单元素养测评卷(四)
1.B [解析] 因为=2x+1的回归系数为2,所以当x每增加1个单位时,y平均增加2个单位,故选B.
2.C [解析] 因为χ2=8.01>7.879,P(χ2≥7.879)≈0.005,所以约有99.5%的把握认为对乡村音乐的态度与性别有关系.故选C.
3.C [解析] 因为==3,==8,所以经验回归直线必过定点(3,8).故选C.
4.D [解析] 因为样本观测值(xi,yi)都在经验回归直线=x+上,所以线性相关性最强,可知|r|=1,又<0,所以变量x,y负相关,所以样本相关系数为-1.故选D.
5.C [解析] 因为a+21=73,所以a=52.又a+22=b,所以b=74.故选C.
6.B [解析] 由题意可知,==10,==11,∵经验回归直线=x-2.2过点(,),∴11=10-2.2,解得=1.32,故B正确;对于A,由B可知=1.32x-2.2,当胸径x=15 cm时,树高y的预测值为=1.32×15-2.2=17.6(m),A错误;对于C,∵5×40%=2,∴表中的树高观测数据y的40%分位数为=10.5(m),C错误;对于D,由B可知=1.32x-2.2,当胸径x=11 cm时,树高y的预测值为1.32×11-2.2=12.32(m),∴此时树高y的残差为12-12.32=-0.32(m),D错误.故选B.
7.A [解析] 由题意知,修正前==,则=2-1=2×-1=,增加数据(-3,3)后,即修正后,==3,==6,且修正后的经验回归方程为=2.1x+,所以6=2.1×3+,可得=-0.3,则=2.1x-0.3,所以当x=4时,=2.1×4-0.3=8.1,故所求残差的绝对值为|8-8.1|=0.1.故选A.
8.C [解析] 由题意可设被调查的男生的人数为5m(m∈N*),则可列出2×2列联表如下:
男生 女生 合计
喜欢吃甜食 2m 4m 6m
不喜欢吃甜食 3m m 4m
合计 5m 5m 10m
则χ2===,因为有95%,但没有99%的把握认为是否喜欢吃甜食与性别有关,所以3.841≤<6.635,解得11.523≤5m<19.905,因为m∈N*,所以5m=15,即被调查的男生人数是15.故选C.
9.AC [解析] 经验回归直线一定过点(,),故A正确;两个变量的样本相关系数不是经验回归直线的斜率,两者公式不同,故B不正确;两个变量的样本相关系数在[-1,1]内,故C正确;所有样本点集中在经验回归直线附近,不一定两侧一样多,故D不正确.故选AC.
10.AB [解析] 对于A,由表中数据,计算得=×(1+2+3+4+5)=3,可得=0.5×3+1.3=2.8,则2+2+3+m+4=2.8×5,解得m=3,故A正确;对于B,由经验回归方程中x的系数为正数可知,y与x正相关,且其样本相关系数r>0,故B正确;对于C,经验回归方程只是一种统计预测工具,当月份编号x增加1时,销量不一定增加0.5万部,故C错误,对于D,2025年2月份对应的月份编号x=8,此时=0.5×8+1.3=5.3,故D错误.故选AB.
11.ABC [解析] 因为该地区成年男士的身高X(单位:cm)服从正态分布N(175,22),所以P(X>177)=0.5-P(175-2≤X≤175+2)≈0.158 5,因为从该地区随机选取成年男士100人,所以估计身高大于177 cm的人数为100×0.158 5=15.85≈16,所以a+b≈16,故A正确.因为体重Y(单位:kg)服从正态分布N(70,32),所以P(Y>73)=0.5-P(70-3≤Y≤70+3)≈0.158 5,因为从该地区随机选取成年男士100人,所以估计体重大于73 kg的人数为100×0.158 5≈16,所以估计体重小于或等于73 kg的人数约为84,则b+d≈84,故B正确.若a=12,则b=4,c=4,d=80,提出假设H0:该地区成年男士身高大于177 cm与体重大于73 kg无关,由列联表中数据计算可得χ2=≈49.334>10.828,因为当H0成立时,P(χ2≥10.828)≈0.001,这里χ2≈49.334>10.828,所以我们有99.9%的把握认为该地区成年男士身高大于177 cm与体重大于73 kg有关,故C正确,D错误.故选ABC.
12.6 [解析] 由已知数据得==0,==2.8,将(0,2.8)代入=-x+,得=2.8,所以=-x+2.8,令x=-3.2,则=-(-3.2)+2.8=6,即预测当天的盈利额为6百元.
13.0.3 [解析] 由题意知0.9=0.6×3.5+,解得=-1.2,所以=0.6x-1.2.由z=ln y,得ln =0.6x-1.2,所以=e0.6x-1.2=e-1.2·e0.6x,则=e-1.2≈0.3.
14.8或9 [解析] 因为有95%的把握认为X与Y之间有关系,所以χ2的值大于或等于3.841.由χ2==≥3.841,且a∈Z,得a≥8或a≤1.又a>5且15-a>5,所以a=8或a=9.
15.解:(1)设喜爱该档节目的男性观众人数为x,则喜爱该档节目的女性观众人数为70-x,不喜爱该档节目的女性观众人数为2x,
则70-x+2x=100,解得x=30,故可得列联表如下:
喜爱 不喜爱 合计
男 30 70 100
女 40 60 100
合计 70 130 200
(2)提出假设H0:观众对该档节目的喜爱情况与性别无关.
根据列联表中的数据可求得χ2=≈2.198<2.706,
因为当H0成立时,χ2≥2.198的概率大于10%,这个概率比较大,所以不能否定假设H0,即没有90%的把握认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关.
16.解:(1)根据题意,可得==5,==4,
即预测当液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量为6.1百千克.
17.解:(1)由题意知,身高低于170 cm的学生有200×5×(0.005+0.015+0.030+0.060)=110(人),则身高不低于170 cm的学生有200-110=90(人).
从而m=110-50=60,n=90-20=70.
(2)提出假设H0:该市高三年级学生的身高是否低于170 cm与性别没有关系.
由列联表中的数据可得χ2=≈21.549,
因为当H0成立时,P(χ2≥10.828)≈0.001,这里的χ2≈21.549>10.828,所以我们有99.9%的把握认为该市高三年级学生的身高是否低于170 cm与性别有关系.
(3)样本中身高不低于175 cm的频数为(0.032+0.008)×5×200=40,
所以抽中身高不低于175 cm的学生的频率为=,
将样本频率视为概率,在全市身高不低于170 cm的学生中随机抽取6人,其中身高不低于175 cm的人数记为X,
则X~B,所以E(X)=6×=.
18.解:(1)由题意知==3,==60,
所以当k=20时,恰有一次中奖的概率P最大.
19.解:(1)列联表如下:
近视 未近视 合计
户外活动时间不足2小时 35 10 45
户外活动时间超过2小时 25 30 55
合计 60 40 100
提出假设H0:学生是否患近视与户外活动时间长短无关.
根据列联表中的数据可求得χ2=≈10.774,
因为当H0成立时,P(χ2≥7.879)≈0.005,这里的χ2≈10.774>7.879,所以我们有99.5%的把握认为学生是否患近视与户外活动时间长短有关.
(2)设事件A=“抽取的近视学生使用‘物理+药物’治疗方案能够被治愈”,事件B1=“该近视学生每天户外活动时间超过2小时”,B2=“该近视学生每天户外活动时间不足2小时”,
则P(B1)==,P(B2)==,且P(A|B1)=,P(A|B2)=,
则P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×=,
所以该近视学生被治愈的概率为.单元素养测评卷(四)
第9章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知经验回归方程=2x+1,则当x每增加1个单位时,y的变化情况为 ( )
A.平均增加1个单位 B.平均增加2个单位
C.平均增加3个单位 D.平均增加4个单位
2.为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算χ2=8.01,则所得到的统计学结论是对乡村音乐的态度与性别有关系,则该结论正确的把握约为 ( )
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.0.1% B.0.5% C.99.5% D.99.9%
3.已知变量x与y的一组取值如表,
x 1 2 3 4 5
y 5 7-m 8 9+m 11
且y与x具有线性相关关系,则y与x的经验回归直线=x+必经过的定点为 ( )
A.(1,5) B.(2,7-m) C.(3,8) D.(5,11)
4.[2025·天一中学月考] 已知变量x,y的n(n>2)对样本观测值(xi,yi)(i=1,2,…,n)都落在经验回归直线=x+(<0,>0)上,则变量x,y的样本相关系数为 ( )
A. B. C.1 D.-1
5.[2025·东台中学月考] 给出如下2×2列联表:
y1 y2 合计
x1 a 21 73
x2 22 25 47
合计 b 46 120
则表中a,b的值分别为 ( )
A.94,72 B.52,50 C.52,74 D.74,52
6.[2025·兴化中学月考] 经验表明,一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3 m处的直径)越大,树就越高.在研究树高y(单位:m)与胸径x(单位:cm)之间的关系时,某同学收集了某种树的5对观测数据(如下表).
胸径x/cm 8 9 10 11 12
树高y/m 8.2 10 11 12 13.8
已知树高y与胸径x的经验回归方程为=x-2.2,则 ( )
A.当胸径x=15 cm时,树高y的预测值为14 m
B.=1.32
C.表中的树高观测数据y的40%分位数为10 m
D.当胸径x=11 cm时,树高y的残差为0.32 m
7.[2025·海门中学月考] 已知变量x,y线性相关,其一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,9)( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
8.[2025·启东联考] 为了预防肥胖,某校对“学生是否喜欢吃甜食与性别是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的,女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的,若有95%,但没有99%的把握认为是否喜欢吃甜食与性别有关,则被调查的男生人数是 ( )
参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d.
附:
P(χ2≥x0) 0.05 0.01
x0 3.841 6.635
A.7 B.11 C.15 D.20
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量x和y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的经验回归直线,则以下结论正确的是 ( )
A.直线l过点(,)
B.直线l的斜率即为x和y的样本相关系数
C.x和y的样本相关系数在[-1,1]内
D.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数相等
10.[2025·南通中学月考] 某手机商城统计了2024年5个月智能手机的销量y(单位:万部),所得数据如下表:
月份 7月 8月 9月 10月 11月
月份编号x 1 2 3 4 5
y 2 2 3 m 4
根据表中数据用最小二乘法得到的y关于月份编号x的经验回归方程为=0.5x+1.3,则 ( )
A.m=3
B.y与x正相关
C.当月份编号x增加1时,销量一定增加0.5万部
D.预测2025年2月份该手机商城的销量为6万部
11.[2025·太仓中学月考] 已知某地区成年男士的身高X(单位:cm)服从正态分布N(175,22),体重Y(单位:kg)服从正态分布N(70,32).若从该地区随机选取成年男士100人,得到数据如下表,则 ( )
体重大于73 kg 体重小于或等于73 kg 合计
身高大于177 cm a b a+b
身高小于或等于177 cm c d c+d
合计 a+c b+d n=a+b+c+d
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683.
χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.根据正态分布估计a+b≈16
B.根据正态分布估计b+d≈84
C.若a=12,根据正态分布估计b,c,d的值,基于上述数值,我们有99.9%的把握认为该地区成年男士身高大于177 cm与体重大于73 kg有关
D.若a=12,根据正态分布估计b,c,d的值,基于上述数值,我们没有99.9%的把握认为该地区成年男士身高大于177 cm与体重大于73 kg有关
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某小吃店的日盈利额y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:℃)之间有如下数据:
x -2 -1 0 1 2
y 5 4 2 2 1
已知y与x的经验回归方程为=-x+,若某天的平均气温为-3.2 ℃,则预测当天的盈利额为 百元.
13.已知变量x和y之间的关系可以用模型y=menx来拟合.设z=ln y,若根据样本数据计算可得=3.5,=0.9,且x与z的经验回归方程为=0.6x+,则≈ .(参考数据:ln 0.3≈-1.2,ln 0.25≈-1.4)
14.有两个分类变量X与Y,其2×2列联表如下表所示:
Y=0 Y=1 合计
X=0 a 20-a 20
X=1 15-a 30+a 45
合计 15 50 65
其中a,15-a均为大于5的整数,若有95%的把握认为X与Y之间有关系,则a的值为 .
四、解答题:本题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性,分别调查了收看该档节目的男、女观众各100人,发现共有70名观众喜爱该档节目,且不喜爱该档节目的女性观众人数是喜爱该档节目的男性观众人数的2倍.
(1)根据题中信息,完成下面列联表;
喜爱 不喜爱 合计
男
女
合计
(2)根据(1)中的列联表判断,能否有90%的把握认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关
附:χ2=,n=a+b+c+d.
P(χ2≥x0) 0.25 0.15 0.1 0.05 0.01
x0 1.323 2.072 2.706 3.841 6.635
16.(15分)[2025·江苏镇江中学高二期中] 根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(单位:百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(单位:千克)之间的一组数据对应的散点图如图所示.
(1)依据散点图可以看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请计算样本相关系数r,并说明y与x的线性相关关系是否显著(样本相关系数r精确到小数点后2位,若|r|>0.5,则线性相关关系显著);
(2)求y关于x的经验回归方程,并预测当液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量y为多少百千克.
附:
17.(15分)为了研究某市高三年级学生的身高与性别的关联性,随机抽取了200名高三年级学生,整理数据得到如下列联表,并画出身高的频率分布直方图,如图所示.
身高低于170 cm 身高不低于170 cm 合计
女 m 20
男 50 n
合计 200
(1)根据身高的频率分布直方图,求列联表中m,n的值.
(2)能否有99.9%的把握认为该市高三年级学生的身高是否低于170 cm与性别有关系 并说明理由.
(3)将样本频率视为概率,在全市身高不低于170 cm的学生中随机抽取6人,其中身高不低于175 cm的人数记为X,求X的期望.
附:χ2=,n=a+b+c+d.
P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001
x0 3.841 6.635 10.828
18.(17分)2024年1月1日至5日,某机场接待外地游客数量y(单位:万人)与日期x的关系如下:
x 1 2 3 4 5
y 45 50 60 65 80
(1)计算x,y的样本相关系数r(计算结果精确到0.01),并判断是否可以认为日期与游客数量的相关关系显著(若|r|>0.5,则认为相关关系显著).
(2)用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程.
(3)为了吸引游客,在某景点售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动,具体抽奖规则为:从该旅游团中随机同时抽取两名游客,两名游客性别不同则中奖.已知某个旅游团中有5名男游客和k(k≥5)名女游客,设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为P,则当k取多少时,P最大
参考公式:
19.(17分)为研究近视是否与户外活动时长有关,某学校数学兴趣小组调查了六年级的100名学生,其中有55名同学的户外活动时间超过2小时,这100名同学中近视的学生有60人,这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人.
(1)根据所给数据,完成以下列联表,并判断能否有99.5%的把握认为学生是否患近视与户外活动时间长短有关
近视 未近视 合计
户外活动时间不足2小时 35
户外活动时间超过2小时 55
合计 60
(2)用频率估计概率,从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生,利用“物理+药物”治疗方案对该学生进行治疗.已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下:在已近视的学生中,对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为,对每天户外活动时间不足2小时的学生的治愈率为,求抽取的近视学生被治愈的概率.
参考公式与数据:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
