第3章 图形的相似单元测试（培优）（含答案）

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第3章 图形的相似（培优）
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ．
其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，点 、 在 轴上，点 、 在反比例函数 的图象上， ， 过原点 ， 与反比例函数 交于点 ，点 在 上且 ，连接 交 于点 ， 的面积为2，若 ，则 的值为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
3．如图，在 中，，，，点为边上一动点，连接并延长至点，使得，以，为邻边构造 ，连接交于点当的长最小时，的长为（　　）
A． B． C． D．
4． 如图，在中，D为线段上一点，点E在的延长线上，过点D作交于点F，连结，若，则与的面积比为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，且AO=BO=4，CO=8，∠ADB=2∠ACB，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．48 B．42 C．36 D．32
6．如图，在反比例函数y＝- 的图象上有一动点A，连结AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝ 的图象上运动，若tan∠CAB＝3，则k的值为（　　）
A． B．6 C．8 D．18
二、填空题
7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2 ，AE⊥BC，垂足为点E，延长AE至点D，使AD＝AB，连接CD、BD，若∠ACD＝90°，则BD的长为　 　．
8． 如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，分别在边上取点M，N，将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上，点A的对应点是，那么折痕的长为　 　；连接，线段的最小值为　 　．
9．在△ABC中，P是AB上的一个动点（点P异于A，B两点），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的“相似线”，简记为P（l ）（x为正整数）.
（1）如图①，已知∠A=90°，∠B=∠C.当BP=2PA时，P（l1），P（l2）都是过点P的△ABC的“相似线”[其中P（l1）⊥BC，P（l2）∥AC]，此外还有　 　条过点P的△ABC的“相似线”.
（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当 　 　时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的 .
10．如图，在 中， ， ， ， ， ，点 在 上， 交 于点 ， 交 于点 ，当 时， 　 　．
11．如图，已知反比例函数y＝﹣ 的图象与直线y＝kx（k＜0）相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB＝120°，且点C的位置随着k的不同取值而发生变化，但点C始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为　 　．
12．如图，在矩形ABCD中，，点P，Q分别在AB和AC上，为PQ上一点，且满足.连接AM，DM，若，则AP的长为　 　.
三、计算题
13．已知xyz≠0且 ，求k的值．
四、解答题
14．如图，在矩形中，，，动点从点开始以每秒2个单位长度沿向终点运动，同时，动点从点开始沿以每秒3个单位长度向终点运动，它们同时到达终点．连接交于点．过点作，交直线于点．
备用图
（1）当点在线段上时，求证：．
（2）当时，求的面积．
（3）在，的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
15．如图 ，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上， ，垂足为点E， ，垂足为点F.
（1）发现问题：在图 中， 的值为　 　.
（2）探究问题：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转 角 ，如图 所示，探究线段AG与BE之间的数量关系，并证明你的结论.
（3）解决问题：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图 所示，延长CG交AD于点H；若 ， ，直接写出BC的长度.
16．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，问FH多少里？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的判定与性质
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
7．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
8．【答案】；
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
9．【答案】（1）1
（2）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质
10．【答案】3
【知识点】余角、补角及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
11．【答案】y＝
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
12．【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
13．【答案】解：∵xyz≠0，∴x、y、z均不为0，①当x+y+z≠0时，∵ ，∴k= =2，②当x+y+z=0时，x+y=-z，z+x=-y，y+z=-x，所以，k=-1，综上所述，k=2或-1．
【知识点】比例的性质
14．【答案】（1）解：当点Q在线段上时，由题意可得：，，，
∴，
∴．
（2）解：①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．
由，得．
由，得，
∴，
∴．
②当点Q在上时，如图2，作于点M，设．
，．
同理：，
∴，
∴．
同理：，得，
∴．
∴，解得，
∴．
∴的面积为或．
（3）解：①当点Q在上时，设，则．
若点F在Q的右侧，如图3，当，则．
作于点H，而，
∴，则，
∴．
∵，
∴，
解得．
∴．
若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合．
∵，
又∵
∴．
∵由结合对顶角可得：，而，
∴，
∴，即，则，
∴．
②当点Q在AD上时，如图5，，，，
作于点N，于点G．，则，
由，得，
∴，
∴．
同理可得：，
设，则，．
∴，，
由，得，，
∴，．
由题意，，
设，则，，，
由，得，即，
化简，得，
解得（舍去），．
∴．
综上所述，BP的长为或2或．
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的实际应用
15．【答案】（1）
（2）解： ，
理由如下：
如图 ，
四边形ABCD，四边形GECF是正方形，
， ，
， ，
，
， ，
，且 ，
∽ ，
，
即 ，
（3）解：如图 ，过点H作 于点M，
四边形ABCD，四边形GECF是正方形，
， ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
在 中，
，
，且
∽
，
即 ，
，
在 中，
，
的长度为 .
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
16．【答案】解：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过点A，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，
∴△GEA∽△AFH，
∴ ．
∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，
∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，
∴ ，
∴FH＝1.05里．
【知识点】相似三角形的实际应用
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