第二十二章 二次函数--二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
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| 名称 | 第二十二章 二次函数--二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-19 17:42:50 | ||
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文档简介
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第二十二章 二次函数--二次函数y=ax +bx+c的图象和性质常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、把二次函数y=ax +bx+c配成顶点式
1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）求二次函数的对称轴、顶点坐标和最值．
4．（24-25九年级上·吉林·期中）已知二次函数．
(1)用配方法将其化为的形式；
(2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标．
二、二次函数y=ax +bx+c的图象
5．（18-19九年级上·浙江绍兴·阶段练习）二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图是抛物线的示意图，则c的值可以是（ ）
A．1 B．0 C． D．
8．（23-24九年级上·广东江门·期中）函数和函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·陕西·一模）关于的二次函数（其中）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
三、二次函数y=ax +bx+c的基本性质
10．（24-25九年级上·四川泸州·期中）二次函数的图象的（ ）
A．最高点在 B．最高点在
C．最低点在 D．最低点在
11．（2025·广东梅州·二模）对于二次函数，下列说法正确的是( )
A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值
C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点
12．（2025·陕西商洛·三模）已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（ ）
A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大
C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点
四、二次函数y=ax +bx+c的函数值的大小
13．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）已知点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，C，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
15．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知点，，都在函数上，则（ ）
A． B．
C． D．
五、二次函数y=ax +bx+c的对称性
16．（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数的图象上有两点和，则此抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线经过点，点，在此抛物线上，当，时，恒成立，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．抛物线经过点
C．抛物线开口向上
D．抛物线的顶点坐标为
18．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上．
(1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ；
(2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标．
19．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)当时，①求此时二次函数的表达式；②把化为的形式，并写出顶点坐标；
六、确定二次函数y=ax +bx+c的解析式
20．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)求二次函数图象与轴的交点坐标．
21．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数的图像经过，两点．
(1)求和的值；
(2)试判断点是否在此函数图像上？
22．（24-25九年级上·云南红河·期中）求下列抛物线对应的函数解析式：
(1)顶点在原点，且过点；
(2)过点，，；
(3)过点，，；
(4)当时，函数值取得最小值为，且此函数图象与轴交于点．
23．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数（a，b，c均为常数且）．
(1)若该函数图象过点，点和点，求二次函数表达式；
(2)若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，求出定点的坐标．
七、画二次函数y=ax +bx+c的图象
24．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数．
(1)该二次函数的图象与x轴的交点坐标是_____________、_____________，顶点坐标是_____________；
(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象；
(3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围_____________．
25．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象过点，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
x … …
y … …
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为；
②当时，y随x增大而减小；
③当时，y的取值范围为；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．
八、二次函数y=ax +bx+c的平移问题
26．（2025·山西临汾·三模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ．
27．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数．
(1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标；
(2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值．
28．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
九、二次函数y=ax +bx+c的函数值范围及最值问题
29．（24-25九年级下·安徽池州·期中）抛物线经过点．
（1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ．
（2）若对于，都有，则的取值范围是 ．
30．（2025·江苏扬州·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：则 ．（填“>”“<”或“=”）
… 1 3 …
… …
31．（2025·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为，其中．
(1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式；
(2)若为此二次函数图象上不同的两个点，当时，，求m的值；
(3)若点在此二次函数图象上，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．
32．（24-25九年级上·天津红桥·期末）当时，二次函数的最大值为 ．
33．（2025·河南平顶山·二模）已知二次函数
(1)若该二次函数图象过点，求a的值．
(2)请直接写出此抛物线的对称轴．
(3)当时，y的最大值是6，求a的值．
34．（2025·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标；
(2)已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值．
十、二次函数y=ax +bx+c的推理计算与证明问题
35．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上．
(1)判断此抛物线与x轴的交点个数，并说明理由；
(2)已知对于，，，总有，求的取值范围．
36．（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数的顶点横坐标比二次函数（a为常数）的顶点横坐标大1．
(1)求a的值；
(2)二次函数（a为常数）的图象是否可以由平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由．
(3)设点在抛物线上，点在抛物线上．若，且，，求n的值；
十一、二次函数y=ax +bx+c与实际问题
37．（2025·陕西榆林·三模）冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形（图2），上部近似为一条抛物线．已知米，米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为4米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若在窑洞的上部安装两根窗框、，点D、E在矩形的边上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度．
38．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线运动，然后准确落入篮球框内．已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离m．以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，篮球框的中心D的坐标为，对称轴与抛物线交于点B，与x轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式，
(2)求点O到所在直线的距离及点B到地面的距离．
十二、二次函数y=ax +bx+c与几何压轴问题
39．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值．
40．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点．
(1)求拋物线的解析式；
(2)连接，，求的面积；
(3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标．
答案
答案
一、把二次函数y=ax +bx+c配成顶点式
1． 解：；
故选D．
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
故选：C．
解：，
对称轴为直线， 顶点坐标为，
又，
该二次函数有最小值，最小值为．
（1）解：
；
（2）解：当时，，解得：，；
当时，，
故抛物线与轴的交点是，，与轴交点是
二、二次函数y=ax +bx+c的图象
5． 解：抛物线的开口向下，
，
对称轴在轴的右侧，
，则，
图象与轴的交于负半轴，
，
，，，
故选：C．
6． 解：A、一次函数与y轴交点应为，二次函数与y轴的交点也应为，图象不符合，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．
故选：D．
解：根据二次函数图象可得：抛物线与y轴的正半轴相交，
∴，
∴只有A符合题意，
故选：A．
解：A：由函数的图象可知，；
∴
∴二次函数图象开口向上，
∵，
∴二次函数图象的对称轴应位于轴左侧
故A正确；C、D错误；
B：由函数的图象可知，；
∴
∴二次函数图象开口向下，
∵，
∴二次函数图象的对称轴应位于轴右侧
故B错误；
故选：A
解：在中：
∵，
∴函数图象开口向下．
∵对称轴为，
∴函数对称轴在y轴右侧，C选项不正确，
令代入二次函数得，
则．
∵，
∴，
∴方程有两个不同实数根，即二次函数的图象与轴有两个不同交点，
设二次函数的图象与轴有两个不同交点的横坐标分别为，
又∵，则，
∴
∴二次函数的图象与轴的两个交点在轴的右侧，
∴只有D选项符合题意，
故选：D．
三、二次函数y=ax +bx+c的基本性质
10． 解：把二次函数变成顶点式得：，
∵，即开口向上，
∴该二次函数有最低点；
故选C．
11． 解：，
∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，当时随的增大而减小，故A选项错误
当时， 有最大值，与轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确，
故选：B．
解：二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴，即对称轴在轴右侧，故A选项错误，不符合题意；
∵，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴的右侧时，随的增大而增大；在对称轴的左侧时，随的增大而减小，
即当时，随的增大而增大，故B选项错误，不符合题意；
当时，，
∴抛物线与y轴交于点，位于y轴正半轴，
∴图象一定不经过第三象限，故C选项正确，符合题意；
∵，
∵，
∴无法确定的正负，
即无法确定图象与轴的交点的个数，故D选项错误，不符合题意；
故选：C
四、二次函数y=ax +bx+c的函数值的大小
13． ∵点都在二次函数的图象上，
∴当时，当时，
∴，
故选：B．
14． 解：∵，
∴二次函数的开口向下，对称轴是直线，
∴时，y随x的增大而减小，
∵C点关于直线的对称点是，
∵，
∴，
故选：A．
解：的对称轴为，函数图像开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大
∵
∴
故选：A ．
五、二次函数y=ax +bx+c的对称性
16． 解：∵点和是抛物线上对称的两点，
∴此抛物线的对称轴是直线，
故选：A
17． 解：∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线的对称轴为，
故A正确；
点关于对称轴的对称点为，故B正确；
∵抛物线的对称轴为，点在此抛物线上，且，
∴点关于对称轴的对称点为，且，
当，时，由题意描点，结合点关于对称轴的对称点可知抛物线开口向上，
当，时，由题意描点，不符合二次函数图象，此种情况不存在，
则抛物线开口向上，故C正确；
∵当时，，当时，，
∴当时，，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，故D错误，
故选：D．
（1）解：若，
则是抛物线上关于对称轴对称的两点
故抛物线的对称轴为直线：，
故答案为：
（2）解：∵点在上，
∴， .
∴
将代入得：
∴
解得
∴.
故顶点坐标为
（1）解：由题意得：
二次函数的对称轴为：．
（2）①将点带入二次函数得：，
解得：，
二次函数的表达式为：；
②变形得：，
顶点坐标为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、利用配方法将二次函数的一般式改写为顶点式、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称轴公式及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
六、确定二次函数y=ax +bx+c的解析式
20． （1）解：∵此函数的图象经过点，
∴将代入，
∴；
（2）解：二次函数，令，则有，
解得，
故二次函数图象与x轴的交点坐标为．
21． （1）
解：把，两点代入二次函数得
，
解得，；
（2）
解：由（1）得，
把代入，得，
点在不在此函数图象上．
（1）解：∵顶点在原点，
∴设抛物线解析式为，
把代入得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设抛物线解析式为，
∵抛物线过点，，，
∴，
解得：，，，
∴抛物线解析式为；
（3）解：∵抛物线过过点，，
∴设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（4）解：∵当时，函数值取得最小值为，
∴顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为．
（1）∵二次函数图象过点和点，
∴设二次函数的解析式为，
把代入，
得，
∴，
∴
（2）若，，
则，
∴当时，，当时，，
∴若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，．
七、画二次函数y=ax +bx+c的图象
24． （1）解：令，则，
解得：，
∴二次函数图象与轴的交点坐标是，，
∵，
∴该二次函数图象顶点坐标为；
（2）解：列表：
描点，连线，如图：
（3）解：由图象可知，当时，．
25． （1）解：由题意得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：取点补全表格为：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
如图，
（3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意；
②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意；
③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
八、二次函数y=ax +bx+c的平移问题
26． 解：将抛物线化为顶点式有，
再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
得，
故平移后的抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
（1）解：配方：
，
所以二次函数的对称轴为，顶点坐标为；
（2）由题意得：平移后的二次函数表达式为，
所以对称轴为，
因为平移后的二次函数对称轴是轴，
所以，
解得．
（1）解：将代入得，，
解得：，
该抛物线的表达式为；
（2）解：，
该抛物线的顶点为，
要使抛物线与轴只有一个公共点，即要求顶点在轴上，
顶点纵坐标应为0，
将该抛物线向上平移1个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点，
故答案为：1．
九、二次函数y=ax +bx+c的函数值范围及最值问题
29． 解：（1）当时，，
若，则抛物线过点，，
该抛物线的对称轴是直线，
故答案为：1；
（2）抛物线经过点，，，，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
①当时，此时抛物线开口向上，
当时，随着的增大而增大，
对于，，都有，
，
，不合题意，舍去；
②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线，
关于对称轴的对称点为，
对于，，都有，
，
解得，
综上，当时，都有．
故答案为：．
解：如图，根据点，，画出二次函数大致图像，
根据抛物线的对称性得对称轴为，
∴点距离对称轴个单位，
点距离对称轴个单位，
∵，
∴．
故答案为：．
（1）解：把点代入到二次函数的表达式中，
得
化简得：，
依题意联立方程组：，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵二次函数的表达式为；
∴对称轴为直线，
∵，
∴，
∴．
∵，
说明关于对称轴对称，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：∵点在此二次函数图象上，
∴，对称轴，
∵，
∴
∴，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴且，
∴
∴
解得：，
∴
∵
∴．
解：∵二次函数，
∴对称轴为直线，
∵，，，
∴当时，二次函数，此时最大，
故答案为：10．
33． （1）解：把，代入，得：，
解得：；
（2）由题意，对称轴为直线；
（3）当时，
∵，对称轴为直线，
∴当时，函数有最大值为，
解得：；
当时，
∵，对称轴为直线，
∴当时，函数值最大，即：，
解得：；
综上：或．
34． （1）解：∵对称轴为直线，
，
，
∴顶点坐标为；
（2）解：，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∵点为函数图象上任意两点，
若对于，且，都有，
又，即的中点在右侧，
∵离对称轴越近，函数值越小，
即．
（3）解：①当时，即时，如图，
当时，函数有最大值：，
当时，函数有最小值：，
，
（舍去）．
②如图，当且时，时，
当时，函数有最大值：，
当时，函数有最小值：，
，
，（舍去）．
③如图，当且时，即时，
当时，函数有最大值：，
当时，函数有最小值：，
，
，（舍去）．
④如图，当时，即时，
当时，函数有最大值：，
当时，函数有最小值：，
，
（舍去）．
综上所述：或．
十、二次函数y=ax +bx+c的推理计算与证明问题
35． （1）解：此抛物线与x轴的交点个数为两个，理由如下：
∵抛物线，
∴，
∴此抛物线与x轴的交点个数为两个；
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
当时，
∵对于，，总有，
∴如图所示：
∴由图可得：，
解得，
当时，可以取到，此时，与题意矛盾，舍去；
∵，
∴为关于的二次函数，开口向下，对称轴为直线，
∴当时，．
（1）解：∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，二次函数分别为，，
∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到．
（3）解：∵点在抛物线上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
整理，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
十一、二次函数y=ax +bx+c与实际问题
37． （1）由题意知，顶点P的坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）由题意知，，
，
当时，，
由对称性可知，
，
故这两根窗框的总长度为米．
38． （1）解：，
点，
．
将点代入，
解得，
抛物线的表达式为．
（2）解：抛物线的表达式为，
对称轴为直线，
点O到所在直线的距离为m．
当时，，
点B到地面的距离为m．
十二、二次函数y=ax +bx+c与几何压轴问题
39． （1）解：抛物线经过点，，
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）证明：，当时，，
，
∴设直线的解析式为，
把点代入，得：，
∴直线的函数表达式为，
抛物线对称轴交直线于点，对称轴为直线，
当时，，
，
如图，设点，
，
设直线的函数表达式为，
将点的坐标代入，得，则，
直线的函数表达式为，
当时，，
，
．
同理可得，直线的函数表达式为，
当时，，
，
，
．
为定值．
（1）解：把点代入得：
，
解得：，
∴点，
把点代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线与y轴的交点为点H，
对于，
当时，，
∴直线与y轴的交点坐标为，
联立得：，
解得：或，
∴点，
对于，当时，，
∴点D的坐标为，
∴，
∵，
∴；
（3）解：存在，
由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点A关于对称轴的对称点为点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，解得：，
∴点E的坐标为．
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第二十二章 二次函数--二次函数y=ax +bx+c的图象和性质常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、把二次函数y=ax +bx+c配成顶点式
1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）求二次函数的对称轴、顶点坐标和最值．
4．（24-25九年级上·吉林·期中）已知二次函数．
(1)用配方法将其化为的形式；
(2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标．
二、二次函数y=ax +bx+c的图象
5．（18-19九年级上·浙江绍兴·阶段练习）二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图是抛物线的示意图，则c的值可以是（ ）
A．1 B．0 C． D．
8．（23-24九年级上·广东江门·期中）函数和函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·陕西·一模）关于的二次函数（其中）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
三、二次函数y=ax +bx+c的基本性质
10．（24-25九年级上·四川泸州·期中）二次函数的图象的（ ）
A．最高点在 B．最高点在
C．最低点在 D．最低点在
11．（2025·广东梅州·二模）对于二次函数，下列说法正确的是( )
A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值
C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点
12．（2025·陕西商洛·三模）已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（ ）
A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大
C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点
四、二次函数y=ax +bx+c的函数值的大小
13．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）已知点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，C，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
15．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知点，，都在函数上，则（ ）
A． B．
C． D．
五、二次函数y=ax +bx+c的对称性
16．（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数的图象上有两点和，则此抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线经过点，点，在此抛物线上，当，时，恒成立，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．抛物线经过点
C．抛物线开口向上
D．抛物线的顶点坐标为
18．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上．
(1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ；
(2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标．
19．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)当时，①求此时二次函数的表达式；②把化为的形式，并写出顶点坐标；
六、确定二次函数y=ax +bx+c的解析式
20．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)求二次函数图象与轴的交点坐标．
21．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数的图像经过，两点．
(1)求和的值；
(2)试判断点是否在此函数图像上？
22．（24-25九年级上·云南红河·期中）求下列抛物线对应的函数解析式：
(1)顶点在原点，且过点；
(2)过点，，；
(3)过点，，；
(4)当时，函数值取得最小值为，且此函数图象与轴交于点．
23．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数（a，b，c均为常数且）．
(1)若该函数图象过点，点和点，求二次函数表达式；
(2)若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，求出定点的坐标．
七、画二次函数y=ax +bx+c的图象
24．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数．
(1)该二次函数的图象与x轴的交点坐标是_____________、_____________，顶点坐标是_____________；
(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象；
(3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围_____________．
25．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象过点，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
x … …
y … …
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为；
②当时，y随x增大而减小；
③当时，y的取值范围为；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．
八、二次函数y=ax +bx+c的平移问题
26．（2025·山西临汾·三模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ．
27．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数．
(1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标；
(2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值．
28．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
九、二次函数y=ax +bx+c的函数值范围及最值问题
29．（24-25九年级下·安徽池州·期中）抛物线经过点．
（1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ．
（2）若对于，都有，则的取值范围是 ．
30．（2025·江苏扬州·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：则 ．（填“>”“<”或“=”）
… 1 3 …
… …
31．（2025·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为，其中．
(1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式；
(2)若为此二次函数图象上不同的两个点，当时，，求m的值；
(3)若点在此二次函数图象上，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．
32．（24-25九年级上·天津红桥·期末）当时，二次函数的最大值为 ．
33．（2025·河南平顶山·二模）已知二次函数
(1)若该二次函数图象过点，求a的值．
(2)请直接写出此抛物线的对称轴．
(3)当时，y的最大值是6，求a的值．
34．（2025·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标；
(2)已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值．
十、二次函数y=ax +bx+c的推理计算与证明问题
35．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上．
(1)判断此抛物线与x轴的交点个数，并说明理由；
(2)已知对于，，，总有，求的取值范围．
36．（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数的顶点横坐标比二次函数（a为常数）的顶点横坐标大1．
(1)求a的值；
(2)二次函数（a为常数）的图象是否可以由平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由．
(3)设点在抛物线上，点在抛物线上．若，且，，求n的值；
十一、二次函数y=ax +bx+c与实际问题
37．（2025·陕西榆林·三模）冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形（图2），上部近似为一条抛物线．已知米，米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为4米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若在窑洞的上部安装两根窗框、，点D、E在矩形的边上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度．
38．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线运动，然后准确落入篮球框内．已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离m．以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，篮球框的中心D的坐标为，对称轴与抛物线交于点B，与x轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式，
(2)求点O到所在直线的距离及点B到地面的距离．
十二、二次函数y=ax +bx+c与几何压轴问题
39．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值．
40．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点．
(1)求拋物线的解析式；
(2)连接，，求的面积；
(3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标．
答案
答案
一、把二次函数y=ax +bx+c配成顶点式
1． 解：；
故选D．
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
故选：C．
解：，
对称轴为直线， 顶点坐标为，
又，
该二次函数有最小值，最小值为．
（1）解：
；
（2）解：当时，，解得：，；
当时，，
故抛物线与轴的交点是，，与轴交点是
二、二次函数y=ax +bx+c的图象
5． 解：抛物线的开口向下，
，
对称轴在轴的右侧，
，则，
图象与轴的交于负半轴，
，
，，，
故选：C．
6． 解：A、一次函数与y轴交点应为，二次函数与y轴的交点也应为，图象不符合，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．
故选：D．
解：根据二次函数图象可得：抛物线与y轴的正半轴相交，
∴，
∴只有A符合题意，
故选：A．
解：A：由函数的图象可知，；
∴
∴二次函数图象开口向上，
∵，
∴二次函数图象的对称轴应位于轴左侧
故A正确；C、D错误；
B：由函数的图象可知，；
∴
∴二次函数图象开口向下，
∵，
∴二次函数图象的对称轴应位于轴右侧
故B错误；
故选：A
解：在中：
∵，
∴函数图象开口向下．
∵对称轴为，
∴函数对称轴在y轴右侧，C选项不正确，
令代入二次函数得，
则．
∵，
∴，
∴方程有两个不同实数根，即二次函数的图象与轴有两个不同交点，
设二次函数的图象与轴有两个不同交点的横坐标分别为，
又∵，则，
∴
∴二次函数的图象与轴的两个交点在轴的右侧，
∴只有D选项符合题意，
故选：D．
三、二次函数y=ax +bx+c的基本性质
10． 解：把二次函数变成顶点式得：，
∵，即开口向上，
∴该二次函数有最低点；
故选C．
11． 解：，
∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，当时随的增大而减小，故A选项错误
当时， 有最大值，与轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确，
故选：B．
解：二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴，即对称轴在轴右侧，故A选项错误，不符合题意；
∵，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴的右侧时，随的增大而增大；在对称轴的左侧时，随的增大而减小，
即当时，随的增大而增大，故B选项错误，不符合题意；
当时，，
∴抛物线与y轴交于点，位于y轴正半轴，
∴图象一定不经过第三象限，故C选项正确，符合题意；
∵，
∵，
∴无法确定的正负，
即无法确定图象与轴的交点的个数，故D选项错误，不符合题意；
故选：C
四、二次函数y=ax +bx+c的函数值的大小
13． ∵点都在二次函数的图象上，
∴当时，当时，
∴，
故选：B．
14． 解：∵，
∴二次函数的开口向下，对称轴是直线，
∴时，y随x的增大而减小，
∵C点关于直线的对称点是，
∵，
∴，
故选：A．
解：的对称轴为，函数图像开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大
∵
∴
故选：A ．
五、二次函数y=ax +bx+c的对称性
16． 解：∵点和是抛物线上对称的两点，
∴此抛物线的对称轴是直线，
故选：A
17． 解：∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线的对称轴为，
故A正确；
点关于对称轴的对称点为，故B正确；
∵抛物线的对称轴为，点在此抛物线上，且，
∴点关于对称轴的对称点为，且，
当，时，由题意描点，结合点关于对称轴的对称点可知抛物线开口向上，
当，时，由题意描点，不符合二次函数图象，此种情况不存在，
则抛物线开口向上，故C正确；
∵当时，，当时，，
∴当时，，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，故D错误，
故选：D．
（1）解：若，
则是抛物线上关于对称轴对称的两点
故抛物线的对称轴为直线：，
故答案为：
（2）解：∵点在上，
∴， .
∴
将代入得：
∴
解得
∴.
故顶点坐标为
（1）解：由题意得：
二次函数的对称轴为：．
（2）①将点带入二次函数得：，
解得：，
二次函数的表达式为：；
②变形得：，
顶点坐标为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、利用配方法将二次函数的一般式改写为顶点式、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称轴公式及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
六、确定二次函数y=ax +bx+c的解析式
20． （1）解：∵此函数的图象经过点，
∴将代入，
∴；
（2）解：二次函数，令，则有，
解得，
故二次函数图象与x轴的交点坐标为．
21． （1）
解：把，两点代入二次函数得
，
解得，；
（2）
解：由（1）得，
把代入，得，
点在不在此函数图象上．
（1）解：∵顶点在原点，
∴设抛物线解析式为，
把代入得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设抛物线解析式为，
∵抛物线过点，，，
∴，
解得：，，，
∴抛物线解析式为；
（3）解：∵抛物线过过点，，
∴设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（4）解：∵当时，函数值取得最小值为，
∴顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为．
（1）∵二次函数图象过点和点，
∴设二次函数的解析式为，
把代入，
得，
∴，
∴
（2）若，，
则，
∴当时，，当时，，
∴若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，．
七、画二次函数y=ax +bx+c的图象
24． （1）解：令，则，
解得：，
∴二次函数图象与轴的交点坐标是，，
∵，
∴该二次函数图象顶点坐标为；
（2）解：列表：
描点，连线，如图：
（3）解：由图象可知，当时，．
25． （1）解：由题意得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：取点补全表格为：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
如图，
（3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意；
②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意；
③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
八、二次函数y=ax +bx+c的平移问题
26． 解：将抛物线化为顶点式有，
再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
得，
故平移后的抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
（1）解：配方：
，
所以二次函数的对称轴为，顶点坐标为；
（2）由题意得：平移后的二次函数表达式为，
所以对称轴为，
因为平移后的二次函数对称轴是轴，
所以，
解得．
（1）解：将代入得，，
解得：，
该抛物线的表达式为；
（2）解：，
该抛物线的顶点为，
要使抛物线与轴只有一个公共点，即要求顶点在轴上，
顶点纵坐标应为0，
将该抛物线向上平移1个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点，
故答案为：1．
九、二次函数y=ax +bx+c的函数值范围及最值问题
29． 解：（1）当时，，
若，则抛物线过点，，
该抛物线的对称轴是直线，
故答案为：1；
（2）抛物线经过点，，，，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
①当时，此时抛物线开口向上，
当时，随着的增大而增大，
对于，，都有，
，
，不合题意，舍去；
②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线，
关于对称轴的对称点为，
对于，，都有，
，
解得，
综上，当时，都有．
故答案为：．
解：如图，根据点，，画出二次函数大致图像，
根据抛物线的对称性得对称轴为，
∴点距离对称轴个单位，
点距离对称轴个单位，
∵，
∴．
故答案为：．
（1）解：把点代入到二次函数的表达式中，
得
化简得：，
依题意联立方程组：，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵二次函数的表达式为；
∴对称轴为直线，
∵，
∴，
∴．
∵，
说明关于对称轴对称，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：∵点在此二次函数图象上，
∴，对称轴，
∵，
∴
∴，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴且，
∴
∴
解得：，
∴
∵
∴．
解：∵二次函数，
∴对称轴为直线，
∵，，，
∴当时，二次函数，此时最大，
故答案为：10．
33． （1）解：把，代入，得：，
解得：；
（2）由题意，对称轴为直线；
（3）当时，
∵，对称轴为直线，
∴当时，函数有最大值为，
解得：；
当时，
∵，对称轴为直线，
∴当时，函数值最大，即：，
解得：；
综上：或．
34． （1）解：∵对称轴为直线，
，
，
∴顶点坐标为；
（2）解：，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∵点为函数图象上任意两点，
若对于，且，都有，
又，即的中点在右侧，
∵离对称轴越近，函数值越小，
即．
（3）解：①当时，即时，如图，
当时，函数有最大值：，
当时，函数有最小值：，
，
（舍去）．
②如图，当且时，时，
当时，函数有最大值：，
当时，函数有最小值：，
，
，（舍去）．
③如图，当且时，即时，
当时，函数有最大值：，
当时，函数有最小值：，
，
，（舍去）．
④如图，当时，即时，
当时，函数有最大值：，
当时，函数有最小值：，
，
（舍去）．
综上所述：或．
十、二次函数y=ax +bx+c的推理计算与证明问题
35． （1）解：此抛物线与x轴的交点个数为两个，理由如下：
∵抛物线，
∴，
∴此抛物线与x轴的交点个数为两个；
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
当时，
∵对于，，总有，
∴如图所示：
∴由图可得：，
解得，
当时，可以取到，此时，与题意矛盾，舍去；
∵，
∴为关于的二次函数，开口向下，对称轴为直线，
∴当时，．
（1）解：∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，二次函数分别为，，
∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到．
（3）解：∵点在抛物线上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
整理，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
十一、二次函数y=ax +bx+c与实际问题
37． （1）由题意知，顶点P的坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）由题意知，，
，
当时，，
由对称性可知，
，
故这两根窗框的总长度为米．
38． （1）解：，
点，
．
将点代入，
解得，
抛物线的表达式为．
（2）解：抛物线的表达式为，
对称轴为直线，
点O到所在直线的距离为m．
当时，，
点B到地面的距离为m．
十二、二次函数y=ax +bx+c与几何压轴问题
39． （1）解：抛物线经过点，，
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）证明：，当时，，
，
∴设直线的解析式为，
把点代入，得：，
∴直线的函数表达式为，
抛物线对称轴交直线于点，对称轴为直线，
当时，，
，
如图，设点，
，
设直线的函数表达式为，
将点的坐标代入，得，则，
直线的函数表达式为，
当时，，
，
．
同理可得，直线的函数表达式为，
当时，，
，
，
．
为定值．
（1）解：把点代入得：
，
解得：，
∴点，
把点代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线与y轴的交点为点H，
对于，
当时，，
∴直线与y轴的交点坐标为，
联立得：，
解得：或，
∴点，
对于，当时，，
∴点D的坐标为，
∴，
∵，
∴；
（3）解：存在，
由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点A关于对称轴的对称点为点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，解得：，
∴点E的坐标为．
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