第二章 一元二次函数、 方程和不等式（单元培优.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第二章 一元二次函数、 方程和不等式
一、填空题
1．函数y的最大值为　 　 ．
2．已知正实数a，b满足a+b﹣ab+3＝0，则a+b的最小值是　 　 ．
3．已知x，y为正实数，则的最小值为　 　 ．
二、解答题
4．对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2+px＞4x+p﹣3恒成立，试求x的取值范围．
5．解不等式1（a∈R）．
6．已知二次函数f（x）＝x2+mx﹣6（m＞0）的两个零点为x1和x2，且x2﹣x1＝5．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式f（x）＜4﹣2x．
7．（1）已知a＞0，b＞0，且4a+b＝1，求ab的最大值；
（2）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求3x+4y的最小值；
（3）已知x，求f（x）＝4x﹣2的最大值．
8．设y＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2．
（1）若不等式y≥﹣2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x+a﹣2＜a﹣1（a＜0）．
9．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+2c＜0．
10．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为12m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为xm（2≤x≤6）．
（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0）；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
第二章 一元二次函数、 方程和不等式
参考答案与试题解析
一、填空题
1．函数y的最大值为　　 ．
【答案】．
【分析】令t，则x＝t2+1，代入原函数解析式，整理后分t＝0和t＞0求解，当t＞0时，利用基本不等式求最值．
【解答】解：令t，则x＝t2+1，
∴y．
当t＝0，即x＝1时，y＝0；
当t＞0，即x＞1时，y．
∵（当且仅当t＝2时取等号），
∴y．
即y的最大值为（当t＝2，即x＝5时y取得最大值）．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用换元法及基本不等式求最值，是中档题．
2．已知正实数a，b满足a+b﹣ab+3＝0，则a+b的最小值是　6　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用基本不等式将a+b﹣ab+3＝0中的ab表示成a+b，求解不等式即可求得a+b的取值范围，从而得到a+b的最小值．
【解答】解：∵正实数a，b满足a+b﹣ab+3＝0，
∴a+b+3＝ab，当且仅当a＝b时取等号，
即（a+b）2﹣4（a+b）﹣12≥0，解得a+b≥6或a+b≤﹣2，
又∵正实数a，b，
∴a+b≥6，即a+b的最小值是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．
3．已知x，y为正实数，则的最小值为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由x，y为正实数，可得1，令t＞0，则f（t）t+1t，利用基本不等式求出最小值即可．
【解答】解：∵x，y为正实数，
∴1，
令t＞0，则f（t）t+1t2
可知：当t即t时，函数f（t）取得最小值．
故答案为：．
【点评】本题考查了换元法和基本不等式求最小值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、解答题
4．对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2+px＞4x+p﹣3恒成立，试求x的取值范围．
【答案】（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
【分析】由题意可得p（x﹣1）+x2﹣4x+3＞0，可设f（p）＝p（x﹣1）+x2﹣4x+3，0≤p≤4，可得f（0）＞0，且f（4）＞0，解不等式可得所求范围．
【解答】解：x2+px＞4x+p﹣3，即为p（x﹣1）+x2﹣4x+3＞0，
可设f（p）＝p（x﹣1）+x2﹣4x+3，0≤p≤4，
由题意可得f（0）＞0，且f（4）＞0，
即x2﹣4x+3＞0，且x2﹣1＞0，
可得，
则x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，以及一次函数的单调性，考查构造法和运算能力，属于中档题．
5．解不等式1（a∈R）．
【答案】当a＜0时，原不等式的解集为{x|x＜2}；当a＝0时，原不等式的解集为 ；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|2＜x}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x＞2}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞2，或x}．
【分析】把分式不等式等价转化，再分类讨论，即可求得不等式．
【解答】不等式1，即0，所以[（a﹣1）x+2﹣a]（x﹣2）＞0，①
当a＝1时，①式可化为x﹣2＞0，故原不等式的解集为{x|x＞2}．
当a＞1时，①式可化为（x）（x﹣2）＞0，
因为20，所以2，
故原不等式的解集为{x|x＞2，或x}．
当0＜a＜1时，①式可化为（x）（x﹣2）＜0，
由于20，即2，
故原不等式的解集为{x|2＜x}．
当a＝0时，原不等式的解集为 ；
当a＜0时，不等式①式可化为（x）（x﹣2）＜0，
则20，2，
所以原不等式的解集为{x|x＜2}．
综上所述，当a＜0时，原不等式的解集为{x|x＜2}；当a＝0时，原不等式的解集为 ；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|2＜x}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x＞2}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞2，或x}．
【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
6．已知二次函数f（x）＝x2+mx﹣6（m＞0）的两个零点为x1和x2，且x2﹣x1＝5．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式f（x）＜4﹣2x．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据二次函数的性质得到关于关于m的方程，解出即可；
（2）问题转化为x2+3x﹣10＜0，解出即可．
【解答】解：（1）由题意得：x2+mx﹣6＝0（m＞0）的两个根为x1和x2，
由韦达定理得，
故4x1x2＝m2+24＝25，
故m2＝1，∵m＞0，∴m＝1，
故f（x）＝x2+x﹣6；
（2）由f（x）＜4﹣2x得，
x2+x﹣6＜4﹣2x，
即x2+3x﹣10＜0，
即（x+5）（x﹣2）＜0，
解得：﹣5＜x＜2，
故不等式的解集是{x|﹣5＜x＜2}．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查韦达定理以及解不等式问题，是一道常规题．
7．（1）已知a＞0，b＞0，且4a+b＝1，求ab的最大值；
（2）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求3x+4y的最小值；
（3）已知x，求f（x）＝4x﹣2的最大值．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用基本不等式逐项求解即可．
【解答】解：（1）因为a＞0，b＞0，且4a+b＝1，
所以1＝4a+b4，当且仅当4a＝b时取等号，
故ab，即ab的最大值为；
（2）由正数x，y满足x+3y＝5xy，得1，
故3x+4y＝（3x+4y）（）5，当且仅当x＝2y＝1时取等号，
故3x+4y的最小值为5；
（3）因为，故4x﹣21，当且仅当x＝1时取等号，
故f（x）的最大值为1．
【点评】本题考查基本不等式的应用，要注意适用条件是否满足，属于中档题．
8．设y＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2．
（1）若不等式y≥﹣2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x+a﹣2＜a﹣1（a＜0）．
【答案】（1）[，+∞）；
（2）当a＜﹣1时，原不等式的解集为{x|x或x＞1}；
当a＝﹣1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当﹣1＜a＜0时，原不等式的解集为{x|x或x＜1}；
【分析】（1）依题意，得 x∈R，ax2+（1﹣a）x+a≥0恒成立 ，解之可得实数a的取值范围；
（2）原不等式可化为（x﹣1）（ax+1）＜0（a＜0），分a＜﹣1，a＝﹣1，﹣1＜a＜0三类讨论，由二次不等式的解法，可得所求解集．
【解答】解：（1）ax2+（1﹣a）x+a﹣2≥﹣2对一切实数x恒成立 x∈R，ax2+（1﹣a）x+a≥0恒成立，
故，解得a，
即实数a的取值范围为[，+∞）；
（2）不等式ax2+（1﹣a）x+a﹣2＜a﹣1（a＜0），
即为ax2+（1﹣a）x﹣1＝（x﹣1）（ax+1）＜0（a＜0），
①当a＜﹣1时，1，
解得x或x＞1；
②当a＝﹣1时，﹣（x﹣1）2＜0，解得x≠1；
③当﹣1＜a＜0时，1，
解得x或x＜1；
综上所述，当a＜﹣1时，原不等式的解集为{x|x或x＞1}；
当a＝﹣1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当﹣1＜a＜0时，原不等式的解集为{x|x或x＜1}；
【点评】本题考查一元二次不等式的解法及不等式恒成立问题，考查转化思想和分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．
9．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+2c＜0．
【答案】（Ⅰ）a＝1，b＝2．
（Ⅱ）当c＞2时，不等式的解集是（2，c）；
当c＝2时，不等式的解集是 ；
当c＜2时，不等式的解集是（c，2）．
【分析】（Ⅰ）根据不等式的解集与对应方程的解，利用根与系数的关系求出a、b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a、b的值，不等式化为（x﹣2）（x﹣c）＜0，再讨论c的取值范围，从而求出不等式的解集．
【解答】解：（Ⅰ）∵不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，
∴a＞0，且方程ax2﹣3x+2＝0的两个根是1和b，
由根与系数的关系，得解得a＝1，b＝2．
（Ⅱ）∵a＝1，b＝2，
∴ax2﹣（ac+b）x+2c＜0，即x2﹣（c+2）x+2c＜0，
即（x﹣2）（x﹣c）＜0，
∴当c＞2时，解得2＜x＜c；
当c＝2时，不等式无解；
当c＜2时，解得c＜x＜2，
综上，当c＞2时，不等式的解集是（2，c）；
当c＝2时，不等式的解集是 ；
当c＜2时，不等式的解集是（c，2）．
【点评】本题考查了不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题．
10．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为12m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为xm（2≤x≤6）．
（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0）；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
【答案】（1）4．
（2）（0，12）．
【分析】（1）设甲工程队的总造价为y元，根据已知条件，列出y的算式，再结合基本不等式的公式，即可求解．
（2）由题意可得，对任意的x∈[2，6]恒成立，再结合分离参数法，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）设甲工程队的总造价为y元，依题意左右两面墙的长度均为xm（2≤x≤6），
则屋子前面新建墙体长为m，
则y14400，
当且仅当，即x＝4时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．
（2）由题意可得，对任意的x∈[2，6]恒成立，即，
所以，即恒成立，
因为x+1，仅当，即x＝2时，等号成立，
所以0＜a＜12，
故a的取值范围为（0，12）．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于中档题．
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