1.2 向量的加法 导学案（含答案） 高一年级数学湘教版必修第二册

1．2　向量的加法
最新课程标准
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义．
学科核心素养
1.了解向量加法与减法的物理意义与几何意义．(数学抽象)
2．掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，能利用这两个法则进行向量的加法运算．(直观想象)
3．了解向量加法与减法的关系．(逻辑推理)
4．掌握向量的减法运算，并理解其几何意义．(直观想象)
第1课时　向量的加法
导学
教材要点
要点一　向量的加法
定义 求向量和的运算，称为向量的加法．
向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知两个________向量a，b，在平面内任取一点A.
作法 作＝a，＝b，连接AC.
结论 向量叫做a与b的和，记作________，即a＋b＝＝________．
图形
向量加法的平行四边形法则 前提 从同一点O出发作有向线段＝a，＝b.
作法 以OA，OB为邻边作 OACB.
结论 则对角线就是向量a与b的和，即＝a＋b.
图形
状元随笔　在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
要点二　加法运算律
1．加法交换律：a＋b＝________．
2．加法结合律：(a＋b)＋c＝________．
状元随笔　(1)我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：
一质点从点A出发，方案①先走过的位移为向量，再走过的位移为向量，方案②先走过的位移为向量，再走过的位移为向量，则方案①②中质点A一定会到达同一终点．
(2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如()＋()＝()＋()；＝[＋()]＋()．
要点三　零向量的加法性质
a＋0＝0＋a＝a
状元随笔　如果＝0→，则与大小相等，方向相反，即是的相反向量，记作＝－.
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的和可能是数量．(　　)
(2)两个向量相加就是它们的模相加．(　　)
(3)＝.(　　)
(4)向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量．(　　)
2．(多选)在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝0
3．下列等式不成立的是(　　)
A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋a
C．＝2 D．＝
4．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
导思
题型一　已知两个向量，求它们的和向量
例1　如图所示，求作向量和a＋b＋c.
总结
(1)利用向量的三角形法则求a＋b，务必使它们的“首尾顺次连接”；利用平行四边形法则求a＋b，务必使它们的起点重合．
(2)多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和．
(3)注意方向相同或相反的向量的加法．
跟踪训练1　如图①、②、③，已知向量a，b，分别求作向量a＋b.
题型二　向量的加法运算
例2　如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)；
(2).
总结
解决向量加法运算时应关注两点：
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
(2)要灵活运用向量加法运算律，注意每个向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
跟踪训练2　向量化简后等于(　　)
A． B．
C． D．
题型三　向量加法的应用
角度1　平面几何问题
例3　如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：＝0.
总结
灵活运用相等向量和相反向量．如本题中＝＝0.
角度2　实际应用问题
例4　一架直升机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升机与A地的相对位置．
总结
向量加法的实际应用中，要注意如下：
(1)准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；
(2)将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解；
(3)将向量问题还原为实际问题．
课时训练
1．如图，在矩形ABCD中，＝(　　)
A． B．
C． D．
2．在四边形ABCD中，＝，则(　　)
A．ABCD一定是矩形
B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形
D．ABCD一定是平行四边形
3．小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________ km/h.
4．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，根据图示计算：
(1)；(2)；(3).
第2课时　向量的减法
导学
教材要点
要点一　向量的减法
1．已知两个向量a，b，求x满足a＋x＝b，这样的运算叫作向量的减法，记为x＝________，x称为b与a之差．
2．减去一个向量a，等于加上它的________．即b－a＝b＋(－a)．
状元随笔　(1)两个向量的差仍是一个向量．
(2)向量的减法可以转化为向量的加法，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
要点二　向量减法的几何意义
如图，已知a、b在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
状元随笔　(1)向量减法的三角形法则中，表示，强调了差向量的“箭头”指向被减向量.即作非零向量的差向量，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”．
(2)如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量＝＝，这一结论在以后的学习中应用非常广泛．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)相反向量一定是共线向量．(　　)
(2)两个相反向量之差等于0.(　　)
(3)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　　)
(4)两个向量的差仍是一个向量．(　　)
(5)向量等于起点向量减终点向量.(　　)
2．如图所示，在△ABC中，等于(　　)
A．　　　 　　　B．
C． D．
3．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)
A．＝0
B．＝
C．＝
D．＝0
4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________．
导思
题型一　向量减法的几何作图
例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
总结
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
跟踪训练1　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
题型二　向量的减法运算
例2　(1)(多选)下列各向量运算的结果与相等的有(　　)
A． B．
C． D．
(2)化简：
①；
②()－()．
总结
向量减法运算的常用方法
跟踪训练2　(1)如图，在△ABC中，D是BC上一点，则＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知A，B，C，D是平面上四个点，则＝________．
题型三　用已知向量表示其他向量
例3　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.
变式探究　本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？
总结
用已知向量表示其他向量的三点提醒：
(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．
(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
跟踪训练3　如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
课时训练
1．设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是(　　)
A．a与b的长度相等 B．a∥b
C．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量
2．已知A，B，C，D为同一平面内的四点，则＝(　　)
A． B． C． D．
3．如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则＝________．
4．如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
1．2　向量的加法
第1课时　向量的加法
导学
要点一
非零　a＋b　
要点二
1．b＋a　2.a＋(b＋c)
[练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：A、B、D正确；C错误，因为＝≠.
答案：ABD
3．解析：0＋a＝a，故A成立；根据向量加法满足交换律，可知a＋b＝b＋a，故B成立；＝0，故C不成立；利用向量的加法法则，可知＝，故D成立．
答案：C
4．解析：由题意知a与b垂直，故|a＋b|＝＝＝8，a＋b的方向是北偏东45°，即东北方向．
答案：8 km　东北方向
导思
例1　解析：方法一(三角形法则)　如图①所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
方法二(平行四边形法则)　如图②所示，首先在平面内任取一点O作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，则＝＝a＋b，再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，则＝＝a＋b＋c即为所求．
跟踪训练1　解析：(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图①.
(2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图②.
(3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图③.
例2　解析：(1)＝＝＝＝.
(2)＝＝＝＝0.
跟踪训练2　解析：＝＝.
答案：D
例3　证明：由题意知＝＝＝，
由题意可知＝＝.
∴＝
＝
＝＋0
＝＝＝0.
例4　解析：如图，设分别是直升机的两次位移，则＝，表示两次位移的和．
在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km，在Rt△ACD中，||＝ ＝40(km).
又||＝||，所以∠ACD＝30°.
即此时直升机位于A地北偏东30°，且距离A地40 km处．
[课时训练]
1．解析：在矩形ABCD中，＝，则＝＝＝.故选B.
答案：B
2．解析：根据向量加法的平行四边形法则可得，
以AB，AC为邻边做平行四边形ABCD，如图，
可得＝，
所以四边形ABCD为平行四边形．
答案：D
3.解析：如图所示，设船在静水中的速度为|v1|＝10 km/h，河水的流速为|v2|＝10 km/h，小船实际航行速度为v0，则由＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝，所以|v0|＝20 km/h，即小船航行速度的大小为20 km/h.
答案：20
4．解析：(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以＝.
(2)因为与方向相同且长度相等，
所以与是相等向量，
故与方向相同，长度为长度的2倍，
因此可用表示．所以＝.
(3)因为与是一对相反向量，所以＝0.
第2课时　向量的减法
导学
要点一
1．b－a
2．相反向量－a
[练习]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
2．解析：对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易知≠，故错误；对于B选项，＝＝－，故错误；对于C选项，＝，满足；对于D选项，＝＝－，故错误．
答案：C
3．解析：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，
∴＝0，＝＝，
＝＝＝0.
∴只有C错误．
答案：C
4．解析：＝＝＝a－b＋c．
答案：a－b＋c
导思
例1　解析：方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c．
方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c．
跟踪训练1　解析：如图，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，
则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c．
例2　解析：(1)A中，＝；B中，≠；C中，≠；D中，＝.
(2)①原式＝＝＝＝0.
②原式＝
＝()＋()＝＝0.
答案：(1)AD　(2)见解析
跟踪训练2　解析：(1)由图形可知：＝＝＝.
解析：(2)＝＝＝.
答案：(1)C　(2)
例3　解析：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c，＝＝b－a，
∴＝＝b－a＋c．
变式探究　解析：如图，
因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝＝b－a，故＝＝b－a＋c．
跟踪训练3　解析：由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则
(1)＝＝a＋d＋e．
(2)＝＝－＝－b－c．
(3)＝＝a＋b＋e．
(4)＝－＝－()＝－c－d．
[课时训练]
1．解析：由相反向量的定义可知，A，B，D正确；由于零向量的相反向量仍为零向量，所以C错误．
答案：C
2．解析：＝＝.
答案：B
3．解析：因为D是边BC的中点，
所以＝
所以＝＝＝0.
答案：0
4．解析：(1)＝＝c－a．
(2)＝＝d－a．
(3)＝＝＝d－b．
(4)＝＝b－a＋f－c．
(5)＝＝＝f－d．