模块素养测评卷(二)
1.D [解析] ++=+=.故选D.
2.D [解析] 对于A,在做回归分析时,残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好,故A错误;对于B,概率只说明事件发生的可能性,事件可能发生,也可能不发生,所以并不能说明天气预报不科学,故B错误;对于C,在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好,故C错误;对于D,在经验回归方程=0.1x+10中,当解释变量每增加1个单位时,响应变量平均增加0.1个单位,故D正确.故选D.
3.D [解析] 将P(AB)=,P(A|B)=代入P(A|B)=,得=,解得P(B)=.故选D.
4.A [解析] 由分布列的性质知+n+=1,解得n=,∴E(X)=0×+1×+m×=1.1,∴m=2,∴D(X)=(0-1.1)2×+(1-1.1)2×+(2-1.1)2×=0.49.故选A.
5.A [解析] 因为(1+x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等,所以=,解得n=11,所以展开式中奇数项的二项式系数和为==210.故选A.
6.B [解析] 将3个红球分成3组,每组球的数量最多2个最少0个,则有(0,1,2),(1,1,1)两种分组形式.当红球分组形式为(0,1,2)时,将红球放入三个不同的袋中有=3×2×1=6(种)放法,此时三个不同的袋中依次补充上黑球,使每个袋子中球的总个数为2即可;当红球分组形式为(1,1,1)时,将红球放入三个不同的袋中有1种放法,此时三个不同的袋中依次补充上黑球,使每个袋子中球的总个数为2即可.综上所述,将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中,每袋均装2个球,不同的装法种数为6+1=7.故选B.
7.C [解析] 因为P(90≤X≤100)=P(μ-σ≤X≤μ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈×0.683=0.341 5,所以测试成绩在[90,100]内的学生人数约为20 000×0.341 5=6830.故选C.
8.B [解析] 以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系S-xyz,则B(2,0,0),D(0,2,0),A(0,0,1),C(0,3,0),又点E为△ABC的重心,所以E,连接EB,则=,=(2,-2,0),则cos<,>====,则sin<,>==,所以点E到直线BD的距离为||·sin<,>=×=×=.故选B.
9.AC [解析] 由X~N(90,σ2)(σ>0),可得正态密度曲线的对称轴为直线x=90.对于A,根据正态密度曲线的对称性,可得P(X<90)=0.5,故A正确;对于B,根据正态密度曲线的对称性,可得P(70
90+30),所以P(X<60)=P(X>120),故C正确;对于D,根据正态密度曲线的特征可知,σ越大,曲线越扁平,所以P(7510.AD [解析] 对于选项A,因为P(B|A1)=,所以选项A正确;对于选项B,因为事件B与事件C互为对立事件,所以P(B|A1)+P(C|A1)=1,所以选项B不正确;对于选项C,由全概率公式知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×1=,所以选项C不正确;对于选项D,由选项C知P(B)=,则P(A1|B)====,所以选项D正确.故选AD.
11.BCD [解析] 以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设AB=1,则AA1=2,B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).对于A,因为=(1,0,2),=(-1,-1,2),所以·=-1+4=3,所以A1D与BD1不垂直,所以BD1与平面A1C1D不垂直,故A错误;对于B,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥C1D1∥CD且A1B1=C1D1=CD,所以四边形A1B1CD为平行四边形,所以B1C∥A1D,又B1C 平面A1C1D,A1D 平面A1C1D,所以B1C∥平面A1C1D,所以点P到平面A1C1D的距离为定值,又△A1C1D的面积为定值,所以三棱锥P-A1C1D的体积为定值,故B正确;对于C,因为A1B1∥AB,所以AB与A1C1所成的角为∠B1A1C1,因为四边形A1B1C1D1为正方形,所以tan∠B1A1C1=1,故C正确;对于D,因为=(-1,0,-2),=(-1,1,0),所以cos<,>===,所以异面直线B1C与A1C1所成角的余弦值为,故D正确.故选BCD.
12.(2,1,3) [解析] 由题意,p=2a+3b+4c,设p=x(a+b)+y(b+c)+zc=xa+(x+y)b+(y+z)c,则x=2,x+y=3,y+z=4,解得x=2,y=1,z=3,所以p在基底{a+b,b+c,c}下的坐标为(2,1,3).
13. [解析] 由题意可知能经受住打击测试的元件个数X服从二项分布B,所以P(X=2)=××=.
14.8π 2 [解析] 由题知AD2+BD2=AC2+BC2=AB2,则△ABC,△ABD均为等腰直角三角形,如图,取E为AB的中点,连接EC,ED,则EA=EB=EC=ED=,所以四面体ABCD的外接球的半径为,所以其表面积为4π×()2=8π.因为EA⊥EC,EA⊥ED,EC∩ED=E,EC,ED 平面ECD,所以EA⊥平面ECD,又=2,=+,=+,所以=2x+(y+z)+y+z=y+z-(2x+y+z).作EM⊥平面ADE,交CD于点M,以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,设P(a,b,c),则a2+b2+c2=2,根据对称性可设∠CED=θ∈(0,π),则C(sin θ,cos θ,0),D(0,,0),A(0,0,),所以(a,b,c-)=(ysin θ,ycos θ,0)+(0,z,0)+(0,0,-(2x+y+z))=(ysin θ,z+ycos θ,-(2x+y+z)),则所以2y2sin2θ+2(z+ycos θ)2+2[1-(2x+y+z)]2=2,即y2sin2θ+(z+ycos θ)2+[1-(2x+y+z)]2=1,则[1-(2x+y+z)]2≤1,即-1≤1-(2x+y+z)≤1,所以0≤2x+y+z≤2,故2x+y+z的最大值为2,此时x=1,y=z=0,即P(0,0,-).
15.解:(1)连接DE,则=-=-(+)=-a-b+c.
(2)由题意知|a|=|b|=|c|=3,===60°,
则a·b=b·c=a·c=3×3cos 60°=.
因为=-a-b+c,所以||2==|a|2+|b|2+|c|2+2=×9+2××=,所以||=.
16.解:(1)的展开式的第7项是·()n-6·=26··,因为第7项是常数项,所以=0,解得n=15.
(2)由(1)知的展开式的通项为Tr+1=(-1)r·2r··,
若Tr+1为有理项,则=5-r为整数,
所以r为6的倍数,
因为0≤r≤15,r∈N,所以r=0,6,12,
所以展开式中的有理项共有3项,分别是第1项、第7项和第13项.
17.解:(1)由题意,知==4,
==4.3,
则y与x的样本相关系数r==≈≈0.99.
∵y与x的样本相关系数近似为0.99,∴y与x的线性相关程度很强,从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.
(2)∵=∴=-=4.3-0.5×4=2.3,
∴y关于x的经验回归方程为=0.5x+2.3.
将x=10代入经验回归方程,得=0.5×10+2.3=7.3,
∴预测该种机械设备使用10年的失效费为7.3万元.
18.解:(1)证明:如图,连接CN,由DM=2MF,AN=2NB,
可得=,=+,
由四边形BCDF为菱形,可得==,
则=-++=--++=-,
所以向量,,共面,
又因为MN 平面ACDE,且AC,CD 平面ACDE,
所以MN∥平面ACDE.
(2)如图,在平面BCDF内,作CH⊥CD,交FB于点H,
因为四边形BCDF是边长为2的菱形,∠CBF=60°,
所以BH=BC×cos 60°=1,CH=.
因为平面BCDF⊥平面ACDE,平面BCDF∩平面ACDE=CD,且AC⊥CD,AC 平面ACDE,
所以AC⊥平面BCDF.
以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示,
则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,,-1),D(0,0,2),
所以=(-2,,-1),==(0,0,2),=-==(-1,0,3).
设平面ABF的法向量为m=(x,y,z),则
取x=,可得y=2,z=0,所以m=(,2,0).
设直线MN与平面ABF所成的角为θ,由||=,|m|=,
得sin θ===,
所以直线MN与平面ABF所成角的正弦值为.
19.解:(1)据题意可知y=10c+dx,则lg y=t=c+dx,
可得==4,==1.58,
则==≈0.24,≈1.58-4×0.24=0.62,
故模型②中y关于x的经验回归方程为=0.62+0.24x,即=100.62+0.24x.模块素养测评卷(二)
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.化简:++= ( )
A. B.
C. D.
2.下列说法正确的是 ( )
A.在做回归分析时,残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
B.某地气象局预报:6月9日本地降水概率为90%.结果这天没下雨,这表明天气预报并不科学
C.在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越差
D.在经验回归方程=0.1x+10中,当解释变量每增加1个单位时,响应变量平均增加0.1个单位
3.[2025·四川宜宾江安中学月考] 已知P(AB)=,P(A|B)=,则P(B)= ( )
A. B. C. D.
4.随机变量X的分布列为
X 0 1 m
P n
若E(X)=1.1,则D(X)= ( )
A.0.49 B.0.69 C.1 D.2
5.已知(1+x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等,则展开式中奇数项的二项式系数和为 ( )
A.210 B.211 C.212 D.213
6.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中,每袋均装2个球,则不同的装法种数为 ( )
A.6 B.7 C.15 D.90
7.某市20 000名学生参加一次数学测试(满分150分),学生的测试成绩X近似服从正态分布N(100,102),则测试成绩在[90,100]内的学生人数约为 ( )
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954.
A.2717 B.2718 C.6830 D.9540
8.[2025·江苏苏州吴江中学月考] 如图,在三棱锥S-ABC中,SA,SB,SC两两垂直,SC=3,SB=2,SA=1,D为棱SC上靠近C的三等分点,若点E为△ABC的重心,则点E到直线BD的距离为 ( )
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·江苏扬州中学期末] 已知X~N(90,σ2)(σ>0),则 ( )
A.P(X<90)=0.5
B.P(70C.P(X<60)=P(X>120)
D.若σ越大,则P(7510.[2025·江苏天一中学阶段检测] 有三个相同的箱子,分别编号为1,2,3,其中1号箱内装有1个红球、4个白球,2号箱内装有2个红球、3个白球,3号箱内装有3个红球,这些球除颜色外完全相同.某人等可能的从三个箱子中任取一个箱并从中摸出1个球,事件Ai为“取到i号箱”(i=1,2,3),事件B为“摸到红球”,事件C为“摸到白球”,则 ( )
A.P(B|A1)=
B.P(B|A1)+P(C|A1)=P(A1)
C.P(B)=
D.P(A1|B)=
11.[2025·江苏海门中学月考] 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为正方形,AA1=2AB,P为面对角线B1C上的一个动点,则下列结论正确的有 ( )
A.BD1⊥平面A1C1D
B.三棱锥P-A1C1D的体积为定值
C.异面直线AB与A1C1所成角的正切值为1
D.异面直线B1C与A1C1所成角的余弦值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·江苏泰州高二期中] 已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,4),则p在基底{a+b,b+c,c}下的坐标为 .
13.[2025·江苏宿迁中学月考] 若某种元件能经受住打击测试的概率为,则4个此种元件中恰有2个能经受住打击测试的概率为 .
14.[2025·江苏启东中学月考] 已知在四面体ABCD中,AB=2,BC=AC=AD=BD=2,记四面体ABCD的外接球为球O,则球O的表面积为 ;若点P为球O表面上任意一点,且=x+y+z(x,y,z∈R),则2x+y+z的最大值是 .
四、解答题:本题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图,在四面体ABCD中,E,F分别为棱AB,DC上的点,且AE=BE,CF=2DF,设=a,=b,=c.
(1)以{a,b,c}为基底表示;
(2)若∠ADB=∠BDC=∠ADC=60°,且||=3,||=3,||=3,求||.
16.(15分)已知二项式的展开式中的第7项是常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中有理项共有几项,分别是第几项
17.(15分)某种机械设备随着使用年限的增加,它的使用功能逐渐减退,使用价值逐年减少,通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用,称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x(单位:年)与失效费y(单位:万元)的统计数据如下表所示:
使用年限x(单位:年) 1 2 3 4 5 6 7
失效费y(单位:万元) 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)由上表数据可知,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用样本相关系数(精确到0.01)加以说明;
(2)求出y关于x的经验回归方程,并预测该种机械设备使用10年的失效费.
18.(17分)[2025·江苏新海中学阶段检测] 如图,在多面体ABCDEF中,四边形BCDF为菱形,且∠CBF=60°,AC∥DE,AC⊥CD,BC=AC=2DE=2,M,N分别为棱DF,AB上的点且DM=2MF,AN=2NB.
(1)用向量法证明:MN∥平面ACDE;
(2)若平面BCDF⊥平面ACDE,求直线MN与平面ABF所成角的正弦值.
19.(17分)[2025·江苏镇江中学阶段检测] 近年来,共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的A县城进行车辆投放,为了确定车辆投放量,对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计,得到了投放量x(单位:千辆)与年使用人次y(单位:千次)的数据如表所示:
x 1 2 3 4 5 6 7
y 5 16 28 38 64 108 196
根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示.拟用模型①y=28.32x-48.28或模型②y=10c+dx对两个变量的关系进行拟合,令t=lg y,可得