第二十二章 二次函数--二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质重点题型梳理 专题练(二) 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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名称 第二十二章 二次函数--二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质重点题型梳理 专题练(二) 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
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资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2025-09-19 17:31:06

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第二十二章 二次函数--二次函数y=ax +bx+c的图象和性质重点题型梳理 专题练(二) 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、二次函数y=ax +bx+c的函数值范围及最值问题
29.(24-25九年级下·安徽池州·期中)抛物线经过点.
(1)若,则该抛物线的对称轴是直线 .
(2)若对于,都有,则的取值范围是 .
30.(2025·江苏扬州·二模)二次函数(,,是常数,)的自变量与函数值的部分对应值如下表:则 .(填“>”“<”或“=”)
… 1 3 …
… …
31.(2025·浙江宁波·模拟预测)在平面直角坐标系中,二次函数的表达式为,其中.
(1)若此函数图象过点,求这个二次函数的表达式;
(2)若为此二次函数图象上不同的两个点,当时,,求m的值;
(3)若点在此二次函数图象上,当时,y随x的增大而增大,求t的取值范围.
32.(24-25九年级上·天津红桥·期末)当时,二次函数的最大值为 .
33.(2025·河南平顶山·二模)已知二次函数
(1)若该二次函数图象过点,求a的值.
(2)请直接写出此抛物线的对称轴.
(3)当时,y的最大值是6,求a的值.
34.(2025·山东聊城·三模)在平面直角坐标系中,已知抛物线.
(1)若抛物线对称轴为直线,求顶点坐标;
(2)已知,是抛物线上两点,当且时.都有,求m的取值范围;
(3)当时,二次函数的最大值与最小值的差为4,求m的值.
二、二次函数y=ax +bx+c的推理计算与证明问题
35.(2025·北京海淀·三模)在平面直角坐标系中,点,,在抛物线上.
(1)判断此抛物线与x轴的交点个数,并说明理由;
(2)已知对于,,,总有,求的取值范围.
36.(2025·浙江杭州·三模)已知二次函数的顶点横坐标比二次函数(a为常数)的顶点横坐标大1.
(1)求a的值;
(2)二次函数(a为常数)的图象是否可以由平移得到?如果可以,请说出平移方案;如果不可以,请说明理由.
(3)设点在抛物线上,点在抛物线上.若,且,,求n的值;
三、二次函数y=ax +bx+c与实际问题
37.(2025·陕西榆林·三模)冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧,高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学.如图1所示的窑洞,其下部近似为矩形(图2),上部近似为一条抛物线.已知米,米,窑洞的最高点P(抛物线的顶点)离地面的距离为4米.以所在直线为x轴,所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若在窑洞的上部安装两根窗框、,点D、E在矩形的边上,点F、G在抛物线上,点D与点E恰好是的三等分点(点D在点E的左侧),求这两根窗框的总长度.
38.(23-24九年级上·河南新乡·期末)如图,这是一位篮球运动员投篮的进球路线,球沿抛物线运动,然后准确落入篮球框内.已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离m.以O为坐标原点,建立平面直角坐标系,篮球框的中心D的坐标为,对称轴与抛物线交于点B,与x轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式,
(2)求点O到所在直线的距离及点B到地面的距离.
四、二次函数y=ax +bx+c与几何压轴问题
39.(24-25九年级下·福建漳州·期中)如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于,两点,交轴于点,直线交抛物线对称轴于点,为轴下方抛物线上一点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)直线,分别交对称轴于点,,当点,均在点的下方时,求证:为定值.
40.(24-25九年级上·山东德州·阶段练习)如图,抛物线的图象交直线于,两点,与轴的另一个交点为,与轴交于点.
(1)求拋物线的解析式;
(2)连接,,求的面积;
(3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E,使的值最小,若不存在,请说明理由;若存在,请求出点E的坐标.
综合练
41.(2025·内蒙古·模拟预测)若二次函数,,当时,函数的最小值是m,函数的最小值是n,则 .
42.(2025·安徽宿州·模拟预测)已知抛物线与x轴交于,两点,与y轴交于点,对称轴为直线.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)点P在直线上方的抛物线上,轴,交直线于点D,求线段的最大值.
(3)抛物线上是否存在一点Q,使得的面积等于3?若存在,求出点Q的横坐标q的值;若不存在,请说明理由.
43.(24-25九年级下·安徽池州·期中)已知二次函数.
(1)若二次函数的图象与x轴交于点,求二次函数图象与x轴的另外一个交点的坐标.
(2)若当自变量x取任意实数时,总有对应的函数值,求m的取值范围(用含有b的式子表示).
(3)当时,,求和的值及的取值范围.
答案
一、二次函数y=ax +bx+c的函数值范围及最值问题
29. 解:(1)当时,,
若,则抛物线过点,,
该抛物线的对称轴是直线,
故答案为:1;
(2)抛物线经过点,,,,



抛物线的对称轴为直线,
①当时,此时抛物线开口向上,
当时,随着的增大而增大,
对于,,都有,

,不合题意,舍去;
②当时,抛物线开口向下,对称轴为直线,
关于对称轴的对称点为,
对于,,都有,

解得,
综上,当时,都有.
故答案为:.
解:如图,根据点,,画出二次函数大致图像,
根据抛物线的对称性得对称轴为,
∴点距离对称轴个单位,
点距离对称轴个单位,
∵,
∴.
故答案为:.
(1)解:把点代入到二次函数的表达式中,

化简得:,
依题意联立方程组:,
解得,
∴二次函数的表达式为;
(2)解:∵二次函数的表达式为;
∴对称轴为直线,
∵,
∴,
∴.
∵,
说明关于对称轴对称,
∴,
∴,
解得:;
(3)解:∵点在此二次函数图象上,
∴,对称轴,
∵,

∴,
∵当时,y随x的增大而增大,
∴且,


解得:,


∴.
解:∵二次函数,
∴对称轴为直线,
∵,,,
∴当时,二次函数,此时最大,
故答案为:10.
33. (1)解:把,代入,得:,
解得:;
(2)由题意,对称轴为直线;
(3)当时,
∵,对称轴为直线,
∴当时,函数有最大值为,
解得:;
当时,
∵,对称轴为直线,
∴当时,函数值最大,即:,
解得:;
综上:或.
34. (1)解:∵对称轴为直线,


∴顶点坐标为;
(2)解:,
∴二次函数图象开口向上,对称轴为直线,
∵点为函数图象上任意两点,
若对于,且,都有,
又,即的中点在右侧,
∵离对称轴越近,函数值越小,
即.
(3)解:①当时,即时,如图,
当时,函数有最大值:,
当时,函数有最小值:,

(舍去).
②如图,当且时,时,
当时,函数有最大值:,
当时,函数有最小值:,

,(舍去).
③如图,当且时,即时,
当时,函数有最大值:,
当时,函数有最小值:,

,(舍去).
④如图,当时,即时,
当时,函数有最大值:,
当时,函数有最小值:,

(舍去).
综上所述:或.
二、二次函数y=ax +bx+c的推理计算与证明问题
35. (1)解:此抛物线与x轴的交点个数为两个,理由如下:
∵抛物线,
∴,
∴此抛物线与x轴的交点个数为两个;
(2)解:∵抛物线,
∴抛物线的对称轴为直线,
∵,
∴,
当时,
∵对于,,总有,
∴如图所示:
∴由图可得:,
解得,
当时,可以取到,此时,与题意矛盾,舍去;
∵,
∴为关于的二次函数,开口向下,对称轴为直线,
∴当时,.
(1)解:∵二次函数,
∴顶点坐标为,
∵二次函数,
∴顶点坐标为,
∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1,
∴,
∴.
(2)解:由(1)可知,二次函数分别为,,
∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度,向下平移3个单位长度得到.
(3)解:∵点在抛物线上,
∴,
∵,,
∴,
∴,
整理,得:,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
三、二次函数y=ax +bx+c与实际问题
37. (1)由题意知,顶点P的坐标为,
设抛物线的函数表达式为,
将代入,得,
解得,
∴抛物线的函数表达式为.
(2)由题意知,,

当时,,
由对称性可知,

故这两根窗框的总长度为米.
38. (1)解:,
点,

将点代入,
解得,
抛物线的表达式为.
(2)解:抛物线的表达式为,
对称轴为直线,
点O到所在直线的距离为m.
当时,,
点B到地面的距离为m.
四、二次函数y=ax +bx+c与几何压轴问题
39. (1)解:抛物线经过点,,

解得,
抛物线的函数表达式为;
(2)证明:,当时,,

∴设直线的解析式为,
把点代入,得:,
∴直线的函数表达式为,
抛物线对称轴交直线于点,对称轴为直线,
当时,,

如图,设点,

设直线的函数表达式为,
将点的坐标代入,得,则,
直线的函数表达式为,
当时,,


同理可得,直线的函数表达式为,
当时,,



为定值.
(1)解:把点代入得:

解得:,
∴点,
把点代入,得:
,解得:,
∴抛物线的解析式为;
(2)解:设直线与y轴的交点为点H,
对于,
当时,,
∴直线与y轴的交点坐标为,
联立得:,
解得:或,
∴点,
对于,当时,,
∴点D的坐标为,
∴,
∵,
∴;
(3)解:存在,
由函数的对称性知,点B、D关于抛物线的对称轴对称,设交抛物线对称轴于点E,则点E为所求点,此时的值最小,
∵,
∴抛物线的对称轴为直线,
∴点A关于对称轴的对称点为点,
设直线的解析式为,
把点,代入得:
,解得:,
∴直线的解析式为,
联立得:,解得:,
∴点E的坐标为.
综合练
解:二次函数,
抛物线开口向上,对称轴为直线,

当时,函数值最小,,
二次函数,
抛物线开口向下,对称轴为直线,抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小,

当时,函数值最小,,

故答案为:.
(1)解:∵抛物线对称轴为直线,即,
∴,
∵抛物线与y轴交于点,
∴,
∴抛物线的函数表达式为.
(2)解:令,解得或,
∵,
∴,,
如图1,
设直线的函数表达式为,
∵直线经过点,,

解得,
∴直线的函数表达式为,
由(1)得抛物线的函数表达式为,
设,则,
∴,
∵,
∴线段有最大值为.
(3)解:如图2,作轴交BC于点E,
设直线的函数表达式为,
∵直线经过点,,
∴,
解得
∴直线的函数表达式为,
设,
令,解得,
则,
∴,
∴的面积,
∵的面积等于3,
∴,解得或.
43.( (1)解:将代入,得,
∴,
∴二次函数解析式为,
当时,,解得,
二次函数的图象与轴的另外一个交点的坐标为.
(2)解:,
当时,取最小值,最小值为.
取任意实数,总有,

(3)解:,
抛物线开口向上,对称轴为直线.
又当时,,
当抛物线过点和时,总有,即的最小值,

∴,

当时,,
当时,的最小值为,


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