(共77张PPT)
8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.4 超几何分布
第1课时 超几何分布
探究点一 超几何分布的判断
探究点二 计算超几何分布的概率
探究点三 超几何分布的分布列
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.通过具体实例，了解超几何分布.
2.能应用超几何分布的概率公式计算事件发生的概率.
3.能运用超几何分布解决一些简单的实际问题.
知识点 超几何分布
（1）一般地，若一个随机变量的分布列为 _ ________，
其中，,，，，，，， ，
，，,，，则称 服从超几何分布，
记为________________，并将_ _______记为
；，， .
注意：（1）在超几何分布的模型中，“任取 件”应理解为“不放回地
一次取一件，连续取 件”.
（2）超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实
质是古典概型.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）超几何分布就是一种概率分布模型.( )
√
（2）超几何分布的总体里只有两类物品.( )
√
（3）一个袋子里装有除颜色外完全相同的4个白球，5个黑球和6个
黄球，从中任取4个球，则取出的黑球个数 服从超几何分布.( )
√
探究点一 超几何分布的判断
例1（1）［2025·江西抚州一中高二期中］下列随机事件中的随机变
量 服从超几何分布的是( )
A.将一枚质地均匀的硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B.某射手的射击命中率为，现对目标射击1次，记命中的次数为
C.从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数
为
D.盒中有除颜色外完全相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个
球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
√
[解析] 对于A，将一枚质地均匀的硬币连抛3次，记正面向上的次数
为，则 服从二项分布，A不满足题意；
对于B，某射手的射击命中率为，现对目标射击1次，记命中的次数
为，则 服从两点分布，B不满足题意；
对于C，从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的
人数为，则 服从超几何分布，C满足题意；
对于D，盒中有除颜色外完全相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出
1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为，则 不服从
超几何分布，D不满足题意.
故选C.
（2）［2025·江苏南通一中高二月考］在15个村庄中，有7个村庄交
通不方便，若用随机变量 表示任选的10个村庄中交通不方便的村庄
的个数，则 服从超几何分布，其参数为( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
[解析] 根据超几何分布的定义得，， ，故选A.
√
变式（1）下列随机变量 服从超几何分布的是( )
A.表示 次重复抛掷1枚质地均匀的骰子出现的点数是3的倍数的次数
B. 表示连续抛掷2枚质地均匀的骰子，所得的2个骰子的点数之和
C.有一批产品共有件，其中次品有件 ，采用有放回
地抽取方法抽取次，抽出的次品件数为
D.有一批产品共有件，其中次品有件 ，采用不放回
地抽取方法抽取件，出现次品的件数为
√
[解析] 对于A，易知 ，故A错误；
对于B，总体不是由两类明确的对象组成的,不符合超几何分布的定义，
故B错误；
对于C，易知 ，故C错误；
对于D，总体由正品和次品两类对象组成，抽取方式为不放回抽取，
随机变量为其中一类个体的个数，符合超几何分布的定义，故D正确.
故选D.
（2）判断下列随机变量 是否服从超几何分布 并说明理由.
①抛掷三枚质地均匀的骰子,所得向上的点数是6的骰子的个数记为 ；
②有一批种子的发芽率为 ，任取10颗种子做发芽试验，把试验
中发芽的种子的颗数记为 ；
③盒子中有除颜色外完全相同的3个红球，4个黄球，5个蓝球，从中
任取3个球，把不是红球的个数记为 ；
④某班级有男生25人，女生20人，随机选派4名学生参加学校组织的
活动，选派的4人中女生的人数记为 ；
⑤现有100台播放器未经检测，随机抽取10台送检，把检测结果为不
合格的播放器的个数记为 .
解：①②中样本没有分类，易知 均服从二项分布，均不服从超几何
分布.
③④均符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量 表示抽
取的个样本中某类样本被抽到的个数，故③④中 均服从超几何分布.
⑤中没有给出不合格的播放器的数量，无法求的分布列，所以 不
服从超几何分布.
［素养小结］
判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点.
（1）总体是否可分为两类明确的对象.
（2）是否为不放回抽样.
（3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
探究点二 计算超几何分布的概率
例2（1）［2025·深圳高二期末］在10件产品中有2件次品，现从这
10件产品中任取3件，用表示取得次品的件数，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，，故 .故选B.
√
（2）［2025·广东东莞高二期中］一个盒子里装有大小、材质均相
同的10个黑球，12个红球和3个白球，从中任取3个球，其中白球的
个数记为，则等于 的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题可知，取出的3个球中没有白球的概率为 ，取出的3个
球中有一个白球的概率为，所以 .故选C.
√
变式（1）［2024·陕西宝鸡高二期末］某企业生产的8个产品中有5
个一等品、3个二等品，现从这些产品中任意抽取4个，则恰好抽到1
个二等品的概率为__.
[解析] 设抽取的产品中二等品的个数为，则 ，
所以 .
（2）［2025·广东佛山高二月考］某校高二年级某班的数学课外活
动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛，则至少
有2名男生参加数学竞赛的概率为___.
[解析] 设表示选出的4人中的男生人数，则随机变量 服从超几何
分布，且，， ，
所以 ，
， ，
， .
方法一（直接法）:
.
方法二（间接法） .
［素养小结］
超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接
运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前
提下运用此公式.
探究点三 超几何分布的分布列
例3 ［2025·江苏南通期中］某班设计了一个小游戏：在一个不透明箱
中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位
学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有 个
红球，则分得 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
（1）求一位学生既分得月饼又要表演节目的概率；
解：记“一位学生既分得月饼又要表演节目”为事件 ，
则事件 发生包含两种可能：“摸出2个红球1个黄球”和“摸出1个黑球，
1个红球，1个黄球”，
所以 .
例3 ［2025·江苏南通期中］某班设计了一个小游戏：在一个不透明箱
中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位
学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有 个
红球，则分得 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
（2）求每位学生分得的月饼数 的分布列.
解：由题意可知 的可能取值为0，1，2，3，
则, ，
, ，
可得 的分布列为
0 1 2 3
变式 ［2025·江苏南京期中］某校团委决定举办知识竞赛活动，竞
赛共有和两类试题，每类试题各10道，其中每答对1道 类试题得
10分；每答对1道 类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同
学都要从这两类试题中共抽取3道题回答（每道题抽取后不放回）.已
知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对每道 类试题的概率
均为 .
（1）若该同学只抽取3道类试题作答，设 表示该同学答这3道试
题的总得分，求 的分布列；
解：由题可知， 的可能取值为0，10，20，30，
则 ，
，
，
，
所以 的分布列为
0 10 20 30
变式 ［2025·江苏南京期中］某校团委决定举办知识竞赛活动，竞
赛共有和两类试题，每类试题各10道，其中每答对1道 类试题得
10分；每答对1道 类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同
学都要从这两类试题中共抽取3道题回答（每道题抽取后不放回）.已
知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对每道 类试题的概率
均为 .
（2）若该同学在 类试题中只抽取1道题作答，求他在这次竞赛中仅
答对1道题的概率.
解：记“该同学仅答对1道题”为事件 ，
则 ，
所以这次竞赛中该同学仅答对1道题的概率为 .
［素养小结］
求超几何分布的分布列的一般步骤：
（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数
，
，
的值；
（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时
的概率；
（3）用表格的形式列出分布列.
对超几何分布的理解
（1）超几何分布的模型是不放回抽样.
（2）超几何分布中的参数是，， .
（3）超几何分布可解决抽取的样本中，某种样品件数为 时的概率
问题，其总体往往由差异明显的两部分组成.
1.超几何分布的应用举例
例1 一个袋中装有6个质地、大小完全相同的小球，每个小球标有数
字1，2，3中的一个，其中编号为3的小球有1个，已知从中一次性随
机抽取2个小球，至少抽到1个编号为1的小球的概率为 .
（1）求编号为1的小球个数；
解：设编号为1的小球个数为， ，
因为至少抽到1个编号为1的小球的概率为 ，
所以，解得或 （舍去），
所以编号为1的小球个数为3.
例1 一个袋中装有6个质地、大小完全相同的小球，每个小球标有数
字1，2，3中的一个，其中编号为3的小球有1个，已知从中一次性随
机抽取2个小球，至少抽到1个编号为1的小球的概率为 .
（2）若有放回地抽取3次，每次随机抽取3个小球，求恰有2次抽到
编号为3的小球的概率；
解：一次从袋中随机抽取3个小球，抽到编号为3的小球的概率为
，所以有放回地抽取3次，每次随机抽取3个小球，恰有2次抽
到编号为3的小球的概率为 .
例1 一个袋中装有6个质地、大小完全相同的小球，每个小球标有数
字1，2，3中的一个，其中编号为3的小球有1个，已知从中一次性随
机抽取2个小球，至少抽到1个编号为1的小球的概率为 .
（3）从袋中随机抽取3个小球，记球的最大编号为，求随机变量
的分布列.
解：随机变量 的所有可能取值为1，2，3，
，， ，
所以随机变量 的分布列为
X 1 2 3
P
2.超几何分布与统计
例2 ［2024·浙江绍兴期末］临近新年，某水果店购入，， 三种
水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱
进行质量检查.
（1）应从，， 三种水果中分别抽多少箱
解：由题意知,, ，
所以应从，， 三种水果中分别抽4，3，2箱.
例2 ［2024·浙江绍兴期末］临近新年，某水果店购入，， 三种
水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱
进行质量检查.
（2）若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9
箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.
①用表示抽取的4箱水果中质量一般的水果的箱数，求随机变量
的分布列；
解： 由题意可知， 的可能取值为0，1，2，3，4，则
， ，
， ，
，
所以随机变量 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
例2 ［2024·浙江绍兴期末］临近新年，某水果店购入，， 三种
水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱
进行质量检查.
（2）若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9
箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.
②设事件 为“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的水果，也有质量一
般的水果”，求事件 发生的概率.
解： 由题意可知，事件 为“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的
水果，或都是质量一般的水果”，
所以
.
练习册
1.下列随机变量 中，不服从超几何分布的是( )
A.在含有4件次品的15件产品中，任取3件，其中正品数和次品数的
差为
B.在除颜色外完全相同的6个黑球和3个白球中，任取4个球，其中黑
球的个数为
C.在20个乒乓球中，有12个正品和8个次品，从中任取4个，其中次
品的个数为
D.从24名男生和16名女生中，任选10名学生，其中女生的人数为
√
[解析] 选项A中，总体分为明确的两类，但随机变量 不是抽取的样
本中一类元素的个数，所以 不服从超几何分布；
选项B，C，D中，总体分为明确的两类，且随机变量 都是抽取的样
本中一类元素的个数，所以B，C，D中随机变量 都服从超几何分布，
故选A.
2.盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜
色外完全相同，若用随机变量表示任选4个球中红球的个数，则
服从超几何分布，其参数为( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
[解析] 根据超几何分布的定义可知，，， .故选B.
√
3.［2025·湖北武汉高二期末］从含有3件正品，2件次品的产品中随
机抽取2件产品，则抽取出的2件产品中恰有1件次品的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 从含有3件正品，2件次品的产品中随机抽取2件产品，
则抽取出的2件产品中恰有1件次品的概率为 .故选A.
√
4.［2025·山东聊城一中月考］我国古代有着辉煌的数学研究成果.
《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》…《缉古算
经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学
的重要文献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从
这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2
部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著”为事件
，所以，因此 .故选B.
5.［2025·江苏淮安高二期中］《易·系辞上》有“河
出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴
阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、
七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如
图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取
3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳
数，2，4，6，8，10为阴数，取出的3个数中有0个
阴数的概率为 ；
取出的3个数中有1个阴数的概率为 .
故取出的3个数中至多有1个阴数的概率 .故选A.
6.［2025·辽宁沈阳高二期中］盒中有10个灯泡，其中有3个是坏的，
现从盒中随机抽取4个灯泡，那么概率是 的事件为( )
A.恰有1个灯泡是坏的 B.4个灯泡全是好的
C.恰有2个灯泡是坏的 D.至多有2个灯泡是坏的
√
[解析] 盒中有10个灯泡,其中有3个是坏的,现从盒中随机抽取4个灯泡.
对于A，恰好有1个灯泡是坏的，其概率为 ，故A不符合题意；
对于B，4个灯泡全是好的，其概率为 ，故B不符合题意；
对于C，恰好有2个灯泡是坏的，其概率为 ，故C符合题意；
对于D，至多有2个灯泡是坏的，其概率为 ，
故D不符合题意.
故选C.
7.设随机变量，则 ___.
[解析] 因为，所以 .
8.［2025·辽宁高二期末］某班要从3名男同学和5名女同学中随机选
出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为 ，则
__.
[解析] .
9.（13分）［2025·吉林通化高二期末］为推动网球运动的发展，某
网球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员4
名，其中种子选手有2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手有3名.
从这9名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）设事件 为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手
来自同一个协会”，求事件 发生的概率；
解：由题意得， .
9.（13分）［2025·吉林通化高二期末］为推动网球运动的发展，某
网球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员4
名，其中种子选手有2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手有3名.
从这9名运动员中随机选择4人参加比赛.
（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 的分布列.
解：由题意可知，9人中，种子选手共有5人，非种子选手共有4人，
则 的可能取值为0，1，2，3，4，
则， ，
， ，
，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
10.（13分）［2025·广东梅州高二期中］端午节吃粽子是我国的传统
习俗.设一盘中装有10个粽子，其中有2个豆沙粽，3个肉粽，5个白粽，
这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个粽子.
（1）求这三种粽子各取到1个的概率；
解：设事件表示“这三种粽子各取到1个”，则 .
10.（13分）［2025·广东梅州高二期中］端午节吃粽子是我国的传统
习俗.设一盘中装有10个粽子，其中有2个豆沙粽，3个肉粽，5个白粽，
这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个粽子.
（2）设表示取到的豆沙粽的个数，求 的分布列；
解：的所有可能取值为0,1,2，且 ,
, ，
所以 的分布列为
0 1 2
10.（13分）［2025·广东梅州高二期中］端午节吃粽子是我国的传统
习俗.设一盘中装有10个粽子，其中有2个豆沙粽，3个肉粽，5个白粽，
这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个粽子.
（3）设表示取到的粽子的种类，求 的分布列.
解：由题意知 的所有可能取值为1,2,3，且
, ,
.
所以 的分布列为
1 2 3
11.［2025·广东肇庆高二期中］某竞赛小组共有13人，其中有6名女
生，现从该竞赛小组中任选5人参加一项活动，用 表示这5人中女
生的人数，则下列概率中等于 的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题可知， 的可能取值为0,1,2,3,4,5，且 ,
,，, ,
,所以 .故选D.
12.［2024·江苏兴化中学高二期末］袋中有除颜色外完全相同的10个
球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量 为
这4个球中白球的个数，随机变量 为这4个球中黑球的个数，若取出
一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量 为取出4个球的总
得分，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知,均服从超几何分布，且, ，
由，得，所以或或 ，
因为 ,
,
,所以 ,故选B.
13.（多选题）［2025·吉林长春高二期末］袋中有10个除颜色外均相
同的球，其中6个黑球分别编号为1，2，3，4，5，6，另外4个白球
分别编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的
是( )
A.恰有3个白球的概率为
B.取出的最大号码 服从超几何分布
C.设取出的黑球个数为，当 时，概率最大
D.若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概
率为
√
√
√
[解析] 对于A,由题意可知,恰有3个白球的概率为 ,故A正确；
对于D，因为取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，所以总得分
最大为取出4个白球，其概率为 ，故D正确；
对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足
超几何分布的定义，故 不服从超几何分布，故B错误；
对于C,取出的黑球个数服从超几何分布,易知 的可能取值为0,1,2,3,4,
且,, ,
,，显然当 时，概率最大，故C正确.
故选 .
14.［2025·江苏启东中学高二期中］某校举行“书香读书节”读书征文
活动，高一年级和高二年级共上交了9篇文章.从这9篇文章中随机抽
取4篇，若这4篇文章中恰有3篇是高一年级上交的概率为 ，则高一
年级上交的文章有___篇.
5
[解析] 设高一年级上交了篇文章，则高二年级上交了 篇文章.
设“这4篇文章中恰有3篇是高一年级上交的”为事件 ,则
，可得 ，故高一年级上交的文章有5篇．
15.某班班主任针对班级学生每周的体育锻炼情况进行了调查，发现
班级中有20人每周的体育锻炼时长超过6小时，若从班级学生中随机
抽取15人，记 为抽取的15人中，每周的体育锻炼时长超过6小时的
学生人数，则使得 最大的班级学生总人数的值为____.
42
[解析] 设班级学生的总人数为，且 ，则
，记 ，则
，易得 ，
由，可得 ，所以当
时，，当时， ，
所以的最大值在时取到，所以使得 最大的
班级学生的总人数为42.
16.（15分）为了估计鱼塘中鱼的数量，常常采用如下方法：先从鱼
塘中捞出 条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘.一段时间后，
再从鱼塘中捞出 条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出
鱼塘中的鱼的总数.已知，设第二次捞出的 条鱼中身上有
标记的鱼的数目为随机变量 .
（1）若已知，，则是否有 的把握认为能捞出
身上有标记的鱼（即能捞出身上有标记的鱼的概率不小于0.9）？并
说明理由.
解：由题意可知 服从超几何分布，
且 ，且
，
所以 ，
因此，所以，则没有 的把握认为
能捞出身上有标记的鱼.
16.（15分）为了估计鱼塘中鱼的数量，常常采用如下方法：先从鱼
塘中捞出 条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘.一段时间后，
再从鱼塘中捞出 条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出
鱼塘中的鱼的总数.已知，设第二次捞出的 条鱼中身上有
标记的鱼的数目为随机变量 .
（2）若，其中身上有标记的鱼有30条，求使 最大
的 的值.
参考数据：，， ，
.
解：由题意知, 且 .
只需求使得最大的 .
由于 ， ，
从而 ，
因此当时，，当时， .
所以当时， 最大.
综上所述， 的估计值为4666.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点
m> 【诊断分析】(1)√ (2)√ (3)√
课中探究 例1 （1）C （2）A 变式 （1）D
（2）解：①②均不服从超几何分布，③④中均服从超几何分布，⑤中不服
从超几何分布
例2 （1）B （2）C 变式 （1） （2）
例3 （1）（2）略
变式 （1）略 （2）
快速核答案（练习册）
1.A 2.B 3.A 4.B 5.A 6.C 7. 8.
9.（1） （2）略 10.（1）（2）
略略略（3）略
11.D 12.B 13.ACD 14.5 15.42
16.（1）没有的把握认为能捞出身上有标记的鱼（2） 46668.2.4 超几何分布
第1课时 超几何分布
【学习目标】
1.通过具体实例,了解超几何分布.
2.能应用超几何分布的概率公式计算事件发生的概率.
3.能运用超几何分布解决一些简单的实际问题.
◆ 知识点 超几何分布
(1)一般地,若一个随机变量X的分布列为P(X=r)= ,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,r=m,m+1,m+2,…,l,m=max{0,n-N+M},l=min{n,M},则称X服从超几何分布,记为 ,并将P(X=r)= 记为H(r;n,M,N).
注意:(1)在超几何分布的模型中,“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件,连续取n件”.
(2)超几何分布的特点:①不放回抽样;②考察对象分两类;③实质是古典概型.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)超几何分布就是一种概率分布模型. ( )
(2)超几何分布的总体里只有两类物品. ( )
(3)一个袋子里装有除颜色外完全相同的4个白球,5个黑球和6个黄球,从中任取4个球,则取出的黑球个数X服从超几何分布. ( )
◆ 探究点一 超几何分布的判断
例1 (1)[2025·江西抚州一中高二期中] 下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是 ( )
A.将一枚质地均匀的硬币连抛3次,记正面向上的次数为X
B.某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X
C.从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部,记选出女生的人数为X
D.盒中有除颜色外完全相同的4个白球和3个黑球,每次从中摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
(2)[2025·江苏南通一中高二月考] 在15个村庄中,有7个村庄交通不方便,若用随机变量X表示任选的10个村庄中交通不方便的村庄的个数,则X服从超几何分布,其参数为 ( )
A.N=15,M=7,n=10
B.N=15,M=10,n=7
C.N=22,M=10,n=7
D.N=22,M=7,n=10
变式 (1)下列随机变量X服从超几何分布的是 ( )
A.X表示n次重复抛掷1枚质地均匀的骰子出现的点数是3的倍数的次数
B.X表示连续抛掷2枚质地均匀的骰子,所得的2个骰子的点数之和
C.有一批产品共有N件,其中次品有M件(N>M>0),采用有放回地抽取方法抽取n次(nD.有一批产品共有N件,其中次品有M件(N>M>0),采用不放回地抽取方法抽取n件,出现次品的件数为X(N-M>n>0)
(2)判断下列随机变量X是否服从超几何分布 并说明理由.
①抛掷三枚质地均匀的骰子,所得向上的点数是6的骰子的个数记为X;
②有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,把试验中发芽的种子的颗数记为X;
③盒子中有除颜色外完全相同的3个红球,4个黄球,5个蓝球,从中任取3个球,把不是红球的个数记为X;
④某班级有男生25人,女生20人,随机选派4名学生参加学校组织的活动,选派的4人中女生的人数记为X;
⑤现有100台播放器未经检测,随机抽取10台送检,把检测结果为不合格的播放器的个数记为X.
[素养小结]
判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点.
(1)总体是否可分为两类明确的对象.
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
◆ 探究点二 计算超几何分布的概率
例2 (1)[2025·深圳高二期末] 在10件产品中有2件次品,现从这10件产品中任取3件,用X表示取得次品的件数,则P(X=1)= ( )
A. B.
C. D.
(2)[2025·广东东莞高二期中] 一个盒子里装有大小、材质均相同的10个黑球,12个红球和3个白球,从中任取3个球,其中白球的个数记为X,则等于的是 ( )
A.P(X>2) B.P(0C.P(X≤1) D.P(X>1)
变式 (1)[2024·陕西宝鸡高二期末] 某企业生产的8个产品中有5个一等品、3个二等品,现从这些产品中任意抽取4个,则恰好抽到1个二等品的概率为 .
(2)[2025·广东佛山高二月考] 某校高二年级某班的数学课外活动小组中有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛,则至少有2名男生参加数学竞赛的概率为 .
[素养小结]
超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法,可以直接运用公式求解,但是不能机械地记忆公式,要在理解公式意义的前提下运用此公式.
◆ 探究点三 超几何分布的分布列
例3 [2025·江苏南通期中] 某班设计了一个小游戏:在一个不透明箱中装有4个黑球,3个红球,1个黄球,这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球,观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球,则分得X个月饼;若摸出的球中有黄球,则需要表演一个节目.
(1)求一位学生既分得月饼又要表演节目的概率;
(2)求每位学生分得的月饼数X的分布列.
变式 [2025·江苏南京期中] 某校团委决定举办知识竞赛活动,竞赛共有A和B两类试题,每类试题各10道,其中每答对1道A类试题得10分;每答对1道B类试题得20分,答错都不得分.每位参加竞赛的同学都要从这两类试题中共抽取3道题回答(每道题抽取后不放回).已知某同学A类试题中有7道题能答对,而他答对每道B类试题的概率均为.
(1)若该同学只抽取3道A类试题作答,设X表示该同学答这3道试题的总得分,求X的分布列;
(2)若该同学在A类试题中只抽取1道题作答,求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率.
[素养小结]
求超几何分布的分布列的一般步骤:
(1)验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;
(3)用表格的形式列出分布列.8.2.4 超几何分布
第1课时 超几何分布
【课前预习】
知识点
(1) X~H(n,M,N)
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)A [解析] (1)对于A,将一枚质地均匀的硬币连抛3次,记正面向上的次数为X,则X服从二项分布,A不满足题意;对于B,某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X,则X服从两点分布,B不满足题意;对于C,从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部,记选出女生的人数为X,则X服从超几何分布,C满足题意;对于D,盒中有除颜色外完全相同的4个白球和3个黑球,每次从中摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X,则X不服从超几何分布,D不满足题意.故选C.
(2)根据超几何分布的定义得N=15,M=7,n=10,故选A.
变式 (1)D [解析] 对于A,易知X~B,故A错误;对于B,总体不是由两类明确的对象组成的,不符合超几何分布的定义,故B错误;对于C,易知X~B,故C错误;对于D,总体由正品和次品两类对象组成,抽取方式为不放回抽取,随机变量为其中一类个体的个数,符合超几何分布的定义,故D正确.故选D.
(2)解:①②中样本没有分类,易知X均服从二项分布,均不服从超几何分布.
③④均符合超几何分布的特征,样本都分为两类,随机变量X表示抽取的n个样本中某类样本被抽到的个数,故③④中X均服从超几何分布.
⑤中没有给出不合格的播放器的数量,无法求X的分布列,所以X不服从超几何分布.
探究点二
例2 (1)B (2)C [解析] (1)由题意可知,X~H(3,2,10),故P(X=1)=.故选B.
(2)由题可知,取出的3个球中没有白球的概率为,取出的3个球中有一个白球的概率为,所以=P(X≤1).故选C.
变式 (1) (2) [解析] (1)设抽取的产品中二等品的个数为X,则X~H(4,3,8),所以P(X=1)==.
(2)设X表示选出的4人中的男生人数,则随机变量X服从超几何分布,且N=10,M=6,n=4,
所以P(X=0)==,
P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,P(X=4)==.
方法一(直接法):
P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=++=.
方法二(间接法):P(X≥2)=1-P(X<2)=1-[P(X=0)+P(X=1)]=1-+=.
探究点三
例3 解:(1)记“一位学生既分得月饼又要表演节目”为事件A,
则事件A发生包含两种可能:“摸出2个红球1个黄球”和“摸出1个黑球,1个红球,1个黄球”,
所以P(A)==.
(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
可得X的分布列为
X 0 1 2 3
P
变式 解:(1)由题可知,X的可能取值为0,10,20,30,
则P(X=0)==,
P(X=10)===,
P(X=20)===,
P(X=30)===,
所以X的分布列为
X 0 10 20 30
P
(2)记“该同学仅答对1道题”为事件M,
则P(M)=×+×××=,
所以这次竞赛中该同学仅答对1道题的概率为.8.2.4 超几何分布
第1课时 超几何分布
1.A [解析] 选项A中,总体分为明确的两类,但随机变量X不是抽取的样本中一类元素的个数,所以X不服从超几何分布;选项B,C,D中,总体分为明确的两类,且随机变量X都是抽取的样本中一类元素的个数,所以B,C,D中随机变量X都服从超几何分布,故选A.
2.B [解析] 根据超几何分布的定义可知,N=9,M=4,n=4.故选B.
3.A [解析] 从含有3件正品,2件次品的产品中随机抽取2件产品,则抽取出的2件产品中恰有1件次品的概率为==.故选A.
4.B [解析] 设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著”为事件A,所以P()==,因此P(A)=1-P()=1-=.故选B.
5.A [解析] 由题意知,10个数中,1,3,5,7,9为阳数,2,4,6,8,10为阴数,取出的3个数中有0个阴数的概率为=;取出的3个数中有1个阴数的概率为=.故取出的3个数中至多有1个阴数的概率P=+=.故选A.
6.C [解析] 盒中有10个灯泡,其中有3个是坏的,现从盒中随机抽取4个灯泡.对于A,恰好有1个灯泡是坏的,其概率为=,故A不符合题意;对于B,4个灯泡全是好的,其概率为=,故B不符合题意;对于C,恰好有2个灯泡是坏的,其概率为=,故C符合题意;对于D,至多有2个灯泡是坏的,其概率为=,故D不符合题意.故选C.
7. [解析] 因为X~H(3,2,10),所以P(X=1)==.
8. [解析] P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=+=.
9.解:(1)由题意得,P(A)===.
(2)由题意可知,9人中,种子选手共有5人,非种子选手共有4人,则X的可能取值为0,1,2,3,4,
则P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
P(X=4)==,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
10.解:(1)设事件A表示“这三种粽子各取到1个”,则P(A)==.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,且P(X=0)==,
P(X=1)==,P(X=2)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)由题意知Y的所有可能取值为1,2,3,且P(Y=1)===,P(Y=3)===,
P(Y=2)=1-P(Y=1)-P(Y=3)=1--=.
所以Y的分布列为
Y 1 2 3
P
11.D [解析] 由题可知,ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5,且P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,P(ξ=5)=,所以P(ξ≤2)=.故选D.
12.B [解析] 由题意可知X,Y均服从超几何分布,且X+Y=4,Z=2X+Y,由|Z-6|≤1,得5≤Z≤7,所以Z=5或Z=6或Z=7,因为P(Z=5)=P(X=1,Y=3)==,P(Z=6)=P(X=2,Y=2)==,P(Z=7)=P(X=3,Y=1)==,所以P(|Z-6|≤1)=P(Z=5)+P(Z=6)+P(Z=7)=++=,故选B.
13.ACD [解析] 对于A,由题意可知,恰有3个白球的概率为=,故A正确;对于D,因为取出一个白球记2分,取出一个黑球记1分,所以总得分最大为取出4个白球,其概率为=,故D正确;对于B,因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象,不满足超几何分布的定义,故X不服从超几何分布,故B错误;对于C,取出的黑球个数Y服从超几何分布,易知Y的可能取值为0,1,2,3,4,且P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)==,P(Y=3)==,P(Y=4)==,显然当Y=2时,概率最大,故C正确.故选ACD.
14.5 [解析] 设高一年级上交了n篇文章,则高二年级上交了9-n篇文章.设“这4篇文章中恰有3篇是高一年级上交的”为事件A,则P(A)==,可得n=5,故高一年级上交的文章有5篇.
15.42 [解析] 设班级学生的总人数为N(N≥28,且N∈Z),则P(X=7)=,记f(N)=,则==,易得N2-26N-27>0,由N2-33N+266>N2-26N-27,可得N<≈41.9,所以当28≤N≤41时,f(N+1)>f(N),当N≥42时,f(N+1)16.解:(1)由题意可知X服从超几何分布,
且P(X≥1)=1-P(X=0),且P(X=0)==>,
所以lg P(X=0)>40(lg 3.76-lg 3.96)≈-0.9>-1,
因此P(X=0)>0.1,所以P(X≥1)<0.9,则没有90%的把握认为能捞出身上有标记的鱼.
(2)由题意知,P(X=30)=且N≥700+(200-30)=870.
只需求使得aN=最大的N.
由于aN=,
aN+1=,
从而aN+1-aN=[(N-199)(N-699)-(N+1)(N-869)]=×[(199×699+869)-(199+699-869+1)N]=
×[(200-1)(700-1)+869-(200+700-1-869)N]=
×(139 970-30N),
因此当N≤4665时,aN+1>aN,当N≥4666时,aN+1所以当N=4666时,P(X=300)最大.
综上所述,N的估计值为4666.8.2.4 超几何分布
第1课时 超几何分布
1.下列随机变量X中,不服从超几何分布的是 ( )
A.在含有4件次品的15件产品中,任取3件,其中正品数和次品数的差为X
B.在除颜色外完全相同的6个黑球和3个白球中,任取4个球,其中黑球的个数为X
C.在20个乒乓球中,有12个正品和8个次品,从中任取4个,其中次品的个数为X
D.从24名男生和16名女生中,任选10名学生,其中女生的人数为X
2.盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个白球,这些球除颜色外完全相同,若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数,则X服从超几何分布,其参数为 ( )
A.N=9,M=5,n=5
B.N=9,M=4,n=4
C.N=13,M=4,n=4
D.N=14,M=5,n=5
3.[2025·湖北武汉高二期末] 从含有3件正品,2件次品的产品中随机抽取2件产品,则抽取出的2件产品中恰有1件次品的概率为 ( )
A. B.
C. D.
4.[2025·山东聊城一中月考] 我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》…《缉古算经》等10部专著,有着十分丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为 ( )
A. B.
C. D.
5.[2025·江苏淮安高二期中] 《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源,其中河图排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如图,白圈为阳数,黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数,则这3个数中至多有1个阴数的概率为 ( )
A. B. C. D.
6.[2025·辽宁沈阳高二期中] 盒中有10个灯泡,其中有3个是坏的,现从盒中随机抽取4个灯泡,那么概率是的事件为 ( )
A.恰有1个灯泡是坏的
B.4个灯泡全是好的
C.恰有2个灯泡是坏的
D.至多有2个灯泡是坏的
7.设随机变量X~H(3,2,10),则P(X=1)= .
8.[2025·辽宁高二期末] 某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛,设抽取的4人中女同学的人数为X,则P(X≥3)= .
9.(13分)[2025·吉林通化高二期末] 为推动网球运动的发展,某网球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员4名,其中种子选手有2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手有3名.从这9名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列.
10.(13分)[2025·广东梅州高二期中] 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中有2个豆沙粽,3个肉粽,5个白粽,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个粽子.
(1)求这三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽的个数,求X的分布列;
(3)设Y表示取到的粽子的种类,求Y的分布列.
11.[2025·广东肇庆高二期中] 某竞赛小组共有13人,其中有6名女生,现从该竞赛小组中任选5人参加一项活动,用ξ表示这5人中女生的人数,则下列概率中等于的是 ( )
A.P(ξ=1) B.P(ξ≤1)
C.P(1≤ξ≤3) D.P(ξ≤2)
12.[2024·江苏兴化中学高二期末] 袋中有除颜色外完全相同的10个球,其中有6个黑球,4个白球,现从中任取4个球,记随机变量X为这4个球中白球的个数,随机变量Y为这4个球中黑球的个数,若取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,随机变量Z为取出4个球的总得分,则P(|Z-6|≤1)= ( )
A. B.
C. D.
13.(多选题)[2025·吉林长春高二期末] 袋中有10个除颜色外均相同的球,其中6个黑球分别编号为1,2,3,4,5,6,另外4个白球分别编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,则下列结论中正确的是 ( )
A.恰有3个白球的概率为
B.取出的最大号码X服从超几何分布
C.设取出的黑球个数为Y,当Y=2时,概率最大
D.若取出一个白球记2分,取出一个黑球记1分,则总得分最大的概率为
14.[2025·江苏启东中学高二期中] 某校举行“书香读书节”读书征文活动,高一年级和高二年级共上交了9篇文章.从这9篇文章中随机抽取4篇,若这4篇文章中恰有3篇是高一年级上交的概率为,则高一年级上交的文章有 篇.
15.某班班主任针对班级学生每周的体育锻炼情况进行了调查,发现班级中有20人每周的体育锻炼时长超过6小时,若从班级学生中随机抽取15人,记X为抽取的15人中,每周的体育锻炼时长超过6小时的学生人数,则使得P(X=7)最大的班级学生总人数的值为 .
16.(15分)为了估计鱼塘中鱼的数量,常常采用如下方法:先从鱼塘中捞出m条鱼,在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘.一段时间后,再从鱼塘中捞出n条鱼,并统计身上有标记的鱼的数目,就能估计出鱼塘中的鱼的总数N.已知m=200,设第二次捞出的n条鱼中身上有标记的鱼的数目为随机变量X.
(1)若已知N=4000,n=40,则是否有90%的把握认为能捞出身上有标记的鱼(即能捞出身上有标记的鱼的概率不小于0.9) 并说明理由.
(2)若n=700,其中身上有标记的鱼有30条,求使P(X=30)最大的N的值.
参考数据:lg 3.76≈0.575 2,lg 3.8≈0.579 8,lg 3.96≈0.597 7,lg 4≈0.602 1.