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题型通关01 一元二次方程概念和解法（7大题型）
题型1 一元二次方程有关概念辨析
题型2 用配方法解一元二次方程
题型3 配方法的应用
题型4 用公式法解一元二次方程
题型5 一元二次方程根的判别式的应用
题型6 用因式分解法解一元二次方程
题型7 一元二次方程根与系数关系
题型过关练
题型1 一元二次方程有关概念辨析
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．
根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，分母有未知数，不是整式方程，故本选项错误，不符合题意；
B、，未强调，故本选项错误，不符合题意；
C、，整理后为，是一元二次方程，符合题意；
D、，是二元二次方程，不符合题意；
故选：C．
2．关于x的一元二次方程的二次项系数是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），在一般形式中称为二次项，称为一次项，c称为常数项．其中a，b，c分别称为二次项系数，一次项系数，常数项．
根据一元二次方程系数的定义，即可知道的二次项系数．
【详解】解：关于x的一元二次方程的二次项系数为3．
故选：D．
3．将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（ ）
A． B．5 C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是掌握一元二次方程的一般形式．
根据常数项为，得到一元二次方程的一般形式，进而得出一次项系数即可．
【详解】解：∵一元二次方程化为一般形式后，常数项为，
∴一般形式为，
∴一次项系数是，
故选：A．
4．关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（ ）
A． B． C．3 D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解法，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义，得到关于m的方程，求解即可．
【详解】解：因为方程0是一元二次方程，
所以 ，
解得．
故选：B．
5．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、，方程是一元二次方程，符合题意；
D、，方程是一元一次方程，不符合题意；
故选：C．
6．已知一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为，
∴，
即，
∴，
故选：．
7．在估算关于的一元二次方程的解时，小明列表如下：
… 2.1 2.2 2.4 2.5 2.6 …
… 0.52 1 1.52 …
请判断其中一个解的大致范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答．
【详解】解：根据表格中的数据，可以发现：时，；
时，，
故一元二次方程的一个解x的范围是．
故选：B．
8．已知是方程的一个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意得出，整体代入代数式，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是解题的关键．
【详解】解：是方程的一个实数根，
，
，
，
故答案为：．
题型2 用配方法解一元二次方程
9．方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
10．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到右侧，再将左侧写成完全平方的形式即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
11．用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
根据配方法解一元二次方程求解作答即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选A．
12．如下是小明在解方程时的过程．他在解答过程中开始出错的步骤是（ ）
①
②
③
④
A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步
【答案】C
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．将二次项系数化为1，继而将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得，继而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
则，即，
∴，
∴，．
∴他在解答过程中开始出错的步骤是第③步，
故选：C．
13．一元二次方程的根为 ．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解一元二次方程即可得解，熟练掌握解一元二次方程的方法是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，．
14．解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）利用直接开平方法解方程即可求解．
（2）利用直接开平方法解方程即可求解．
【详解】（1）解：
∴，
∴．
（2）解：
∴，
∴．
15．阅读图中老师讲解“一元二次方程的解法”时在黑板上的板书过程，并完成任务．
解方程： 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 或……第四步 ……第五步
(1)将方程变形，得，则 ， ．
(2)仿照图中的板书过程，解方程：
【答案】(1)5，4
(2)，．见解析
【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程．
（1）按照按照配方法的步骤得出，再结合已知条件即可得出答案．
（2）按照配方法的步骤求解即可．
【详解】（1）解：方程，配方得：，
整理得：，
由配方结果为，可知，，
则，
故答案为：5，4
（2）解：∵．
∴，
则，即，
∴，或
∴，．
16．用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
（1）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
（4）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（4）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
题型3 配方法的应用
17．若满足，，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、代数式求值等知识点，求得的值成为解题的关键．
三式相加可得，再运用配方法可得，由非负数的性质可得，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B．
18．若，则与的大小关系是（）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查幂的乘方，利用求差法与配方法比较代数式的大小．
设，则，将x，y用含t的式子表示，再通过计算，利用配方法将其化为完全平方式加常数的形式，根据完全平方式的非负性来比较x和y的大小，即可解答．
【详解】解：设，
∵，
∴，．
∴，
∴，即．
故选B．
19．当 时，多项式有最大值？求出这个最大值是 ．
【答案】 5
【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得，再分析：因为，所以，即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5，进行作答．
【详解】解：
，
∵，
∴，
则，
即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5，
故答案为：，5．
20．如图，点，以点为顶点作且，点，分别在，轴上，点是的中点，点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了中点坐标公式，勾股定理，配方法的应用，设点的坐标为，可得，，利用勾股定理化简后可得，即得到，可知当时，的值最小，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：设点的坐标为，
∵点是的中点，点，分别在，轴上，
∴，，
∵是直角三角形，且，
∴，
即，
整理得，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的值最小，的最小值，
故答案为：．
21．先阅读内容，再解决问题：
若，求和的值．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
(1)已知，求的值；
(2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由．
【答案】(1)，；
(2)是等腰三角形，理由见解析．
【分析】本题考查了配方法的应用，等腰三角形定义，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关键．
（）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出即可；
（）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出，根据等腰三角形的概念解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：是等腰三角形，理由，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴是等腰三角形．
题型4 用公式法解一元二次方程
22．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
23．用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（ ）
A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，，
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键．
首先转化成一元二次方程的一般形式，然后求解即可．
【详解】解：
整理得，
∴二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是1，3，．
故选：C．
24．利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，公式法解一元二次方程的过程：先确定的值，代入计算判别式，当，方程有实数根，当，方程无实数根，当时，将的值代入求根公式求解方程．
【详解】解：
，，，
，
，
，
一元二次方程的两个根，其中较小的根为．
故选：B．
25．下列一元二次方程的根是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，将求根公式一一代入方程验证即可得出答案．
【详解】A、中，，不符合题意；
B、中，，不符合题意；
C、中，，不符合题意；
D、中，，符合题意．
故选：D．
26．用公式法解方程：．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答．
【详解】解：．
∵，
∴，
∴，．
27．阅读图中杨老师讲解“一元二次方程的解法”时在黑板上的板书过程并完成任务．
(1)①图中解方程的方法是 ；
A．直接开平方法；B．配方法；C．公式法；D．因式分解法
②第二步变形的依据是 ；
(2)用公式法解方程：．
【答案】(1)B；等式的基本性质1
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程是解答的关键．
（1）①根据解方程过程可得结论；
②根据等式的性质求解即可；
（2）先求出根的判别式的值，再运用求根公式解答即可．
【详解】（1）解：图中解方程的方法是配方法，第二步变形的依据是等式的基本性质1，等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立．
故选：B；等式的基本性质1．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
28．用公式法解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，；
(2)方程没有实数解；
(3)，．
【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后利用求根公式得到方程的解；
（2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到，然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数解；
（3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到，然后利用求根公式得到方程的解．
【详解】（1）解：，
，，，
，
，
，；
（2），
方程化为一般式为，
，，，
，
方程没有实数解；
（3），
方程化为一般式为，
，，，
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
题型5 一元二次方程根的判别式的应用
29．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】解：A、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；
B、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；
C、∵，∴方程有两个相等的实数根，符合题意；
D、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意．
故选：C．
30．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】本题考查根的判别式，根据新定义运算法则以及一元二次方程的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∴没有实数根，
故选：C．
31．一元二次方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的情况
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键．
根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根．
【详解】解：在方程中，
，
方程没有实数根．
故选：A．
32．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，三角形三边关系的应用，先求出，再由三角形三边关系得到，则，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，则 ，
∵a，b，c分别是三角形的三边长，
∴ ，
∴
∴原方程没有实数根，
故选：D．
33．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∵，
∴的取值范围是且，
故选：．
34．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，整体代入求代数式的值，关键是把得到的等式进行变形．
根据一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式为0，从而可得关于a的等式，把此等式变形后整体代入即可求得代数式的值．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴且,
∴，
则，，
∴，
故答案为：．
35．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，其判别式，当时，方程有实数根；当时，方程没有实数根；本题中根据方程有实数根，得到，进而求出的取值范围．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
36．嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查根的判别式，设常数项“”为，根据方程的系数，结合根的判别式，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的任意一值，即可得出结论．牢记“当方程有实数根”是解题的关键．
【详解】解：设常数项“”为，则，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴常数项“”可能是．
故答案为：（答案不唯一）．
37．为实数，关于的方程有三个不等的实数根．
(1)求证：；
(2)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求和的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查绝对值方程，一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系及判别式，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
（1）先推导出，，由原方程有三个根，得到方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根，根据，即可解答；
（2）根据方程①中的两根中必有一个大于方程②中的，而另一个小于，则，，，由勾股定理，得，继而推导出，将代入得到
，求出，分类讨论，判断是否符合题意，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
，
，
∵原方程有三个根，
∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根，
即或中必有一个大于0，一个等于0，
∵，
∴．
（2）方程①中的两根中必有一个大于方程②中的，而另一个小于，
∴，
设，
则，
即，
由勾股定理，得
，
即，
∴
整理得：，
由（1）有，代入上式得
，
∴．
当时，，这与题目中方程的根是直角三角形的边矛盾，
∴．
把代入中，得
．
故．
38．已知关于x的方程．
(1)若该方程的一个根为，求m的值；
(2)求证：不论m取何实数，该方程总有实数根．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
（1）把代入得出关于m的方程，再解关于m的方程即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】（1）解：将代入原方程可得：
，
解得：；
（2）解：∵一元二次方程中，，，，
∴，
∴不论m取何实数，该方程总有实数根．
题型6 用因式分解法解一元二次方程
39．关于x的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，用因式分解法解一元二次方程即可求解，正确解出一元二次方程是解题关键，此题也可以根据方程解的定义逐项判断．
【详解】解：
，
，
∴或，
∴．
故选：D．
40．已知三边分别为a、b、c，其中，，c是一元二次方程的一个根，则的面积是（ ）．
A．12或 B．24或 C．24或 D．12或
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理、三角形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由c是一元二次方程的一个根，可得或，再分2种情况讨论：①；②，再利用等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理、三角形面积公式即可求解．
【详解】解：
，
解得：，，
∵c是一元二次方程的一个根，
∴或，
①当时，则，
如图，作于点，
则，
∴，
∴；
②当时，
则，
∴是直角三角形，
∴；
综上，的面积是24或；
故选：C．
41．已知实数x满足，那么的值为（ ）
A． B． C．1 D．或1
【答案】A
【分析】本题主要考查运用因式分解法解一元二次方程，在解此题时要把看成一个整体，然后用因式分解法进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或．
∵在实数范围内无解，
∴．
故选：A．
42．关于的方程的解是（为常数，），则方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则方程可转化为，则可得关于的方程的解是，由此即可得．
【详解】解：令，则方程可转化为，
∵关于的方程的解是（为常数，），
∴关于的方程的解是，
∴或，
∴或，
∴方程的解是，
故答案为：．
43．解方程：
【答案】，，，
【分析】本题考查了解高次方程，换元法解一元二次方程，解题的关键是正确利用换元的思想．
令，原方程可化为，利用因式分解法解得，，再分别解以及即可．
【详解】解：令，
原方程可化为，
，
解得，，
当时，，
，
，
，
；
当时，，
，
，
，
，
∴原方程的根为，，，．
44．按规定方法解方程：
(1)；（公式法）
(2)； （因式分解法）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；
（1）根据公式法求解方程即可；
（2）利用因式分解法求解方程即可．
【详解】（1）解：
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
∴或
∴．
45．解方程．
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键，利用平方差公式分解因式解方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
或，
．
题型7 一元二次方程根与系数关系
46．下列一元二次方程中，两根之和为 2 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．利用一元二次方程的根与系数的关系对以下选项进行逐一验证并作出正确的选择．
【详解】解：A项：，故不符合题意；
B项：，本方程无根，故不符合题意；
C项：，故不符合题意；
D项：，符合题意．
故选：D．
47．已知不相等的实数a、b满足，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，根据题意可得a、b可看作关于x的方程的两实数解，则由根与系数的关系可得，再把原式可变形为，据此代值计算即可．
【详解】解：∵不相等的实数a、b，且满足，
∴a、b可看作关于x的方程的两实数解，
∴，
∴
，
故答案为：
48．一元二次方程的两根为，，则 ．
【答案】
【分析】先利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：．
49．设，是方程的两个根，则等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，，，掌握知识点是解题的关键．
先根据根与系数的关系得到，，得到，，再计算的值，然后利用二次根式的性质求解即可．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
50．若一元二次方程的两个实数根为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，由根与系数的关系得到，再将其代入中计算求解，即可解题．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根为，
，
；
故答案为：．
51．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)当时，方程的根为，，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据根的判别式进行求解；
（2）由方程的根为，，得到，，据此对原式进行化简，最后根据根与系数的关系进行求解．
【详解】（1）解：方程有实数根，
，
解得：；
（2）解：当时，方程化为，
，，
，是方程的解，
，，
，，
原式
．
52．已知关于x的一元二次方程．
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个实数根为，且满足，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)或．
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键．
（1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
不论为何值时，方程总有实数根；
（2）解：根据题意得，
∵即： ，
∴，
解得，
∴m的值为或．
53．已知：关于的一元二次方程为常数．
(1)当原方程有两个相等的实数根时，求的值；
(2)若方程的两根分别是和，且，且满足，求此时的值．
【答案】(1)或；
(2)或
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式进行列式计算，即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系和，结合题意可列出关于k的等式，解出k即可．
【详解】（1）解：∵
∴
．
∵原方程有两个相等的实数根
∵，
则
解得或；
（2）解：∵的两根分别是和，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得
∴
解得或．
∵
当时，则，符合题意；
当时，则，符合题意；
∴或．
题型过关练
1．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则这个正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】从图中可以看出，正方形的边长，所以面积，矩形的长和宽分别是，，面积，两图形面积相等，列出方程得，其中，求的值，即可求得正方形的面积．
【详解】解：根据图形和题意可得，其中，
则方程是
解得：（负值舍去），
所以正方形的面积为，
故选：A．
2．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2018 B．2020 C．2025 D．2030
【答案】B
【分析】根据新定义，把方程化成定义型方程，利用恒等式性质，确定a，b的值，后代入，配方，利用非负性求最值即可．
本题考查了一元二次方程新定义问题，配方法求最值是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
故，
又与是“同族二次方程”．
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴当时，取得最小值，且为2020，
故选：B．
3．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A与原点O重合，位于x轴正半轴上，，点B的坐标为，点D为的中点，进行以下操作：①将沿x轴正方向平移，当点A与点D重合时，得到，点B，C的对应点分别为P，Q；②将绕点D在平面内旋转．当点Q落在的延长线上时，点Q的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形平移、旋转，等腰直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，能够找出延长线上点的坐标特点，以及掌握平移、旋转的性质是解题的关键．利用延长线上点的横纵坐标相同，设出点Q的坐标为，利用列方程，解出a的值，即可作出选择．
【详解】解：如图，绕点D在平面内旋转．点Q落在的延长线上，
∵是等腰直角三角形，
∴的延长线上点的横纵坐标相同，
∴可设点，
∵点B的坐标为，点D为的中点，
∴，，点，
∴，
∵，
∴，
整理，得，
解得（舍去），，
∴点Q的坐标为，
故选：．
4．如果关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数的值有 ．
【答案】3，6，7，9，15
【分析】本题考查了含待定字母的一元二次方程的整数解，求解待定字母的取值．熟练掌握一元二次方程和一元一次方程解的整数性，分情况进行求解，是解答本题的关键．
分、和三种情况考虑，当或9时求出x的值，以此确定或9是否合适；当（，利用分解因式法找出的值，根据以及a均为整数，找出a的值．综上即可得出结论．
【详解】解：∵，
当，即 时，
原方程为，
解得：，
∴合适；
当，即时，
原方程为，
解得，
∴合适；
当，即且 时,
∵，
∴原一元二次方程有有理根，
∵，
∴，，
∴，，
∵x是整数，a是整数，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴a的值符合的有： 3，7，15．
综上，符合条件的整数的值有3，6，7，9，15．
5．已知满足，则当最大时，的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了一元二次方程，根的判别式等知识点，解题的关键是掌握根的判别式．
根据题意转换成关于的一元二次方程，根据根的判别式求出的最大值，求出的值，再分别求出的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
将上式看作关于的一元二次方程，且为实数，
∴，
整理得，
当时最大，
此时或，
当时，代入得，
，
解得，
∴；
当时，代入得，
，
解得，
∴；
∴的值为3．
6．设，是方程的两个根，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根、一元二次方程根与系数的关系，因为是方程的一个根，可得：和，整理可得：，再把代入，可得：原式，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，再利用整体代入法代入求值即可．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，，
把的两边同时乘以，
可得：，
，
把代入，
可得：，
整理可得：原式，
，是方程的两个根，
，，
，
，
．
7．已知实数，满足，求的最大值．
【答案】
【分析】本题考查立方和公式，通过换元法将设为，再利用一元二次方程根的判别式(其中分别为一元二次方程的系数)来建立不等式求解k的取值范围，从而得到的最大值．
【详解】解：由可得：
即
令，
，故，
由，
故可得，
∴，
，可以看作关于的一元二次方程的两根，
∴
化简得：，
即：，
∴，
故的最大值为．
8．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
(3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，，
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理的应用．
（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出可知方程总有实数根．
（2）根据根与系数的关系得，再由勾股定理得到，即可解得k的值，利用取舍k的值，即可得到的周长．
（3）依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设是方程①和方程②的一个相同的实根，可得：．设是方程③和方程④的一个相同的实根，可得，可得．再进一步求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴
，
，
无论k为任意实数值方程，总有实数根．
（2）解：∵斜边长，另两边长b，c恰好是方程的两个根，
∴，
∵b、c为直角边，斜边长，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，，
，
舍去，
∴，
∴的周长，
（3）解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．
设是方程①和方程②的一个相同的实根，则，两方程相减，
解得：．
设是方程③和方程④的一个相同的实根，则，两方程相减，
∴解得，
∴．
又方程①的两根之积等于1，
∴也是方程①的根，则．
又，
两方程相减，得．
若，则方程①无实根，
∴，
∴．
∴，
∴，
由④得：．
又，
解得：，．
9．先阅读下列材料，然后解决后面的问题．
材料：因为二次三项式，所以方程可以这样解：∵，∴或，∴，．问题：
(1)用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则k的值可以为______；
(2)已知实数x满足，求代数式的值？
【答案】(1)，，2，14
(2)．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，熟练掌握一元二次方程的解法．
（1）依据题意，分四种情形分别计算分析即可判断得解；
（2）将看作一个整体，然后用换元法解方程求出的值，再整体代值求解．
【详解】（1）解：，
当时，
，
，
；
当时，
，
，
当时，
，
，
；
当时，
，
，
；
综上所述k的值可以是，，2，14；
（2）解：由题意，设，
原方程可化为：
，
当时，，即，，原方程没有实数根，
故不合题意，舍去；
当时，，即，，故m的值为6；
10．配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题．
【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”．
【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值．
解：
当时，的最小值为2．
请通过阅读以上材料，解决以下问题：
【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60．
【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ；
（3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值．
【答案】（1）②；（2）9；（3）16，理由见解析；（4）2025
【分析】本题主要考查了偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）依据“完美数”的定义求解即可；
（2）将配方成的形式，即可得解；
（3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可；
（4），据此求解即可．
【详解】解：（1）由于②，
所以②是完美数，
故答案为：②；
（2）由，
可配方成，
，，
，
故答案为：9；
（3），理由如下：
，
要使为“完美数”，
则需为完全平方式，
故，
此时，符合“完美数”定义，
；
（4），
，
，
，
当时，的最小值为2025．
11．阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式，
解：，可化为，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得，
故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或．
材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围：
解：令
即
解决问题：请根据上述材料，解答下列问题．
(1)直接写出不等式的解集是__________；
(2)求出代数式的取值范围；
(3)若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值．
【答案】(1)或
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系及解不等式组，读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案；
（2）根据材料，令，根据判别式转化为关于y的一元二次方程，解不等式即可得到代数式的取值范围；
（3）根据材料，令根据判别式转化为关于y的不等式根据根与系数的关系，列出方程组，即可得到满足条件的a、b的值．
【详解】（1）解：∵
或
解得：或
∴不等式的解集是或；
（2）解：，令
∴．
∴．
∴．
令，
，．
∴或
（3）解：令
，
当时，，且，
存在一个，使得，
当时，有解，
，
，
最小值为，最大值为，
，是方程的解，
或
∴或
试卷第2页，共48页中小学教育资源及组卷应用平台
题型通关01 一元二次方程概念和解法（7大题型）
题型1 一元二次方程有关概念辨析
题型2 用配方法解一元二次方程
题型3 配方法的应用
题型4 用公式法解一元二次方程
题型5 一元二次方程根的判别式的应用
题型6 用因式分解法解一元二次方程
题型7 一元二次方程根与系数关系
题型过关练
题型1 一元二次方程有关概念辨析
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于x的一元二次方程的二次项系数是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（ ）
A． B．5 C．4 D．
4．关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（ ）
A． B． C．3 D．以上都不对
5．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在估算关于的一元二次方程的解时，小明列表如下：
… 2.1 2.2 2.4 2.5 2.6 …
… 0.52 1 1.52 …
请判断其中一个解的大致范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是方程的一个实数根，则的值为 ．
题型2 用配方法解一元二次方程
9．方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．如下是小明在解方程时的过程．他在解答过程中开始出错的步骤是（ ）
①
②
③
④
A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步
13．一元二次方程的根为 ．
14．解下列方程：
(1)；
(2)．
15．阅读图中老师讲解“一元二次方程的解法”时在黑板上的板书过程，并完成任务．
解方程： 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 或……第四步 ……第五步
(1)将方程变形，得，则 ， ．
(2)仿照图中的板书过程，解方程：
16．用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型3 配方法的应用
17．若满足，，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
18．若，则与的大小关系是（）
A． B． C． D．无法确定
19．当 时，多项式有最大值？求出这个最大值是 ．
20．如图，点，以点为顶点作且，点，分别在，轴上，点是的中点，点，则的最小值为 ．
21．先阅读内容，再解决问题：
若，求和的值．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
(1)已知，求的值；
(2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由．
题型4 用公式法解一元二次方程
22．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（ ）
A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，，
24．利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（ ）
A． B． C． D．
25．下列一元二次方程的根是的是（ ）
A． B． C． D．
26．用公式法解方程：．
27．阅读图中杨老师讲解“一元二次方程的解法”时在黑板上的板书过程并完成任务．
(1)①图中解方程的方法是 ；
A．直接开平方法；B．配方法；C．公式法；D．因式分解法
②第二步变形的依据是 ；
(2)用公式法解方程：．
28．用公式法解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
题型5 一元二次方程根的判别式的应用
29．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
30．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
31．一元二次方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的情况
32．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根
33．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
34．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为 ．
35．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ．
36．嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是 ．
37．为实数，关于的方程有三个不等的实数根．
(1)求证：；
(2)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求和的值．
38．已知关于x的方程．
(1)若该方程的一个根为，求m的值；
(2)求证：不论m取何实数，该方程总有实数根．
题型6 用因式分解法解一元二次方程
39．关于x的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
40．已知三边分别为a、b、c，其中，，c是一元二次方程的一个根，则的面积是（ ）．
A．12或 B．24或 C．24或 D．12或
41．已知实数x满足，那么的值为（ ）
A． B． C．1 D．或1
42．关于的方程的解是（为常数，），则方程的解是 ．
43．解方程：
44．按规定方法解方程：
(1)；（公式法）
(2)； （因式分解法）
45．解方程．
题型7 一元二次方程根与系数关系
46．下列一元二次方程中，两根之和为 2 的是（ ）
A． B． C． D．
47．已知不相等的实数a、b满足，则 ．
48．一元二次方程的两根为，，则 ．
49．设，是方程的两个根，则等于 ．
50．若一元二次方程的两个实数根为，则的值为 ．
51．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)当时，方程的根为，，求代数式的值．
52．已知关于x的一元二次方程．
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个实数根为，且满足，求m的值．
53．已知：关于的一元二次方程为常数．
(1)当原方程有两个相等的实数根时，求的值；
(2)若方程的两根分别是和，且，且满足，求此时的值．
题型过关练
1．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则这个正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2018 B．2020 C．2025 D．2030
3．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A与原点O重合，位于x轴正半轴上，，点B的坐标为，点D为的中点，进行以下操作：①将沿x轴正方向平移，当点A与点D重合时，得到，点B，C的对应点分别为P，Q；②将绕点D在平面内旋转．当点Q落在的延长线上时，点Q的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．如果关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数的值有 ．
5．已知满足，则当最大时，的值为 ．
6．设，是方程的两个根，求的值．
7．已知实数，满足，求的最大值．
8．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
(3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值．
9．先阅读下列材料，然后解决后面的问题．
材料：因为二次三项式，所以方程可以这样解：∵，∴或，∴，．问题：
(1)用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则k的值可以为______；
(2)已知实数x满足，求代数式的值？
10．配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题．
【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”．
【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值．
解：
当时，的最小值为2．
请通过阅读以上材料，解决以下问题：
【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60．
【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ；
（3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值．
11．阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式，
解：，可化为，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得，
故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或．
材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围：
解：令
即
解决问题：请根据上述材料，解答下列问题．
(1)直接写出不等式的解集是__________；
(2)求出代数式的取值范围；
(3)若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值．
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