第4章 锐角三角函数单元测试（培优）（含答案）

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第4章 锐角三角函数（培优）
一、单选题
1．中国古代数学家赵爽证明勾股定理的弦图如图所示，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成大正方形ABCD.作直线EG分别交AD，BC于点M，N.若图中两个正方形的面积分别是13和1，则MN的长为（　　）
A．3 B． C． D．
2．如图，直线 与x、y轴分别交于A，B，与反比例函数 的图像在第二象限交于点C，过A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则k值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在边长为的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点，则（　　）
A． B． C． D．2
4．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一小正方形拼成，连接．设，，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，直线，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1B，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为( )
A．(16，0) B．(12，0) C．(8，0) D．(32，0)
6．如图， 中， ， ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使 ，连结CE，则 的值为（　　）
A． B． C． D．2
二、填空题
7．如图，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的E处，得到四边形，连接，若，，则　 　，　 　．
8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接AC，EC，CD=DE，则tan∠ACE的值为　 　.
9．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为CD，DA延长线上的点，连接EF，BF，BE，BE交AD于点P，过点F作FK⊥BE垂足为G，FK与AB，CD分别交于点H，K，若DC=DE，∠EFB=∠FBC.则下列结论中：①BP＝HK；②∠ABF+∠FEB＝45°；③PG：GB：PE＝1：2：3；④ ；⑤若连接AG，则 ；⑥HF2+HK2＝2HB2.结论正确的有 　 　（只填序号）.
10．如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D是AC上的一点，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点C落在BC边上的点E处，连接AE、DE，当∠CDE=∠AEB时，AE的长是　 　.
11．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为　 　cm.
12．如图，在中，，，，为上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任一点，连接，为的中点，则线段长的最小值是　 　．
三、计算题
13．计算题
（1）计算： +cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣ |
（2）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=2 ，y= ．
14．我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得．（参考数据：，，）
（1）求容器的高度．
（2）求水的折射率．
（3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G移动到的三等分点处（），求水面上升的高度．（结果精确到）
四、解答题
15．如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.P为斜边AB上的一动点（不包含A，B两端点），以CP为对称轴将△ACP翻折得到△A'CP，连结BA'.
（1）如图2，当CP⊥AB时，求BA'的长.
（2）当翻折得到的△A'CP中有一边与AB垂直时，求BA'的长.
16．如图1，矩形是矩形以点为旋转中心，按顺时针方向旋转角度为所得的图形，其中．连结，，．已知，．
（1）求的度数（用含的代数式表示）．
（2）如图2，当经过点时，求的值．
（3）如图3，当平分时，求的长．
17．如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C经测量东方家具城D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°，求C、D之间的距离（结果保留根号）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
2．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义
3．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
4．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；求正切值
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；解直角三角形的其他实际应用；探索图形规律
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
7．【答案】；
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
8．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；锐角三角函数的定义
9．【答案】①②③④⑤⑥
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
10．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；同角三角函数的关系
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；计算器—三角函数；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
12．【答案】9
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—边角关系
13．【答案】（1）解： +cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣ |
=0.2+
=0.2+
=0.7；
（2）解：（ ﹣ ）÷
=
=
=
=
= ，
当x=2 ，y= 时，原式= ．
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
14．【答案】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：如图，作于点，
易得四边形EBPH是矩形，
∴∠AEH=∠CPH=90°，EH=BP，BE=PH=AE=12cm，
∵EF∥BC，
∴∠AHE=∠HCP，
∴△AEH≌△HPC（AAS）
∴EH=BP=，
∴ ，
∴，，
∴；
（3）解：由题可知：，，
∴，
∵E'F'∥EF
∴，即，
∴
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形的其他实际应用；三角形全等的判定-AAS
15．【答案】（1）解：如图2，当CP⊥AB时，
在中，
∴
在中，
在中，
∴
∵以CP为对称轴将△ACP翻折得到△A'CP，
∴
∵
∴
（2）解；①当时，
由（1）得：
②当时，设A'C⊥AB于点D，如图3：
∴
由（1）得：
∴
∵
∴
∴
③当时，如图4：
∴
∵以CP为对称轴将△ACP翻折得到△A'CP，
∴
作CD⊥AB于点D，则
∴
∴
∴
∴
综上所述，BA'的长为 或 或 .
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
16．【答案】（1）解：由题意可知，，．
．
（2）解：在矩形中，，由勾股定理得，
因为经过点，所以，
所以．
（3）解：过点作，根据旋转，可知，，
因为平分，所以，
因，则，，
所以，（或证，得比例式）
所以，
因此．
方法二：连接，证，再证，，三点共线，
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
17．【答案】解：∵由题意可得∠EAD=45°，∠FBD=30°，又∵∠DAC=15°，∴∠EAC=60°，∵AE∥BF，∴∠FBC=∠EAB=60°，∴∠DBC=30°，∴∠BDA=∠DBC﹣∠DAB=30°﹣15°=15°，∴∠BDA=∠DAB，∴AB=DB=2km，∴∠ADB=15°，∴∠DBC=∠ADB+∠DAC=15°+15°=30°；过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°，∴DO=2×sin60°= ，BO=2×cos60°=1．在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°= ，∴CD=DO﹣CO= ﹣ = （km）．即C，D之间的距离 km．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
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