第三章 函数的概念与性质（单元测试.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第三章 函数的概念与性质
一、选择题
1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y＝0}，B＝{（x，y）|3x+y＝0}，则A∩B＝（　　）
A．（0，0） B．{（0，0）} C．{0} D．0
2．（5分）函数f（x）的定义域为（　　）
A．（1，+∞） B．[1，+∞）
C．[1，2） D．[1，2）∪（2，+∞）
3．（5分）将长度为2的一根铁丝折成长为x的矩形，矩形的面积y关于x的函数关系式是y＝x（1﹣x），则函数的定义域为（　　）
A．R B．{x|x＞0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}
4．（5分）函数y＝1（　　）
A．在（﹣1，+∞）内单调递增
B．在（﹣1，+∞）内单调递减
C．在（1，+∞）内单调递增
D．在（1，+∞）内单调递减
5．（5分）已知f（1）＝2x+3，则f（6）的值为（　　）
A．15 B．7 C．31 D．17
6．（5分）函数f（x）是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．（，+∞）
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x），若函数y＝f（x+1）为偶函数，且f（x）对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）都有，若f（a﹣1）≥f（2a），则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]
C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
二、多选题
8．（5分）若函数y＝xα是定义域为R的奇函数，则α的值可以为（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
9．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（　　）
A．f（0）＝0
B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1
C．若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数
D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x
10．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小值为﹣4
B．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
C．函数f（|x|）为偶函数
D．方程f（|x|）＝0有三个不相等的实数根
11．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，已知函数f（x）＝|x|﹣[x]，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）的定义域为R
B．f（x）的值域为[0，1]
C．f（x）是偶函数
D．f（x）的单调递增区间为（k，k+1）（k∈N）
三、填空题
12．（5分）若函数f（x）为奇函数，则实数a＝　 　 ．
13．（5分）某商场的某种商品的年进货量为10000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且每次进货的运费为100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金之和最省，每次进货量应为 　 　 ．
四、解答题
14．（12分）已知函数，满足f（﹣2）＝0．
（1）求实数a的值；
（2）试判断此函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并利用定义给予证明．
15．（12分）“2019年”是一个重要的时间节点﹣﹣中华人民共和国成立70周年，和全面建成小康社会的关键之年.70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程，70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就．趁此良机，李明在天猫网店销售“新中国成立70周年纪念册”，每本纪念册进价4元，物流费、管理费共为m（1≤m≤3）元/本，预计当每本纪念册的售价为x元（9≤x≤10）时，月销售量为（14﹣x）千本．
（Ⅰ）求月利润f（x）（千元）与每本纪念册的售价X的函数关系式，并注明定义域：
（Ⅱ）当x为何值时，月利润f（x）最大？并求出最大月利润．
16．（12分）已知函数f（x）＝x2+2kx+4．
（1）若函数f（x）在区间[1，4]上是单调递增函数，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）＞0对一切实数x都成立，求实数k的取值范围．
17．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）．
（1）确定函数f（x）的解析式．
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
18．（12分）设函数y＝f（x）（x∈R，且x≠0），对任意非零实数x1、x2满足f（x1）+f（x2）＝f（x1x2），
（1）求f（1）+f（﹣1）的值；
（2）判断函数y＝f（x）的奇偶性；
（3）已知y＝f（x）在（0，+∞）上为增函数且f（4）＝1，解不等式f（3x+1）+f（2x﹣6）≤3．
第三章 函数的概念与性质
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y＝0}，B＝{（x，y）|3x+y＝0}，则A∩B＝（　　）
A．（0，0） B．{（0，0）} C．{0} D．0
【答案】B
【分析】联立A与B中两方程组成方程组，求出方程组的解即可得到A与B的交集．
【解答】解：联立得：，
解得：，
则A∩B＝{（0，0）}，
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）函数f（x）的定义域为（　　）
A．（1，+∞） B．[1，+∞）
C．[1，2） D．[1，2）∪（2，+∞）
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
，解得：x≥1且x≠2，
故函数的定义域是[1，2）∪（2，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
3．（5分）将长度为2的一根铁丝折成长为x的矩形，矩形的面积y关于x的函数关系式是y＝x（1﹣x），则函数的定义域为（　　）
A．R B．{x|x＞0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}
【答案】D
【分析】根据矩形的周长求出x的范围即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：0＜x＜1，
故选：D．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查转化思想，是一道基础题．
4．（5分）函数y＝1（　　）
A．在（﹣1，+∞）内单调递增
B．在（﹣1，+∞）内单调递减
C．在（1，+∞）内单调递增
D．在（1，+∞）内单调递减
【答案】C
【分析】本题宜用函数图象的平移知识来研究函数的单调性，考查相应函数的单调性，根据变换规则得出所研究函数的单调性．
【解答】解：y是y向右平移1个单位而得到，
故y＝1在（1，+∞）上为增函数，
在（﹣∞，1）上为增函数．
故选：C．
【点评】本题的考点是考查函数的图象，与函数图象的平移知识，注意函数图象变换的规则，左加右减的意义．
5．（5分）已知f（1）＝2x+3，则f（6）的值为（　　）
A．15 B．7 C．31 D．17
【答案】C
【分析】设1＝t，得f（t）＝2（2t+2）+3＝4t+7，由此能求出f（6）．
【解答】解：∵f（1）＝2x+3，
设1＝t，则x＝2t+2，
∴f（t）＝2（2t+2）+3＝4t+7，
∴f（6）＝4×6+7＝31．
故选：C．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
6．（5分）函数f（x）是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．（，+∞）
【答案】C
【分析】根据f（x）为减函数，以及减函数定义、反比例函数和一次函数单调性即可得出，解该不等式组即可得出实数a的取值范围．
【解答】解：f（x）是R上的减函数；
∴；
解得；
∴实数a的取值范围是．
故选：C．
【点评】考查减函数的定义，分段函数单调性的判断，以及反比例函数和一次函数的单调性．
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x），若函数y＝f（x+1）为偶函数，且f（x）对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）都有，若f（a﹣1）≥f（2a），则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]
C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【答案】A
【分析】根据题意，分析可得函数f（x）的图象关于x＝1对称且在[1，+∞）上为增函数，则不等式f（a﹣1）≥f（2a）等价于|a﹣2|≥|2a﹣1|，解可得a的取值范围，即可得答
【解答】解：根据题意，若函数y＝f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
又由f（x）对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）都有，
则函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，
若f（a﹣1）≥f（2a），则有f（|a﹣2|）≥f（|2a﹣1|），即|a﹣2|≥|2a﹣1|，
解可得：﹣1≤a≤1，即a的取值范围为[﹣1，1]；
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与对称性的应用，涉及不等式的解法，属于综合题．
二、多选题
8．（5分）若函数y＝xα是定义域为R的奇函数，则α的值可以为（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
【答案】BD
【分析】分别求得各个选项表示的函数的定义域和奇偶性，可得结论．
【解答】解：由y＝x﹣1的定义域为{x|x≠0，x∈R}，不符题意，故A错误；
由y的定义域为R，且为奇函数，故B正确；
由y的定义域为[0，+∞），不符题意，故C错误；
由y＝x的定义域为R，且为奇函数，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查函数的定义域和奇偶性的判断，考查推理能力，是一道基础题．
9．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（　　）
A．f（0）＝0
B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1
C．若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数
D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x
【答案】ABD
【分析】根据题意，由奇函数的性质依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），当x＝0时，有f（0）＝﹣f（0），变形可得f（0）＝0，A正确，
对于B，若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，即x≥0时，f（x）≥﹣1，则有﹣x≤0，f（﹣x）＝﹣f（x）≤1，即f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1，B正确，
对于C，奇函数在对应的区间上单调性相同，则若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，C错误，
对于D，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2+2x）＝﹣x2﹣2x，D正确，
故选：ABD．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数的奇偶性与单调性的关系，属于基础题．
10．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小值为﹣4
B．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
C．函数f（|x|）为偶函数
D．方程f（|x|）＝0有三个不相等的实数根
【答案】AC
【分析】由二次函数的性质，可判断A，B，根据奇偶性定义，可判断选项C，令f（|x|）＝0，得x＝±3，可判断选项D．
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
A：∵函数f（x）的对称轴为x＝1，且开口向上，
∴f（x）的最小值为f（1）＝1﹣2﹣3＝﹣4，∴A正确，
B：∵二次函数f（x）的对称轴为x＝1，∴在（0，+∞）上有增有减，∴B错误，
C：∵f（|﹣x|）＝|﹣x|2﹣2|﹣x|﹣3＝|x|2﹣2|x|﹣3＝f（|x|），∴函数f（|x|）为偶函数，∴C正确，
D：令f（|x|）＝|x|2﹣2|x|﹣3＝0，则|x|＝3，∴x＝±3，∴D错误，
故选：AC．
【点评】本题以二次函数为背景，考查函数的图象，性质，属于中档题．
11．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，已知函数f（x）＝|x|﹣[x]，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）的定义域为R
B．f（x）的值域为[0，1]
C．f（x）是偶函数
D．f（x）的单调递增区间为（k，k+1）（k∈N）
【答案】AD
【分析】利用新定义以及函数定义域的定义判断选项A，由特殊值法判断选项B，C，分x＞0和x＜0两种情况分析函数f（x）的单调性，即可判断选项D．
【解答】解：对于A，由题意可知，函数f（x）＝|x|﹣[x]的定义域为R，故选项A正确；
对于B，当x＝﹣2.5时，f（﹣2.5）＝2.5﹣（﹣3）＝5.5 [0，1]，故选项B错误；
对于C，当x＝﹣2.5时，f（﹣2.5）＝2.5﹣（﹣3）＝5.5，
当x＝2.5时，f（2.5）＝2.5﹣2＝0.5，
所以f（﹣2.5）≠f（2.5），
则f（x）不是偶函数，故选项C错误；
对于D，当x＞0时，f（x）＝x﹣[x]，x﹣[x]表示x的小数部分，
所以f（x）在（k，k+1）（k∈N）上单调递增；
当x＜0时，f（x）＝﹣x﹣[x]为减函数，
所以f（x）的单调递增区间为（k，k+1）（k∈N），故选项D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．
三、填空题
12．（5分）若函数f（x）为奇函数，则实数a＝　﹣1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用奇函数的性质即可得出答案．
【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，
∴f（﹣x）+f（x）0，
化为（a+1）x＝0，
∴a+1＝0，
解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1；
【点评】本题考查了函数的奇偶性，属于基础题
13．（5分）某商场的某种商品的年进货量为10000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且每次进货的运费为100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金之和最省，每次进货量应为 　1000件　 ．
【答案】1000件．
【分析】设每次进货为x件，一年的运费和租金之和为y元，可得，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：设每次进货为x件，一年的运费和租金之和为y元，
∵x＞0，
∴，
当且仅当x，即x＝1000时等号成立，一年的运费和租金之和最省，
∴每次进货为1000件．
故答案为：1000件．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，以及基本不等式的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
四、解答题
14．（12分）已知函数，满足f（﹣2）＝0．
（1）求实数a的值；
（2）试判断此函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并利用定义给予证明．
【答案】（1）2；（2）f（x）在（0，+∞）上单调递减；证明过程见详解．
【分析】（1）根据f（﹣2）＝0求解即可．
（2）判断单调性；根据单调性的定义证明即可．
【解答】解：（1）因为f（﹣2）＝0，所以，解得a＝2．
（2）f（x）在（0，+∞）上单调递减．
证明：由第一问知f（x），
取 x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）1﹣（1），
∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
∴x1x2＞0，x2﹣x1＞0，即0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减．
【点评】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
15．（12分）“2019年”是一个重要的时间节点﹣﹣中华人民共和国成立70周年，和全面建成小康社会的关键之年.70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程，70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就．趁此良机，李明在天猫网店销售“新中国成立70周年纪念册”，每本纪念册进价4元，物流费、管理费共为m（1≤m≤3）元/本，预计当每本纪念册的售价为x元（9≤x≤10）时，月销售量为（14﹣x）千本．
（Ⅰ）求月利润f（x）（千元）与每本纪念册的售价X的函数关系式，并注明定义域：
（Ⅱ）当x为何值时，月利润f（x）最大？并求出最大月利润．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）利用实际问题的应用求出函数的关系式．
（Ⅱ）根据建立的二次函数的模型，进一步利用分类讨论思想求出最值．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意f（x）＝（x﹣4﹣m）（14﹣x）＝﹣x2+（18+m）x﹣14（4+m）．
函数的定义域为{x|9≤x≤10}．
（Ⅱ）函数f（x）＝﹣x2+（18+m）x﹣14（4+m），
当1≤m≤2时，则，所以函数的最大值为f（）．
当2＜m≤3时，则，所以函数的最大值为f（10）＝4（6﹣m）＝24﹣4m．
所以①当1≤m≤2时，售价为元，f（x）的最大值为f（）千元．
②当2＜m≤3时，售价为10元，f（x）的最大值为24﹣4m千元．
【点评】本题考查的知识要点：利用实际问题的应用考查二次函数的性质，函数的关系式的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
16．（12分）已知函数f（x）＝x2+2kx+4．
（1）若函数f（x）在区间[1，4]上是单调递增函数，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）＞0对一切实数x都成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）[﹣1，+∞）；
（2）（﹣2，2）．
【分析】（1）利用对称轴和区间的关系，列不等式，解不等式即可；
（2）利用判别式Δ＜0即可解决．
【解答】解：（1）因为函数f（x）在区间[1，4]上是单调递增函数，且f（x）的对称轴为x＝﹣k，
所以﹣k≤1，解得k≥﹣1，即k的取值范围是[﹣1，+∞）．
（2）若f（x）＞0对一切实数x都成立，
则Δ＝4k2﹣16＜0，解得﹣2＜k＜2，
即实数k的取值范围是（﹣2，2）．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，函数恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于基础题．
17．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）．
（1）确定函数f（x）的解析式．
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由奇函数得f（0）＝0，求得b，再由已知，得到方程，解出a，即可得到解析式；
（2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（3）运用奇偶性和单调性，得到不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），
得到不等式组，解出即可．
【解答】（1）解：函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，
则f（0）＝0，即有b＝0，
且f（），则，解得，a＝1，
则函数f（x）的解析式：f（x）（﹣1＜x＜1）；
（2）证明：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）
，由于﹣1＜m＜n＜1，则m﹣n＜0，mn＜1，即1﹣mn＞0，
（1+m2）（1+n2）＞0，则有f（m）﹣f（n）＜0，
则f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解：由于奇函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，
则不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），
即有，解得，
则有0＜t，
即解集为（0，）．
【点评】本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．
18．（12分）设函数y＝f（x）（x∈R，且x≠0），对任意非零实数x1、x2满足f（x1）+f（x2）＝f（x1x2），
（1）求f（1）+f（﹣1）的值；
（2）判断函数y＝f（x）的奇偶性；
（3）已知y＝f（x）在（0，+∞）上为增函数且f（4）＝1，解不等式f（3x+1）+f（2x﹣6）≤3．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先令x1＝x2＝1，x1＝x2＝﹣1求得f（1）＝0，f（﹣1）＝0即可；
（2）由（1）得f（﹣x）＝f（﹣1）+f（x）＝f（x），即f（﹣x）＝f（x），从而得到f（x）为偶函数；
（3）根据题意，不等式f（3x+1）+f（2x﹣6）≤3可化为f[（3x+1）（2x﹣6）]≤f（64），然后﹣64≤（3x+1）（2x﹣6）≤64且（3x+1）（2x﹣6）≠0即可求出实数x的取值范围．
【解答】解：（1）分别令x1＝x2＝1，x1＝x2＝﹣1代入可得f（1）＝0，f（﹣1）＝0
∴f（1）+f（﹣1）＝0
（2）∵f（﹣x）＝f（﹣1）+f（x）＝f（x），
∴f（x）为偶函数
（3）∵f（4）＝1，
∴f（64）＝3f（4）＝3
故原不等式可化为f[（3x+1）（2x﹣6）]≤f（64）
∴﹣64≤（3x+1）（2x﹣6）≤64且（3x+1）（2x﹣6）≠0
解得：．
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
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