(共74张PPT)
8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.3 二项分布
第2课时 二项分布的综合问题
探究点一 二项分布均值与方差公式的应用
探究点二 二项分布的实际应用
探究点三 二项分布中的概率最值
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握二项分布的均值与方差公式.
2.能运用二项分布解决一些简单的实际问题.
知识点 二项分布的均值与方差
一般地，当时，____，__________，
____________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两点分布是 时的二项分布.( )
√
（2）设随机变量，且，，则 ，
.( )
×
[解析] 因为，，所以 ，
所以 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则正面向上的次数的方
差等于 .( )
×
[解析] 正面向上的次数，则 .
探究点一 二项分布均值与方差公式的应用
例1（1）［2025·江西宜春高二期末］设随机变量 ，且
,，则 ____.
0.2
[解析] 由题意可得，可得 ，
解得 .
（2）［2025·上海浦东新区高二期中］一个盒子中有除颜色外完全
相同的 个红球和6个黄球，从盒中每次随机取出一个球，记下颜色
后放回，共取5次，设取到红球的个数为，若，则 的值
为____.
14
[解析] 由题意知，，则，解得 .
变式（1）［2025·江苏连云港高二期末］已知随机变量 ，
若，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为随机变量，所以 ，
，
由，解得 ，
则，所以 .故选B.
√
（2）［2025·上海长宁区高二期末］若随机变量 ，且
，则 ___.
[解析] 由，得 ，
而，所以 .
［素养小结］
求二项分布的均值与方差的方法
（1）判断随机变量
是否服从二项分布.
（2）若服从二项分布，则可直接确定参数
,
；若不服从二项分布，
则判断是否存在与之相关联的随机变量服从二项分布，然后再确定
两个参数，如果不存在相关联的随机变量服从二项分布，那么按一
般方法求均值与方差.
（3）利用二项分布的均值与方差公式求解.
探究点二 二项分布的实际应用
例2 ［2025·江苏无锡高二期末］在某次猜灯谜活动中，共有20道灯
谜，每道灯谜由甲、乙两名同学轮流一人一次独立竞猜，甲同学猜
对的概率为，乙同学猜对的概率为 ，假设猜对每道灯谜都是等可
能的.试求：
（1）任选1道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率；
解：设事件表示“甲猜对灯谜”，事件 表示“乙猜对灯谜”，则
， ，任选1道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为
.
例2 ［2025·江苏无锡高二期末］在某次猜灯谜活动中，共有20道灯
谜，每道灯谜由甲、乙两名同学轮流一人一次独立竞猜，甲同学猜
对的概率为，乙同学猜对的概率为 ，假设猜对每道灯谜都是等可
能的.试求：
（2）任选2道灯谜，恰好甲猜对了两次，乙猜对了一次的概率；
解：任选2道灯谜，恰好甲猜对了两次，乙猜对了一次的概率为
.
例2 ［2025·江苏无锡高二期末］在某次猜灯谜活动中，共有20道灯
谜，每道灯谜由甲、乙两名同学轮流一人一次独立竞猜，甲同学猜
对的概率为，乙同学猜对的概率为 ，假设猜对每道灯谜都是等可
能的.试求：
（3）记本次猜灯谜活动中，甲猜对的次数为，求 的数学期望.
解：由题可知，随机变量 ，
则的数学期望 ．
例3 某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前
200名的顾客，均可获得3次抽奖机会，每次中奖的概率均为 ，每次
中奖与否互不影响，中奖1次可获得50元奖金，中奖2次可获得100元
奖金，中奖3次可获得200元奖金.
（1）求顾客甲获得了100元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的
概率.
解：设顾客甲获得了100元奖金为事件 ，甲第一次抽奖就中奖为事
件 ，
则 ，
，
故 .
例3 某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前
200名的顾客，均可获得3次抽奖机会，每次中奖的概率均为 ，每次
中奖与否互不影响，中奖1次可获得50元奖金，中奖2次可获得100元
奖金，中奖3次可获得200元奖金.
（2）若该商场开业促销活动的经费为1.5万元，则该活动是否会超过
预算？请说明理由.
解：设购物金额前200名的一名顾客获得的奖金为元，则 的取值
可能为0，50，100，200，
则 ，
，
，
，
故 （元）.
因为 ，所以该活动不会超
过预算.
变式 ［2025·北京延庆区高二期中］已知某计算机网络的服务器有
三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.三台设
备各自能正常工作的概率都为 ，它们之间互不影响.设能正常工作
的设备台数为 .
（1）求 的分布列；
解：由题意得的可能取值为0，1，2，3，且 ，
则 ，
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
0.008 0.096 0.384 0.512
变式 ［2025·北京延庆区高二期中］已知某计算机网络的服务器有
三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.三台设
备各自能正常工作的概率都为 ，它们之间互不影响.设能正常工作
的设备台数为 .
（2）求和 ；
解：因为，所以 ，
.
变式 ［2025·北京延庆区高二期中］已知某计算机网络的服务器有
三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.三台设
备各自能正常工作的概率都为 ，它们之间互不影响.设能正常工作
的设备台数为 .
（3）求计算机网络不会断掉的概率.
解：要使得计算机网络不会断掉，则要求能正常工作的设备至少有
一台，即 ，
因此所求概率为
.
［素养小结］
解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化，然
后利用有关概率的知识去分析各事件可能性的大小，并列出分布列，
最后利用公式求出相应的均值与方差.
探究点三 二项分布中的概率最值
例4 某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，面试过程中，主考官
要求应聘者从面试备选题中随机抽取10道题，并独立完成所抽取的
10道题，每道题答对得10分，答错扣1分.面试时甲答对每道题的概率
均为 ，且每道题答对与否互不影响，则甲得____分的概率最大.
67
[解析] 设甲答对道面试题的概率为 ，则
，此时甲的得分为
.
由 ，且
，可得 ，
又，所以当时，最大，此时得分为 ，
所以甲得67分的概率最大.
变式 若，则取得最大值时， ___.
2
[解析] 因为 ，所以
，所以当时，，当时, ，故所求的 .
［素养小结］
在二项分布中随机变量
的可能取值为0，1，2，
，
，那么
取
何值时对应的概率最大呢 一般求解思路为：设
时，对应概率
最大，则应满足
然后通过求解该不等式
组，结合
的取值范围即可确定
的具体取值.
1.二项分布的分布列为
X 0 1 … …
P … …
则 ，
由 ，可得
，同理可得
， .
2.二项分布均值公式的直观解释：在一次试验中，试验成功的概率是
，则在重伯努利试验中，试验成功的平均次数为 .
3.服从二项分布的随机变量取何值时概率最大问题一般地，若随机变
量服从二项分布，即，其中 ，则有
，令
，得 ，故有：
①若，则取时 最大；
②若是不超过的正整数，则当取和
时 最大；
③若是不超过的非整数，由于 ，因而
（表示不超过的最大整数），则取 时
最大.
利用二项分布来解决实际问题的关键是在实际问题中建立二项分布
的模型，也就是看它是否是重伯努利试验，随机变量是否为在这
重伯努利试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从
二项分布，否则就不服从二项分布.
例 一台机器由于使用时间较长，生产的零
件有可能是次品.设该机器生产零件的尺寸
为，且规定尺寸 为正品，其
余的为次品.现从该机器生产的零件中随机
抽取100件进行质量分析，作出的频率分布直方图如图.
（1）试估计该机器生产的零件的平均尺寸（同一组数据用该组区间
的中间值代表）；
解：估计该机器生产的零件的平均尺寸为 .
例 一台机器由于使用时间较长，生产的零
件有可能是次品.设该机器生产零件的尺寸
为，且规定尺寸 为正品，其
余的为次品.现从该机器生产的零件中随机
（2）以频率估计概率，如果将每5件零件打包成一箱，且每生产一
件正品可获利30元，每生产一件次品亏损80元，随机取一箱零件，
求这箱零件利润的数学期望.
抽取100件进行质量分析，作出的频率分布直方图如图.
解：由题可知，次品的尺寸
，
故该机器生产的零件的次品率为
.
设一箱零件（5件）中的正品件数
为，由题可知，正品率为 ，
故，则 .
设生产一箱零件的利润为 元，
则 ，
则 （元），
所以这箱零件利润的数学期望为40元.
练习册
1.［2024·江苏扬州高二月考］设随机变量服从二项分布 ，则
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 随机变量服从二项分布 ，
.故选B.
√
2.［2024·江苏连云港新海高级中学高二期中］投掷一枚质地均匀的
骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，则在60次试验中成
功次数 的均值是( )
A.35 B.30 C.20 D.15
[解析] 由题意可知，，则 .故选C.
√
3.已知随机变量，，则 ( )
A. B. C. D.1
[解析] 由二项分布的性质知，， ，
.故选B.
√
4.小明参加某射击比赛，每次射击射中得1分，未射中扣1分，已知他
每次能射中的概率为，记小明射击两次的得分为，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：由题意可知，的可能取值为 ，0，2，因为
， ，
，
所以 ，所以
.故选B.
，
由题意可知，
，所以 .故选B.
5.已知随机变量，则当取得最大时， 的值为
( )
A.3 B.4 C.3或4 D.4或5
[解析] 方法一：依题意知，, ,
1,2, ,7，由
即解得或 .故选C.
√
方法二：依题意知，， ，
1，2，3， ，7，由二项式系数的对称性可知，当或
时，最大，即 最大.故选C.
6.（多选题）已知随机变量， ，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，因为，所以，解得 ，
故A正确；
对于B，因为 ，所以
，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选 .
7.［2025·江苏扬州高二期末］已知随机变量 ，若
，则 的最大值为__.
[解析] 因为随机变量，且 ，所以
，可得. ，
因为函数在区间 上单调递增，所以
，所以的最大值为 .
8.某种种子每粒发芽的概率都为 ，现播种了10 000粒该种子，对
于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则
的标准差为____.
60
[解析] 将没有发芽的种子数记为，则 ，
，
又 ，
， .
9.（13分）［2025·江苏南通海门中学高二期中］
如图，历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木
版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传
统木版年画.它起源于明代崇祯年间，距今已有
近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产.杨柳青年画制作特
别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、
分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木版年画大致相
同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同.一个优秀的作品除
了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求.已知某工艺画师
在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为,, ，只有
当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作.
（1）设事件 表示“该工艺画师制作一件优秀作品”，求事件 发生的
概率；
解：由题意得 .
（2）若该工艺画师进行3次制作，事件 表示“恰有一件优秀作品”，求
事件 发生的概率；
解：由题可知， .
（3）若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为，求 的分布列和
数学期望.
解：易知随机变量 的可能取值为0,1,2,3，
则 , ,
, ,
故随机变量 的分布列为
0 1 2 3
则 .
10.（13分）［2025·广东茂名高二期末］某校高二某班的元旦联欢会
设计了一项抽奖游戏，共准备了10张相同的卡片，其中6张卡片上印
有“奖”字.
（1）采取有放回的抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求抽到印有
“奖”字卡片的张数 的分布列、数学期望及方差；
解：由题意可知， ，
则 ，
，
，
，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
， .
10.（13分）［2025·广东茂名高二期末］某校高二某班的元旦联欢会
设计了一项抽奖游戏，共准备了10张相同的卡片，其中6张卡片上印
有“奖”字.
（2）采取不放回的抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求在第一次
抽到印有“奖”字的卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字的卡片
的概率.
解：记事件表示“第一次抽到印有‘奖’字的卡片”，事件 表示“第三
次抽到未印有‘奖’字的卡片”，
则， .
由条件概率公式可得 .
故在第一次抽到印有“奖”字的卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”
字的卡片的概率为 .
11.在3重伯努利试验中，事件 在每次试验中发生的概率相同，若事
件至少发生一次的概率为，则事件发生的次数 的数学期望和
方差分别为( )
A.和 B.和 C.和 D.和
√
[解析] 设事件在每次试验中发生的概率为， ，则
，
因为事件至少发生一次的概率为 ，
所以，解得，所以 ，
所以, .故选D.
12.［2025·江苏徐州一中月考］已知随机变量 ， 满足 ，
且 ，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为，所以 ，
，故A错误；
由 ，得 ，故
，故B错误；
，故C错误；
因为，所以， ，
所以 ，故D正确.
故选D.
13.（多选题）［2025·江苏镇江高二期末］若随机变量 ，
记为恰好发生 次的概率，则下
列说法正确的有( )
A. B.
C. D.当时， 取得最大值
√
√
√
[解析] 对于A， ，
故A正确；
对于B， ，
，则 ，故B正确；
对于C，易知 ，故C错误；
对于D，由二项式系数的性质可得最大，又，所以当
时， 取得最大值，故D正确.
故选 .
14.一次抛掷两枚质地均匀的骰子，若出现的点数和是3的倍数，则这
次抛掷得分为3，否则得分为.抛掷次，记累计得分为 ，若
，则 ____.
[解析] 一次抛掷两枚质地均匀的骰子的样本空间共包含
（个）样本点，其中出现的点数之和是3的倍数包含的样本点有12个，
所以抛掷一次，出现的点数之和是3的倍数的概率 .
记抛掷次出现的点数之和是3的倍数的次数为，则 ，则
，
由 ,得，解得 ，所以
，所以 .
15.（15分）［2024·江苏常熟金坛一中期末］已知甲口袋有除颜色外
均相同的 个红球和2个白球，乙口袋有
个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球
2次，每次摸出1个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次
摸出1个球.
解：小明从甲口袋有放回地摸出1个球，摸出白球的概率为 ，
从乙口袋有放回地摸出1个球，摸出白球的概率为 .
（i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；
设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件 ，则“小明4次摸
球中，摸出的都是红球”为事件 ，
因为 ，
所以 .
（1）当， 时，
（ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求 的数学期望.
解： 的所有可能取值为0,1,2,3,4,由得 ，
，
，
，
，
所以 .
15.（15分）［2024·江苏常熟金坛一中期末］已知甲口袋有除颜色外
均相同的 个红球和2个白球，乙口袋有
个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球
2次，每次摸出1个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次
摸出1个球.
（2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为 ，
则当为何值时， 最大？
解：因为 ，所以该试验可视为小明从甲口袋中有放回地摸出1
个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验.
设小明每次摸出1个红球的概率为，则 ，
设函数 .
因为 ，
所以当时，，当时， ，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
所以当时， 取得最大值，
此时，解得 .
故当时， 最大.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点
【诊断分析】(1)√ (2)×（3）×
课中探究 例1 （1）0.2 （2）14 变式 （1）B （2）
例2 （1）（2） （3）
例3 （1）（2）该活动不会超过预算
变式 （1）略（2）
，
（3）
例4 67 变式 2
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.ACD 7.
8.60
9.（1）（2） （3）
的分布列略,
10.（1）
的分布列略，
，
（2）
11.D 12.D 13.ABD 14.
15.（1）（i）（ii）
（2）当
时，
最大第2课时 二项分布的综合问题
【课前预习】
知识点
np np(1-p)
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× [解析] (2)因为E(X)=np=3,p=,所以n=21,所以D(X)=np(1-p)=21××=.
(3)正面向上的次数X~B,则D(X)=5××=.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)0.2 (2)14 [解析] (1)由题意可得,可得1-p==0.8,解得p=0.2.
(2)由题意知,X~B,则E(X)==,解得m=14.
变式 (1)B (2) [解析] (1)因为随机变量X~B(n,p),所以E(X)=np=,D(X)=np(1-p)=,由==1-p=,解得p=,则n=4,所以P(X=1)=××=.故选B.
(2)由X~B,得D(X)=10××=,而Y=3X+1,所以D(Y)=9D(X)=.
探究点二
例2 解:(1)设事件A表示“甲猜对灯谜”,事件B表示“乙猜对灯谜”,则P(A)=,P(B)=,
任选1道灯谜,甲、乙都没有猜对的概率为P( )=P()P()=×=.
(2)任选2道灯谜,恰好甲猜对了两次,乙猜对了一次的概率为×·×=.
(3)由题可知,随机变量X~B,
则X的数学期望E(X)=20×=12.
例3 解:(1)设顾客甲获得了100元奖金为事件A,甲第一次抽奖就中奖为事件B,
则P(AB)=×××=,
P(A)=××=,
故P(B|A)===.
(2)设购物金额前200名的一名顾客获得的奖金为X元,则X的取值可能为0,50,100,200,
则P(X=0)==,
P(X=50)=××=,
P(X=100)=××=,
P(X=200)=×=,
故E(X)=0×+50×+100×+200×=(元).
因为200E(X)=200×=<15 000,所以该活动不会超过预算.
变式 解:(1)由题意得X的可能取值为0,1,2,3,且X~B(3,0.8),
则P(X=0)=×0.80×(1-0.8)3=0.008,
P(X=1)=×0.81×(1-0.8)2=0.096,
P(X=2)=×0.82×(1-0.8)1=0.384,
P(X=3)=×0.83×(1-0.8)0=0.512,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
(2)因为X~B(3,0.8),所以E(X)=3×0.8=2.4,D(X)=3×0.8×(1-0.8)=0.48.
(3)要使得计算机网络不会断掉,则要求能正常工作的设备至少有一台,即X≥1,
因此所求概率为P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-0.008=0.992.
探究点三
例4 67 [解析] 设甲答对x(x=0,1,…,10)道面试题的概率为Px,则Px=··=··,此时甲的得分为10x-(10-x)=11x-10.由··≥··,且··≥··,可得≤x≤,又x∈N,所以当x=7时,Px最大,此时得分为11×7-10=67,所以甲得67分的概率最大.
变式 2 [解析] 因为P(X=k)=··,所以==·==1+(k=0,1,2,…,9),所以当k≤1时,>1,当k≥2时,<1,
故所求的k=2.第2课时 二项分布的综合问题
1.[2024·江苏扬州高二月考] 设随机变量X服从二项分布B,则D(X)= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.[2024·江苏连云港新海高级中学高二期中] 投掷一枚质地均匀的骰子,当出现5点或6点时,就说这次试验成功,则在60次试验中成功次数X的均值是 ( )
A.35 B.30 C.20 D.15
3.已知随机变量X~B(4,p),E(X)=3,则D(X)= ( )
A. B. C. D.1
4.小明参加某射击比赛,每次射击射中得1分,未射中扣1分,已知他每次能射中的概率为,记小明射击两次的得分为X,则D(X)= ( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量ξ~B,则当P(ξ=k)取得最大时,k的值为 ( )
A.3 B.4
C.3或4 D.4或5
6.(多选题)已知随机变量X~B(4,p),E(X)=2,则 ( )
A.p=
B.P=
C.D(X)=1
D.E(4X+3)=11
7.[2025·江苏扬州高二期末] 已知随机变量X~B(12,p),若E(X)≤4,则D(X)的最大值为 .
8.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了10 000粒该种子,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的标准差为 .
9.(13分)[2025·江苏南通海门中学高二期中] 如图,历史悠久的杨柳青年画,全称“杨柳青木版年画”,属木版印绘制品,是我国著名民间传统木版年画.它起源于明代崇祯年间,距今已有近400年的历史,是首批国家级非物质文化遗产.杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺,制作程序大致是:创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱,前期工序与其他木版年画大致相同,而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同.一个优秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技术要求.已知某工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为,,,只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作.
(1)设事件A表示“该工艺画师制作一件优秀作品”,求事件A发生的概率;
(2)若该工艺画师进行3次制作,事件B表示“恰有一件优秀作品”,求事件B发生的概率;
(3)若该工艺画师制作3次,其中优秀作品数为X,求X的分布列和数学期望.
10.(13分)[2025·广东茂名高二期末] 某校高二某班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏,共准备了10张相同的卡片,其中6张卡片上印有“奖”字.
(1)采取有放回的抽样方式,从中依次抽取3张卡片,求抽到印有“奖”字卡片的张数X的分布列、数学期望及方差;
(2)采取不放回的抽样方式,从中依次抽取3张卡片,求在第一次抽到印有“奖”字的卡片的条件下,第三次抽到未印有“奖”字的卡片的概率.
11.在3重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A发生的次数X的数学期望和方差分别为 ( )
A.和 B.和
C.和 D.和
12.[2025·江苏徐州一中月考] 已知随机变量ξ,η满足2ξ+η=4,且ξ~B,则下列说法正确的是 ( )
A.P(ξ=2)=P(ξ=4)
B.E(η)=1
C.D(η)=
D.E(ξ2)=
13.(多选题)[2025·江苏镇江高二期末] 若随机变量X~B,记f(k)=P(X=k)(k∈{0,1,2,…,10})为恰好发生k次的概率,则下列说法正确的有 ( )
A.P(X>0.5)=
B.f(k)=f(10-k)
C.[i·f(i)]=
D.当k=5时,f(k)取得最大值
14.一次抛掷两枚质地均匀的骰子,若出现的点数和是3的倍数,则这次抛掷得分为3,否则得分为-1.抛掷n次,记累计得分为ξ,若E(ξ)=10,则D(ξ)= .
15.(15分)[2024·江苏常熟金坛一中期末] 已知甲口袋有除颜色外均相同的m(m≥1,m∈N*)个红球和2个白球,乙口袋有n(n≥1,n∈N*)个红球和2个白球,小明从甲口袋有放回地连续摸球2次,每次摸出1个球,然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次,每次摸出1个球.
(1)当m=4,n=2时,
(i)求小明4次摸球中,至少摸出1个白球的概率;
(ii)设小明4次摸球中,摸出白球的个数为X,求X的数学期望.
(2)当m=n时,设小明4次摸球中,恰有3次摸出红球的概率为P,则当m为何值时,P最大 第2课时 二项分布的综合问题
1.B [解析] ∵随机变量X服从二项分布B,∴D(X)=9××=2.故选B.
2.C [解析] 由题意可知,X~B,则E(X)=60×=20.故选C.
3.B [解析] 由二项分布的性质知,E(X)=4p=3,∴p=,∴D(X)=4p(1-p)=4××=.故选B.
4.B [解析] 方法一:由题意可知,X的可能取值为-2,0,2,因为P(X=2)=×=,P(X=-2)=×=,P(X=0)=××=,所以E(X)=×2+(-2)×+×0=,所以D(X)=×+×+×=.故选B.
方法二:记小明射击两次,射中的次数为Y,则Y~B,所以D(Y)=2××=,由题意可知,X=Y-(2-Y)=2Y-2,所以D(X)=4D(Y)=.故选B.
5.C [解析] 方法一:依题意知,P(ξ=k)==,k=0,1,2,…,7,由
即解得k=3或k=4.故选C.
方法二:依题意知,P(ξ=k)==,k=0,1,2,3,…,7,由二项式系数的对称性可知,当k=3或k=4时,最大,即P(ξ=k)最大.故选C.
6.ACD [解析] 对于A,因为X~B(4,p),所以E(X)=4p=2,解得p=,故A正确;对于B,因为X~B,所以P=P(X=2)+P(X=3)=×+×=,故B错误;对于C,D(X)=4××=1,故C正确;对于D,E(4X+3)=4E(X)+3=11,故D正确.故选ACD.
7. [解析] 因为随机变量X~B(12,p),且E(X)≤4,所以E(X)=12p≤4,可得0
8.60 [解析] 将没有发芽的种子数记为Y,则Y~B(10 000,0.1),∴D(Y)=10 000×0.1×0.9=900,又X=2Y,∴D(X)=4D(Y)=3600,∴=60.
9.解:(1)由题意得P(A)=××=.
(2)由题可知,P(B)=××=.
(3)易知随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)==,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)==,
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则E(X)=0×+1×+2×+3×=.
10.解:(1)由题意可知,X~B,
则P(X=0)==,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)==,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=3×=,D(X)=3××=.
(2)记事件A表示“第一次抽到印有‘奖’字的卡片”,事件B表示“第三次抽到未印有‘奖’字的卡片”,
则P(A)==,P(AB)==.
由条件概率公式可得P(B|A)==×=.
故在第一次抽到印有“奖”字的卡片的条件下,第三次抽到未印有“奖”字的卡片的概率为.
11.D [解析] 设事件A在每次试验中发生的概率为p,p∈(0,1),则X~B(3,p),因为事件A至少发生一次的概率为,所以1-(1-p)3=,解得p=,所以X~B,所以E(X)=3×=,D(X)=3××=.故选D.
12.D [解析] 因为ξ~B,所以P(ξ=2)=××=,P(ξ=4)=××=,故A错误;由2ξ+η=4,得η=4-2ξ,故E(η)=E(4-2ξ)=4-2E(ξ)=4-2×6×=0,故B错误;D(η)=D(4-2ξ)=4D(ξ)=4×6××=,故C错误;因为ξ~B,所以E(ξ)=6×=2,D(ξ)=6××=,所以E(ξ2)=[E(ξ)]2+D(ξ)=4+=,故D正确.故选D.
13.ABD [解析] 对于A,P(X>0.5)=1-P(X=0)=1-=,故A正确;对于B,f(k)=P(X=k)=,f(10-k)=P(X=10-k)==,则f(k)=f(10-k),故B正确;对于D,由二项式系数的性质可得最大,又=1-,所以当k=5时,f(k)取得最大值,故D正确.故选ABD.
14. [解析] 一次抛掷两枚质地均匀的骰子的样本空间共包含6×6=36(个)样本点,其中出现的点数之和是3的倍数包含的样本点有12个,所以抛掷一次,出现的点数之和是3的倍数的概率P==.记抛掷n次出现的点数之和是3的倍数的次数为X,则X~B,则ξ=3X-(n-X)=4X-n,由E(X)=,得E(ξ)=4E(X)-n==10,解得n=30,所以D(X)=30××=,所以D(ξ)=42D(X)=16×=.
15.解:(1)小明从甲口袋有放回地摸出1个球,摸出白球的概率为=,从乙口袋有放回地摸出1个球,摸出白球的概率为=.
(i)设“小明4次摸球中,至少摸出1个白球”为事件A,则“小明4次摸球中,摸出的都是红球”为事件,
因为P()=×=,
所以P(A)=1-P()=1-=.
(ii)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
由(i)得P(X=0)=P()=,
P(X=1)=×××+×××=,
P(X=2)=×+×+×××××=,
P(X=3)=×××+×××=,
P(X=4)=×=,
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.
(2)因为m=n,所以该试验可视为小明从甲口袋中有放回地摸出1个球,连续摸4次,相当于4次独立重复试验.
设小明每次摸出1个红球的概率为k(0因为P'(k)=-16k2,
所以当00,当所以P(k)在上单调递增,在上单调递减,
所以当k=时,P(k)取得最大值,
此时k==,解得m=6.
故当m=6时,P最大.第2课时 二项分布的综合问题
【学习目标】
1.掌握二项分布的均值与方差公式.
2.能运用二项分布解决一些简单的实际问题.
◆ 知识点 二项分布的均值与方差
一般地,当X~B(n,p)时,E(X)= ,D(X)= ,σ= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两点分布是n=1时的二项分布. ( )
(2)设随机变量X~B(n,p),且E(X)=3,p=,则n=21,D(X)=. ( )
(3)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次,则正面向上的次数的方差等于. ( )
◆ 探究点一 二项分布均值与方差公式的应用
例1 (1)[2025·江西宜春高二期末] 设随机变量X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则p= .
(2)[2025·上海浦东新区高二期中] 一个盒子中有除颜色外完全相同的m个红球和6个黄球,从盒中每次随机取出一个球,记下颜色后放回,共取5次,设取到红球的个数为X,若E(X)=,则m的值为 .
变式 (1)[2025·江苏连云港高二期末] 已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=,D(X)=,则P(X=1)= ( )
A. B. C. D.
(2)[2025·上海长宁区高二期末] 若随机变量X~B,且Y=3X+1,则D(Y)= .
[素养小结]
求二项分布的均值与方差的方法
(1)判断随机变量X是否服从二项分布.
(2)若服从二项分布,则可直接确定参数n,p;若不服从二项分布,则判断是否存在与之相关联的随机变量服从二项分布,然后再确定两个参数,如果不存在相关联的随机变量服从二项分布,那么按一般方法求均值与方差.
(3)利用二项分布的均值与方差公式求解.
◆ 探究点二 二项分布的实际应用
例2 [2025·江苏无锡高二期末] 在某次猜灯谜活动中,共有20道灯谜,每道灯谜由甲、乙两名同学轮流一人一次独立竞猜,甲同学猜对的概率为,乙同学猜对的概率为,假设猜对每道灯谜都是等可能的.试求:
(1)任选1道灯谜,甲、乙都没有猜对的概率;
(2)任选2道灯谜,恰好甲猜对了两次,乙猜对了一次的概率;
(3)记本次猜灯谜活动中,甲猜对的次数为X,求X的数学期望.
例3 某商场在开业当天进行有奖促销活动,规定该商场购物金额前200名的顾客,均可获得3次抽奖机会,每次中奖的概率均为,每次中奖与否互不影响,中奖1次可获得50元奖金,中奖2次可获得100元奖金,中奖3次可获得200元奖金.
(1)求顾客甲获得了100元奖金的条件下,甲第一次抽奖就中奖的概率.
(2)若该商场开业促销活动的经费为1.5万元,则该活动是否会超过预算 请说明理由.
变式 [2025·北京延庆区高二期中] 已知某计算机网络的服务器有三台设备,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.三台设备各自能正常工作的概率都为0.8,它们之间互不影响.设能正常工作的设备台数为X.
(1)求X的分布列;
(2)求E(X)和D(X);
(3)求计算机网络不会断掉的概率.
[素养小结]
解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的均值与方差.
◆ 探究点三 二项分布中的概率最值
例4 某中学招聘教师分笔试和面试两个环节,面试过程中,主考官要求应聘者从面试备选题中随机抽取10道题,并独立完成所抽取的10道题,每道题答对得10分,答错扣1分.面试时甲答对每道题的概率均为,且每道题答对与否互不影响,则甲得 分的概率最大.
变式 若X~B,则P(X=k)取得最大值时,k= .
[素养小结]
在二项分布中随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n,那么X取何值时对应的概率最大呢 一般求解思路为:设X=k时,对应概率最大,则应满足然后通过求解该不等式组,结合k的取值范围即可确定k的具体取值.