(共85张PPT)
8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.4 超几何分布
第2课时 超几何分布的综合问题
探究点一 超几何分布的均值
探究点二 二项分布与超几何分布的区别与
联系
探究点三 超几何分布的综合应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解超几何分布的均值公式.
2.能区分二项分布和超几何分布，熟练掌握二项分布和超几何分布的
实际应用.
知识点 超几何分布的均值
一般地，当时， ____，其中
， .
注意：超几何分布和二项分布都可以描述随机抽取的 件产品中次品
数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当 远远小
于时，每抽取一次后，对 的影响很小，此时，超几何分布可以近
似看成二项分布.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若随机变量服从超几何分布，则的均值 .
( )
√
[解析] 由超几何分布的期望公式知 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要知道总体
的容量.( )
√
探究点一 超几何分布的均值
例1 ［2025·湖北武汉高二期末］在10件工艺品中，有3件二等品，7
件一等品，现从中抽取5件，抽得二等品的件数为，则 的均值为
( )
A.2 B.4 C. D.
√
[解析] 方法一：由题意可知，，所以 .
故选C.
方法二：由题可知，随机变量 的可能取值为0，1，2，3，则
， ，
， ，故
.故选C.
变式（1）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，旨在展
现巢湖的自然风光、生态之美以及城湖共生的和谐景象.现从包含3枚
《巢湖》邮票的15枚邮票中随机抽取2枚，记取到《巢湖》邮票的枚
数为，则 ( )
A. B. C.1 D.
[解析] 由题意可知，所以 .故选A.
√
（2）［2024·上海高二期末］某单位组织“学习强国”知识竞赛活动，
竞赛共有10道题，从中随机抽取3道题让参赛者回答.已知小明只能答
对10道题中的6道题.
①求小明抽到他能答对的题目数 的分布列；
解：由题意知， 的所有可能取值为0，1，2，3，
则 ，
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
（2）［2024·上海高二期末］某单位组织“学习强国”知识竞赛活动，
竞赛共有10道题，从中随机抽取3道题让参赛者回答.已知小明只能答
对10道题中的6道题.
②求 的数学期望和方差.
解：由①知数学期望 .
又 ，
所以方差 .
［素养小结］
求与超几何分布有关的均值问题时，可先求出分布列，再代入均值
公式，也可直接利用求解.
探究点二 二项分布与超几何分布的区别与联系
例2 ［2024·江苏泰州高二期末］已知某校篮球队共有9名队员，其
中5名主力队员，4名替补队员.在某次训练中，该校篮球队教练从中
随机挑选3名队员进行投篮训练，每名队员至多投篮5次，一旦连续
命中2次，则停止投篮，否则直至5次结束.
（1）记选出的3名队员中主力队员的人数为随机变量 ，求 的分
布列和数学期望；
解：根据题意可得， 的可能取值为0,1,2,3，
则， ，
， ，
则 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
例2 ［2024·江苏泰州高二期末］已知某校篮球队共有9名队员，其
中5名主力队员，4名替补队员.在某次训练中，该校篮球队教练从中
随机挑选3名队员进行投篮训练，每名队员至多投篮5次，一旦连续
命中2次，则停止投篮，否则直至5次结束.
（2）已知队员甲被选中参加投篮训练，假设队员甲每次投篮命中率
均为，记队员甲投篮次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.
解：由题意可得 的可能取值为2,3,4,5，则 ，
，
，
，
则 的分布列为
2 3 4 5
故 .
变式 某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛活动，经过
层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名教师中间产生，
支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择.
方案一：从装有4个红球，2个白球，共6个球的不透明盒子中，依次
有放回地抽取4次；
方案二：从装有4个红球，2个白球，共6个球的不透明盒子中，依次
不放回地抽取4次.
已知每抽到1个红球得2分，抽到白球不得分，甲、乙两名教师互不
影响，甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二.
（1）求甲、乙两名教师都只抽到2个红球的概率.
解：设甲教师只抽到2个红球、乙教师只抽到2个红球分别为事件 与
事件 ，
则 ，
.
因为甲、乙两名教师互不影响，
所以所求概率为 .
（2）从得分的均值与方差的角度考虑，你认为安排哪位教师参赛比
较合适？请说明理由.
解：设甲教师的得分为，则抽到红球的数量为 ，
则 ，
故 ，
.
， ，
，
则 ，
,
因为， ，所以两位教师得分的均值相等，
乙教师得分的方差小于甲教师得分的方差，所以应选择乙教师.
［素养小结］
超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样
问题，求均值时可以代入公式直接计算.
探究点三 超几何分布的综合应用
例3 某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表，表中部分数据
不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，抽到数学专业的
同学的概率为 ，现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益
活动（每名同学被选到的可能性相同）.
性别 专业
中文 英语 数学 体育
男 1 1
女 1 1 1 1
（1）求, 的值；
解： 从这10名同学中随机抽取1名同学，抽到数学专业的同学的概
率为 ，
，解得 ，
， .
例3 某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表，表中部分数据
不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，抽到数学专业的
同学的概率为 ，现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益
活动（每名同学被选到的可能性相同）.
性别 专业
中文 英语 数学 体育
男 1 1
女 1 1 1 1
（2）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
解：设事件 为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，
则 .
例3 某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表，表中部分数据
不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，抽到数学专业的
同学的概率为 ，现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益
活动（每名同学被选到的可能性相同）.
性别 专业
中文 英语 数学 体育
男 1 1
女 1 1 1 1
（3）设 为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变
量 的分布列、数学期望及方差.
解：由题意可知，这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7, 的
所有可能取值为0,,, ,
则 ，
，
，
，
故 的分布列为
0 1 2 3
故， .
变式 ［2025·山东实验中学月考］盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，
其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局
比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，比赛结束后放回盒中.使用过
的球即成为旧球.
（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；
解：由题意可知，当比赛使用1个新球，1个旧球时，一局比赛后盒
中恰有3个新球，
则一局比赛后盒中恰有3个新球的概率 .
变式 ［2025·山东实验中学月考］盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，
其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局
比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，比赛结束后放回盒中.使用过
的球即成为旧球.
（2）设两局比赛后盒中新球的个数为，求 的分布列及数学期望.
解：由题意可知， 的可能取值为0,1,2,3,4，
则 ， ，
，
， ，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
故 .
［素养小结］
超几何分布常应用在产品合格、球盒取球（两色）、男女生选举等
问题中，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研
究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的合格与不合格、
球的红色与非红色、学生的性别等.
1.当服从超几何分布，即时， .
2.二项分布和超几何分布区别和联系
二项分布 超几何分布
二项分布描述的是放回抽样问 题，在每次试验中某一事件发 生的概率是相同的 超几何分布描述的是不放回抽样问
题，在每次试验中某一事件发生的
概率是不相同的
不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量
二项分布 超几何分布
概率计算实质上是古典概型问 题 概率计算实质上是相互独立事件的
概率问题
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的 件产品中次品数的 分布规律.对于不放回抽样，当远远小于 时，每抽取一次后，对 的影响很小，此时，超几何分布可以近似地看作二项分布
续表
1.超几何分布中的概率最值
例1 某工厂生产的某批次20件产品中含有 件次品，从
中一次任取10件，其中次品恰有 件.
（1）若 ，求取出的产品中次品不超过1件的概率；
解：记“取出的产品中次品不超过1件”为事件 ，
则 .
因为 ，
，
所以 .
则取出的产品中次品不超过1件的概率是 .
例1 某工厂生产的某批次20件产品中含有 件次品，从
中一次任取10件，其中次品恰有 件.
（2）记，则当为何值时， 取得最大值.
解：由 ，
得 ，
由 ,
解得 ，
因为，所以 ，
故当时，，当时， ，
所以当时， 取得最大值.
2.超几何分布与二项分布的数字特征
例2 某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活
动，有两种方案:
方案一:不放回地从装有除颜色外完全相同的2个红球和4个白球的箱
子中随机摸出3个球，每摸出一个红球奖励100元;
方案二:有放回地从装有除颜色外完全相同的2个红球和4个白球的箱
子中随机摸3次，每次摸取1个球，每摸出一个红球奖励100元.
分别用随机变量， 表示员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额.
（1）求随机变量 的分布列和数学期望.
解：由题意可知， 的所有可能取值为0，100，200，
则， ，
，
所以 的分布列为
X 0 100 200
P
所以 .
例2 某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活
动，有两种方案:
方案一:不放回地从装有除颜色外完全相同的2个红球和4个白球的箱
子中随机摸出3个球，每摸出一个红球奖励100元;
方案二:有放回地从装有除颜色外完全相同的2个红球和4个白球的箱
子中随机摸3次，每次摸取1个球，每摸出一个红球奖励100元.
分别用随机变量， 表示员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额.
（2）用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪
种方案 请说明理由.
解：方法一:用随机变量 表示员工按方案二摸到的红球的个数，则
，
所以， .
因为，所以 ，
.
由（1）知 ，
因为 ，所以按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应
选择方案一.
方法二: 的所有可能取值为0，100，200，300，
则， ，
， ，
则 ，
.
由（1）知 ，
因为 ，所以按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应
选择方案一.
练习册
1.已知随机变量，则 ( )
A. B. C.2 D.
[解析] 因为，所以 .故选A.
√
2.［2024·江西上饶高二期末］一个袋子中装有除颜色外完全相同的6
个红球和4个白球，从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为，则
的均值是( ).
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，所以 .故选A.
√
3.某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，
消费者从中随机取出2瓶，记为其中有奖的瓶数，则 为
( )
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 依题意得，，所以 ，
所以 .故选B.
√
4.某冷饮店的冰淇淋在一天中的销量为200个，三种口味的冰淇淋的
销量如表所示，
冰淇淋口味 草莓味 巧克力味 原味
销量（单位：个） 40 60 100
把频率视为概率，从卖出的冰淇淋中随机抽取10个，记其中草莓味
的冰淇淋的个数为，则 ( )
A.5 B.3 C.2 D.1
[解析] 由题意可得，，所以 .故选C.
√
5.某地盛行的糕点有种，该地的某家糕点店从中准备了
种糕点供顾客选购.已知某顾客喜欢的糕点有 种，当该顾客
进入这家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好.记随机
变量为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知，从含有顾客喜欢的种糕点的 种糕点中，
任取种糕点，其中恰有种顾客喜欢的糕点，则 服从超
几何分布，所以，
,,，所以 .故选A.
6.（多选题）［2025·安徽六安二中高二期中］若10件产品中有4件次
品和6件正品.现从中随机抽取3件产品，记取得的次品数为随机变量
，则下列结论正确的是( )
A.若是有放回地抽取，则
B.若是无放回地抽取，则
C.无论是有放回地抽取还是无放回地抽取，的数学期望 相等
D.无论是有放回地抽取还是无放回地抽取，的方差 相等
√
√
[解析] 若是有放回地抽取,则 ,则
, ,,故A错误；
若是无放回地抽取，则 的可能取值为0，1，2，3，且
，，，
，故，
，
故B，C正确，D错误.
故选 .
7.［2024·天津宁河月考］有10件产品，其中3件是次品，从中任取两
件，若表示取得次品的件数，则___，随机变量 的数
学期望 ____.
0.6
[解析] 由题可知，，所以 ，
.
8.某单位组织知识竞赛，初赛共有10道题目，随机抽取3道题让参赛
者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初赛.已知某参赛者
只能答对其中的6道，那么该参赛者抽到能答对的题目数 的数学期
望为__.
[解析] 由题知，，所以 .
9.（13分）在2024年“市长杯”青少年校园足球联赛期间，市足球协会
发起了“射手的连续进球与射手在球场上的区域位置有关系吗”的调
查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度
的人数如表所示：
有关系 无关系 不知道
40岁以下 800 450 200
40岁以上（含40岁） 100 150 300
解：由题意得，，解得 .
（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 个人，已知
从持“有关系”态度的人群中抽取了45人，求 的值.
9.（13分）在2024年“市长杯”青少年校园足球联赛期间，市足球协会
发起了“射手的连续进球与射手在球场上的区域位置有关系吗”的调
查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度
的人数如表所示：
有关系 无关系 不知道
40岁以下 800 450 200
40岁以上（含40岁） 100 150 300
（2）在持“不知道”态度的人群中，用分层抽样的方法抽取10人.再从
这10人中随机选取2人，设选取的这2人中40岁以下的人数为，求
的分布列和数学期望.
解：设所选取的10人中年龄在40岁以下的人数为 ，
则，解得 .
依题意得， 的所有可能取值为0，1，2，且，
，，
所以 的分布列为
0 1 2
则 .
10.［2024·江苏南通高二期中］袋中有除颜色外完全相同的2个红
球，个蓝球和 个绿球，若从中不放回地任取2个球，记取出的红
球数量为，则，且取出一红一蓝的概率为 ，若有放回地
任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知，则 ，
故，由题意得，即，解得 ，
所以 .
若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为
，故选B.
11.（多选题）［2024·江苏南通如皋中学高二期中］在一个袋中装有
质地、大小均相同的6个黑球和4个白球，现从中任取4个球，设取出
的4个球中白球的个数为 ，则下列结论正确的是( )
A. B.随机变量 服从二项分布
C.随机变量服从超几何分布 D.
[解析] 易知随机变量 服从超几何分布，B错误，C正确；
，A正确；
因为,所以 ，D正确.
故选 .
√
√
√
12.（多选题）［2024·江西南昌高二期中］甲盒中装有3个蓝球、2个
黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球（甲、乙盒中所有球的质地、
大小均相同），同时从甲、乙两盒中取出 个球交换，分别
记交换后甲、乙两个盒中蓝球的个数为，，数学期望为 ，
，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 当时， ，
，
，
则 ，
，所以 ，
，故A，B正确.
,，
，
,因此 ，
，所以
，，故C正确，D错误.
故选 .
13.［2025·山西太原高二月考］设随机变量
且，当;10,, 最
大时， ___.
2
[解析] 随机变量，
则 ;10,, ，
因为;10,, 最大,所以;10,,;10,,，
且;10, , ;10,,,即 ,且
,整理得 ，
且，解得 ，
因为，所以，所以此时 .
14.（15分）某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品
的质量，分别从甲、乙生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，
并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、
优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成
（合格品与优等品间无包含关系）.
（1）用分层抽样的方法从样本的优等品中抽取6件产品，在这6件产
品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数为 ，求
的分布列与数学期望；
解：样本中甲生产线的优等品有 （件），
乙生产线的优等品有 （件），
所以用分层抽样的方法分别抽取(件), (件)，
故所抽取的6件产品中有4件产品来自甲生产线，有2件产品来自乙生
产线，所以 的所有可能取值为0，1，2，
， ，
，
0 1 2
故 .
则 的分布列为
14.（15分）某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品
的质量，分别从甲、乙生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，
并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、
优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成
（合格品与优等品间无包含关系）.
（2）消费者对该公司产品的满意率为 ，随机调研5位购买过该产品
的消费者，记对该公司产品满意的人数为 ，求至少有3人满意的概
率及 的数学期望与方差.
解：由题意可得 ，所以
，
， .
15.端午将至，某超市特推出以“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲、
乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的
粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三
个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出 为偶数 个粽子，
其中含 个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个
粽子，记取到肉粽的个数为 ，其中 , ，则下列说法正确的
是( )
A.当时，随机变量 服从两点分布
B.随着 的增大，减少， 增加
C.当时，随机变量 服从二项分布
D.随着 的增大，增加， 减小
√
[解析] 由题可知，从乙礼盒内随机取出 个粽子，含有的肉粽个数
服从超几何分布，且 ，故A，C错误.
易知，其中，, , ，
，故从甲礼盒取粽子，相当于从含有 个肉粽的
个粽子中取出1个粽子，取到肉粽的个数为 ，故
，可知随机变量 服从两点分布，所以
,随着 的增大, 减小,
，随着 的增大， 增大.
故B正确，D错误.故选B.
16.（15分）现从某集团分公司全体员工中随机抽取3人针对某类问题
做问卷调查.已知该分公司有名员工，其中是男性， 是女性.
（1）当时，求抽取的3人中男性员工人数 的分布列和数学期望.
解：当 时，男性员工有8人，女性员工有12人.
随机变量 的可能取值为0，1，2，3，
则 ，
，
,
，
的分布列为
0 1 2 3
故数学期望 .
16.（15分）现从某集团分公司全体员工中随机抽取3人针对某类问题
做问卷调查.已知该分公司有名员工，其中是男性， 是女性.
（2）我们知道，当总量 足够大而抽出的个体足够小时，超几何分
布近似为二项分布.现在全集团范围内考虑，从 名员工（男女比例
不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记
作；在二项分布中（即男性员工的人数 ）男性员工恰有
2人的概率记作.那么当 至少为多少时，我们可以在误差不超过
（即 ）的前提下认为超几何分布近似为二项分
布.（参考数据： ）
解：由题可知， ,
，
， ，
即 ，
即 ，
由题意易知 ，
从而 ，
化简得 ，
又， .
函数在 处有极小值，
当 时单调递增，
又， .
当 时，符合题意，
又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍，于是 ，
即当 至少为145时，
我们可以在误差不超过（即 ）的前提下认为超
几何分布近似为二项分布.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 【诊断分析】 （1）√ （2）√
课中探究 例1 C 变式 （1）A （2）①略②
例2 （1） 的分布列略，（2）
变式 （1）（2）应选择乙教师
例3 （1），（2） （3）的分布列略，，
变式 （1）（2）的分布列略，
快速核答案（练习册）
1.A 2.A 3.B 4.C 5.A 6.BC 7. 0.6 8.
9.（1）（2）的分布列略，
10.B 11.ACD 12.ABC 13.2
14.（1）的 分布列略，（2），，
15.B 16.（1）的分布列略，（2） 至少为145第2课时 超几何分布的综合问题
1.A [解析] 因为X~H(4,5,7),所以E(X)==.故选A.
2.A [解析] 由题意知X~H(2,4,10),所以E(X)==.故选A.
3.B [解析] 依题意得,X~H(2,2,5),所以E(X)=,所以E(5X+1)=5E(X)+1=5.故选B.
4.C [解析] 由题意可得,X~H(10,40,200),所以E(X)==2.故选C.
5.A [解析] 由题意可知,从含有顾客喜欢的k(k6.BC [解析] 若是有放回地抽取,则X~B,则P(X=2)=×==0.288,E(X)=3×=,D(X)=3××=,故A错误;若是无放回地抽取,则X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,故E(X)=0×+1×+2×+3×=1.2,D(X)=(0-1.2)2×+(1-1.2)2×+(2-1.2)2×+(3-1.2)2×=,故B,C正确,D错误.故选BC.
7. 0.6 [解析] 由题可知,X~H(2,3,10),所以P(X<2)=+=,E(X)==0.6.
8. [解析] 由题知,X~H(3,6,10),所以E(X)==.
9.解:(1)由题意得,=,解得n=100.
(2)设所选取的10人中年龄在40岁以下的人数为m,
则=,解得m=4.
依题意得,X的所有可能取值为0,1,2,
且P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
则E(X)=0×+1×+2×=.
10.B [解析] 由题意知X~H(2,2,2+m+n),则E(X)==,故m+n=10,由题意得=,即=,解得m=3,所以n=7.若有放回地任取2个球,则取出一蓝一绿的概率为×+×=,故选B.
11.ACD [解析] 易知随机变量X服从超几何分布,B错误,C正确;P(X=2)==,A正确;因为X~H(4,4,10),所以E(X)==,D正确.故选ACD.
12.ABC [解析] 当i=1时,P(X=2)=P(Y=3)==,P(X=3)=P(Y=2)==,P(X=4)=P(Y=1)==,则E1(X)=2×+3×+4×=,E1(Y)=3×+2×+1×=,所以E1(X)+E1(Y)=5,E1(X)>E1(Y),故A,B正确.当i=2时,P(X=1)=P(Y=4)==,P(X=2)=P(Y=3)==,P(X=3)=P(Y=2)==,P(X=4)=P(Y=1)==,P(X=5)=P(Y=0)==,因此E2(X)=1×+2×+3×+4×+5×=,E2(Y)=4×+3×+2×+1×+0×=,所以E2(X)E1(Y),故C正确,D错误.故选ABC.
13.2 [解析] 随机变量X~H(10,M,1000),则H(2;10,M,1000)=P(X=2)=,因为H(2;10,M,1000)最大,所以H(2;10,M,1000)≥H(2;10,M+1,1000),且H(2;10,M,1000)≥H(2;10,M-1,1000),即≥,且≥,整理得(M-1)(1000-M)≥(M+1)(992-M),且M(993-M)≥(M-2)(1001-M),解得199.2≤M≤200.2,因为M∈N*,所以M=200,所以此时E(X)===2.
14.解:(1)样本中甲生产线的优等品有100×0.2=20(件),
乙生产线的优等品有100×0.1=10(件),
所以用分层抽样的方法分别抽取×6=4(件),×6=2(件),
故所抽取的6件产品中有4件产品来自甲生产线,有2件产品来自乙生产线,所以X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)===,则X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)=0×+1×+2×=.
(2)由题意可得Y~B,所以P(Y≥3)=××+××+××=++==,
E(Y)=5×=,D(Y)=5××=.
15.B [解析] 由题可知,从乙礼盒内随机取出β个粽子,含有的肉粽个数γ服从超几何分布,且γ~H(β,3,6),故A,C错误.易知P(γ=k)=,其中k∈N,max{0,β-3}≤k≤min{β,3},E(γ)==,故从甲礼盒取粽子,相当于从含有+1个肉粽的β+1个粽子中取出1个粽子,取到肉粽的个数为α,故P(α=1)==+,可知随机变量α服从两点分布,所以E(α)=P(α=1)==+,随着β的增大,E(α)减小,D(α)=[1-P(α=1)]P(α=1)=-,随着β的增大,D(α)增大.故B正确,D错误.故选B.
16.解:(1)当N=20时,男性员工有8人,女性员工有12人.
随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)===,
P(X=1)===,
P(X=2)===,
P(X=3)===,
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(2)由题可知,P1===·,
P2=×==0.288,
∵P1-P2≤0.001,∴·-0.288≤0.001,
即·≤0.289≤,
即≤×=,
由题意易知(N-1)(N-2)>0,
从而720N≤289(N-1)(N-2),
化简得N2-147N+578≥0,
又N>0,∴N+≥147.
∵函数y=x+在x=≈24.04处有极小值,
∴y=N+当N≥25时单调递增,
又142+≈146.07<147,143+≈147.04>147.
∴当N≥143时,符合题意,
又考虑到N和N都是整数,则N一定是5的整数倍,于是N≥145,即当N至少为145时,
我们可以在误差不超过0.001(即P1-P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布.第2课时 超几何分布的综合问题
【课前预习】
知识点
诊断分析
(1)√ (2)√ [解析] (1)由超几何分布的期望公式知E(X)==.
【课中探究】
探究点一
例1 C [解析] 方法一:由题意可知,X~H(5,3,10),所以E(X)==.故选C.
方法二:由题可知,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)===,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,故E(X)=0×+1×+2×+3×=.故选C.
变式 (1)A [解析] 由题意可知X~H(2,3,15),所以E(X)==.故选A.
(2)解:①由题意知,X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)===,
P(X=1)===,
P(X=2)===,
P(X=3)===,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
②由①知数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
又E(X2)=0×+1×+4×+9×=,
所以方差D(X)=E(X2)-[E(X)]2=-=.
探究点二
例2 解:(1)根据题意可得,ξ的可能取值为0,1,2,3,
则P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
(2)由题意可得η的可能取值为2,3,4,5,则P(η=2)=×=,
P(η=3)=××=,
P(η=4)=×××+×××=,
P(η=5)=1---=,
则η的分布列为
η 2 3 4 5
P
故E(η)=2×+3×+4×+5×=.
变式 解:(1)设甲教师只抽到2个红球、乙教师只抽到2个红球分别为事件A与事件B,
则P(A)=××=,
P(B)===.
因为甲、乙两名教师互不影响,
所以所求概率为×=.
(2)设甲教师的得分为X,则抽到红球的数量为,
则~B,
故E(X)=2E=2×4×=,D(X)=4D=4×4××=.
设乙教师的得分为Y,则Y的所有可能取值为4,6,8,
P(Y=4)==,P(Y=6)==,
P(Y=8)==,
则E(Y)=4×+6×+8×==,D(Y)=×+×+×=,
因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以两位教师得分的均值相等,乙教师得分的方差小于甲教师得分的方差,所以应选择乙教师.
探究点三
例3 解:(1)∵从这10名同学中随机抽取1名同学,抽到数学专业的同学的概率为,
∴=,解得m=3,
∵m+n+6=10,∴n=1.
(2)设事件A为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”,则P(A)==.
(3)由题意可知,这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7, X的所有可能取值为0, 1, 2, 3,
则P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故E(X)=3×=,D(X)=×+×+×+×=.
变式 解:(1)由题意可知,当比赛使用1个新球,1个旧球时,一局比赛后盒中恰有3个新球,
则一局比赛后盒中恰有3个新球的概率P==.
(2)由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,4,
则P(X=0)=·=,
P(X=1)=·+·=,
P(X=2)=·+·+·=,
P(X=3)=·+·=,
P(X=4)=·=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
故E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.第2课时 超几何分布的综合问题
【学习目标】
1.了解超几何分布的均值公式.
2.能区分二项分布和超几何分布,熟练掌握二项分布和超几何分布的实际应用.
◆ 知识点 超几何分布的均值
一般地,当X~H(n,M,N)时,E(X)=kPk= ,其中l=min{n,M}.
注意:超几何分布和二项分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时,超几何分布可以近似看成二项分布.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若随机变量X服从超几何分布H(5,10,30),则X的均值E(X)=. ( )
(2)超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要知道总体的容量. ( )
◆ 探究点一 超几何分布的均值
例1 [2025·湖北武汉高二期末] 在10件工艺品中,有3件二等品,7件一等品,现从中抽取5件,抽得二等品的件数为X,则X的均值为 ( )
A.2 B.4 C. D.
变式 (1)2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚,旨在展现巢湖的自然风光、生态之美以及城湖共生的和谐景象.现从包含3枚《巢湖》邮票的15枚邮票中随机抽取2枚,记取到《巢湖》邮票的枚数为X,则E(X)= ( )
A. B. C.1 D.
(2)[2024·上海高二期末] 某单位组织“学习强国”知识竞赛活动,竞赛共有10道题,从中随机抽取3道题让参赛者回答.已知小明只能答对10道题中的6道题.
①求小明抽到他能答对的题目数X的分布列;
②求X的数学期望和方差.
[素养小结]
求与超几何分布有关的均值问题时,可先求出分布列,再代入均值公式,也可直接利用E(X)=求解.
◆ 探究点二 二项分布与超几何分布的区别与联系
例2 [2024·江苏泰州高二期末] 已知某校篮球队共有9名队员,其中5名主力队员,4名替补队员.在某次训练中,该校篮球队教练从中随机挑选3名队员进行投篮训练,每名队员至多投篮5次,一旦连续命中2次,则停止投篮,否则直至5次结束.
(1)记选出的3名队员中主力队员的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望;
(2)已知队员甲被选中参加投篮训练,假设队员甲每次投篮命中率均为,记队员甲投篮次数为随机变量η,求η的分布列和数学期望.
变式 某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛活动,经过层层筛选,还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名教师中间产生,支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择.
方案一:从装有4个红球,2个白球,共6个球的不透明盒子中,依次有放回地抽取4次;
方案二:从装有4个红球,2个白球,共6个球的不透明盒子中,依次不放回地抽取4次.
已知每抽到1个红球得2分,抽到白球不得分,甲、乙两名教师互不影响,甲教师选择了方案一,乙教师选择了方案二.
(1)求甲、乙两名教师都只抽到2个红球的概率.
(2)从得分的均值与方差的角度考虑,你认为安排哪位教师参赛比较合适 请说明理由.
[素养小结]
超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题,求均值时可以代入公式直接计算.
◆ 探究点三 超几何分布的综合应用
例3 某大学志愿者协会有10名同学,成员构成如表,表中部分数据不清楚,只知道从这10名同学中随机抽取1名同学,抽到数学专业的同学的概率为,现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同).
性别 专业
中文 英语 数学 体育
男 n 1 m 1
女 1 1 1 1
(1)求m,n的值;
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率;
(3)设X为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数,求随机变量X的分布列、数学期望及方差.
变式 [2025·山东实验中学月考] 盒中有大小颜色相同的6个乒乓球,其中4个未使用过(称之为新球),2个使用过(称之为旧球).每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球,比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.
(1)求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率;
(2)设两局比赛后盒中新球的个数为X,求X的分布列及数学期望.
[素养小结]
超几何分布常应用在产品合格、球盒取球(两色)、男女生选举等问题中,这类问题有一个共同特征,就是对每一个个体而言,只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质,如产品的合格与不合格、球的红色与非红色、学生的性别等.第2课时 超几何分布的综合问题
1.已知随机变量X~H(4,5,7),则E(X)= ( )
A. B.
C.2 D.
2.[2024·江西上饶高二期末] 一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和4个白球,从袋子中摸出2个球,其中白球的个数为X,则X的均值是 ( ).
A. B.
C. D.
3.某品牌饮料正在进行有奖促销活动,一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖,消费者从中随机取出2瓶,记X为其中有奖的瓶数,则E(5X+1)为 ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
4.某冷饮店的冰淇淋在一天中的销量为200个,三种口味的冰淇淋的销量如表所示,
冰淇淋口味 草莓味 巧克力味 原味
销量(单位:个) 40 60 100
把频率视为概率,从卖出的冰淇淋中随机抽取10个,记其中草莓味的冰淇淋的个数为X,则E(X)= ( )
A.5 B.3
C.2 D.1
5.某地盛行的糕点有n种,该地的某家糕点店从中准备了m(mA. B.
C. D.
6.(多选题)[2025·安徽六安二中高二期中] 若10件产品中有4件次品和6件正品.现从中随机抽取3件产品,记取得的次品数为随机变量X,则下列结论正确的是 ( )
A.若是有放回地抽取,则P(X=2)=0.096
B.若是无放回地抽取,则P(X=2)=0.3
C.无论是有放回地抽取还是无放回地抽取,X的数学期望E(X)相等
D.无论是有放回地抽取还是无放回地抽取,X的方差D(X)相等
7.[2024·天津宁河月考] 有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若X表示取得次品的件数,则P(X<2)= ,随机变量X的数学期望E(X)= .
8.某单位组织知识竞赛,初赛共有10道题目,随机抽取3道题让参赛者回答,规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初赛.已知某参赛者只能答对其中的6道,那么该参赛者抽到能答对的题目数X的数学期望为 .
9.(13分)在2024年“市长杯”青少年校园足球联赛期间,市足球协会发起了“射手的连续进球与射手在球场上的区域位置有关系吗”的调查活动,在所有参与调查的人中,持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示:
有关系 无关系 不知道
40岁以下 800 450 200
40岁以上(含40岁) 100 150 300
(1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n个人,已知从持“有关系”态度的人群中抽取了45人,求n的值.
(2)在持“不知道”态度的人群中,用分层抽样的方法抽取10人.再从这10人中随机选取2人,设选取的这2人中40岁以下的人数为X,求X的分布列和数学期望.
10.[2024·江苏南通高二期中] 袋中有除颜色外完全相同的2个红球,m个蓝球和n个绿球,若从中不放回地任取2个球,记取出的红球数量为X,则E(X)=,且取出一红一蓝的概率为,若有放回地任取2个球,则取出一蓝一绿的概率为 ( )
A. B.
C. D.
11.(多选题)[2024·江苏南通如皋中学高二期中] 在一个袋中装有质地、大小均相同的6个黑球和4个白球,现从中任取4个球,设取出的4个球中白球的个数为X,则下列结论正确的是 ( )
A.P(X=2)=
B.随机变量X服从二项分布
C.随机变量X服从超几何分布
D.E(X)=
12.(多选题)[2024·江西南昌高二期中] 甲盒中装有3个蓝球、2个黄球,乙盒中装有2个蓝球、3个黄球(甲、乙盒中所有球的质地、大小均相同),同时从甲、乙两盒中取出i(i=1,2)个球交换,分别记交换后甲、乙两个盒中蓝球的个数为X,Y,数学期望为Ei(X),Ei(Y),则下列结论正确的是 ( )
A.E1(X)+E1(Y)=5
B.E1(X)>E1(Y)
C.E2(X)D.E2(Y)13.[2025·山西太原高二月考] 设随机变量X~H(10,M,1000)(2≤M≤992且M∈N*),当H(2;10,M,1000)最大时,E(X)= .
14.(15分)某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量,分别从甲、乙生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品,并对所抽取产品进行检验,检验后发现,甲生产线的合格品占八成、优等品占两成,乙生产线的合格品占九成、优等品占一成(合格品与优等品间无包含关系).
(1)用分层抽样的方法从样本的优等品中抽取6件产品,在这6件产品中随机抽取2件,记这2件产品中来自甲生产线的产品个数为X,求X的分布列与数学期望;
(2)消费者对该公司产品的满意率为,随机调研5位购买过该产品的消费者,记对该公司产品满意的人数为Y,求至少有3人满意的概率及Y的数学期望与方差.
15.端午将至,某超市特推出以“粽情一夏,情浓端午”为主题的甲、乙两款端午粽子礼盒,但是由于工作人员分装时的疏忽,礼盒内的粽子发生了错乱,此时甲款礼盒内已有一个肉粽,乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽,现从乙款礼盒内随机取出β(β为偶数)个粽子,其中含γ个肉粽,放入甲款礼盒后,再从甲款礼盒内随机取出一个粽子,记取到肉粽的个数为α,其中α,β∈N*,则下列说法正确的是 ( )
A.当β=2时,随机变量γ服从两点分布
B.随着β的增大,E(α)减少,D(α)增加
C.当β=2时,随机变量γ服从二项分布
D.随着β的增大,E(α)增加,D(α)减小
16.(15分)现从某集团分公司全体员工中随机抽取3人针对某类问题做问卷调查.已知该分公司有N名员工,其中是男性,是女性.
(1)当N=20时,求抽取的3人中男性员工人数X的分布列和数学期望.
(2)我们知道,当总量N足够大而抽出的个体足够小时,超几何分布近似为二项分布.现在全集团范围内考虑,从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人,在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作P1;在二项分布中男性员工恰有2人的概率记作P2.那么当N至少为多少时,我们可以在误差不超过0.001(即P1-P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布.(参考数据:≈24.04)
