第二十一章 一元二次方程 单元 检测试题（含答案） 2025--2026学年人教版九年级数学上册

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第二十一章《一元二次方程》单元检测题
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程的常数项是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
5．若方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，则+的值为（　　）
A．5 B． C．﹣5 D．
6. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
8．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
9．亮亮在解一元二次方程时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(每题3分，共24分)
11．方程的解是 ．
12．把方程（x+1）（3x﹣2）=10化为一元二次方程的一般形式后为 ．
13．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x1+x2= ．
14．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0两根分别为m，n，则+值为 　．
15．已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　．
16．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．
17．一轮船顺流航行的速度为a千米/小时，逆流航行的速度为b千米/小时(a＞b＞0)．那么船在静水中的速度为 千米/小时．
18. 有一群即将毕业的大四学生在一起聚会，每两个人之间互送照片，共送出132张，那么这群大四学生中有多少人。如果设这群大四学生共有x人，那么根据题意可列一元二次方程是 .
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．用适当的方式解下列方程
(1)
(2)
(3)
(4)
20．已知：关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）如果该方程有两个不等的整数根，且m为正整数，求m的值；
21．如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍，从这块空地上划出“”型区域栽种鲜花，原空地的宽减少了，长减少了，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽．

22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝2 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2 cm/s的速度向终点B移动，点Q以1 cm/s的速度向终点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t s，问：
(1)当t＝1时，四边形BCQP的面积是多少？
(2)当t为何值时，点P和点Q的距离是3 cm
(3)当t为何值时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形？
23．第届亚运会于年月日至月日在杭州举行．某商店以每件元的价格购进亚运会吉祥物挂坠，以每件元的价格出售．据统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件．
(1)求该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率；
(2)经市场预测，该吉祥物挂坠月份的销售量将与月份持平，商店为回馈顾客，决定降价促销，调查发现，该吉祥物挂坠的售价每降价元，月销售量就会增加件．那么每件售价定为多少元时，该吉祥物挂坠月份的销售利润可达到元．
24．2020年非洲猪瘟疫情爆发后，猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．据统计：2022年7月20日猪肉价格比年初上涨了60%，某市民7月20日在某超市购买1千克猪肉花了80元钱．
（1）2022年年初猪肉的价格为每千克多少元？
（2）某超市将进货价为每千克65元的猪肉，按7月20日价格出售，平均一天能销售出100千克．经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪肉每天有1560元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，则每千克猪肉的售价应该下降多少元？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B A C B B C A D
二．填空题（共8小题）
11．
12．3x2+x﹣12=0
13．3.
14． ．
15．﹣3．
16． 2032．
17．25 [ 1 ＋( 1 ＋ x)＋( 1 ＋ x )2 ]＝ 82.75　
18．x(x-1)=132
三．解答题（共7小题）
19．(1)
(2)
(3)
(4)
20．（1）略；（2）m=1
23．原空地的长为，宽为
22．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6 cm, BC＝AD＝2 cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°.
∵当t＝1时，CQ＝1 cm , AP＝2 cm，
∴PB＝6－2＝4(cm)，
∴四边形BCQP的面积＝＝5(cm2)．
(2)如图①，当0∴∠PE1Q＝90°.
∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE1是矩形，
∴QE1＝BC＝2 cm，BE1＝CQ＝t cm.
∵AP＝2t cm，∴PE1＝6－2t－t＝6－3t(cm)．
在Rt△PQE1中，由勾股定理，得(6－3t)2＋4＝9，
解得t＝.∵0　　
如图②，当2≤t≤3时，作QE2⊥AB于点E2，
∴∠PE2Q＝90°.
∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE2是矩形，
∴QE2＝BC＝2 cm，BE2＝CQ＝t cm.
∵BP＝(6－2t)cm，∴PE2＝t－(6－2t)＝3t－6(cm)．
在Rt△PE2Q中，由勾股定理，得(3t－6)2＋4＝9，
解得t＝.∵2≤t≤3，∴t＝.
综上所述，t＝或.
(3)如图③，当PQ＝DQ时，作PE3⊥CD于点E3，
∴∠PE3Q＝90°.
∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCE3P是矩形，
∴PE3＝BC＝2 cm，CE3＝BP＝(6－2t)cm.
∵CQ＝t cm，∴QE3＝t－(6－2t)＝3t－6(cm)，DQ＝(6－t)cm.
∵PQ＝DQ，∴PQ＝(6－t)cm.
在Rt△PQE3中，由勾股定理﹐得(3t－6)2＋4＝(6－t)2，解得t＝.
　　
如图④，当PD＝PQ时，作PE4⊥CD于点E4，
∴DE4＝QE4＝DQ，∠PE4D＝90°.
∵∠A＝∠ADC＝90°，∴四边形APE4D是矩形，
∴PE4＝AD＝2 cm，DE4＝AP＝2t cm.
∵DQ＝(6－t)cm，∴DE4＝ cm，
∴2t＝，解得t＝.
如图⑤，当PD＝QD时，∵AP＝2t cm, CQ＝t cm，
∴DQ＝(6－t)cm，∴PD＝(6－t)cm.在Rt△APD中，由勾股定理，得4＋4t2＝(6－t)2，解得t1＝，t2＝(舍去)．
综上所述，t＝或或或.
23．(1)；
(2)元．
24．解：（1）设2022年年初猪肉的价格为每千克x元，
依题意得：（1+60%）x＝80，
解得：x＝50．
答：2019年年初猪肉的价格为每千克50元．
（2）设每千克猪肉的售价应该下降y元，则每千克的销售利润为（80﹣y﹣65）元，平均一天能销售出（100+10y）千克，
依题意得：（80﹣y﹣65）（100+10y）＝1560，
整理得：y2﹣5y+6＝0，
解得：y1＝2，y2＝3，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴y＝3．
答：每千克猪肉的售价应该下降3元．