3.2.1单调性与最大（小）值（第1课时） 过关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
3.2.1单调性与最大（小）值（第1课时） 过关练
2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，那么“”是“函数是上的增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．如果函数在区间上单调递减，且函数在区间上单调递增，那么称是区间上的“可变函数”，区间叫做的“可变区间”.已知函数，则下列区间为的可变区间的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列函数中满足“对任意，都有”的是（ ）
A． B．为常数）
C． D．
8．给定函数，，表示，中的较小者，记为，则（ ）
A． B．函数的定义域为
C．函数的值域为 D．函数的单调区间有3个
三、填空题
9．已知在上是增函数，则a的取值范围是 ．
10．函数的单调增区间为 .
11．函数在上为增函数，则的一个单调递减区间是 .
12．已知函数（为常数）．若在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ．
四、解答题
13．证明：在区间上是单调递增函数.
14．已知函数在区间上是严格减函数，求实数的取值范围．
15．已知函数，试写出函数的单调区间.
16．讨论函数在区间上的单调性.
17．已知函数
(1)求的值；
(2)用定义证明函数在区间上是增函数；
(3)求不等式的解集．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A B AC BC ACD ABD
1．B
【分析】根据题意化简函数解析式，作出图象，结合图象即可得函数解析式.
【详解】因为图象如图所示：
所以函数的单调递增区间为.
故选：B．
2．C
【分析】先求解函数的定义域，然后根据二次函数的性质判断函数的增减区间即可；
【详解】由函数有意义得，解得.
函数图象的对称轴为直线
在上单调递增，在上单调递减，
的单调递减区间是.
故选：C.
3．A
【分析】根据分段函数单调性及充分必要条件的概念判断即可.
【详解】当时，是上的增函数，
而由函数是上的增函数，可得
，即得，推不出.
则“”是“函数是上的增函数”的充分不必要条件.
故选：A.
4．B
【分析】根据绝对值函数的性质进行求解即可.
【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当函数在区间上不单调，
则有，即，
故选：B
5．AC
【分析】结合可变函数的定义，先求的减区间，再求的增区间，然后求出交集就可以判断选项了.
【详解】因为图象的对称轴为直线，所以在区间上单调递减，
又在和上单调递增，
的单调递减区间和的单调递增区间的交集为，
故的可变区间应该是该集合的子集，A，C符合条件.
故选：AC.
6．BC
【分析】根据题目条件得到函数在上单调递减，由分段函数的单调性得到不等式组，进而求得结论.
【详解】因为，所以在上单调递减，
则要满足，解得，故．
故选：BC．
7．ACD
【分析】由单调函数的定义可知在区间上单调递增，根据反比例、一次函数、二次函数和幂函数的单调性依次判断选项即可.
【详解】若对于函数，任意，都有，
则在区间上单调递增，
A：在上单调递增，故A正确；
B：在上单调递减，故B错误；
C：图象的对称轴为直线，开口向上，
所以该函数在上单调递增，故C正确：
D：，因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：ACD
8．ABD
【分析】对于A：直接代入求值；对于BCD：根据题意作出的图象，结合图象分析判断；
【详解】当时，，故 ，A正确；
作出函数，的图象，可得到的图象如图：（实线部分）

函数的定义域为，B正确；
函数的值域为，故C错误；
函数的单调区间有，故D正确.
故选：ABD.
9．
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于在上是增函数，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：
10．
【解析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性求解即可.
【详解】由得，函数的定义域是 R，
设，则在上是减函数，在 上是增函数，
∵在定义域上减函数，∴函数的单调增区间是
故答案为：
11．
【分析】由函数为上的增函数，可知偶函数在单调递减，而是向左平移一个单位后得到的，进而求解.
【详解】函数为上的增函数，
偶函数在上单调递增，在单调递减，
而是向左平移一个单位后得到的，
单调递减区间是，
故答案为：.
12．
【分析】根据给定的函数，求出其单调递增区间，再利用集合的包含关系求解即可.
【详解】依题意，函数，显然函数在上单调递减，在上单调递增，
因为在区间上单调增函数，因此，则，
所以的取值范围是.
故答案为：
13．证明见解析.
【分析】利用函数的单调性的定义证明即可.
【详解】设，且，
则，
因为，所以，，所以，
所以，即.
故在区间上是单调递增函数.
14．．
【分析】对分类讨论，再结合一次、二次函数的性质列不等式组即可求解.
【详解】因为在区间上是严格减函数，所以为函数严格减区间的子集．
①当时，在区间上是严格减函数，∴满足题意；
②当时，的减区间为，则有，解得；
③当时，的减区间为，则有，解得．
综上，实数的取值范围为．
15．增区间为和，减区间为和
【分析】令，由二次函数的性质可得函数、的单调区间，由复合函数的单调性即可得解.
【详解】令，
则当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递增；
又函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在和上单调递减，在和上单调递增，
所以函数的单调增区间为和，减区间为和.
【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，考查了复合函数单调区间的确定与运算求解能力，掌握复合函数“同增异减”是解题关键，属于中档题.
16．在上单调递减，在上单调递增
【分析】根据题意，由函数单调性的定义证明即可.
【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
以下根据函数单调性的定义证明：
①设，
则
，
，即，
在内是减函数.
②设
由①知
，
即，
在内是增函数.
17．(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据自变量的范围，直接代入即可求解，
（2）根据单调性的定义即可求解，
（3）分类讨论即可求解.
【详解】（1）
当时，，则，
当时，，则，
（2）任取，故，
由于,所以，
因此，故，
因此函数在区间上是增函数，
（3）当时，由时，，解得或，
当时，由时，，解得，
综上可得不等式的解集为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)