模块素养测评卷(一)
1.A [解析] 在空间直角坐标系中,点(1,2,3)关于xOy平面的对称点坐标为(1,2,-3),故选A.
2.A [解析] 由m=(a,2,1),n=(2,-1,1),可得m-n=(a-2,3,0),又(m-n)⊥n,所以(m-n)·n=0,即2(a-2)-3=0,解得a=.故选A.
3.A [解析] (2x+1)6的展开式中含x2的项为(2x)2=4x2,其系数为4=60,a(x+1)3的展开式中含x2的项为a·x2,其系数为a·=3a.因为(2x+1)6+a(x+1)3的展开式中x2的系数为0,所以3a+60=0,所以a=-20.故选A.
4.C [解析] =-=(+)-=-a+b+c.故选C.
5.A [解析] 从9枚编钟中任选4枚放上层,有种方法,又因为每层编钟左边都比右边的大,所以上、下层的排法均只有1种,综上可知不同的悬挂方法有种.故选A.
6.C [解析] 设两人年龄分别为x1,x2,脂肪含量占比分别为y1,y2,由=0.58x-0.62得y1-y2=0.58(x1-x2),可得10.44=0.58(x1-x2),解得x1-x2=18,故选C.
7.C [解析] 的展开式的通项为Tk+1=(ax)6-k=a6-k(-b)kx6-2k,令6-2k=0,得k=3,故T4=a6-3(-b)3=-20a3b3=-160,则a3b3=8,可得ab=2,则=≥+1=3,当且仅当a=b=或a=b=-时,等号成立,故的最小值为3.故选C.
8.A [解析] 以{,,}为正交基底建立空间直角坐标系,如图所示,因为Q是四边形ABCD内部一点,所以设Q(x0,y0,0),其中x0∈[0,4],y0∈[0,2]且x0+y0≤4(即点Q在平面ABCD内部),则P(0,0,2),D(4,0,0),A(0,0,0),可得=(4,0,-2),=(4-x0,-y0,0).因为y轴⊥平面PAD,所以平面PAD的一个法向量为m=(0,1,0).设平面QPD的法向量为n=(x1,y1,z1),则即
由题意得y0≠0,令x1=1,则y1=,z1=2,所以n=.因为二面角Q-PD-A的平面角的大小为,所以|cos
|===,则4=5+,可得y0=(4-x0),所以||=|(x0,y0,0)|===,当x0=时,||min=,所以线段AQ长度的最小值是.故选A.
9.ACD [解析] ∵P(1,1,0),B(0,2,1),∴PB==,故A正确.∵A(2,0,1),B(0,2,1),C(0,0,0),∴=(2,0,1),=(0,2,1),∴cos<,>===,故B错误.∵n=(1,1,-2),∴·n=2×1+0×1+1×(-2)=0,·n=0×1+2×1+1×(-2)=0,∴n是平面ABC的一个法向量,故C正确.∵=(-1,1,1),∴PB与平面ABC所成角的正弦值为|cos<,n>|===,故D正确.故选ACD.
10.ACD [解析] 因为ξ~B,所以D(ξ)=8××=,所以A正确;残差平方和越小,模型的拟合效果越好,所以B错误;根据正态分布的特点知P(|η-μ|<σ)=P(μ-σ<η<μ+σ)为定值,C正确;
11.ACD [解析] 以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,,0),C1(0,,1),设=k(k>1),因为=(-1,,-1),所以=,可得=+=,=+=.对于A,当=2时,点P为体对角线A1C的中点,根据长方体的性质可得B1,P,D三点共线,故A正确.对于B,当⊥时,·=++-1=0,解得k=5,所以=,=,则·=·=-+-≠0,因此与不垂直,故B错误.对于C,当=3时,k=3,=,设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),因为=(1,,0),=(0,,1),所以n·=x+y=0,n·=y+z=0,取y=-1,则x=,z=,故n=(,-1,),所以n·=×--×=0,所以n⊥,又D1P 平面BDC1,所以D1P∥平面BDC1,故C正确.对于D,当=5时,k=5,可得=,=(1,0,-1),设平面D1AP的法向量为m=(a,b,c),则m·=-a+b+c=0,m·=a-c=0,取a=-1,则b=,c=-1,所以m=(-1,,-1),又=(-1,,-1),所以∥m,所以A1C⊥平面D1AP,故D正确.故选ACD.
12.21 [解析] 因为a=(3,3,2),b=(6,m,7),c=(0,5,1)共面,所以存在实数x,y,使得b=xa+yc,则解得
13. [解析] 由X~B(4,p),得E(X)=4p;由Y~N(3,22),得E(Y)=3.又E(X)=E(Y),所以4p=3,解得p=.
14. [解析] 因为P(N)=,P(M|N)=,所以P(MN)=P(M|N)P(N)=×=,又P(M∪N)=P(M)+P(N)-P(MN)=,所以P(M)=P(M∪N)+P(MN)-P(N)=+-=,所以P(N|M)===.
15.解:(1)因为的展开式中共有9项,所以二项式系数最大的项为中间项,即第5项,
又的展开式的通项为Tr+1=()8-r=(-1)r2r,r=0,1,…,8,所以所求项为T5=(-1)424=1120x-6.
(2)由(1)知展开式的通项为Tr+1=(-1)r2r,r=0,1,…,8,
当4-r为整数时,对应项为有理项,此时r=0,2,4,6,8,
则第1,3,5,7,9项是有理项,则k的取值集合为{1,3,5,7,9}.
16.解:(1)设A1,A2,A3分别表示“取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的”,B表示“取到的产品为次品”,
则P(A1)==,P(A2)=,P(A3)==,
P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,
由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=×+×+×=0.08.
(2)从这批产品中取出一件产品,发现是次品,
则该件产品是甲厂生产的概率为P(A1|B)====0.625.
17.解:(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC 平面ABC,
所以CC1⊥AC,
又AC⊥BC,CC1,BC 平面BCC1B1且CC1∩BC=C,所以AC⊥平面BCC1B1,
又因为C1E 平面BCC1B1,所以AC⊥C1E.
(2)以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系.
由AC⊥BC,AB=2BC=2,可得AC=,
则C(0,0,0),A(,0,0),E(0,1,1),C1(0,0,2),
设平面AEC1的法向量为m=(x,y,z),
又=(-,1,1),=(-,0,2),
所以即令z=,则x=2,y=,
所以m=(2,,).
因为AC⊥平面BCC1B1,所以=(,0,0)为平面EC1B的一个法向量,
所以cos===,
又易知二面角A-EC1-B的平面角为锐角,
所以二面角A-EC1-B的余弦值等于.
18.解:(1)因为苹果横径L服从正态分布N(70,25),其中μ=70,σ=5,
且L≥75的苹果为优品果,所以抽出优品果的概率为P(L≥75)=P(L≥μ+σ)=≈≈0.2.
(2)由题意知,第k次抽到优品果的概率P(X=k)=0.8k-1·0.2(k=1,2,3,…,n-1),恰好抽取n次的概率P(X=n)=0.8n-1,
由5(1-0.8n)≤4,得0.8n≥0.2,
因为数列{0.8n}是递减数列,且0.87≈0.209 7,0.88≈0.167 8,
所以n的最大值为7.
19.解:(1)2×2列联表如下:
轻症 重症 合计
年龄不超过50岁 s
年龄超过50岁 2s
合计 3s
提出假设H0:该疾病症状轻重与年龄无关,根据列联表中的数据可求得χ2==.
若要有99%以上的把握认为该疾病症状轻重与年龄有关,
则需满足≥6.635,解得s≥9.952 5,
由题意知s是6的倍数,所以s的最小整数值为12.
所以抽取的年龄不超过50岁的患者至少有12人.
(2)设甲研发团队试验每人的花费为X元,
根据以往试验统计得E(X)=-3tp2+6t.
设乙研发团队试验每人的花费为Y元,则Y的可能取值为3t,6t,
所以P(Y=3t)=q2(1-q)+q3=-2q3+3q2,P(Y=6t)=1+2q3-3q2,
所以E(Y)=3t(-2q3+3q2)+6t(1+2q3-3q2)=6tq3-9tq2+6t.
因为0所以乙团队试验每人的平均花费较少,所以该公司应选择乙团队进行研发.模块素养测评卷(一)
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在空间直角坐标系中,点(1,2,3)关于xOy平面的对称点坐标为 ( )
A.(1,2,-3) B.(-1,2,-3)
C.(-1,-2,3) D.(-1,-2,-3)
2.已知向量m=(a,2,1),n=(2,-1,1),若(m-n)⊥n,则a= ( )
A. B.4
C. D.5
3.已知(2x+1)6+a(x+1)3的展开式中x2的系数为0,则实数a的值为 ( )
A.-20 B.-10
C.10 D.20
4.[2025·上海建平中学月考] 如图,在三棱锥O-ABC中,=a,=b,=c,且=2,=,则等于 ( )
A.a+b+c B.a+b-c
C.-a+b+c D.a-b+c
5.[2025·海安中学月考] 如图,某仿古双层编钟模型摆件由9枚大小不同的编钟组成,若将这9枚编钟重新悬挂,上层4枚,下层5枚,且要求每层编钟左边都比右边的大,则不同的悬挂方法有 ( )
A.种 B.种 C.种 D.种
6.[2025·天一中学月考] 科研人员在对人体的脂肪含量与年龄之间的关系的研究中发现,年龄x(单位:岁)和脂肪含量占比y(单位:0.01)满足经验回归方程=0.58x-0.62,若已知年龄不同的两人的脂肪含量占比相差10.44%,则两人年龄相差 ( )
A.15岁 B.17岁 C.18岁 D.20岁
7.[2025·启东中学月考] 若的展开式中的常数项为-160,则的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.[2025·南通中学月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,BC∥AD,PA=AB=BC=AD=2,已知Q是四边形ABCD内部一点(包括边界),且二面角Q-PD-A的平面角的大小为,则线段AQ长度的最小值是 ( )
A. B.2
C. D.4
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·白蒲中学月考] 在三棱锥P-ABC中,P(1,1,0),A(2,0,1),B(0,2,1),C(0,0,0),则 ( )
A.PB=
B.向量与夹角的余弦值为
C.向量n=(1,1,-2)是平面ABC的一个法向量
D.PB与平面ABC所成角的正弦值为
10.下列说法正确的是 ( )
A.若随机变量ξ~B,则D(ξ)=
B.残差平方和越大,模型的拟合效果越好
C.若随机变量η~N(μ,σ2),则当μ减小时,P(|η-μ|<σ)保持不变
D.一组数据的极差不小于该组数据的标准差
11.[2025·姜堰中学期中] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=,点P为线段A1C上的动点,则下列结论正确的是 ( )
A.当=2时,B1,P,D三点共线
B.当⊥时,⊥
C.当=3时,D1P∥平面BDC1
D.当=5时,A1C⊥平面D1AP
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若向量a=(3,3,2),b=(6,m,7),c=(0,5,1)共面,则实数m的值为 .
13.[2025·泰兴中学月考] 已知随机变量X,Y满足X~B(4,p),Y~N(3,22),且E(X)=E(Y),则p= .
14.[2025·海安中学月考] 已知随机事件M,N,若P(N)=,P(M|N)=,P(M∪N)=,则P(N|M)= .
四、解答题:本题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)在的展开式中,
(1)求二项式系数最大的项;
(2)若第k项是有理项,求k的取值集合.
16.(15分)已知某仓库有一批产品,这批产品中甲厂生产的占50%,乙厂生产的占30%,丙厂生产的占20%,且甲、乙、丙厂生产的产品的次品率分别为,,.
(1)现从这批产品中任取一件,求取到次品的概率;
(2)若从这批产品中取出一件产品,发现是次品,求该件产品是甲厂生产的概率.
17.(15分)[2025·南通中学月考] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,E为BB1的中点,AB=CC1=2BC=2.
(1)证明:AC⊥C1E;
(2)求二面角A-EC1-B的余弦值.
18.(17分)[2025·苏州十中月考] 某水果基地种植的苹果,按苹果的横径L的大小(单位:毫米)分为5级:当L≥80时为特优级,当75≤L<80时为优级,当70≤L<75时为一级,当65≤L<70时为二级,当L<65时为废果,将特优级果与优级果称为优品果.已知这个基地种植的苹果横径L服从正态分布N(70,25).
(1)从该基地随机抽取1个苹果,求抽出优品果的概率(精确到0.1);
(2)对该基地种植的苹果进行随机抽查,每次抽取1个苹果,如果抽出的是优品果,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出优品果为止,但抽查次数最多不超过n(n∈N,n>1)次,若抽查次数X的数学期望值不超过4,根据第(1)小题的结果,求n的最大值.
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ0.262 1,0.87≈0.209 7,0.88≈0.167 8,0.89≈0.134 2.
19.(17分)[2025·清江中学月考] 某种季节性疾病可分为轻症、重症两种类型,为了了解该疾病症状轻重与年龄的关系,在某地随机抽取了患该疾病的3s位病人进行调查,其中年龄不超过50岁的患者人数为s,轻症占,年龄超过50岁的患者人数为2s,轻症占.
(1)完成下面的2×2列联表.若要有99%以上的把握认为该疾病症状轻重与年龄有关,则抽取的年龄不超过50岁的患者至少有多少人
轻症 重症 合计
年龄不超过50岁 s
年龄超过50岁 2s
合计 3s
(2)某药品研发公司安排甲、乙两个研发团队分别研发预防此疾病的疫苗,两个团队各至多安排2个周期进行疫苗接种试验,每人每次疫苗接种花费t(t>0)元.甲团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为p(0附:χ2=,其中n=a+b+c+d,P(χ2≥6.635)=0.01.