7.3.2《多边形的内角和》教案
人教版实验教材七年级（下）81~83页
内蒙古呼和浩特市第十八中学 范业红
7．3．2 多边形的内角和（第二课时）
教学目标 知识技能 了解多边形的内角和与外角和公式 ，并能进行简单的应用 。
过程方法 通过对简单多边形的内角和的探究，发现规律，归纳出n边形的内角和公式；通过对多边形多种转化形式的探究，体验解决问题时策略的多样性 ，培养实践能力与创新能力。培养、锻炼学生与他人合作交流的能力。
情感态度价值观 学生通过类比、联想、转化、推理等探究活动，体验成功的快乐，感受数学研究的乐趣。
重点 多边形的内角和公式的探究。
难点 如何把多边形转化成三角形来探索多边形的内角和。
教学方法 互动式探究模式、启发式、发现式教学法
教学工具 多媒体课件、三角板
（课堂实录式教案）
师：上课！
生：老师好！
师：同学们好！
师：上节课我们学习了多边形的有关概念，这节课我们来研究多边形的内角和。首先回忆一下三角形的内角和。
生：三角形的内角和是.
师：正方形内角和是多少？
生：。
师：对，那一般四边形的内角和呢？
生：。
师：怎么得到的
生：作一条对角线，把四边形分成两个三角形，四边形的内角和正好是两个三角形的内角的和——。
探究1：
师：那用同样方法能求出五边形、六边形的内角和吗？
生（活动）：独立思考后，交流讨论，找同学板演分割方法，并分别讲解思路。
师：请同学A说说你的思路。
生A：作五边形的对角线，将其分成三个三角形，因而内角和。
师：正确，那谁来说说如何得到六边形的内角和呢？
生B：作六边形的对角线，将其分成四个三角形，因而内角和。
师：有些同学连的辅助线没有过同一顶点，所分出来的三角形个数一样吗？
生：一样。，
师：那你们观察比较一下，哪一种图形所体现的规律性更明显呢？
生：对角线过同一顶点的图形。
探究2：
师：那由此你们能猜出n边形的内角和吗？ 为了便于观察，我们一起来把刚才得到的结果总结在一个表格里：
多边形的边数 4 5 6 … n
过一个顶点的对角线的条数 1 …
所分成的三角形的个数 2 …
内角和 …
生（活动）：口答结果，并观察找出规律：n边形的内角和是。
师（板书）： n边形的内角和是。
生（活动）：在书上找到知识点1 ——n边形的内角和是。
探究3：
师：以上是通过作对角线将多边形分割成三角形来探究n边形的内角和的。是不是还有其它分割方法呢？请同学们动手试一试，看谁想的办法多。
生：自主探究，小组讨论交流。并让找出不同分割方法的同学板演并讲解思路。
师：好，这位同学已经想出办法了，就请你来说说
你的想法。
生甲：在多边形内部取一点与各顶点连线。
师：把五边形分成了多少个三角形？
生甲：5个。
师：这5个三角形的内角和是不是正好是五边形的内角和呢？
生甲：不是，多了一个周角。内角和是。
师：非常好！同样得到了五边形的内角和，那你能不能就此猜出n边形的内角和呢？
生甲：能，在n边形的内部取一点与各顶点连线， 得到n个三角形，这n个三角形的内角和减去多出的一个周角，，就得到了n边形的内角和。
师：非常好！还有别的方法吗？
生乙：在五边形的一边上取一点与各顶点连线，将五边形分成四个三角形，四个三角形的内角和减去多出的一个平角，就得到五边形的内角和，。
师：与前面的结果仍然一致。那能不能就此推出n边形的内角和呢？
生乙：能。这样连线分割出的三角形个数比边数少1个，另外多出一个平角，所以多边形的内角和就是。师：很好，同样得到了n边形的内角和公式。刚才这两种方法都是从多边形内部分割的，如果我从多边形外部取一点与各顶点连线行吗？
生：（试验、讨论、推导）
生丙：能行。这样连线分割出的三角形个数可看成是“边数减1”个，再去掉多余的一个三角
形的内角和，即，就得出五边形的内角和。
师：对，这样也可以达到目的，那么你能根据上述分析概括出n边形的内角和的一般结论吗？
生：能。这样连线分割出的三角形个数比边数少1个，去掉多余的一个三角形的内角和，所以n边形的内角和就是。
师：非常好，同学们探究出了这么多方法，其实还有别的方法，有兴趣的同学下去可以继续研究。
拓展应用1：
师（总结提问）：n边形的内角和是，知道它有什么用呢？
生（思考后回答）：可以求多边形的内角和。
师：好，那么同学们能求出十边形的内角和吗？
生（快速抢答）： 。
师：很好！那么反过来，如果知道某一多边形的内角和是，你能求出它的边数吗？
生（快速抢答）： 12边形！
师：很好！请你说说你是怎么快速求出来的？
生：用除以得10，再加上2得12。
师：很好！为什么可以除以呢？
生：因为内角和是的整数倍。
师：确切说是的正整数倍，是的“边数减2”倍。所以边数减2等于10 ，边数为12。
师：那你们说某一多边形的内角和是，可能吗？
生：不可能！它不是的整数倍。
师：某一多边形的内角和加上某个角（小于）后度数为，那么这个角是多少度？它是几边形？
生：这个角是度，它是12边形。
师：怎么算出来的呢？
生：用除以商是10余数是80。
师：为什么会出现余数呢？
生：因为多了一个角。
师：把多出的角的度数去掉呢？
生：就得到n边形的内角和了。
师：那去掉的是多少度的角？
生：
师：那么是几边形的内角和？
生：12边形。
师：那么增加的角度是多少度？
生：
师：非常好。下面思考一个证明题：
例题1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
（学生独立思考求解，板演、老师讲评。）
解：如图，四边形ABCD中，，
因为，
所以
即互补。
所以，另一组对角也互补。（教师对板演过程中的不规范表述进行纠正、示范）
探究4：
师：多边形的内角和与它的应用我们已经研究了很多，那么它的外角和是多少呢？
首先说一说三角形的外角和。
生：三角形的外角和是。
师：正方形、长方形的外角和呢？
生：正方形、长方形的外角和也都是。
师：那你能猜猜任意多边形的外角和是多少吗？
生：
师：有什么办法能证明这个猜想呢？以五边形为例说明。
生（思考后回答）：根据每个外角与相邻的内角互为补角，可知外角和与内角和的总和是，减去内角和，结果为。
师：非常好！那么用同样方法可知n边形的外角和与内角和的总和是，减去内角和，结果为。
师（板书）： n边形外角和为。
生：在书上找到知识点2 ——n边形外角和为。
师：现在我们来对比一下，多边形的内角和随边数的增加怎样变化？外角和呢？
生：内角和变大，外角和不变。
师：那么知道多边形的外角和能求边数吗？
生：不能。
师：为什么？
生：外角和都一样。
师：那要已知什么条件能求出多边形的边数呢？
生：已知一个外角的度数。
师：已知一个外角的度数就能求出任意一个多边形的边数吗？
生：必须是正多边形。
师：对！对于一个正多边形来说，已知它的外角的度数，才能求出它的边数。请看：
例2：已知某正多边形的一个内角为，求它的边数。有几种解法？
生（活动）：独自解决后同桌交流。绝大多数先用外角和很快求得结果，再找出用内角和求解的方法。
师：同学们算得很快，其中有一种办法是不特别快？谁来说一说？
生M：每个外角=，，所以n=6。
师：非常好！谁来说一说另一种解法？
生N：设边数为n，则=，得n=6。
师：非常好！那么，比较一下哪一种方法更好呢？
生：当然第一种！
师：对，用外角和求正多边形的边数更快。在今后计算时可以适当选择简便的方法。
拓展应用2：
师：请同学们看一个有趣的问题：
（1）小明在绕一个五边形的小道跑步。他每从一条小路转到下
一条小路时，身体转过的角是哪个角？
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
生（出现争议）：外角！内角！思考一会之后多数同意转过的角是外角。
师：我们来试一试，跑一跑，看转过的究竟是哪个角。（情景再现）
生（齐声回答）：转过的角是外角。
师：跑一圈一共转几次呢？
生：五次。
师：这五次的度数和是多少？
生：是360。
师：对！每跑完一圈，身体转过的角度之和正好是五边形的外角和。
师：这节课我们对多边形的内角和、外角和的进行了探究，下面来做一组习题检测一下今天的学习效果。
课本83页练习1，84页2、3题。独立计算，并将结果写在书上。
师（巡视）：集体核对答案，强调关键步骤。
拓展应用3：
师：再看一个探索问题：“n角星”的“n个内角的和”的问题。
师：先看“五角星”：利用五边形的外角等于不相邻的两个内角的和，可以把外角都转化到内角上去，请同学们观察一下，五边形的内角和、外角和与“五角星的五个内角的和”有什么数量关系呢？
生：五边形的内角和减去外角和就等于“五角星的五个内角的和”。
师：那度数是多少呢？
生：。
师：很好，那么请同学们试着找出“六角星”、“七角星”的度数和分别是多少？
生：“六角星”、“七角星”的度数和分别是和。
师：随着边数的增加“n角星”的度数和有什么变化呢？
生：每增加一个角，“n角星”的度数和就增加。
师：那么你能找出“n角星的n个内角的和”的度数和吗？
它与多边形的边数有什么内在联系呢？有什么规律吗？
生（活动）：思考讨论，并探究出结果：n边形的内角和减去外角和就等于“n角星的n个内角的和”。
师： 看，我们得到了一个重大发现：
n角星”的n角和==
下课后同学们也可以用其它方法验证一下这个结论。
课堂小结：
师：
1． 这节课主要探究学习了两个知识点：多边形的内角和与外
角和公式。
2． 通过这节课的学习我们还要积累一些解题经验，想一想在
哪些方面可以积累一些经验呢？
首先，在探究时，多边形的问题可以怎样去解决呢？
生：转化为三角形问题来解决。
师：对，在探究n边形的内角和时就是把多边形问题转化为三角形问题来解决的。
师：利用多边形的内角和公式可以解决什么问题？
生：可以计算它的内角和及边数。
师：利用多边形外角和可以解决什么问题？
生：可以计算内角和及其边数。
师：能吗？
生： 正多边形的。
师：对，忘了一个重要条件，已知一个角，利用外角和可以快速求得正多边形的角和边数。
师：好，这节课我们就上到这里，对于还可以继续探究的内容希望有兴趣的同学课下再共同讨论一下。
布置作业:
课本第84页第2、4、7题（上一版在第90页）；
思考题：某多边形的内角和减去某个角（小于）后度数为，求这个角的度数及多边形的边数。
板书设计：
7.3.2多边形的内角和
一、内容要点
1．多边形的内角和等于。
2、多边形的外角和等于。
二、应用
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
（详细板书过程）
探究1 图形
探究2 图形
例2 已知某正多边形
一个内角为 ，求它的边数。
（简要板书过程）
课后反思：本节课教学整体效果很好。该班级学生的程度较好，在探究中能够积极参与活动，思维活跃，想法新颖，使课堂教学充满活力。一系列的课堂练习设置充分调动了学生的参与热情，多数学生学习效果较好，达到了预期目的。个别学生课上有吃力的表现，尽管及时进行了帮助，课下还要及时进行进一步的关注。
2008年六月
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3
5
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7.3.2《多边形的内角和》
教案设计说明
人教版实验教材七年级（下）81~83页
内蒙古呼和浩特市 第十八中学范业红
一、授课内容的数学本质
本节课通过对n边形的内角和的探究，体现多边形问题转化为三角形问题的转化思想在几何中的应用，同时体现从特殊到一般的探求问题的方法。
2、 教学目标定位
基于对教材的理解和学情的分析，结合新课标理念：学习数学不仅仅是获得一种知识，更主要的是获得一种能力，一种思想方法。所以我将本节课的教学目标定位为三维目标：
知识技能目标：了解多边形的内角和、外角和公式 ，并能进行简单的应用；
过程方法目标：
1 通过对简单多边形的内角和的探究，发现规律，归纳出n边形的内
角和公式；。
2 通过对多边形多种转化形式的探究，体验解决问题策略的多样性 ，
发展实践能力与创新能力。
3 培养、锻炼学生与他人合作交流的能力。
情感态度价值观目标：
学生通过类比、联想、转化、推理等探究活动，体验成功的快乐，感受数学研究的乐趣。
3、 教材的地位及作用
第七章 《三角形》这一章的内容编排是一种专题式的设计，以内角和为主题，先研究三角形内角和，再顺势推广到多边形内角和，最后将内角和公式应用于镶嵌。这样的安排更适合学生的认知特点。通过这一章的学习可以丰富和加深对三角形的认识，增强推理能力，是正式学习几何证明的重要准备阶段。而《多边形的内角和》这一节在整章中处于中间环节，承上启下，对后面学习平面图形的密铺、圆等知识都具有非常重要的作用。
4、 教学诊断分析
新知探究活动诊断分析
对本课新知识内容的教学，突出探究过程，因此，教学中共设计了4个探究活动：
探究1 作对角线探求五边形、六边形的内角和公式。
其目的是让学生在探究过程中初步体会转化思想的应用。这个探究主要是通过学生的自主探究来实现的，由于有四边形的铺垫，用同样的连对角线的方法，绝大多数学生很快就会找到五边形、六边形的内角和，顺利达成预定目标。
探究2 找规律探求n边形的内角和公式
在探究1中，学生从图形所显示的变化规律中已经能找出n边形的内角和了，但为了更进一步深入思维，应引导他们将探究结果整理为表格形式，并从中观察、发现规律，让学生把对图形规律的感性认识通过数的规律性体现上升到了理性认识，归纳出n边形的内角和公式。这一活动中学生的感受是：切实经历了一次从特殊归纳出一般的过程体验，从而顺利地突破了本节课的教学难点，对完成教学目标起到了关键性的作用。
探究3 用其它方法探求n边形的内角和公式
由于在探究1中已经限制了分割方法，学生会定式地去作对角线。为发展创新思维，避免思维的局限性，所以需要引导学生探究其它分割方法。在没有任何提示的情况下让学生独立探究就增加了难度，所以用时稍长一些。但大多数学生都能想出第一种——在内部取点与各顶点连线的分割方法，部分学生还能想出其他两种分割方法，从而达到预期的效果。尽管还有其它方法，如作平行线等。但这三种方法已经是对探究1的很好的补充了，起到从不同角度寻求解决问题的发散思维的训练效果。大多数学生在经历了再次探究后，就会有一个整体感知：所有这些方法都是将多边形转化为三角形。从而使这种转化思想和应用转化的意识得到了充分的渗透。对充分实现预定教学目标起了不可替代的作用。
探究4 探求n边形的外角和
对于外角和的探究相对容易多了，只要结合图形，联想三角形外角和的推导过程学生能很快就想出推证思路，顺利地达成目标。
拓展应用诊断分析
在知识的应用环节，针对内角和、外角和公式的应用分别补充了一系列的问题。从直接应用、逆向应用、变式应用、拓展应用四个方面巩固发展了重要知识点的应用。这两组系列问题，会对内角和、外角和公式的应用起到很好的巩固效果。
学生对于例1的解决还是游刃有余的，只是对推理过程的表述会感到有困难。因为还没有正式学习几何证明，尤其在表达上，还处于积累阶段，所以教学中应重点关注学生的板演过程，并进行规范表述的示范。
对于例2的补充也很必要，它能体现出一题多解的发散思维和选择优解法的灵活性和敏捷性。因为之前对外角和、外角和的应用讨论得较到位，所以学生的思维的灵活性应马上有所体现，绝大多数学生很快能用外角和算出正确结果。但对用内角和的列方程求解反倒会有难度，所以不能忽略此法的讲解。
对于补充的趣味题：在五边形小路上跑步的转角问题。目的是让学生体会到象模拟操作、剪拼、画图等动手能力在解题中的辅助作用有时是很有效的。
最后的探究问题：求“n角星”的n个内角的和，是我在探求用三角形的内、外角关系求多边形的内角和时偶然发现的一个有趣的结论：“n角星”的n个内角的和=。这类题学生曾在学习三角形时就做过。为了让学有余力的学生更深入的了解内角和与外角和的内在联系，同时也了解一下这个结论，所以也补充了进来。课堂中有近一半的学生在问题的提示下能够发现这一结论，基本达到预期目标。
5、 教法特点及预期效果分析
基于教材内容特点及学情采用了“互动式”教学模式。此模式是我校承担的一个市级课改课题。它主要分四个环节：问题导入——互动探究——拓展应用——总结积累。它突出课堂的多向互动交流，鼓励学生针对问题展开探究。在具体教学过程中主要采用了启发式、问题式教学法。
从实际教学过程看，最大的特色是——问题贯穿于课堂的始终，师生互动从始至终。
一组组系列问题的设置由浅入深、层层递进、紧紧抓住了学生的思维进程，师生的互动交流体现着动态的思维过程。在互动过程中，教师主要起组织者、引导者及合作者的作用，一切新知的探究都是在师生互动过程中完成的，在交流过程中学生是思维的主体。
从课堂反映和效果看，课堂的互动是很默契的，节奏很紧凑，学生反映很积极活跃，主动展示自己的探究成果，对知识的理解和应用都非常到位，效果是很令人满意的。
对这种互动式教学模式的探索，还需要在教学实践中进一步去完善，我们的目标应该是让全体学生都动起来，让每个学生都能有最大的收获。
2008年七月十八日
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