同步培优 A 本@第 27 章相似
27.2 相似三角形
课时 3 利用三边判定三角形相似
1. [2025 天津一模]在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均为 1）中，根据“马走日” 的
规则，使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的
格点构成的三角形相似,“马”应落在( )
A.①处 B.②处 C.③处 D.④处
2.[2024 长春联考]如图，四边形 ， ， 都是正方形，则∠ + ∠ =____
3.教材变式，一个钢筋三角形框架的三边长分别是 , , ,现在要做一
个与其相似的钢筋三角形框架，而只有长为 和 的两根钢筋，要求以其中的一
根为一边，从另一根上截取两段（允许有余料）作为两边，共有几种截法？
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4.[2025 无锡期末]如图，在由边长均为 1的小正方形组成的网格中，△ 和△ 的顶点
都在格点上， ， ， ， ， 是△ 边上的 5个格点，请按要求完成下列问题：
（1）试证明△ 为直角三角形；
（2）判断△ 和△ 是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为 ， ， ， ， 中的 3个点，并且与△ 相
似.
5.在边长均为 1的正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称
为格点三角形.如图，已知 Rt △ 是 6 × 6 网格图中的格点三角形，则该图中所有与 Rt △
相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是_____.
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27.2 相似三角形
课时 3 利用三边判定三角形相似
1. [2025 天津一模]在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均为 1）中，根据“马走日” 的
规则，使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的
格点构成的三角形相似,“马”应落在( )
A.①处 B.②处 C.③处 D.④处
答案：B
解析：由“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为
2, ， .“车”“炮”所在位置的格点之间的距离为 1，“炮”“②”所在位置的格点
之间的距离为 ，“车”“②”所在位置的格点之间的距离为 ，因为 = = ，所
以“马”应落在②处.
2.[2024 长春联考]如图，四边形 ， ， 都是正方形，则∠ + ∠ =____ .
答案：45
解析：设正方形 , , 的边长都为 ，则 = + = ， =
+ = ， = + = . ∵ = = ， = = , =
= ∴ = = , ，∴△ ∽△ ，∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ + ∠ = ，∴ ∠ +
∠ = .
3.教材变式，一个钢筋三角形框架的三边长分别是 , , ,现在要做一
个与其相似的钢筋三角形框架，而只有长为 和 的两根钢筋，要求以其中的一
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根为一边，从另一根上截取两段（允许有余料）作为两边，共有几种截法？
解：由三角形的三边关系知，只能以长为 的钢筋为一边，把长为 的钢筋截成
两段.设截成的两段分别为 ， ，其中 < .通解 由题意得, = = ①或 =
= ②，由①得， = ， = ， + = < ，符合题意；由②得， = ， = ，
+ = < ，符合题意.综上可知，共有 2种截法.另解 因为原三角形的三边长之比为
: : = : : ,所以 : : = : : ①或 : : = : : ②，由①得，
= , = , + = < ，符合题意；由②得， = , = , + = < ，
符合题意.
综上可知，共有 2种截法.
4.[2025 无锡期末]如图，在由边长均为 1的小正方形组成的网格中，△ 和△ 的顶点
都在格点上， ， ， ， ， 是△ 边上的 5个格点，请按要求完成下列问题：
（1）试证明△ 为直角三角形；
证明：由勾股定理知 = ， = ， = ，
∴ + = ，∴△ 为直角三角形.
（2）判断△ 和△ 是否相似，并说明理由；
解：△ 和△ 相似.理由如下：
由（1）中数据得 = ， = ， = ，
由勾股定理知 = ， = ， = .
∴ = = , = = ， = = ，
∴ = = ，∴△ ∽△ .
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为 ， ， ， ， 中的 3个点，并且与△ 相
似.
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解：如图，连接 ， ， ，△ 即为所求作的三角形.
由勾股定理知， 2 = 10， 4 2 = 2 ， 4 5 = 2 2 ，
∵ = 2 5， = 5， = 5 ，
∴ 5 2 = 10 , 4 5 = 2 2 = 10 , 4 2 = 2 = 10 ，
5 2 5 5 5 5
∴ 5 2 = 4 5 = 4 2，∴△ ∽△
4
5 2 .
5.在边长均为 1的正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称
为格点三角形.如图，已知 Rt △ 是 6 × 6 网格图中的格点三角形，则该图中所有与 Rt △
相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是_____.
答案：5 2
解析：如图所示，
△ 为面积最大的三角形（位置不唯一），此时斜边长为 5 2 .
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