专题课:水平面内的圆周运动问题
[模型探究]
1.水平 2.半径 μmg 3.远离 靠近 离心 趋心
例1 BC [解析] A、B、C三物体绕同一中心轴转动,角速度相等,静摩擦力充当向心力,设mA=2mB=3mC=m,rC=rA=2rB=r,由向心力公式可知FA=mrω2,FB=,FC=,故物体A受到的摩擦力最大,物体B受到的摩擦力最小,故A错误,B、C正确;转台转速加快时,恰好发生相对滑动时有μmg=mrω2,解得ω=,故A、C同时滑动,B最后滑动,D错误.
变式 (1)0 (2)μmg
[解析] (1)由题意可知,当物块刚好只有摩擦力提供向心力时,有μmg=mω2r,解得ω=
当角速度ω1<ω时,静摩擦力提供向心力,细绳对物块的拉力为0,即T1=0.
(2)由题意可知,ω2>ω,拉力和静摩擦力一起提供向心力,根据牛顿第二定律得T2+μmg=mr
得T2=μmg.
例2 A [解析] 对小球受力分析,小球受到重力和支持力,它们的合力提供向心力,设支持力FN与竖直方向的夹角为θ,如图,依题意,根据牛顿第二定律有F=mgtan θ=m,解得v=,由于A球的转动半径较大,A球的线速度较大,A正确;根据牛顿第二定律有F=mgtan θ=mω2r,解得ω=,可知A球角速度小,B错误;根据牛顿第二定律有F=mgtan θ=mr,解得T=2π,可知A球周期大,C错误;根据牛顿第二定律有F=mgtan θ=ma,解得a=gtan θ,可知球A的向心加速度等于球B的向心加速度,D错误.
例3 (1)336 N (2) rad/s
[解析] (1)对女运动员受力分析可知,水平方向有Fsin θ=mr
竖直方向有Fcos θ+FN=mg
联立解得FN=336 N
根据牛顿第三定律可得,女运动员对冰面压力的大小为336 N.
(2)女运动员刚要离开冰面时,受重力和男运动员对女运动员的拉力,F'cos θ=mg,F'sin θ=mr
解得ω2= rad/s.
随堂巩固
1.D [解析] 当绳子的拉力等于A的最大静摩擦力时,角速度达到最大且不发生相对滑动,有T+kmg=mω2L,T=kMg,得ω=,故选D.
2.BD [解析] 由题意可知两小球做圆周运动的半径分别为r1=Lsin 60°=L,r2=Lsin 30°=L,两小球做圆周运动的向心力分别由各自细线的拉力与其自身的重力的合力提供,由此可知两小球做圆周运动的向心力分别为F1=mgtan 60°=mg,F2=mgtan 30°=mg,细线L1和细线L2所受的拉力大小分别为T1==2mg,T2==,由向心力公式可得mg=m,mg=m,解得v1∶v2=∶1,故A错误;由以上分析可知,小球m1和m2的角速度大小之比为ω1∶ω2=∶=∶1,故B正确;由以上分析可知,小球m1和m2的向心力大小之比为F1∶F2=3∶1,故C错误;由以上分析可得,细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为T1∶T2=∶1,故D正确.
3.(1)500 N (2) rad/s
[解析] (1)根据题意,对人和座椅受力分析,如图所示
由平衡条件有Fcos 37°=mg,解得F==500 N
(2)根据题意,由牛顿第二定律有mgtan 37°=mω2r
由几何关系可知r=d+lsin 37°
解得ω= rad/s.专题课:水平面内的圆周运动问题
1.C [解析] 根据牛顿第二定律得μmg=mr,解得μ= ,动摩擦因数μ的最小值为,故A错误;若减少茶杯中的水量,以相同的周期匀速转动转盘,上述等式仍然成立,茶杯不能发生相对滑动,故B错误;根据f=mr,若减小转盘的转动周期T,茶杯所受的静摩擦力增大,当达到最大静摩擦力时,茶杯与转盘发生相对滑动,故C正确;若转盘减速转动,茶杯与转盘仍保持相对静止,茶杯受到的摩擦力的方向不指向转轴,摩擦力沿着半径方向的分力改变线速度的方向,摩擦力沿着切线方向的分力改变线速度的大小,故D错误.
2.B [解析] 由合力提供向心力得F-f=mω2r,由于弹力F不变,角速度增大,则摩擦力先减小直到为0,之后角速度继续增大,则摩擦力反向增大,故B正确.
3.D [解析] 摩托车沿圆形表演台的侧壁做匀速圆周运动时的向心力由摩托车的重力和侧壁的支持力的合力提供,支持力FN=,向心力F=mgtan θ,所以FN和F只与侧壁的倾角θ有关,而与高度h无关,即h变化时,FN和F不变,选项A、B错误;根据F=m,可得v2=grtan θ,当h越大时,运动半径r越大,线速度v越大,选项D正确;根据T=,v2=grtan θ,可得T∝,当h越大时,运动半径r越大,周期T越大,选项C错误.
4.C [解析] 小球所受重力和环的支持力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律可得mgtan θ=mω2Rsin θ,解得cos θ=,说明小球和圆心的连线与竖直方向的夹角θ与小球的质量无关,故A、B、D错误,C正确.
5.C [解析] 当转动的角速度ω逐渐增大时,小球可能只受重力和细绳的拉力,选项A错误;小球在水平面内做匀速圆周运动时,细绳的拉力在竖直方向的分力与水平面对小球的支持力的合力大小等于小球的重力,细绳的拉力在水平方向的分力提供小球运动的向心力,当转动的角速度ω逐渐增大时,所需向心力逐渐增大,细绳的拉力逐渐增大,而当小球离开水平面后,角速度增大时,绳子与竖直方向的夹角变大,拉力变大,选项B错误;要使小球刚好不离开水平面,则有mgtan θ=mω2r,其中tan θ=,r=,联立解得ω=,选项C正确;若小球离开了水平面,则角速度大于,选项D错误.
6.BCD [解析] 开始时静摩擦力提供向心力,圆盘角速度缓慢地增加,静摩擦力逐渐增大,当角速度增加到一定值时,静摩擦力达到最大静摩擦力,若圆盘的角速度继续增大,则小物块相对圆盘滑动,此时由弹簧弹力与最大静摩擦力的合力来提供向心力,所以物块受到的摩擦力总是指向圆心,A错误,B正确;物块开始滑动时,有μmg=mω2L,解得ω=,C正确;当圆盘角速度缓慢地增加,弹簧的伸长量为x时,有μmg+kx=mω2(L+x),解得ω=,D正确.
7.AC [解析] 转动过程中,两滑块相对转台静止,两滑块有相同的角速度,都由静摩擦力提供向心力,则有f=mω2r,因两滑块的质量相同,而r18.B [解析] 游客受自身重力、支持力、摩擦力三个力的作用,向心力是效果力,不是游客受到的力,故A错误;对游客进行受力分析,如图,水平方向根据牛顿第二定律可得fcos θ-FNsin θ=mω2r,竖直方向有fsin θ+FNcos θ=mg,解得FN=mgcos θ-mω2rsin θ,f=mgsin θ+mω2rcos θ,可知受到的支持力一定小于mgcos θ,受到的摩擦力一定大于mgsin θ,故B正确,C错误;重力和魔盘作用力的合力提供向心力,由平行四边形定则可知受到魔盘作用力的大小为F==,故D错误.
9.(1)ω= (2)
[解析] (1)对座椅受力分析,如图所示.转盘转动的角速度为ω时,钢绳与竖直方向的夹角为θ,则座椅到转轴的距离即座椅做圆周运动的半径,为R=r+Lsin θ
有mgtan θ=mω2R
联立解得ω=
(2)钢绳的拉力为T,由受力分析知T=
10.(1) (2)rω rω
[解析] (1)分析可知,物块离转轴的距离越大,越容易滑动,因此物块B最先滑动
根据牛顿第二定律得μmg=m·2rω2,解得μ=
(2)当两物块刚好要滑动时,设转动的角速度为ω1,对物块A有μmg-T=mr,对物块B有μmg+T=m·2r,联立可得ω1=ω
因此物块A的线速度大小为vA=rω1=rω,物块B的线速度大小为vB=2rω1=rω
11.(1) rad/s (2)2.5 N 12.5 N
[解析] (1)当细线AB刚好被拉直时,细线AB的拉力为零,细线AC的拉力和重力的合力提供向心力,则有
mgtan 37°=mLAB,LAB=Lsin 37°
代入数据解得ω1= rad/s
(2)若装置匀速转动的角速度ω2= rad/s>ω1,则两细线均有张力,竖直方向上有TACcos 37°=mg
水平方向上有TACsin 37°+TAB=mLAB
代入数据解得TAB=2.5 N,TAC=12.5 N.专题课:水平面内的圆周运动问题
学习任务一 水平转台模型
[科学思维] 物体做圆周运动时,若物体的线速度大小、角速度发生变化,会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化.进而出现某些物理量或运动状态的突变,即出现临界状态.
水平面内的圆周运动常见的临界问题:
(1)物体恰好(没有)发生相对滑动,静摩擦力达到最大值.
(2)物体恰好要离开接触面,物体与接触面之间的弹力为0.
(3)绳子恰好断裂,绳子的张力达到最大承受值.
(4)物体所受支持力为0或绳子刚好伸直,绳子的张力恰好为0.
[模型探究]
1.特点:向心加速度沿 方向,重力不能提供向心力.
2.动力学分析:静摩擦力沿 方向,提供向心力,根据牛顿第二定律得f静=mω2r,当f静=fmax= 时,得ω临=, 可见物体是否相对转台滑动,与质量无关.
3.运动状态分析:在水平面上做圆周运动的物体,当角速度ω变化时,物体有 或 圆心运动的(半径有变化)趋势.若角速度突然变大,物体做圆周运动所需要的向心力也会变大,物体就会有 趋势;若角速度突然变小,物体则会有 趋势.
例1 (多选)[2024·福建厦门一中月考] 如图所示,用同样材料做成的A、B、C三个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起绕竖直轴转动.已知三物体质量间的关系是mA=2mB=3mC,转动半径之间的关系是rC=rA=2rB,那么以下说法中正确的是 ( )
A.物体C受到的摩擦力最大
B.物体B受到的摩擦力最小
C.物体A受到的摩擦力最大
D.转台转速加快时,物体B最先开始滑动
变式 [2024·广州六中月考] 如图所示,水平转盘上放有质量为m的物块,物块到转轴的距离为r,物块和转轴用细绳相连,物块和转盘间的动摩擦因数为μ,设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,已知重力加速度为g.
(1)当转盘的角速度ω1=时,求细绳的拉力T1的大小;
(2)当转盘的角速度ω2=时,求细绳的拉力T2的大小.
学习任务二 圆锥筒模型与圆锥摆模型
[模型建构]
圆锥筒模型 圆锥摆模型
模型图
运动特点 物体做匀速圆周运动,且圆周运动的轨迹在水平面内
受力特点 重力、支持力的合力提供向心力(沿水平方向) 重力、拉力的合力提供向心力(沿水平方向)
列式 竖直方向:FNsin θ=mg 水平方向:FNcos θ=F向=mω2r= 几何关系:r=htan θ 竖直方向:Fcos θ=mg 水平方向:Fsin θ=F向=mω2r=m 几何关系:r=lsin θ
结果 FN= ω= v= F= ω= v=
结论 对于一个特定的圆锥筒,角度θ是固定的,物体所在平面高度h越大,ω越小,v越大 对于同一个圆锥摆,g、l的值不变,旋转轨迹圆平面越高,θ越大,r越大,ω和v也越大
例2 如图所示,一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定不动,两个小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动,则 ( )
A.球A的线速度大于球B的线速度
B.球A的角速度大于球B的角速度
C.球A运动的周期等于球B的运动周期
D.球A的向心加速度大于球B的向心加速度
[反思感悟]
例3 [2024·中山期末] 双人滑冰是2022年北京冬奥会比赛项目之一.如图甲所示为某次训练中男运动员以自己为轴拉着女运动员做圆周运动的情形,若女运动员的质量m=40 kg,伸直的手臂与竖直方向的夹角θ=53°,转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径r=1.2 m,如图乙所示.忽略女运动员受到的摩擦力,重力加速度g取10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6.求:
(1)当女运动员的角速度为 rad/s时,女运动员对冰面压力的大小;
(2)当女运动员刚要离开冰面时,女运动员的角速度的大小.
1.(水平转台模型)[2024·湛江一中月考] 一圆盘可绕竖直轴在水平面内运动,A、B两物体(可看作质点)质量分别为M和m,两物体的最大静摩擦力均为正压力的k倍,两物体用一根长为L的轻绳相连,轻绳的拉力足够大,A放在圆盘中心轴处,轻绳刚好被拉直,重力加速度为g,现让圆盘缓慢转动,要使两物体与圆盘均不发生相对滑动,则圆盘转动的角速度不能超过 ( )
A.
B.
C.
D.
2.(圆锥摆模型)(多选)如图所示,两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球,细线的上端都系于O点.设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动.已知L1跟竖直方向的夹角为60°,L2跟竖直方向的夹角为30°,下列说法正确的是 ( )
A.小球m1和m2的线速度大小之比为3∶1
B.小球m1和m2的角速度大小之比为∶1
C.小球m1和m2的向心力大小之比为1∶3
D.细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为∶1
3.(圆锥摆模型)[2024·执信中学月考] 游乐园中“空中飞椅”的游戏设施如图甲所示,它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上,绳子的下端连接座椅,人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋.若将人和座椅看成一个质点,则可简化为如图乙所示的物理模型,其中P为处于水平面内的转盘,可绕竖直转轴OO'转动,设绳长l=5 m,质点的质量m=40 kg,转盘静止时质点与转轴之间的距离d=3.0 m,转盘逐渐加速转动,经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动,此时绳与竖直方向的夹角θ=37°,不计空气阻力及绳重,且绳不可伸长,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2,质点与转盘一起做匀速圆周运动时,求:
(1)绳子拉力的大小;
(2)转盘角速度的大小.专题课:水平面内的圆周运动问题建议用时:40分钟
1.[2024·汕头期中] 如图所示,一茶杯(视为质点)放在水平餐桌的转盘上,茶杯到转轴的距离为r,转盘以周期T匀速转动时,茶杯与转盘保持相对静止.茶杯与转盘间的动摩擦因数为μ,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,下列说法正确的是 ( )
A.μ的最小值为
B.若减少茶杯中的水量,则茶杯与转盘可能发生相对滑动
C.若减小转盘的转动周期,则茶杯与转盘可能发生相对滑动
D.若转盘减速转动,则茶杯受到的摩擦力方向始终指向转轴
2.如图所示,水平圆盘上放置一物体P,用一轻质弹簧将该物体和圆盘中心O固连,此时弹簧处于拉伸状态,圆盘能绕通过其中心的竖直轴自由转动.现让圆盘从静止开始缓慢加速转动,直到P与圆盘发生相对滑动,则在此过程中P与圆盘间的摩擦力( )
A.先增大后减小
B.先减小后增大
C.一直增大
D.一直减小
3.有一种杂技表演叫“飞车走壁”,由杂技演员驾驶摩托车沿圆形表演台的侧壁做匀速圆周运动.图中的圆表示摩托车的行驶轨迹,轨迹离地面的高度为h.下列说法中正确的是 ( )
A.h越大,摩托车对侧壁的压力将越大
B.h越大,摩托车做圆周运动的向心力将越大
C.h越大,摩托车做圆周运动的周期将越小
D.h越大,摩托车做圆周运动的线速度将越大
4.如图所示,位于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R,质量分别为m1和m2的两带孔小球穿于环上.当圆环最终以角速度ω绕竖直直径匀速转动时,发现两小球均离开了原位置,它们和圆心的连线与竖直方向的夹角分别记为θ1和θ2, 重力加速度为g,下列说法正确的是 ( )
A.若m1>m2,则θ1>θ2
B.若m1θ2
C.θ1和θ2总是相等,与m1和m2的大小无关
D.以上说法均错误
5.如图所示,转动轴垂直于光滑水平面,交点O的上方h高处(A点)固定细绳的一端,细绳的另一端拴接一质量为m的小球B,绳长l>h,重力加速度为g,转动轴带动小球在光滑水平面内做圆周运动.当转动的角速度ω逐渐增大时,下列说法正确的是 ( )
A.小球始终受三个力的作用
B.细绳上的拉力始终保持不变
C.要使小球不离开水平面,角速度的最大值为
D.若小球离开了水平面,则角速度为
6.(多选)[2024·珠海期末] 如图所示,有一可绕竖直中心轴转动的足够大的水平圆盘,上面水平放置劲度系数为k的弹簧,弹簧的一端固定于轴上,另一端连接质量为m的小物块A(可视为质点),物块与圆盘间的动摩擦因数为μ,开始时弹簧未发生形变,长度为L,若最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等,重力加速度为g,物块A始终与圆盘一起转动.则( )
A.当圆盘角速度缓慢地增加时,物块受到的摩擦力有可能背离圆心
B.当圆盘角速度增加到足够大时,弹簧将伸长
C.当圆盘角速度为时,物块开始滑动
D.当圆盘角速度缓慢地增加,弹簧的伸长量为x时,圆盘的角速度为ω=
7.(多选)如图所示,在水平转台上放置有质量相同的滑块P和Q(可视为质点),它们与转台之间的动摩擦因数相同,P与转轴OO'的距离为r1,Q与转轴OO'的距离为r2,且r1A.P需要的向心力小于Q需要的向心力
B.P所受到的摩擦力等于Q所受到的摩擦力
C.若角速度ω缓慢增大,Q一定比P先开始滑动
D.若角速度ω缓慢增大,P一定比Q先开始滑动
8.[2024·广东实验中学月考] 如图甲所示为游乐场中一种叫“魔盘”的娱乐设施,简化模型如图乙,魔盘侧面与水平面的夹角为θ.质量为m的游客随魔盘以角速度ω一起转动,半径为r,已知重力加速度大小为g,则游客 ( )
A.受到重力、支持力、摩擦力、向心力四个力的作用
B.受到的支持力一定小于mgcos θ
C.受到的摩擦力可能小于mgsin θ
D.受到魔盘作用力的大小为mω2r
9.有一种叫“飞椅”的游乐项目,示意图如图所示.长为L的钢绳一端系着座椅,另一端固定在半径为r的水平转盘边缘.转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时,钢绳与转动轴在同一竖直平面内,与竖直方向的夹角为θ.座椅的质量为m,不计钢绳的重力.(重力加速度为g)
(1)求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.
(2)此时钢绳的拉力为多大
10.[2024·珠海一中月考] 如图甲所示,质量均为m的物块A、B放在水平圆盘上,它们到转轴的距离分别为r、2r,圆盘做匀速圆周运动.当转动的角速度为ω时,其中一个物块刚好要滑动,不计圆盘和中心轴的质量,不计物块的大小,两物块与圆盘间的动摩擦因数相同,重力加速度为g,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
(1)物块与圆盘间的动摩擦因数为多少
(2)图乙用细线将A、B两物块连接,细线刚好拉直,圆盘由静止开始逐渐增大转动的角速度,当两物块刚好要滑动时,A、B的线速度各为多少
11.[2024·河北石家庄一中月考] 如图所示装置可绕竖直轴OO'转动,可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点,当细线AB沿水平方向绷直时,细线AC与竖直方向的夹角θ=37°.已知小球的质量m=1 kg,细线AC长L=1 m,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6.
(1)若装置匀速转动时,细线AB刚好被拉直成水平状态,求此时的角速度ω1;(结果可用根号表示)
(2)若装置匀速转动的角速度ω2= rad/s,求细线AB和AC上的张力大小TAB、TAC.
