速度也一定指向______，称为向心加速度.
2.公式：_____或_ __.
圆心
3.作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小.
4.向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动.
［物理观念］ 如图所示，光滑桌面上一个小球由于受到细线的牵引而绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.分析小球的运动，并回答以下问题：
小球的加速度方向变化吗
[答案] 物体的加速度跟它所受合力方向一致，所以小球的加速度沿半径指向圆心，即加速度的方向时刻指向圆心，所以方向不断变化.
例2 [2024·北大附中期中] 对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是( )
D
A.根据，向心加速度的大小一定跟圆周的半径成反比
B.根据，向心加速度的大小一定跟圆周的半径成正比
C.根据，角速度的大小一定跟圆周的半径成反比
D.根据，角速度的大小一定跟转动周期成反比
[解析] 根据，当线速度保持不变时，向心加速度的大小一定跟圆周的半径成反比，A错误；根据，当角速度保持不变时，向心加速度的大小一定跟圆周的半径成正比，B错误；根据，当线速度保持不变时，角速度的大小一定跟圆周的半径成反比，C错误；根据，角速度的大小一定跟转动周期成反比，D正确.
变式2 [2024·惠州一中期中] 关于做匀速圆周运动的物体的向心加速度，下列说法正确的是( )
C
A.向心加速度的大小和方向都不变 B.向心加速度的大小和方向都不断变化
C.向心加速度的大小不变，方向不断变化 D.向心加速度的大小不断变化，方向不变
[解析] 物体做匀速圆周运动时，向心加速度的大小不变，向心加速度的方向始终指向圆心，即在不同的时刻方向是不同的，故C正确，A、B、D错误.
例3 (多选)[2024·汕头期中] 周一小苏骑变速自行车去学校上学，如图为他所骑自行车的链条传动系统的简化模型，前、后牙盘上分别有一些不同半径的齿轮.他用脚匀速蹬踏板，使前牙盘绕其中心轴的转速为.此时链条均与前、后牙盘从中心往外
BCD
A.前牙盘的角速度大于后牙盘的角速度
B.后牙盘第二个齿轮边上的点的线速度大小约为
C.前牙盘第二个齿轮边上的点的向心加速度大小约为
D.为了增大骑行速度，在脚踏板转速不变的情况下，应该让链条前、后端分别处在前、后牙盘直径更大和更小的齿轮上
的第二个齿轮啮合，前、后牙盘第二个齿轮边缘上的点距离中心轴的距离均为，下列说法正确的是( )
[解析] 依题意，知此时链条均与前、后牙盘从中心往外的第二个齿轮啮合，且前、后牙盘第二个齿轮边缘上的点距离中心轴的距离均为，即相等，又线速度相等，由知此时前牙盘的角速度等于后牙盘的角速度，故A错误；根据
可得后牙盘第二个齿轮边上的点的线速度大小为，故B正确；根据并代入数据可得前牙盘第二个齿轮边上的点的向心加速度大小为，故C正确；设链条所在的前牙盘半径为，后牙盘半径为，自行车后轮半径为，则，所以让链条前、后端分别处在前、后牙盘直径更大和更小的齿轮上时，自行车行进的速度更大，故D正确.
【要点总结】
向心加速度与半径的关系(如图所示).
1.(多选)如图所示,一小物块以大小为的向心加速度做匀速圆周运动,半径,则下列说法正确的是( )
AB
A.小物块运动的角速度为
B.小物块做圆周运动的周期为
C.小物块在内通过的位移大小为
D.小物块在内通过的路程为零
[解析] 因为,所以小物块运动的角速度为,周期,选项A、B正确;小物块在内转过的角度为,通过的位移大小为,在内转过一周,通过的路程为,选项C、D错误.
2.(多选)如图所示为一皮带传动装置,右轮的半径为,是它的边缘上的一点,左侧是一轮轴,大轮的半径为,小轮的半径为,点在小轮上,到小轮中心距离为,点和点分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中皮带不打滑,则( )
CD
A.点与点线速度大小相等
B.点与点角速度大小相等
C.点与点向心加速度大小相等
D.、、、四点中,向心加速度最小的是点
[解析] 因为是皮带传动装置,所以、两点的线速度大小相等,由可知,两者半径不同,它们的角速度不相同;因为、、绕同一轴转动,三点的角速度相等,根据可知,、两点的线速度大小不相等,选项A、B错误.因为,则,又,根据公式知,,故选项C正确.因为、、绕同一轴转动,三点的角速度相等,根据公式知,这三点中向心加速度最小的是点,而点与点向心加速度大小相等,故、、、四点中,向心加速度最小的是点,故选项D正确.
3.如图所示，长的轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球、，放置在光滑水平桌面上，轻杆中点有一竖直方向的固定转动轴，小
A
A.转轴受到轻杆拉力的大小为
B.轻杆给小球的作用力等于轻杆给小球的作用力
C.小球的线速度是小球线速度的3倍
D.小球的向心加速度是小球的向心加速度的3倍
球、的质量分别为、.若轻杆以角速度 绕轴在水平桌面上转动，则( )
[解析] 小球A、B的线速度和向心加速度分别为、，、，由此可知小球A、B的线速度大小相等，小球A、B的向心加速度大小相等，C、D错误；轻杆给小球A、B的作用力分别提供两个小球做圆周运动的向心力，，，根据牛顿第三定律可知，小球A、B对杆的拉力大小分别为、，则转轴受到轻杆拉力的大小为，由此可知，轻杆给小球A的作用力不等于轻杆给小球B的作用力，且转轴受到轻杆拉力的大小为，A正确，B错误.
4.如图所示，长的轻绳一端与质量的小球相连，另一端连接一个质量的滑块，滑块套在竖直杆上，与竖直杆间的动摩擦因数为 .现在让小球绕竖直杆在水平面内做匀速圆周运动，当绳子与杆的夹角 时，滑块恰好不下滑.假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取.求：
(1) 小球转动的角速度 的大小；
[答案]
[解析] 对小球受力分析，由牛顿第二定律得 ，
解得小球转动的角速度.
(2) 滑块与竖直杆间的动摩擦因数 .
[答案]
[解析] 对小球，在竖直方向上，有
对滑块，由平衡条件得， ，
解得滑块与竖直杆间的动摩擦因数
5.如图所示，半径的圆环内侧的点处粘有一块质量为的油灰，圆环在竖直平面内以角速度 绕通过环心的水平轴开始匀速转动的同时，环心处有一小球自由下落，到底端时恰与油灰相碰，重力加速度取，求：
(1) 小球落到底端与油灰相碰所用的时间.
[答案]
[解析] 设小球自由下落所用时间为，由题意知
对小球有
解得小球落到底端与油灰相碰所用的时间为
(2) 圆环角速度的大小.
[答案]
[解析] 设圆环运动周期为，
则
由角速度与周期的关系得
得
(3) 油灰运动的向心加速度和向心力的大小.
[答案] ;
[解析] 由向心加速度与角速度的关系可得
代入数据，向心加速度为
由向心加速度与向心力的关系可得，向心力大小为
1.(对向心加速度的理解)(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是( )
ABD
A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
[解析] 向心加速度是指向圆心的，故与速度方向垂直，所以它只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，A、B正确；若物体做圆周运动的速度大小也发生变化，则还有切向加速度，此时合加速度方向不指向圆心,C错误；物体做匀速圆周运动时，没有切向加速度，只有向心加速度，加速度方向指向圆心,D正确.
2.(向心加速度的大小)(多选)[2024·广州六中月考] 如图所示，一个球绕过球心的轴线以角速度 做匀速圆周运动， ，则( )
BD
A.、两点的线速度相同
B.、两点的角速度相同
C.、两点的线速度之比
D.、两点的向心加速度之比
[解析] 球绕过球心的轴线转动，球上各点应具有相同的周期和角速度，即，B正确；因为、两点做圆周运动的半径不同，，根据知，A错误； ，设球的半径为，则，，故，C错误；根据<知，D正确.
3.(向心加速度的计算)[2021·全国甲卷] “旋转纽扣”是一种传统游戏.如图所示，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现.拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达，此时纽扣上距离中心处的点向心加速度大小约为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 向心加速度,故C正确.
4.(向心力与向心加速度)(多选)如图所示,质量为的物体沿着半径为的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为,若物体与球壳间的动摩擦因数为 ,重力加速度为,则物体在最低点时 ( )
AD
A.向心加速度为 B.向心力为
C.对球壳的压力为 D.受到的摩擦力为
[解析] 向心加速度,故A正确;向心力,故B错误;根据牛顿第二定律得,解得,由牛顿第三定律可知物体对球壳的压力为,故C错误;物体所受的摩擦力,故D正确.
建议用时：40分钟
知识点一 匀速圆周运动的向心力大小
1.、两物体都做匀速圆周运动，，，经过1秒，转过圆心角，转过了圆心角，则所受的向心力大小与所受的向心力大小之比为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 根据角速度的定义式，可知，根据向心力公式，可得A所受的向心力大小与B所受的向心力大小之比为
，故A、C、D错误，B正确.
2.[2024·河北石家庄一中月考] 如图所示为《流浪地球》中旋转空间站的示意图，空间站为圆环，圆环内的中空管道为宇航员的活动空间.圆环外径为，当圆环绕点自转时能对管道内的宇航员产生弹力.设地表重力加速度为,要使宇航员感受到与在地表大小相等的力，则空间站自转的角速度应为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 宇航员是靠环对他的支持力提供向心力，根据牛顿第二定律得，又知，联立解得，故B正确.
知识点二 向心加速度的理解
3.[2024·广东实验中学月考] 关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
B
A.由知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C.匀速圆周运动是匀速运动
D.向心加速度越大，物体速率变化越快
[解析] 向心加速度大小恒定，方向一直改变，故A错误；向心加速度垂直于线速度，只改变线速度的方向，不改变线速度大小，故B正确；匀速圆周运动速度方向时刻改变，不是匀速运动，故C错误；做匀速圆周运动的物体的速率不变，故D错误.
4.(多选)小球做圆周运动，关于小球运动到点的加速度方向，图中可能正确的是( )
AD
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 小球做圆周运动，运动到图示的点时，所受的合力可分解为向心力和切向力，即小球在点的加速度可分解为沿方向的向心加速度和垂直于的切向加速度，并且向心加速度不为零，当小球做匀速圆周运动时，切向加速度为零，故A、D正确，B、C错误.
知识点三 向心加速度的计算与比较
5.[2024·广州大学附中月考] 某同学在研究圆周运动时做摆臂动作，用手机内置的速度传感器测定手的速度.该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度(刻度尺的零刻度线与肩平齐)，如图所示，然后他伸直手臂，手握手机，将手臂以肩为轴自然下摆.若当手臂摆到竖直位置时，手机显示的速度大小约为，则此时手机的向心加速度大小约为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 根据题意，由图可知，手机转动的半径约为，由公式可得，手臂摆到竖直位置时手机的向心加速度大小约为，故选A.
6.[2024·江西南昌期中] 一皮带传动装置如图所示，右轮半径为，是它边缘上的一点.左侧大轮和小轮固定在同一个轴上一起转动，大轮半径为，小轮半径为，点和点分别位于小轮和大轮的边缘上.传动过程中皮带不打滑，则下列说法正确的是 ( )
D
A.、、三点的线速度之比为
B.、、三点的角速度之比为
C.、、三点的向心加速度之比为
D.、、三点的转速之比为
[解析] 由题意可知、，根据可知，，解得、，A、B错误；根据，可知，C错误；根据可知，D正确.
7.[2024·广州第二中学月考] 如图甲所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的边缘上有、、三点，向心加速度随半径变化图像如图乙所示，则( )
A
A.、两点加速度关系满足1图线 B.、两点加速度关系满足2图线
C.、两点加速度关系满足1图线 D.、两点加速度关系满足2图线
[解析] 根据 ，A、B两点的线速度大小相等，加速度与半径成反比，加速度关系满足1图线，A正确，B错误；根据，、C两点的线速度大小不相等，加速度与半径不成反比，加速度关系不满足1图线，C错误；根据 ，A、C两点的角速度不相等，加速度与半径不成正比，加速度关系不满足2图线，D错误.
8.[2024·中山期中] 空中飞椅深受年轻人的喜爱，飞椅的位置不同，感受也不同，关于飞椅的运动，下列说法正确的是( )
D
A.乘坐飞椅的所有爱好者一起做圆周运动，最外侧的飞椅角速度最大
B.缆绳一样长、悬挂点在最外侧的所有飞椅向心加速度相同
C.飞椅中的人随飞椅一起做圆周运动，受重力、飞椅的支持力与向心力
D.不管飞椅在什么位置，缆绳长短如何，做圆周运动的飞椅角速度都相同
[解析] 乘坐飞椅的所有爱好者可视为做圆周运动，其角速度相同，故A错误，D正确；悬挂点在最外侧的所有飞椅向心加速度大小相等，方向不同，故B错误；没有受到向心力，向心力是效果力，故C错误.
9.[2024·佛山期中] 如图所示，长为的细绳一端固定在点，另一端拴住一个小球.在点的正下方与点相距的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子.把球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，在细绳碰到钉子后的瞬间(细绳没有断)，下列说法中正确的是( )
A
A.小球的向心加速度突然增大到原来的3倍 B.小球的线速度突然增大到原来的3倍
C.小球的角速度突然增大到原来的1.5倍 D.小球的向心力突然增大到原来的1.5倍
[解析] 细绳碰到钉子的瞬间，线速度不变，B错误；圆周运动的半径由变为，由知，增大到原来的3倍，A正确；根据 知角速度 增大到原来的3倍，C错误；细绳碰到钉子前瞬间小球的向心力
，碰后瞬间向心力，D错误.
10.[2024·汕头金山中学月考] 如图所示为儿童乐园中的观览车，观览车上的吊篮在动力的带动下匀速转动，观览车的转动周期为，小朋友坐在吊篮里可以尽情地观赏周围的美景.已知小朋友的质量为，他随观览车做圆周运动的半径为.(重力加速度为)
(1) 求小朋友转动的向心加速度大小；
[答案]
[解析] 小朋友做圆周运动的角速度
向心加速度
可得
(2) 当吊篮处于最低点时，求吊篮对小朋友的作用力的大小.
[答案]
[解析] 根据向心力公式有
对小朋友受力分析可得
解得
11.[2024·河北邢台一中月考] 如图所示，小球通过细线绕圆心在光滑水平面上做匀速圆周运动.已知小球质量，角速度大小，细线长.
(1) 求小球的线速度大小、周期、转速；
[答案] ; ;
[解析]
由，得
根据，得
(2) 求细线对小球的拉力大小；
[答案]
[解析] 细线对小球的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律得
(3) 若细线最大能承受的拉力，求小球运行的最大线速度.
[答案]
[解析] 若细线最大能承受的拉力，根据牛顿第二定律得，得第2课时 向心力与向心加速度
例1 (1)mgtan θ (2) (3)
[解析] (1)建立如图所示的坐标系,重力与细线拉力的合力提供向心力,有F向=mgtan θ
(2)竖直方向上有Fcos θ=mg
解得F=
(3)小球运动中受到重力mg和细线拉力F,小球做圆周运动的半径为r=Lsin θ
向心力F向=m,即mgtan θ=m
解得v=
变式1 D [解析] 两物体绕同一转轴转动,角速度和周期相同,由v=ωr可知,线速度vA>vB,选项A、C正确;物体在竖直方向上受力平衡,故受到的摩擦力fA=fB=mg,选项D错误;在水平方向上,由向心力公式得FN=mω2r,可得筒壁对它们的弹力FNA>FNB,选项B正确.
[教材链接] 1.圆心 2.ω2r
[物理观念] 物体的加速度跟它所受合力方向一致,所以小球的加速度沿半径指向圆心,即加速度的方向时刻指向圆心,所以方向不断变化.
例2 D [解析] 根据a=,当线速度保持不变时,向心加速度的大小一定跟圆周的半径成反比,A错误;根据a=ω2r,当角速度保持不变时,向心加速度的大小一定跟圆周的半径成正比,B错误;根据ω=,当线速度保持不变时,角速度的大小一定跟圆周的半径成反比,C错误;根据ω=,角速度的大小一定跟转动周期成反比,D正确.
变式2 C [解析] 物体做匀速圆周运动时,向心加速度的大小不变,向心加速度的方向始终指向圆心,即在不同的时刻方向是不同的,故C正确,A、B、D错误.
例3 BCD [解析] 依题意,知此时链条均与前、后牙盘从中心往外的第二个齿轮啮合,且前、后牙盘第二个齿轮边缘上的点距离中心轴的距离均为5 cm,即r相等,又线速度v相等,由ω=知此时前牙盘的角速度等于后牙盘的角速度,故A错误;根据v=rω=2πnr可得后牙盘第二个齿轮边上的点的线速度大小为v=2×3.14×0.5×5×10-2 m/s≈0.16 m/s,故B正确;根据a=rω2=4π2n2r并代入数据可得前牙盘第二个齿轮边上的点的向心加速度大小为a≈0.50 m/s2,故C正确;设链条所在的前牙盘半径为r前,后牙盘半径为r后,自行车后轮半径为R,则v车=R,所以让链条前、后端分别处在前、后牙盘直径更大和更小的齿轮上时,自行车行进的速度更大,故D正确.
随堂巩固
1.ABD [解析] 向心加速度是指向圆心的,故与速度方向垂直,所以它只改变线速度的方向,不改变线速度的大小,A、B正确;若物体做圆周运动的速度大小也发生变化,则还有切向加速度,此时合加速度方向不指向圆心,C错误;物体做匀速圆周运动时,没有切向加速度,只有向心加速度,加速度方向指向圆心,D正确.
2.BD [解析] 球绕过球心的轴线转动,球上各点应具有相同的周期和角速度,即ωa=ωb,B正确;因为a、b两点做圆周运动的半径不同,rb>ra,根据v=ωr知vb>va,A错误;θ=30°,设球的半径为R,则rb=R,ra=Rcos 30°=R,故==,C错误;根据a=ω2r知==,D正确.
3.C [解析] 向心加速度a=ω2r=(2πn)2r=4π2n2r=4×3.142×502×0.01 m/s2≈1000 m/s2,故C正确.
4.AD [解析] 向心加速度a=,故A正确;向心力F=m,故B错误;根据牛顿第二定律得FN-mg=m,解得FN=mg+m,由牛顿第三定律可知物体对球壳的压力为mg+m,故C错误;物体所受的摩擦力f=μFN=μ,故D正确.第2课时 向心力与向心加速度
1.B [解析] 根据角速度的定义式ω=,可知=,根据向心力公式F=mω2r,可得A所受的向心力大小与B所受的向心力大小之比为=··=××=,故A、C、D错误,B正确.
2.B [解析] 宇航员是靠环对他的支持力提供向心力,根据牛顿第二定律得FN=mω2r,又知 FN=mg,联立解得ω=,故B正确.
3.B [解析] 向心加速度大小恒定,方向一直改变,故A错误;向心加速度垂直于线速度,只改变线速度的方向,不改变线速度大小,故B正确;匀速圆周运动速度方向时刻改变,不是匀速运动,故C错误;做匀速圆周运动的物体的速率不变,故D错误.
4.AD [解析] 小球做圆周运动,运动到图示的P点时,所受的合力可分解为向心力和切向力,即小球在P点的加速度可分解为沿PO方向的向心加速度和垂直于PO的切向加速度,并且向心加速度不为零,当小球做匀速圆周运动时,切向加速度为零,故A、D正确,B、C错误.
5.A [解析] 根据题意,由图可知,手机转动的半径约为0.65 m,由公式a=可得,手臂摆到竖直位置时手机的向心加速度大小约为a==0.65 m/s2,故选A.
6.D [解析] 由题意可知va=vb、 ωb=ωc,根据v=ωr可知=2, ==,解得va∶vb∶vc=1∶1∶2、ωa∶ωb∶ωc=2∶1∶1,A、B错误;根据a=ω2r=ωv,可知aa∶ab∶ac=2∶1∶2,C错误;根据n=可知na∶nb∶nc=2∶1∶1,D正确.
7.A [解析] 根据a= ,A、B两点的线速度v大小相等,加速度a与半径R成反比,加速度关系满足1图线,A正确,B错误;根据a=, A、C两点的线速度大小不相等,加速度与半径不成反比,加速度关系不满足1图线,C错误;根据a=ω2R ,A、C两点的角速度不相等,加速度与半径不成正比,加速度关系不满足2图线,D错误.
8.D [解析] 乘坐飞椅的所有爱好者可视为做圆周运动,其角速度相同,故A错误,D正确;悬挂点在最外侧的所有飞椅向心加速度大小相等,方向不同,故B错误;没有受到向心力,向心力是效果力,故C错误.
9.A [解析] 细绳碰到钉子的瞬间,线速度不变,B错误;圆周运动的半径由L变为,由a=知,a增大到原来的3倍,A正确;根据v=rω知角速度ω增大到原来的3倍,C错误;细绳碰到钉子前瞬间小球的向心力=m,碰后瞬间向心力=m=3,D错误.
10.(1)R (2)mg+mR
[解析] (1)小朋友做圆周运动的角速度ω=
向心加速度a=ω2R
可得a=R
(2)根据向心力公式有
F向心=mω2R
对小朋友受力分析可得F-mg=F向心
解得F=mg+mR
11.(1)0.4 m/s π s r/s (2)0.4 N (3)2 m/s
[解析] (1)v=Lω=0.4 m/s
由ω=,得T=π s
根据ω=2πn,得n= r/s
(2)细线对小球的拉力提供向心力,根据牛顿第二定律得F=mLω2=0.4 N
(3)若细线最大能承受10.0 N的拉力,根据牛顿第二定律得Fm=m,得vm=2 m/s第2课时 向心力与向心加速度
学习任务一 匀速圆周运动向心力的大小
[科学思维] 几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上,有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动,且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动,当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下,在水平面内做匀速圆周运动时 绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力
例1 如图所示,长为L的细线拴一质量为m的小球,细线另一端固定于O点,让小球在水平面内做匀速圆周运动,这种运动通常称为圆锥摆运动.已知运动中细线与竖直方向的夹角为θ,重力加速度为g,求:
(1)小球在水平面内做匀速圆周运动的向心力大小;
(2)细线对小球的拉力F的大小;
(3)小球在水平面内做匀速圆周运动的线速度大小.
变式1 [2024·佛山一中月考] 如图所示,质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上,随圆筒一起做匀速圆周运动,则下列关系错误的是 ( )
A.运动周期TA=TB
B.筒壁对它们的弹力FNA>FNB
C.线速度vA>vB
D.受到的摩擦力fA>fB
[反思感悟]
【要点总结】
匀速圆周运动问题的解题步骤
学习任务二 对向心加速度的理解
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空:
1.定义:在匀速圆周运动中,F是指向圆心的向心力,所以加速度a也一定指向 ,称为向心加速度.
2.公式:a= 或 .
3.作用:向心加速度的方向总是与速度方向垂直,故向心加速度只改变速度的方向,不改变速度的大小.
4.向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动,也适用于非匀速圆周运动.
[物理观念] 如图所示,光滑桌面上一个小球由于受到细线的牵引而绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.分析小球的运动,并回答以下问题:
小球的加速度方向变化吗
例2 [2024·北大附中期中] 对于做匀速圆周运动的物体,下列说法中正确的是( )
A.根据a=,向心加速度的大小一定跟圆周的半径成反比
B.根据a=ω2r,向心加速度的大小一定跟圆周的半径成正比
C.根据ω=,角速度的大小一定跟圆周的半径成反比
D.根据ω=,角速度的大小一定跟转动周期成反比
[反思感悟]
变式2 [2024·惠州一中期中] 关于做匀速圆周运动的物体的向心加速度,下列说法正确的是( )
A.向心加速度的大小和方向都不变
B.向心加速度的大小和方向都不断变化
C.向心加速度的大小不变,方向不断变化
D.向心加速度的大小不断变化,方向不变
[反思感悟]
例3 (多选)[2024·汕头期中] 周一小苏骑变速自行车去学校上学,如图为他所骑自行车的链条传动系统的简化模型,前、后牙盘上分别有一些不同半径的齿轮.他用脚匀速蹬踏板,使前牙盘绕其中心轴的转速为0.5 r/s.此时链条均与前、后牙盘从中心往外的第二个齿轮啮合,前、后牙盘第二个齿轮边缘上的点距离中心轴的距离均为5 cm,下列说法正确的是 ( )
A.前牙盘的角速度大于后牙盘的角速度
B.后牙盘第二个齿轮边上的点的线速度大小约为0.16 m/s
C.前牙盘第二个齿轮边上的点的向心加速度大小约为0.50 m/s2
D.为了增大骑行速度,在脚踏板转速不变的情况下,应该让链条前、后端分别处在前、后牙盘直径更大和更小的齿轮上
[反思感悟]
【要点总结】
向心加速度与半径的关系(如图所示).
1.(对向心加速度的理解)(多选)关于向心加速度,以下说法中正确的是 ( )
A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B.向心加速度只改变线速度的方向,不改变线速度的大小
C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
2.(向心加速度的大小)(多选)[2024·广州六中月考] 如图所示,一个球绕过球心的轴线OO'以角速度ω做匀速圆周运动,θ=30°,则( )
A.a、b两点的线速度相同
B.a、b两点的角速度相同
C.a、b两点的线速度之比va∶vb=2∶
D.a、b两点的向心加速度之比aa∶ab=∶2
3.(向心加速度的计算)[2021·全国甲卷] “旋转纽扣”是一种传统游戏.如图所示,先将纽扣绕几圈,使穿过纽扣的两股细绳拧在一起,然后用力反复拉绳的两端,纽扣正转和反转会交替出现.拉动多次后,纽扣绕其中心的转速可达50 r/s,此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为 ( )
A.10 m/s2 B.100 m/s2
C.1000 m/s2 D.10 000 m/s2
4.(向心力与向心加速度)(多选)如图所示,质量为m的物体沿着半径为R的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v,若物体与球壳间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,则物体在最低点时 ( )
A.向心加速度为
B.向心力为m
C.对球壳的压力为m
D.受到的摩擦力为μm第2课时 向心力与向心加速度建议用时:40分钟
◆ 知识点一 匀速圆周运动的向心力大小
1.A、B两物体都做匀速圆周运动,=,=,经过1秒,A转过圆心角,B转过了圆心角,则A所受的向心力大小与B所受的向心力大小之比为 ( )
A.1∶4 B.4∶9
C.9∶16 D.16∶9
2.[2024·河北石家庄一中月考] 如图所示为《流浪地球》中旋转空间站的示意图,空间站为圆环,圆环内的中空管道为宇航员的活动空间.圆环外径为r,当圆环绕O点自转时能对管道内的宇航员产生弹力.设地表重力加速度为g,要使宇航员感受到与在地表大小相等的力,则空间站自转的角速度应为( )
A. B.
C. D.
◆ 知识点二 向心加速度的理解
3.[2024·广东实验中学月考] 关于匀速圆周运动,下列说法正确的是 ( )
A.由a=知,匀速圆周运动的向心加速度恒定
B.向心加速度只改变线速度的方向,不改变线速度的大小
C.匀速圆周运动是匀速运动
D.向心加速度越大,物体速率变化越快
4.(多选)小球做圆周运动,关于小球运动到P点的加速度方向,图中可能正确的是( )
◆ 知识点三 向心加速度的计算与比较
5.[2024·广州大学附中月考] 某同学在研究圆周运动时做摆臂动作,用手机内置的速度传感器测定手的速度.该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度(刻度尺的零刻度线与肩平齐),如图所示,然后他伸直手臂,手握手机,将手臂以肩为轴自然下摆.若当手臂摆到竖直位置时,手机显示的速度大小约为0.65 m/s, 则此时手机的向心加速度大小约为( )
A.0.65 m/s2
B.1.3 m/s2
C.2 m/s2
D.6.5 m/s2
6.[2024·江西南昌期中] 一皮带传动装置如图所示,右轮半径为r,a是它边缘上的一点.左侧大轮和小轮固定在同一个轴上一起转动,大轮半径为4r,小轮半径为2r,b点和c点分别位于小轮和大轮的边缘上.传动过程中皮带不打滑,则下列说法正确的是 ( )
A.a、b、c三点的线速度之比为1∶2∶4
B.a、b、c三点的角速度之比为1∶2∶2
C.a、b、c三点的向心加速度之比为4∶2∶1
D.a、b、c三点的转速之比为2∶1∶1
7.[2024·广州第二中学月考] 如图甲所示,自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的边缘上有A、B、C三点,向心加速度随半径变化图像如图乙所示,则 ( )
A.A、B两点加速度关系满足1图线
B.A、B两点加速度关系满足2图线
C.A、C两点加速度关系满足1图线
D.A、C两点加速度关系满足2图线
8.[2024·中山期中] 空中飞椅深受年轻人的喜爱,飞椅的位置不同,感受也不同,关于飞椅的运动,下列说法正确的是 ( )
A.乘坐飞椅的所有爱好者一起做圆周运动,最外侧的飞椅角速度最大
B.缆绳一样长、悬挂点在最外侧的所有飞椅向心加速度相同
C.飞椅中的人随飞椅一起做圆周运动,受重力、飞椅的支持力与向心力
D.不管飞椅在什么位置,缆绳长短如何,做圆周运动的飞椅角速度都相同
9.[2024·佛山期中] 如图所示,长为L的细绳一端固定在O点,另一端拴住一个小球.在O点的正下方与O点相距的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子A.把球拉起使细绳在水平方向伸直,由静止开始释放,在细绳碰到钉子后的瞬间(细绳没有断),下列说法中正确的是 ( )
A.小球的向心加速度突然增大到原来的3倍
B.小球的线速度突然增大到原来的3倍
C.小球的角速度突然增大到原来的1.5倍
D.小球的向心力突然增大到原来的1.5倍
10.[2024·汕头金山中学月考] 如图所示为儿童乐园中的观览车,观览车上的吊篮在动力的带动下匀速转动,观览车的转动周期为T,小朋友坐在吊篮里可以尽情地观赏周围的美景.已知小朋友的质量为m,他随观览车做圆周运动的半径为R.(重力加速度为g)
(1)求小朋友转动的向心加速度大小;
(2)当吊篮处于最低点时,求吊篮对小朋友的作用力的大小.
11.[2024·河北邢台一中月考] 如图所示,小球通过细线绕圆心O在光滑水平面上做匀速圆周运动.已知小球质量m=0.50 kg,角速度大小ω=2 rad/s,细线长L=0.20 m.
(1)求小球的线速度大小v、周期T、转速n;
(2)求细线对小球的拉力大小F;
(3)若细线最大能承受10.0 N的拉力,求小球运行的最大线速度vm.
