1.6.1 余弦定理 导学案（含答案） 高一年级数学湘教版必修第二册

1．6　解三角形
最新课程标准
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理．
2．能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．
学科核心素养
1.理解余弦定理、正弦定理的推导．(逻辑推理)
2．掌握余弦定理、正弦定理及其应用．(数学运算)
1.6.1　余弦定理
导学
教材要点
要点一　解三角形
从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形．
要点二　余弦定理
文字 语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号 语言 a2＝________________， b2＝________________， c2＝________________．
推论 cos A＝________________， cos B＝________________， cos C＝________________．
状元随笔　对余弦定理的理解
(1)余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量．
(3)余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(　　)
(2)余弦定理只适用于锐角三角形．(　　)
(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　)
(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　)
2．在△ABC中，已知b＝8，c＝3，∠A＝60°，则a＝(　　)
A．73 B．49
C． D．7
3．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　)
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，∠C＝30°，则c＝________．
导思
题型一　已知两边及一角解三角形
例1　(1)在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，则BC的长为(　　)
A． B． C．3 D．
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，∠B＝120°，则边a等于(　　)
A． B． C． D．2
总结
(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法
用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．
(2)已知两边及其夹角解三角形的方法
首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．
跟踪训练1　(1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝________；sin A＝________．
(2)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝________．
题型二　已知三角形三边及关系解三角形
例2　(1)在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A． B． C． D．
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．
总结
(1)余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择；
(2)由于余弦函数在区间(0，π)内是单调的，因此由余弦定理的推论可知，由任意一个内角的余弦值确定的角是唯一的，因此用余弦定理求三角形内角时不必进行分类讨论．
跟踪训练2　(1)在△ABC中，若a2＋c2＝b2－ac，则∠B＝(　　)
A． B． C． D．
(2)△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7，则其最大内角等于________．
题型三　判断三角形的形状
例3　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝3bc，sin A＝2sin B cos C.试判断△ABC的形状．
总结
利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即用转化的思想解决问题，一般有两个思路：(1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系；(2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系．一般地，若遇到的式子含角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理．
跟踪训练3　在△ABC中，若满足a cos A＝b cos B，则△ABC一定为(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
易错辨析　忽略构成三角形的条件出错
例4　已知2a＋1，a，2a－1是钝角三角形的三边，则实数a的取值范围为________．
解析：∵2a＋1，a，2a－1是三角形的三边
∴
解得a>.
要使2a＋1，a，2a－1
构成三角形，需满足
解得a>2.
由题知2a＋1是三角形的最大边，设其对应的角为θ(钝角)，
则cos θ＝<0，
∴a2＋(2a－1)2－(2a＋1)2<0，即a2－8a<0，解得0又a>2，∴a的取值范围为(2，8)．
答案：(2，8)
易错点
易错原因 纠错心得
a>只能保证2a＋1，a，2a－1都是正数，而要表示三角形的三边，还需满足三角形的隐含条件“两边之和大于第三边”． 由于余弦定理的变形较多，且涉及平方和开方等运算，易因不细心而导致错误．在利用余弦定理求三角形的三边时，除了要保证三边长均为正数，还要判断一下三边能否构成三角形．
课时训练
1．在△ABC中，已知∠B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于(　　)
A．4 B． C．7 D．5
2．在△ABC中，a＝2，b＝2，c＝，则A＝(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若∠B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
4．在△ABC中，a2＝2bc，b＝2c，cos A＝________．
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝.若a＝4，b＋c＝6，且b温馨提示：请完成课时作业(九)
1．6　解三角形
1．6.1　余弦定理
导学
要点二
b2＋c2－2bc cos A　a2＋c2－2ac cos B　a2＋b2－2ab cos C　
[练习]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝82＋32－2×8×3×＝49.∴a＝7.
答案：D
3．解析：∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，
∴cos B＝＝＝.
答案：B
4．解析：由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋9－2×2×3×＝3，
∴c＝.
答案：
导思
例1　解析：(1)由题意，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋9－6＝7，则BC＝，故选D.
(2) 解析：根据余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴6＝a2＋2－2 a×，∴a＝(负值舍去)．
答案：(1)D　(2)C
跟踪训练1　解析：(1)根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝＝.
(2)根据余弦定理，得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C
所以13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1(负值舍去)．
答案：(1)2　　(2)1
例2　解析：(1)因为c所以cos C＝＝＝，
所以∠C＝.
(2)已知a－b＝4，则a>b，且a＝b＋4.
又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，
所以b＝c＋4，则b>c，从而a>b>c.
因此a为最大边，∠A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，
即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.
又b＝a－4>0，所以a＝14.
即此三角形的最大边长为14.
答案：(1)B　(2)见解析
跟踪训练2　解析：(1)因为a2＋c2＝b2－ac，所以a2＋c2－b2＝－ac，
所以cos B＝＝＝－，又B∈(0，π)，
所以B＝.
(2) 解析：由于c最大，故C最大，cos C＝＝－，
由于0答案：(1)D　(2)
例3　解析：因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
所以a2＝b2＋c2－bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以cos A＝.又因为0°因为sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
且sin A＝2sin B cos C，
所以sin B cos C＝cos B sin C，则sin (B－C)＝0.
因为－180°又因为A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°，即B＝C＝60°，
故△ABC为等边三角形．
跟踪训练3　解析：因为a cos A＝b cos B，
所以由余弦定理得a·＝b·
所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)
a2b2＋a2c2－a4＝b2a2＋b2c2－b4
(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，
所以a＝b或a2＋b2＝c2，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
答案：D
[课时训练]
1．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B
＝9＋25－2×3×5cos 120°
＝49
∴b＝7.
答案：C
2．解析：由余弦定理得
cos A＝＝＝
∴∠A＝60°.
答案：B
3．解析：∵△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，
∴cos B＝＝，∴a2＋c2－2ac＝0 (a－c)2＝0，
∴a＝c，∠A＝∠C，∴△ABC为等边三角形．故选D.
答案：D
4．解析：因为a2＝2bc，b＝2c，所以a2＝2×2c×c＝4c2，即a＝2c，
在△ABC中，由余弦定理可得：cos A＝＝＝.
答案：
5．解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即a2＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A，∵a＝4，b＋c＝6，cos A＝，∴16＝36－bc，∴bc＝8.
由可得