4.5.1 几种简单几何体的表面积 导学案（含答案） 高一年级数学湘教版必修第二册

4．5　几种简单几何体的表面积和体积
最新课程标准
1.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式．
2．能用公式解决简单的实际问题．
学科核心素养
1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的推导过程．(直观想象)
2．会利用公式求简单几何体的表面积和体积．(数学运算)
4.5.1　几种简单几何体的表面积
导学
教材要点
要点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱(底面半径为r，母线长为l) 圆锥(底面半径为r，母线长为l) 圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)
侧面展 开图
底面积 S底＝2πr2 S底＝πr2 S底＝π(r′2＋r2)
侧面积 S侧＝________ S侧＝________ S侧＝π(r′＋r)l
表面积 底面积＋侧面积
状元随笔　求旋转体的表面积时，要清楚常见旋转体的侧面展开图是什么，关键是求其母线长与上、下底面的半径．
要点二　棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体 侧面展开图 表面积公式
直棱柱 S直棱柱侧＝______(c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高)． S表＝S侧＋2S底
正棱锥 S正棱锥侧＝ch′(c为正棱锥的底面周长，h′为斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)． S表＝S侧＋S底
正棱台 正棱台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为正棱台的上、下底面的周长，h′为斜高)． S表＝S侧＋S上底＋S下底
状元随笔　多面体展开图的面积即为多面体的表面积，在实际计算中，只要弄清楚多面体的各个面的形状并计算其面积，然后求其和即可，一般不把多面体真正展开．
要点三　球的表面积
S球＝________________
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)将边长为1的正方形以其一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体的侧面积为4π.(　　)
(2)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积．(　　)
(3)空间图形的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．(　　)
(4)正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等．(　　)
2．若圆柱的轴截面为边长为2的正方形，求圆柱的侧面积(　　)
A．2π B．4π C．6π D．8π
3．已知长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为(　　)
A．22 B．20 C．10 D．11
4．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．
导思
题型一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1　(1)圆柱的侧面展开图是两边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A．6π(4π＋3)
B．8π(3π＋1)
C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)
D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)
(2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的(　　)
A．4倍 B．3倍
C．倍 D．2倍
总结
(1)计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，要注意它们侧面展开图的形状和轴截面的性质．
(2)圆柱的轴截面是矩形，其边长分别为底面直径和母线长；圆锥的轴截面是等腰三角形，其底边长等于底面直径，腰等于母线长，底边上的高等于圆锥的高；圆台的轴截面是等腰梯形，其上、下底边长分别为圆台上、下底面的直径，腰等于母线长，梯形的高等于圆台的高．
跟踪训练1　(1)若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为(　　)
A．π B．2π
C．2π D．4π
(2)一个圆柱的底面面积是S，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________．
题型二　棱柱、棱锥、棱台的表面积
例2　(1)已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长是 cm，则该三棱台的表面积为________．
(2)如图，已知棱长均为5的正四棱锥S ABCD，求它的侧面积和表面积．
总结
(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．
(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．
(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到．
跟踪训练2　(1)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
(2)现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．
题型三　球的表面积
例3　在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
总结
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
跟踪训练3　如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　)
A．倍 B．倍
C．2倍 D．3倍
题型四　组合体的表面积
角度1　简单组合体的表面积
例4　如图所示的空间图形是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，求挖洞后空间图形的表面积是多少？(π取3.14)
总结
(1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它由哪些简单空间图形组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用．
(2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种空间图形，哪些面计算在内，哪些面在实际中没有．
角度2　球的切接问题
例5　一个正方体的外接球、此正方体及正方体的内切球的表面积之比为________．
总结
(1)求球的表面积时，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入表面积公式求解．
(2)对于有关球的切接问题，先要认真分析条件，明确切点或接点的位置；然后正确抽象出其截面图，再分析相关元素间的数量关系进行求解．
跟踪训练4　
(1)如图，已知直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2，以直角梯形ABCD的底边AB所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则所得几何体的表面积为(　　)
A．3π B．(5＋)π
C．(3＋)π D．(5＋3)π
(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，则其外接球的表面积是(　　)
A．π B．2π
C．6π D．3π
易错辨析　对球的“切、接”的结构特点认识模糊致错
例6　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2 B．πa2
C．πa2 D．5πa2
解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，如图．设O1，O分别为上，下底面的中心，且球心O2为OO1的中点，连接AO交BC于D点，球半径为R.
∵AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝，
∴R2＝＝a2＋a2＝a2.
∴S球＝4πR2＝4π×a2＝πa2.
答案：B
易错点
易错原因 纠错心得
球心所在的截面位置判断错误，对多面体及外接球的几何特点理解模糊，基本量之间的关系不清． 解决此类问题要确定球心的位置及其所在的截面，在截面中寻找球半径与多面体基本量的关系．
课时训练
1.如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为(　　)
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
2．棱长为1的正方体的八个顶点都在球面上，则该球的表面积为(　　)
A．3π　　　B．4π　　　C．π　 　D．π
3．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为(　　)
A．6 B．12 C．24 D．48
4．若圆柱的底面半径为1，其侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是________．
5．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积．
4．5　几种简单几何体的表面积和体积
4．5.1　几种简单几何体的表面积
导学
要点一
2πrl　πrl
要点二
ch
要点三
4πR2
[练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由轴截面的边长为2可知r＝1，l＝2，∴S＝2πr·l＝4π.
答案：B
3．解析：长方体的表面积为S表＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.
答案：A
4．解析：因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S表＝×3× ×4＝9.
答案：9
导思
例1　解析：(1)由题意，圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.
①以边长为6π的边为母线时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，即r＝2，所以S底＝4π，因此S表＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．
②以边长为4π的边为母线时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，即r＝3，所以S底＝9π，因此S表＝S侧＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．
(2) 解析：设圆锥底面半径为r，由题意知母线长l＝2r，
则S侧＝πr·2r＝2πr2，∴＝＝2.
答案：(1)C　(2)D
跟踪训练1　
解析：(1)设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题意可知r＝h＝l.
则r)2＝1，得r＝1，l＝，
所以S圆锥侧＝πrl＝π.
(2) 解析：设底面圆半径为r，母线为l，
则S＝πR2，R＝，
底面周长c＝2πR.
故圆柱的侧面积为S圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2·＝4πS.
答案：(1)A　(2)4πS
例2　解析：(1)正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为 cm，故三棱台的表面积为3××(2＋4)××2××4×2＝5＋9.
(2)∵四棱锥S ABCD为正四棱锥，且棱长均为5，
∴各侧面是全等的等边三角形，底面是正方形．
设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB，SE＝＝.
∴S侧＝4S△ABS＝4××5×＝25，S底＝5×5＝25.
∴S全＝S侧＋S底＝25＋25.
答案：(1)5＋9　(2)见解析
跟踪训练2　
解析：(1)∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，
∴S表＝a2＋3×＝a2.
故选A.
(2) 解析：如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
体对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝＋＝＝＝64，
∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.
∴直四棱柱的底面积S底＝AC·BD＝20.
∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20＝160＋40.
答案：(1)A　(2)见解析
例3　解析：依题意知，△ABC是正三角形，△ABC的外接圆半径r＝＝.由R2＝＋()2，得R＝2.
所以球的表面积S＝4πR2＝16π.
跟踪训练3　解析：设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝.
答案：B
例4　解析：因为正方体的棱长为4 cm，而洞深只有1 cm，所以正方体没有被打透，这样一来打洞后所得空间图形的表面积等于原来正方体的表面积，再加上圆柱的侧面积，这个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.
正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)，
圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)，
则挖洞后空间图形的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm2)．
例5　解析：设正方体的棱长为2a，外接球半径为R，内切球半径为r，
则R＝a，r＝a所以外接球、正方体、内切球的表面积之比为S1∶S2∶S3＝(4πR2)∶[6(2a)2]∶(4πr2)＝[4π(a)2]∶(24a2)∶(4πa2)＝12π∶24∶4π＝3π∶6∶π.
答案：3π∶6∶π
跟踪训练4　解析：(1)旋转后所得几何体，如图所示：
所得几何体为一个圆锥与一个同底的圆柱的组合体，
由题意得OD＝BC＝CD＝OB＝AO＝1，AD＝＝，
所以底面圆的周长为2π×1＝2π，底面圆的面积为π×12＝π，
所以圆锥的侧面积为×2π×＝π，
圆柱的侧面积为2π×1＝2π，
所以所得几何体的表面积为π＋π＋2π＝(3＋)π.
(2) 解析：如图，若AC＝1，AD＝，AB＝，AC⊥AD，AD⊥AB，AB⊥AC，
∴以AB、AC、AD为邻边作四棱柱，四棱柱体对角线长为球的直径，
∴R＝＝，
∴S＝4πR2＝6π.
答案：(1)C　(2)C
[课时训练]
1．解析：设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.故选C.
答案：C
2．解析：由题知该球为正方体的外接球，正方体的体对角线为球的直径，
设球的半径为R，
则2R＝，R＝，
所以该球的表面积为S＝4πR2＝4π·＝3π.
答案：A
3．解析：正四棱锥的斜高h′＝4，S侧＝×4×6×4＝48.
答案：D
4．解析：依题意，圆柱的母线长l＝2πr，故S侧＝2πrl＝4π2r2＝4π2.
答案：4π2
5．解析：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.