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第二十二章 二次函数--二次函数与一元二次方程重点题型梳理
专题练(二) 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
六、已知二次函数图象与x轴的交点情况求参数
25.(24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习)已知二次函数.
(1)若该函数图象与轴有两个不同交点,求范围.
(2)若,求当时,该函数的范围.
26.(24-25九年级上·广东汕头·期末)已知二次函数(其中x是自变量)的图象经过不同两点,,且该二次函数的图象与x轴有公共点,求的值.
27.(2025·浙江绍兴·三模)在平面直角坐标系中,已知抛物线.
(1)当时,
①求抛物线的顶点坐标.
②将抛物线向下平移m个单位,若平移后的抛物线过点,且与x轴两交点之间的距离为6,求m的值.
(2)已知点在抛物线上,且,求n的取值范围.
七、二次函数的性质与推理问题
28.(2024·河北邢台·一模)在直角坐标系中,抛物线(是常数,)与轴相交于点.
(1)若抛物线经过点,求的值;
(2)已知,若,有最大值9,求的值;
(3)①求点坐标;
②已知,若抛物线经过,和,且,求的取值范围.
29.(24-25九年级上·北京·期中)在平面直角坐标系中,点在抛物线上,设抛物线的对称轴为直线.
(1)当时,
①直接写出b与a满足的数量关系;
②m与n的大小关系是:m_______n.(填“>”,“<”或“=”)
(2)已知点在抛物线上,若对于,都有,求t的取值范围.
八、二次函数与函数值的最值或范围问题
30.(24-25九年级上·江苏苏州·期末)已知二次函数 (a,b,c是常数,),其中两个变量x与y的部分对应值如下表所示:
x … m 1 …
y … 0 0 …
(1)则 ;
(2)求该二次函数的表达式;
(3)当时,则y的取值范围是 .
31.(24-25九年级上·浙江绍兴·期末)已知二次函数,经过点,对称轴为直线.
(1)求二次函数的表达式;
(2)已知点,,连结,将向上平移5个单位长度,向右平移个单位长度后,恰好与的图象有交点,求m的取值范围;
(3)当时,二次函数的最大值与最小值的差为,请直接写出n的值,不必说明理由.
九、构造的新函数图象探究问题
32.(24-25九年级上·云南昆明·期中)九年级“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究.探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实效,x与y的几组对应值如下表:
x … 0 1 2 3 …
y … 3 m 0 0 3 …
其中,______;
(2)根据表中数据,在如图的平面直角坐标系中描点.并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分;
(3)进一步观察探究函数图象发现:
①函数图象与x轴有______个交点,所以对应的方程有______个实数根;
②方程有______个实数根;
③关于x的方程有4个实数根时,a的取值范围是______.
33.(24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末)小亮同学学习二次函数后,对函数进行了探究.在经历列表,描点,连线步骤后,得到如图的函数图象.请根据函数图象,回答下列问题:
(1)观察探究:
①写出该函数的一条性质:_______;
②方程的解为:_______;
③若方程有四个实数根,则的取值范围是_______.
(2)延伸思考:
将函数的图象经过平移可得到函数的图象,画出平移后的大致图象,并写出平移过程,再通过图象直接写出当时,自变量的取值范围.
答案
六、已知二次函数图象与x轴的交点情况求参数
25. (1)解:∵二次函数与轴有两个不同交点,
∴,
解得;
(2)解:依题意,把代入,
得,
∴对称轴为直线,
∵,
∴开口向上,
在对称轴处,有最小值,即,
把代入,
把代入,
∴当时,该函数的范围为.
解:抛物线经过不同两点,,
抛物线对称轴为直线,
即,整理得,
该二次函数的图象与x轴有公共点
∴
,
∵,
∴,
,,
.
(1)解:①∵,
∴,
∴抛物线的顶点坐标为.
②将抛物线向下平移m个单位,所得抛物线为,
将代入,得,
∴,
∴.
设平移后抛物线与x轴的两个交点坐标为,,
∴,.
∵平移后抛物线与x轴两交点之间的距离为6,
∴,
解得,
经检验,是原方程的解且符合题意,
∴.
(2)解:由题意得,抛物线的对称轴为直线,
∴点关于对称轴的对称点为,
将,代入,
得,
∴,
∵,
∴,
解得,
∴n的取值范围为.
七、二次函数的性质与推理问题
28. (1)解:将点代入,
得,
解得,
∴的值分别为;
(2)解:∵,
,
∴抛物线为,
∵,
∴抛物线顶点坐标为,
①当时,抛物线开口向上,,
∴当时,为最大值,
即,解得;
②当时,抛物线开口向下,
∴当时,为最大值,
即,解得;
综上所述,或
(3)解:①∵抛物线,
当时,,则点坐标为;
②∵,均在抛物线上,
∴抛物线的对称轴为直线,
∵抛物线经过,,
,
,
,
∵,
∴,
∴,
∴.
29. (1)解:(1)①由题意,∵,
∴.
②∵抛物线中,,
∴抛物线开口向上,
∵点,点在抛物线上,对称轴为直线,
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离,
∴.
故答案为:>.
(2)由题意,∵抛物线的对称轴是直线,且抛物线开口向上,
∴当时,y随x的增大而增大.
∵,
∴点在对称轴的左侧,点在对称轴的右侧,
∵,都有,
∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离,
∴ ,
∴.
∴t的取值范围是.
八、二次函数与函数值的最值或范围问题
(1)解:∵抛物线经过点和,
∴抛物线的对称轴为直线
∴当和 时,即
故答案为:;
(2)解:设抛物线解析式为把代入得,解得,
∴抛物线解析式为即;
(3)解:,
∴当时,有最小值,最小值为
∵当时,;当时,;
∴当时,则的取值范围是
故答案为:.
(1)解:∵二次函数,经过点,对称轴为直线,
∴,,
∴,,
∴二次函数的表达式为;
(2)解:∵点,,将向上平移5个单位长度,向右平移个单位长度后,
∴点,的对应点坐标为,
由(1)知二次函数的表达式为,
令,
解得:,
令,
解得:,
如图:当点经过点时,恰好与的图象有交点,
则;
如图,当点经过点时,恰好与的图象有交点,
则;
综上,时,恰好与的图象有交点;
(3)解:∵二次函数的对称轴为直线,且,
∴当时,y随x的增大而减小,当时,y随x的增大而增大,
①当时,即时,
二次函数的最大值为,最小值为,
∴,
∴(不合题意,舍去);
②当时,
二次函数的最大值为,最小值为,或最大值为,
∴或,
∴或(不合题意,舍去);或(不合题意,舍去);
当时,
二次函数的最小值为,最大值为,
∴,
∴(不合题意,舍去);
综上,n的值为.
九、构造的新函数图象探究问题
32. (1)解:把代入函数解析式可得:,
所以.
故答案为:0;
(2)解:如图所示:
(3)解:①由函数图象知,函数图象与轴有3个交点,
所以方程有3个实数根;
②如图:
函数图象与直线有2个交点,
所以有2个实数根;
③由函数图象可知,关于的方程有4个实数根,
则直线在直线和轴之间,
所以.
故答案为:①3,3;②2;③.
33. (1)解:①由图象可得:关于轴对称;函数有最大值为0等;(答案不唯一).
②由图象可得:或;
③由图象可得:当时,方程有四个实数根,
故答案为:①关于轴对称(答案不唯一);②或;③;
(2)解:图象如图所示,
平移过程为:将函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度可得到函数的图象,
由图象可得:当时,
自变量的取值范围为且.
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