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8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.3 二项分布
第1课时 二项分布
探究点一 重伯努利试验的概念与特征
探究点二 重伯努利试验概率的求法
探究点三 二项分布的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解 重伯努利试验模型.
2.理解二项分布.
3.能运用 重伯努利试验模型及二项分布解决一些简单的实际问题.
知识点一 重伯努利试验
1.伯努利试验的概念
只包含______________的试验叫作伯努利试验.
两个可能结果
2. 重伯努利试验的定义及特征
（1）定义：将一个伯努利试验____________进行_____所组成的随
机试验称为 重伯努利试验.
独立地重复
次
（2）特征：①同一个伯努利试验重复做_____.
②各次试验的结果__________.
注意：在相同条件下， 重伯努利试验是有放回地抽样试验.
次
相互独立
3.在重伯努利试验中，事件恰好发生 次的概率
在重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率均为 ，
即，.由于试验的独立性， 次试验中，事
件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为 .
又由于在重伯努利试验中，事件恰好发生 次的方式有____种，
所以在重伯努利试验中，事件恰好发生 次的概率为
__________，，1，2， ，，它恰好是 的二
项展开式中的第______项.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在伯努利试验中，关注的是事件是否发生，而在 重伯努利试
验中，关注的是事件 发生的次数.( )
√
（2）重伯努利试验中每次试验事件 只有发生与不发生两种结果.
( )
√
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）进行重伯努利试验，各次试验中事件 发生的概率可以不同.
( )
×
[解析] 进行重伯努利试验，每次试验中事件 发生的概率均相同.
知识点二 二项分布
若随机变量的分布列为__________，其中 ，
，，1，2， ，，则称服从参数为， 的二项分
布，记作___________.其概率分布如表所示.
0 1 2 …
…
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若一次试验中事件发生的概率为，为 重伯努利试验中事
件发生的次数，则 .( )
√
（2）如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在 重伯努利试
验中，这个事件恰好发生次的概率 ，
，1，2， ， .( )
√
[解析] 由二项分布的定义可知， 中说法正确.
探究点一 重伯努利试验的概念与特征
例1 下列试验是 重伯努利试验的是( )
A.依次投掷四枚质地不同的硬币
B.某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次
C.口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球
D.小明做10道难度不同的数学单选题
√
[解析] 对于A，因为试验的条件不同（硬币质地不同），所以不是
重伯努利试验.
对于B，某人射击,击中目标的概率是稳定的,因此是 重伯努利试验.
对于C，每次抽取，每种颜色的球出现的可能性不相等，因此不是
重伯努利试验.
对于D，10道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此不是 重
伯努利试验.
故选B.
变式 判断下列试验是否为 重伯努利试验.
（1）袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球，每次从中任
取1个球，记下颜色后放回，连续取球2次；
解：是 重伯努利试验，
因为每次试验的条件相同，且每次试验的结果互不影响，同一事件发
生的概率也相同，所以是 重伯努利试验.
变式 判断下列试验是否为 重伯努利试验.
（2）袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球，每次从中任
取1个球，不放回，连续取球2次.
解：不是 重伯努利试验，
因为每次试验的条件不同（每次取球后不放回，下次取球与上次取球
时袋中球的数目不同），并且每次试验中同一事件发生的概率不同，
所以不是 重伯努利试验.
［素养小结］
重伯努利试验的判断依据
（1）要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行.
（2）每次试验的结果相互独立，互不影响.
（3）每次试验都只有两种结果，即事件发生或事件不发生.
探究点二 重伯努利试验概率的求法
例2 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和 ，假设每
次射击是否击中目标相互之间没有影响.
（1）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
解：记“甲射击3次，至少有1次未击中目标”为事件 ,由题意，射击3
次,相当于3重伯努利试验，
所以 .
例2 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和 ，假设每
次射击是否击中目标相互之间没有影响.
（2）求两人各射击2次，甲恰有2次击中目标且乙恰有1次击中目标
的概率；
解：记“甲射击2次,恰有2次击中目标”为事件 ,“乙射击2次,恰有1次
击中目标”为事件 ，
则 ，
，
因为甲、乙射击相互独立，所以所求概率为 .
例2 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和 ，假设每
次射击是否击中目标相互之间没有影响.
（3）求两人各射击2次，甲未击中目标，乙恰有2次击中目标的概率;
解：记“甲射击2次，均未击中目标”为事件 ,“乙射击2次，恰有2次
击中目标”为事件 ，
则 ，
，
因为甲、乙射击相互独立，所以所求概率为 .
例2 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和 ，假设每
次射击是否击中目标相互之间没有影响.
（4）求两人各射击2次，甲、乙均恰有1次击中目标的概率.
解：记“甲射击2次，恰有1次击中目标”为事件 ,“乙射击2次，恰有1
次击中目标”为事件 ，
则 ，
，
因为甲、乙射击相互独立，所以所求概率为 .
变式 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供
参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰
子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，
掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（1）求这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率；
解：由题可知，每个人参加甲游戏的概率为 ，参加乙游戏的概率为
,
设“4个人中恰有2个人去参加甲游戏”为事件 ,
则 .
所以这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率为 .
变式 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供
参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰
子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，
掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的
概率.
解：设参加甲游戏的人数为,则显然 .
所以 ，
，
所以4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
.
［素养小结］
重伯努利试验概率求解的关注点
（1）解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘
法公式及对立事件的概率公式.
（2） 重伯努利试验概率求解的三个步骤
①判断：依据重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为 重伯努
利试验；
②分拆：判断所求事件是否需要分拆；
③计算：就每个事件依据 重伯努利试验的概率公式求解，最后利用
互斥事件概率加法公式计算.
探究点三 二项分布的应用
例3 ［2025·江苏南京高二期末］某食品生产厂生产某种市场需求量
很大的食品，这种食品有， 两类关键元素含量指标需要检测，设
两类元素含量指标达标与否互不影响.类元素指标达标的概率为 ，
类元素指标达标的概率为 ，质量检验规定：两类元素含量指标都
达标的食品才为合格品.
（1）求一个食品经过检测，， 两类元素至少有一类元素含量指
标达标的概率；
解：设事件表示“一个食品经过检测，， 两类元素至少有一类元
素含量指标达标”，则 ，
所以一个食品经过检测,， 两类元素至少有一类元素含量指标达标
的概率为 .
例3 ［2025·江苏南京高二期末］某食品生产厂生产某种市场需求量
很大的食品，这种食品有， 两类关键元素含量指标需要检测，设
两类元素含量指标达标与否互不影响.类元素指标达标的概率为 ，
类元素指标达标的概率为 ，质量检验规定：两类元素含量指标都
达标的食品才为合格品.
（2）任意抽取该种食品4个，设 表示其中合格品的个数，求 的
分布列.
解：依题意可知，两类元素含量指标都达标的概率为 ，
的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然 ，
因此 ，
，
，
， ，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
变式 ［2025·河北衡水高二期中］中医药学是中国古代科学的瑰宝，
也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了
解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关
中医药文化的调查问卷，得到各组人数的数据如下表所示：
年龄段 成绩
31岁 岁 4 8 13 9 6
41岁 岁 2 8 10 22 18
规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在
内代表对中医药文化了解程度高.
（1）从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度
高的市民的概率；
解：由表格中的数据可知，成绩在 内的人数为
，所以抽到对中医药文化了解程度高的市民的
概率为 .
（2）将频率视为概率，现从该地41岁 岁年龄段的市民中随机抽
取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求 的分布列.
解：根据表格可知，41岁岁年龄段的市民中，成绩在 内的
人数为 ，
成绩在内的人数为 ，
则随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率
.
由题意可知， 的可能取值为0,1,2,3，
则 ，
，
，
，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
［素养小结］
解决二项分布问题的两个关注点
（1）公式
必须在满足
“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.
（2）判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立
性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即
试验独立重复地进行了
次.
1.在相同条件下重复做的次试验称为 次独立重复试验.
表示第 次试验结果，则
.
2.在重伯努利试验中，设每次试验中事件 发生的概率为
，用表示事件发生的次数，则 的分布列为
，，1，2， ， .
3.二项分布与两点分布的关系
（1）两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件
发生或不发生；二项分布的前提是在 重伯努利试
验中，试验次数为（每次试验的结果也只有两种：事件 发生或不
发生），试验结果有种：事件 恰好发生0次，1次，2次，
， 次.
（2）二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的
二项分布，即 时的二项分布.
1.典型的二项分布问题
例1 机甲大师高校联盟赛，作为全国大学生机器人大赛
旗下赛事之一，是专为全球科技爱好者打造的机器人竞技与学术交
流平台，在“ ”对抗赛中，甲、乙、丙三支高校队在每轮对抗赛中，
乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为 ，每轮对抗赛没有平局且成绩
互不影响.
（1）若乙与丙进行3轮对抗赛，求丙在对抗赛中至少有2轮胜出的概率；
解：因为乙胜丙的概率为，所以丙胜乙的概率为 ，
设丙胜乙的对抗赛轮数为 ，则3轮对抗赛中，丙至少有2轮胜出的概
率为
.
例1 机甲大师高校联盟赛，作为全国大学生机器人大赛
旗下赛事之一，是专为全球科技爱好者打造的机器人竞技与学术交
流平台，在“ ”对抗赛中，甲、乙、丙三支高校队在每轮对抗赛中，
乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为 ，每轮对抗赛没有平局且成绩
互不影响.
（2）若甲与丙进行对抗，甲胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，
但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数 的分布列与数学期望.
解：由题意，的可能取值为2，3，4，5，且 ，
，
，
，
所以 的分布列为
X 2 3 4 5
P
.
2.相互独立事件与二项分布的区别
相互独立事件是二项分布的基本前提，相互独立事件与二项分布是
一个包含与被包含的关系.
例2 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为 ，且每
次射击的结果互不影响.
（1）求射手在3次射击中，至少有2次连续击中目标的概率
（用数字作答）；
解：设事件“该射手第次射击，击中目标”， ，2，3，
则 ，
所以 ，
事件“射手在3次射击中，至少有2次连续击中目标”可表示为
，
因为事件，， 互斥，
所以 ，
又事件，， 相互独立，
所以
.
例2 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为 ，且每
次射击的结果互不影响.
（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；
解：事件“射手第3次击中目标时，恰好射击了4次”等价于事件“前3
次中恰好击中2次目标且第四次击中目标”，又每次射击击中目标的
概率为 ，
所以前3次中恰有2次击中目标的概率为 ，第四次击中
目标的概率为 ，
所以事件“射手第3次击中目标时，恰好射击了4次”的概率
.
例2 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为 ，且每
次射击的结果互不影响.
（3）记随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求 的
分布列.
解：由已知得的可能取值为3，4，5， ，， ，
又 ， ，
, ,
, ，
所以随机变量 的分布列为
X 3 4 5 … …
P … …
练习册
1.下列叙述中随机变量 服从二项分布的是( )
A.某同学投篮的命中率为，他10次投篮中命中的次数为
B.某射手击中目标的概率为 ，从开始射击到击中目标所需的射击
次数为
C.从装有除颜色外完全相同的5个红球，5个白球的袋中，有放回地
摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数为
D.有一批产品共有件，其中 件为次品，采用不放回的抽取方法，
表示 次抽取中出现次品的件数
√
[解析] 根据二项分布的定义，可知A中服从二项分布 ，B，
C，D中 均不服从二项分布.故选A.
2.［2025·河南洛阳高二期中］已知随机变量 服从二项分布 ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为随机变量 服从二项分布 ，
所以 .故选D.
√
3.某射手每次射击击中目标的概率是 ，且各次射击的结果互不影
响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据题意，设 为射手在30次射击中击中目标的次数，
则 ，故该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为
.故选B.
√
4.袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小均相同的5个小球，从
袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个球的号码的
和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 从袋子中一次性摸出两个球，样本空间共包含 （个）
样本点，其中两个球的号码的和为偶数包含的样本点有， ，
，，，，， ，共4个，
所以一个人摸球，能够获奖的概率为 ，
所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率 .故选A.
5.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，
海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的运行有关系，这是一种自然现
象.根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率
均为 ，则该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 该地在该季节连续三天内有两天出现大潮的概率为
，有三天出现大潮的概率为 ，所以至
少有两天出现大潮的概率为 .故选A.
6.已知随机变量，，若 ，则
的值为___.
[解析] 随机变量，且 ，
，，
，
.
7.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方
猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙
猜对谜语的概率分别为和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影
响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为__；三
次活动中，甲至少获胜两次的概率为___.
[解析] 由题可知，一次活动中，甲获胜的概率为 ，
所以三次活动中,甲至少获胜两次的概率为 .
8.［2025·福建漳州三中高二期中］投掷两枚质地均匀的骰子一次，
若两枚骰子的点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验.现进行四
次试验，则恰出现一次成功试验的概率为___.
[解析] 投掷两枚质地均匀的骰子，样本空间共包含 （个）
样本点，两枚骰子的点数之和为4包含的样本点有，, ，
共3个，两枚骰子的点数之和为5包含的样本点有，, ，
，共4个，两枚骰子的点数之和为6包含的样本点有 ，
, ，， ，共5个，故在一次试验中，出现成功试验
的概率.
设出现成功试验的次数为，则 ，
所以进行四次试验，恰出现一次成功试验的概率为
.
9.（13分）［2025·江苏南京高二期中］甲、乙两人进行射击比赛，
每场比赛中甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环.已知甲击中
8环、9环、10环的概率分别为，， ，乙击中8环、9环、10
环的概率分别为，， ，且甲、乙两人射击结果相互独立.
（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
解：设“乙击中的环数少于甲击中的环数”为事件 ，
则事件 包括以下三种情况：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击
中8环，甲击中10环乙击中9环，
则 .
9.（13分）［2025·江苏南京高二期中］甲、乙两人进行射击比赛，
每场比赛中甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环.已知甲击中
8环、9环、10环的概率分别为，， ，乙击中8环、9环、10
环的概率分别为，， ，且甲、乙两人射击结果相互独立.
（2）若独立进行三场比赛，其中 场比赛中甲击中的环数多于乙击
中的环数，求 的分布列.
解：由题可知 的所有可能取值为0，1，2，3，
由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概
率为，则 ，
所以 ，
，
，
，
故 的分布列为
0 1 2 3
0.512 0.384 0.096 0.008
10.（13分）［2025·天津南开区高二期中］甲、乙两人进行象棋比赛，
约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为 ，
和棋的概率为 ，各局比赛结果相互独立.
（1）记为3局比赛中甲赢的局数，求 的分布列；
解：由题知甲每局赢的概率为，甲不赢的概率为 ，
则， 的可能取值为0，1，2，3，
所以 ，
，
，，
则 的分布列为
0 1 2 3
10.（13分）［2025·天津南开区高二期中］甲、乙两人进行象棋比赛，
约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为 ，
和棋的概率为 ，各局比赛结果相互独立.
（2）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
解：由题知乙每局赢的概率为，乙不赢的概率为 ，
所以乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率
.
10.（13分）［2025·天津南开区高二期中］甲、乙两人进行象棋比赛，
约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为 ，
和棋的概率为 ，各局比赛结果相互独立.
（3）求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率.
解：因为比赛6局结束，且甲赢得比赛，所以前5局甲只赢2局且其他
3局中至少和棋一局，第6局甲赢，
又每局甲赢的概率为，和棋的概率为，乙赢的概率为 ，
所以所求概率为 .
11.口袋里放有除颜色外均相同的3个红球和2个白球，有放回地每次
摸取1个球.定义数列如果 为数列
的前项和，那么 的概率是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意知，每次摸到白球的概率为 ，每次摸到红球的概率为
，表示摸9次球，其中6次摸到红球，3次摸到白球，则
的概率是 .故选A.
12.某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人
（数量足够大）中女性占比为 ，现从参加活动的老人中随机抽取14
人赠送礼品，若14人中有名女性的可能性最大，则 的值为( )
A.8 B.7或8 C.9 D.8或9
√
[解析] 现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送礼品，设抽到的女
性人数为，则，若抽到 名女性的可能性最大，则
即解得，又 ，所以
或9.故选D.
13.（多选题）［2025·安徽安庆高二期中］已知离散型随机变量 服
从二项分布，其中,，记为奇数的概率为 ，
为偶数的概率为 ，则下列说法中正确的是( )
A.
B.当时，
C.当时，随着 的增大而增大
D.当时，随着 的增大而减小
√
√
√
[解析] 对于A，由概率的基本性质可知， ，故A正确；
对于B，当时，离散型随机变量服从二项分布 ，则
，
所以当 为偶数时, ，
，
当 为奇数时，同理可得，，所以 ，故B正确；
对于C，D，结合二项式定理可知，
①, ,由
，得，当
时，，且随着的增大而增大，当 时，
为正负交替的摆动数列，故C正确，D不正确.
故选 .
14.甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛，采取五场三胜制
（当一队赢得三场比赛时，该队获胜，比赛结束），根据以往比赛
成绩可知，甲队每场比赛获胜的概率为 .比赛结果没有平局，且各场
比赛结果相互独立，则甲队获胜的概率为___.
[解析] 设事件 为“甲队最终获得胜利”，则有以下三种情况：
①比赛进行三场，甲队均获胜，其概率 ；
②比赛进行四场，甲队前三场恰好胜两场、输一场，第四场甲队胜，
其概率 ；
③比赛进行五场，第五场甲队胜，甲队前四场中恰好胜两场、输两场，
其概率.
则 .
15.［2025·江苏无锡期中］某学生进行投篮训练，采取积分制，有七
次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外
加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6
分.假设该学生每次投中的概率是 ，且每次是否投中相互独立，则该
学生在此次训练中恰好得7分的概率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意，该学生在此次训练中恰好得7分，可分为三类情况：
①连续投中四次，剩余三次不中，此时将连中的四次看作一个整体，
与其他不中的三次排序，共有 （种）排法，其概率为
；
②连续投中三次,剩余的四次中有两次投中,两次没投中,且两次投中不
连续,有:中中中(不中)中(不中)中，中(不中)中中中(不中)中,
中(不中)中（不中）中中中，共3种排法，
其概率为 ；
③有两回连续投中两次，剩余的三次中一次投中，两次不中，
有：中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，
中中（不中）中（不中）中中，共3种排法，
其概率为 .
综上，该学生在此次训练中恰好得7分的概率为 .
故选B.
16.（15分）［2025·江苏无锡高二期末］某学校有甲、乙两个餐厅，
经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐，第二天仍选择餐厅甲就餐的
概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为 ；前一天选择餐厅乙就
餐，第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为 ，第二天选择餐厅甲就餐的
概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是 ，选择餐厅乙就
餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为 ．
（1）记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量 的
分布列；
解：某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率 ,
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率 ,所以3位
同学第二天选择餐厅甲就餐的人数 .
由题可知， 的所有可能取值为0，1，2，3，
则，所以 的分布列为
0 1 2 3
16.（15分）［2025·江苏无锡高二期末］某学校有甲、乙两个餐厅，
经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐，第二天仍选择餐厅甲就餐的
概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为 ；前一天选择餐厅乙就
餐，第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为 ，第二天选择餐厅甲就餐的
概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是 ，选择餐厅乙就
餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为 ．
（2）学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲、乙两
个餐厅参加志愿服务，请求出 的通项公式，根据以上数据合理分
配甲、乙两个餐厅的志愿者人数，并说明理由．
解：依题意， ，
即 ，
则有 ，
因为 ，
所以数列是首项为，公比为 的等比数列，所以
.
当 时， ，
所以从各年级抽调的21人中，分配到餐厅甲的志愿者人数为
，分配到餐厅乙的志愿者人数为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
1.两个可能结果 2.（1）独立地重复 次 （2）次
相互独立 3. 【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）×
知识点二 【诊断分析】 （1）√ （2）√
课中探究 例1 B 变式 （1）是重伯努利试验（2）不是重伯努利试验
例2 （1）（2）（3）（4）
变式 （1）（2） 例3 （1）
（2）略
变式 （1） （2）略
快速核答案（练习册）
1.A 2.D 3.B 4.A 5.A 6.
7.
8.
9.（1）（2）略 10.（1）略（3）
11.A 12.D 13.ABC 14.
15.B
16.（1）略
（2）从各年级抽调的21人中，分配到餐厅甲的志愿者人数为<，分配到
餐厅乙的志愿者人数为<.8.2.3 二项分布
第1课时 二项分布
【课前预习】
知识点一
1.两个可能结果
2.(1)独立地重复 n次 (2)①n次 ②相互独立
3. pkqn-k k+1
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× [解析] (3)进行n重伯努利试验,每次试验中事件A发生的概率均相同.
知识点二
pkqn-k X~B(n,p)
诊断分析
(1)√ (2)√ [解析] 由二项分布的定义可知,(1)(2)中说法正确.
【课中探究】
探究点一
例1 B [解析] 对于A,因为试验的条件不同(硬币质地不同),所以不是n重伯努利试验.对于B,某人射击,击中目标的概率是稳定的,因此是n重伯努利试验.对于C,每次抽取,每种颜色的球出现的可能性不相等,因此不是n重伯努利试验.对于D,10道题难度不同,每道题做对的概率也不同,因此不是n重伯努利试验.故选B.
变式 解:(1)是n重伯努利试验,因为每次试验的条件相同,且每次试验的结果互不影响,同一事件发生的概率也相同,所以是n重伯努利试验.
(2)不是n重伯努利试验,因为每次试验的条件不同(每次取球后不放回,下次取球与上次取球时袋中球的数目不同),并且每次试验中同一事件发生的概率不同,所以不是n重伯努利试验.
探究点二
例2 解:(1)记“甲射击3次,至少有1次未击中目标”为事件A1,由题意,射击3次,相当于3重伯努利试验,
所以P(A1)=1-P()=1-=.
(2)记“甲射击2次,恰有2次击中目标”为事件A2,“乙射击2次,恰有1次击中目标”为事件B2,
则P(A2)=×=,
P(B2)=××=,
因为甲、乙射击相互独立,所以所求概率为P(A2B2)=×=.
(3)记“甲射击2次,均未击中目标”为事件A3,“乙射击2次,恰有2次击中目标”为事件B3,
则P(A3)=×=,
P(B3)=×=,
因为甲、乙射击相互独立,所以所求概率为P(A3B3)=×=.
(4)记“甲射击2次,恰有1次击中目标”为事件A4,“乙射击2次,恰有1次击中目标”为事件B4,
则P(A4)=××=,
P(B4)=P(B2)=××=,
因为甲、乙射击相互独立,所以所求概率为P(A4B4)=×=.
变式 解:(1)由题可知,每个人参加甲游戏的概率为,参加乙游戏的概率为,
设“4个人中恰有2个人去参加甲游戏”为事件A,
则P(A)=××=.
所以这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率为.
(2)设参加甲游戏的人数为X,则显然X~B.
所以P(X=4)==,
P(X=3)=××=,
所以4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为P(X=4)+P(X=3)=.
探究点三
例3 解:(1)设事件M表示“一个食品经过检测,A,B两类元素至少有一类元素含量指标达标”,则P(M)=1-P()=1-×=,
所以一个食品经过检测,A,B两类元素至少有一类元素含量指标达标的概率为.
(2)依题意可知A,B两类元素含量指标都达标的概率为×=,
ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,显然ξ~B,
因此P(ξ=0)==,
P(ξ=1)=××=,
P(ξ=2)=××=,
P(ξ=3)=××=,
P(ξ=4)==,
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
变式 解:(1)由表格中的数据可知,成绩在[60,100]内的人数为9+6+22+18=55,所以抽到对中医药文化了解程度高的市民的概率为=.
(2)根据表格可知,41岁~50岁年龄段的市民中,成绩在[0,60)内的人数为2+8+10=20,
成绩在[60,100]内的人数为22+18=40,
则随机抽取1人,这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率P==.
由题意可知X~B,X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=××=,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)=××=,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P8.2.3 二项分布
第1课时 二项分布
1.A [解析] 根据二项分布的定义,可知A中X服从二项分布B(10,0.6),B,C,D中X均不服从二项分布.故选A.
2.D [解析] 因为随机变量ξ服从二项分布B,所以P(ξ=2)=·×=.故选D.
3.B [解析] 根据题意,设X为射手在30次射击中击中目标的次数,则X~B(30,0.6),故该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为P(X=18)=×0.618×0.412.故选B.
4.A [解析] 从袋子中一次性摸出两个球,样本空间共包含=10(个)样本点,其中两个球的号码的和为偶数包含的样本点有{1,3},{1,5},{2,4},{3,5},共4个,所以一个人摸球,能够获奖的概率为=,所以4人参与摸球,恰好2人获奖的概率P=××=.故选A.
5.A [解析] 该地在该季节连续三天内有两天出现大潮的概率为××=,有三天出现大潮的概率为×=,所以至少有两天出现大潮的概率为+=.故选A.
6. [解析] ∵随机变量ξ~B(2,p),且P(ξ≥1)=,∴1-p0·(1-p)2=,∴p=,∴η~B,∴P(η≥2)=×+×+×=.
7. [解析] 由题可知,一次活动中,甲获胜的概率为×=,所以三次活动中,甲至少获胜两次的概率为+×=.
8. [解析] 投掷两枚质地均匀的骰子,样本空间共包含6×6=36(个)样本点,两枚骰子的点数之和为4包含的样本点有(1,3),(2,2),(3,1),共3个,两枚骰子的点数之和为5包含的样本点有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个,两枚骰子的点数之和为6包含的样本点有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个,故在一次试验中,出现成功试验的概率P==.设出现成功试验的次数为X,则X~B,所以进行四次试验,恰出现一次成功试验的概率为P(X=1)=××=.
9.解:(1)设“乙击中的环数少于甲击中的环数”为事件A,
则事件A包括以下三种情况:甲击中9环乙击中8环,甲击中10环乙击中8环,甲击中10环乙击中9环,
则P(A)=0.2×0.6+0.1×0.6+0.1×0.2=0.2.
(2)由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3,
由(1)可知,在一场比赛中,甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2,则X~B(3,0.2),
所以P(X=0)=×0.20×(1-0.2)3=0.512,
P(X=1)=×0.2×(1-0.2)2=0.384,
P(X=2)=×0.22×(1-0.2)=0.096,
P(X=3)=×0.23×(1-0.2)0=0.008,
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
10.解:(1)由题知甲每局赢的概率为,甲不赢的概率为,
则X~B,X的可能取值为0,1,2,3,
所以P(X=0)==,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)==,则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)由题知乙每局赢的概率为,乙不赢的概率为,
所以乙在4局以内(含4局)赢得比赛的概率P=+×××=.
(3)因为比赛6局结束,且甲赢得比赛,所以前5局甲只赢2局且其他3局中至少和棋一局,第6局甲赢,
又每局甲赢的概率为,和棋的概率为,乙赢的概率为,
所以所求概率为××=.
11.A [解析] 由题意知,每次摸到白球的概率为,每次摸到红球的概率为,S9=3表示摸9次球,其中6次摸到红球,3次摸到白球,则S9=3的概率是×.故选A.
12.D [解析] 现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送礼品,设抽到的女性人数为X,则X~B,若抽到k名女性的可能性最大,则
即解得8≤k≤9,又k∈N*,所以k=8或9.故选D.
13.ABC [解析] 对于A,由概率的基本性质可知,a+b=1,故A正确;对于B,当p=时,离散型随机变量X服从二项分布B,则P(X=k)=(k=0,1,2,3,…,n),所以当n为偶数时,a=(+++…+)=×2n-1=,b=(+++…+)=×2n-1=,当n为奇数时,同理可得a=,b=,所以a=b,故B正确;对于C,D,结合二项式定理可知,[(1-p)+p]n由(①-②)÷2,得a==,当0
0,且a随着n的增大而增大,当14. [解析] 设事件A为“甲队最终获得胜利”,则有以下三种情况:①比赛进行三场,甲队均获胜,其概率P1=××=;②比赛进行四场,甲队前三场恰好胜两场、输一场,第四场甲队胜,其概率P2=×××=;③比赛进行五场,第五场甲队胜,甲队前四场中恰好胜两场、输两场,其概率P3=×××=.则P(A)=P1+P2+P3=.
15.B [解析] 根据题意,该学生在此次训练中恰好得7分,可分为三类情况:①连续投中四次,剩余三次不中,此时将连中的四次看作一个整体,与其他不中的三次排序,共有=4(种)排法,其概率为4××=;②连续投中三次,剩余的四次中有两次投中,两次没投中,且两次投中不连续,有:中中中(不中)中(不中)中,中(不中)中中中(不中)中,中(不中)中(不中)中中中,共3种排法,其概率为3××=;③有两回连续投中两次,剩余的三次中一次投中,两次不中,有:中中(不中)中中(不中)中,中(不中)中中(不中)中中,中中(不中)中(不中)中中,共3种排法,其概率为3××=.综上,该学生在此次训练中恰好得7分的概率为++=.故选B.
16.解:(1)某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率PA=×+×=,
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率PB=×+×=,所以3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数X~B.
由题可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=k)=(k=0,1,2,3),所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)依题意,Pn+1=Pn×+(1-Pn)×,
即Pn+1=-Pn+(n∈N*),
则有Pn+1-=-(n∈N*),
因为P1-=-=,
所以数列是首项为,公比为-的等比数列,所以Pn=+×.
当n→+∞时,Pn→,
所以从各年级抽调的21人中,分配到餐厅甲的志愿者人数为21×=9,分配到餐厅乙的志愿者人数为21-9=12.8.2.3 二项分布
第1课时 二项分布
【学习目标】
1.理解n重伯努利试验模型.
2.理解二项分布.
3.能运用n重伯努利试验模型及二项分布解决一些简单的实际问题.
◆ 知识点一 n重伯努利试验
1.伯努利试验的概念
只包含 的试验叫作伯努利试验.
2.n重伯努利试验的定义及特征
(1)定义:将一个伯努利试验 进行 所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
(2)特征:①同一个伯努利试验重复做 .
②各次试验的结果 .
注意:在相同条件下,n重伯努利试验是有放回地抽样试验.
3.在n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次的概率
在n重伯努利试验中,每次试验事件A发生的概率均为p(0【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在伯努利试验中,关注的是事件A是否发生,而在n重伯努利试验中,关注的是事件A发生的次数. ( )
(2)n重伯努利试验中每次试验事件A只有发生与不发生两种结果. ( )
(3)进行n重伯努利试验,各次试验中事件A发生的概率可以不同. ( )
◆ 知识点二 二项分布
若随机变量X的分布列为P(X=k)= ,其中0X 0 1 2 … n
P p0qn pqn-1 p2qn-2 … pnq0
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一次试验中事件A发生的概率为p,X为n重伯努利试验中事件A发生的次数,则X~B(n,p). ( )
(2)如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n重伯努利试验中,这个事件恰好发生k次的概率P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n. ( )
◆ 探究点一 n重伯努利试验的概念与特征
例1 下列试验是n重伯努利试验的是 ( )
A.依次投掷四枚质地不同的硬币
B.某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次
C.口袋中装有5个白球,3个红球,2个黑球,依次从中抽取5个球
D.小明做10道难度不同的数学单选题
变式 判断下列试验是否为n重伯努利试验.
(1)袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球,每次从中任取1个球,记下颜色后放回,连续取球2次;
(2)袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球,每次从中任取1个球,不放回,连续取球2次.
[素养小结]
n重伯努利试验的判断依据
(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行.
(2)每次试验的结果相互独立,互不影响.
(3)每次试验都只有两种结果,即事件发生或事件不发生.
◆ 探究点二 n重伯努利试验概率的求法
例2 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是和,假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响.
(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;
(2)求两人各射击2次,甲恰有2次击中目标且乙恰有1次击中目标的概率;
(3)求两人各射击2次,甲未击中目标,乙恰有2次击中目标的概率;
(4)求两人各射击2次,甲、乙均恰有1次击中目标的概率.
变式 现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率.
[素养小结]
n重伯努利试验概率求解的关注点
(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
(2)n重伯努利试验概率求解的三个步骤
①判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为n重伯努利试验;
②分拆:判断所求事件是否需要分拆;
③计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.
◆ 探究点三 二项分布的应用
例3 [2025·江苏南京高二期末] 某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品,这种食品有A,B两类关键元素含量指标需要检测,设两类元素含量指标达标与否互不影响.A类元素指标达标的概率为,B类元素指标达标的概率为,质量检验规定:两类元素含量指标都达标的食品才为合格品.
(1)求一个食品经过检测,A,B两类元素至少有一类元素含量指标达标的概率;
(2)任意抽取该种食品4个,设ξ表示其中合格品的个数,求ξ的分布列.
变式 [2025·河北衡水高二期中] 中医药学是中国古代科学的瑰宝,也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度,某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷,得到各组人数的数据如下表所示:
年龄段 成绩
[0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
31岁~40岁 4 8 13 9 6
41岁~50岁 2 8 10 22 18
规定成绩在[0,60)内代表对中医药文化了解程度低,成绩在[60,100]内代表对中医药文化了解程度高.
(1)从这100位市民中随机抽取1人,求抽到对中医药文化了解程度高的市民的概率;
(2)将频率视为概率,现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人,记X为对中医药文化了解程度高的人数,求X的分布列.
[素养小结]
解决二项分布问题的两个关注点
(1)公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用,否则不能应用该公式.
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验独立重复地进行了n次.8.2.3 二项分布
第1课时 二项分布
1.下列叙述中随机变量X服从二项分布的是 ( )
A.某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数为X
B.某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数为X
C.从装有除颜色外完全相同的5个红球,5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,摸到白球时的摸球次数为X
D.有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回的抽取方法,X表示n次抽取中出现次品的件数
2.[2025·河南洛阳高二期中] 已知随机变量ξ服从二项分布B,则P(ξ=2)= ( )
A. B.
C. D.
3.某射手每次射击击中目标的概率是0.6,且各次射击的结果互不影响,则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为 ( )
A.0.618×0.412 B.0.618×0.412
C.0.418×0.612 D.0.618
4.袋中装有标号为1,2,3,4,5且质地、大小均相同的5个小球,从袋子中一次性摸出两个球,记下号码并放回,如果两个球的号码的和是偶数,则获奖.若有4人参与摸球,则恰好2人获奖的概率是 ( )
A. B.
C. D.
5.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的运行有关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为,则该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为 ( )
A. B.
C. D.
6.已知随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥2)的值为 .
7.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语,若一方猜对且另一方猜错,则猜对的一方获胜,否则本次平局.已知每次活动中,甲、乙猜对谜语的概率分别为和,且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响,各次活动也互不影响,则一次活动中,甲获胜的概率为 ;三次活动中,甲至少获胜两次的概率为 .
8.[2025·福建漳州三中高二期中] 投掷两枚质地均匀的骰子一次,若两枚骰子的点数之和为4或5或6,则称这是一次成功试验.现进行四次试验,则恰出现一次成功试验的概率为 .
9.(13分)[2025·江苏南京高二期中] 甲、乙两人进行射击比赛,每场比赛中甲、乙各射击一次,甲、乙每次至少射中8环.已知甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7,0.2,0.1,乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6,0.2,0.2,且甲、乙两人射击结果相互独立.
(1)在一场比赛中,求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率;
(2)若独立进行三场比赛,其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数,求X的分布列.
10.(13分)[2025·天津南开区高二期中] 甲、乙两人进行象棋比赛,约定谁先赢3局谁就直接获胜,并结束比赛.假设每局甲赢的概率为,和棋的概率为,各局比赛结果相互独立.
(1)记X为3局比赛中甲赢的局数,求X的分布列;
(2)求乙在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;
(3)求比赛6局结束,且甲赢得比赛的概率.
11.口袋里放有除颜色外均相同的3个红球和2个白球,有放回地每次摸取1个球.定义数列{an}:an=如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S9=3的概率是 ( )
A.× B.×
C.× D.
12.某社区在重阳节开展敬老活动,已知当天参加活动的老人(数量足够大)中女性占比为,现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送礼品,若14人中有k名女性的可能性最大,则k的值为 ( )
A.8 B.7或8
C.9 D.8或9
13.(多选题)[2025·安徽安庆高二期中] 已知离散型随机变量X服从二项分布B(n,p),其中n∈N*,0A.a+b=1
B.当p=时,a=b
C.当0D.当14.甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛,采取五场三胜制(当一队赢得三场比赛时,该队获胜,比赛结束),根据以往比赛成绩可知,甲队每场比赛获胜的概率为.比赛结果没有平局,且各场比赛结果相互独立,则甲队获胜的概率为 .
15.[2025·江苏无锡期中] 某学生进行投篮训练,采取积分制,有七次投篮机会,投中一次得1分,不中得0分,若连续投中两次则额外加1分,连续投中三次额外加2分,以此类推,连续投中七次额外加6分.假设该学生每次投中的概率是,且每次是否投中相互独立,则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是 ( )
A. B.
C. D.
16.(15分)[2025·江苏无锡高二期末] 某学校有甲、乙两个餐厅,经统计发现,前一天选择餐厅甲就餐,第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为,第二天选择餐厅乙就餐的概率为;前一天选择餐厅乙就餐,第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为,第二天选择餐厅甲就餐的概率为.若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是,选择餐厅乙就餐的概率是,记某同学第n天选择餐厅甲就餐的概率为Pn.
(1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X,求随机变量X的分布列;
(2)学校为缓解就餐压力,决定每天从各年级抽调21人到甲、乙两个餐厅参加志愿服务,请求出{Pn}的通项公式,根据以上数据合理分配甲、乙两个餐厅的志愿者人数,并说明理由.