第三章 函数的概念与性质（单元培优.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
第三章 函数的概念与性质
一、选择题
1．（5分）函数y的定义域为（　　）
A．[0，3] B．[1，3] C．[3，+∞） D．（1，3]
2．（5分）已知函数y＝f（x）的对应关系如表，函数y＝g（x）的图象是如图的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，0），则f[g（1）]的值为（　　）
x 1 2 3
f（x） 2 3 0
A．0 B．2 C．1 D．3
3．（5分）若函数y＝f（x）的值域是[0，3]，则函数F（x）＝2﹣f（x﹣3）的值域是（　　）
A．[0，3] B．[1，4] C．[﹣1，2] D．[2，5]
4．（5分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣a，a]上的奇函数，若g（x）＝f（x）+2，则g（x）的最大值与最小值之和为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．不能确定
5．（5分）已知f（x）＝f（2﹣x），x∈R，当x∈（1，+∞）时，f（x）为增函数，设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
6．（5分）若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是（　　）
A．[，） B．（，] C．（0，） D．（﹣∞，]
7．（5分）如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，|AB|＝1，|OC|＝|BC|＝2，直线l：x＝t截此梯形所得位于l左方图形面积为S，则函数S＝f（t）的图象大致为图中的（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数x1，x2，x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则不等式（x+1）f（1﹣2x）＜0的解集是（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）
C．（﹣1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
二、多选题
9．（5分）下列哪组中的两个函数是同一个函数（　　）
A．y与y＝（）2
B．y与y＝x2
C．y与y＝x+1
D．y＝|x|与y
10．（5分）下列函数中，在区间（﹣∞，0）上单调递减的是（　　）
A．y＝x2﹣4x+13 B．y＝|x﹣1|
C．y＝1 D．y
11．（5分）记函数f（x）＝x2+2ax﹣3在区间（﹣∞，﹣3]上单调递减时实数a的取值集合为A，不等式xa（x＞2）恒成立时实数a的取值集合为B，则（　　）
A．A＝{a|a≤3}
B．B A
C．B＝{a|a≤4}
D．“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件
12．（5分）给出定义：若mx≤m（m∈Z），则称m为离实数x最近的整数，记作{x}＝m．在此基础上给出下列关于函数f（x）＝|x﹣{x}|的四个结论，其中正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）的定义域为R，值域为[0，]
B．函数y＝f（x）的图象关于直线x（k∈Z）对称
C．函数y＝f（x）是偶函数
D．函数y＝f（x）在[，]上单调递增
三、填空题
13．（5分）已知函数y＝f（x）+x是奇函数，且f（2）＝1，则f（﹣2）＝　 　 ．
14．（5分）当x∈[﹣3，3]时，函数f（x）＝x2﹣4x的最大值为 　 　 ．
15．（5分）有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是 　 　 ．
16．（5分）已知奇函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，且f（1）＝1，若函数f（x）≥t2﹣4at﹣1对所有的x∈[﹣1，1]都存在a∈[﹣1，1]使不等式成立，则实数t的取值范围是 　 　 ．
四、解答题
17．（10分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）判断函数y＝f（x）在x∈（0，1）上的单调性，并用定义法证明．
18．（12分）若点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点（2，）在幂函数g（x）的图象上，定义h（x），求函数h（x）的最大值及单调区间．
19．（12分）湖南省某自来水公司每个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当每户用水量不超过30吨时，按每吨2元收取；当该用户用水量超过30吨但不超过50吨时，超出部分按每吨3元收取；当该用户用水量超过50吨时，超出部分按每吨4元收取．
（1）记某用户在一个收费周期的用水量为x吨，所缴水费为y元，写出y关于x的函数解析式；
（2）在某一个收费周期内，若甲、乙两用户所缴水费的和为214元，且甲、乙两用户用水量之比为3：2，试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量．
20．（12分）已知函数f（x）（x∈A）．
（1）若A＝（0，）∪（1，+∞），请根据函数f（x）的图象，直接写出其值域；
（2）若A＝（﹣∞，）∪（，+∞），求证： x∈A，f（x）+f（1﹣x）为定值；
（3）若A＝（﹣∞，）∪（，+∞），求f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（）的值．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣mx+2．
（1）若f（x）在区间（﹣∞，1]上有最小值为﹣1，求实数m的值；
（2）若m≥4时，对任意的，总有，求实数m的取值范围．
22．（12分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）＝x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知函数f（x）＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）（a≠0），
（1）当a＝1，b＝﹣2时，求函数f（x）的不动点；
（2）对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．
第三章 函数的概念与性质
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）函数y的定义域为（　　）
A．[0，3] B．[1，3] C．[3，+∞） D．（1，3]
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质得到函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：1＜x≤3，
故选：D．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
2．（5分）已知函数y＝f（x）的对应关系如表，函数y＝g（x）的图象是如图的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，0），则f[g（1）]的值为（　　）
x 1 2 3
f（x） 2 3 0
A．0 B．2 C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据图象可求g（1）＝3，然后可求f（3）的值即可．
【解答】解：由图象可知，g（1）＝3，
则f[g（1）]＝f（3）＝0，
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的表示方法及函数值的求解，属于基础试题．
3．（5分）若函数y＝f（x）的值域是[0，3]，则函数F（x）＝2﹣f（x﹣3）的值域是（　　）
A．[0，3] B．[1，4] C．[﹣1，2] D．[2，5]
【答案】C
【分析】根据f（x）的值域是[0，3]即可得出0≤f（x﹣3）≤3，从而可求出2﹣f（x﹣3）的范围，即得出F（x）的值域．
【解答】解：∵y＝f（x）的值域是[0，3]；
∴0≤f（x）≤3；
∴0≤f（x﹣3）≤3；
∴﹣1≤2﹣f（x﹣3）≤2；
∴F（x）的值域是[﹣1，2]．
故选：C．
【点评】考查函数值域的定义及求法，以及不等式的性质．
4．（5分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣a，a]上的奇函数，若g（x）＝f（x）+2，则g（x）的最大值与最小值之和为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．不能确定
【答案】C
【分析】运用奇函数的性质：函数的最值互为相反数，可设f（x）的最小值为m，则最大值为﹣m，代入g（x），计算即可得到所求和．
【解答】解：由函数f（x）是定义在区间[﹣a，a]上的奇函数，
可设f（x）的最小值为m，则最大值为﹣m，
由g（x）＝f（x）+2，可得g（x）的最小值为m+2，最大值为2﹣m，
则g（x）的最大值与最小值之和为m+2+2﹣m＝4．
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性的运用，考查函数的最值的求法，注意运用奇函数的性质：函数的最值互为相反数，属于基础题．
5．（5分）已知f（x）＝f（2﹣x），x∈R，当x∈（1，+∞）时，f（x）为增函数，设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【答案】D
【分析】可得出f（﹣1）＝f（3），根据f（x）在（1，+∞）上为增函数可得出f（3）＞f（2）＞f（1），从而得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵f（x）＝f（2﹣x）；
∴f（﹣1）＝f（3）；
∵x∈（1，+∞）时，f（x）为增函数；
∴f（3）＞f（2）＞f（1）；
∴c＞b＞a．
故选：D．
【点评】考查增函数的定义，根据增函数定义，比较函数值大小的方法．
6．（5分）若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是（　　）
A．[，） B．（，] C．（0，） D．（﹣∞，]
【答案】A
【分析】由已知结合分段函数的单调性，结合一次函数单调性的性质可求．
【解答】解：由题意可知，，
解可得，，
故选：A．
【点评】本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于基础试题．
7．（5分）如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，|AB|＝1，|OC|＝|BC|＝2，直线l：x＝t截此梯形所得位于l左方图形面积为S，则函数S＝f（t）的图象大致为图中的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】经过点A作AE垂直于OC，垂足为E，可证得四边形DEBC为长方形，再由，|AB|＝1，|OC|＝|BC|＝2，可得出三角形AOE为等直角三角形，由此求得直线l运动到A点时，函数解析式为S＝t2，当直线l运动由A点运动到B点时，求出函数解析式为一次函数，由此解决问题．
【解答】解：如图，点A作AE垂直于OC，垂足为E，可证得四边形DEBC为长方形，再由，|AB|＝1，|OC|＝|BC|＝2，可得出三角形AOE为等直角三角形，
∴EC＝AB＝1，
∴AE＝BC＝2，OE＝1，
直线l：x＝t，直线左方的图形面积为S，
直线l运动到A点时，函数解析式为y＝t2，
当直线l运动由A点运动到B点时，函数解析式为S＝1+2（t﹣1），因此为一次函数，
因此符合S与t关系的大致图象只有C．
故选：C．
【点评】此题主要考查函数的解析式的求法，函数的图象的判断，几何图形的面积：三角形的面积，梯形的面积以及动点分段函数图象的描述问题．
8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数x1，x2，x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则不等式（x+1）f（1﹣2x）＜0的解集是（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）
C．（﹣1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：对任意给定的实数x1，x2，x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，
整理可得，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，
所以函数f（x）在R上单调递减，
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）＝0，
则不等式（x+1）f（1﹣2x）＜0，
可得，或，
即或，
解可得，﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用函数的单调性及奇偶性求解不等式，解题的关键是单调性定义的灵活应用．
二、多选题
9．（5分）下列哪组中的两个函数是同一个函数（　　）
A．y与y＝（）2
B．y与y＝x2
C．y与y＝x+1
D．y＝|x|与y
【答案】BD
【分析】判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同，然后即可得出这两函数是否为同一个函数．
【解答】解：A.的定义域为R，的定义域为{x|x≥﹣1}，定义域不同，不是同一个函数；
B.和y＝x2的定义域和对应关系都相同，是同一个函数；
C.的定义域为{x|x≠1}，y＝x+1的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数；
D.和的定义域都是R，对应关系也相同，是同一个函数．
故选：BD．
【点评】本题考查了函数的定义，判断两函数是否为同一个函数的方法：看定义域和对应关系是否都相同，考查了计算和推理能力，属于基础题．
10．（5分）下列函数中，在区间（﹣∞，0）上单调递减的是（　　）
A．y＝x2﹣4x+13 B．y＝|x﹣1|
C．y＝1 D．y
【答案】ABD
【分析】分别结合二次函数，分段函数，反比例函数的单调性检验各选项即可判断．
【解答】解：因为y＝x2﹣4x+13的开口向上，对称轴x＝2，函数在（﹣∞，2）上单调递减，满足题意；
y＝|x﹣1|在（﹣∞，1）上单调递减，满足题意；
y＝1在（﹣∞，1）上单调递增，不满足题意；
y在（﹣∞，1）上单调递增，满足题意．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的单调性是求解问题的关键．
11．（5分）记函数f（x）＝x2+2ax﹣3在区间（﹣∞，﹣3]上单调递减时实数a的取值集合为A，不等式xa（x＞2）恒成立时实数a的取值集合为B，则（　　）
A．A＝{a|a≤3}
B．B A
C．B＝{a|a≤4}
D．“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件
【答案】ACD
【分析】函数f（x）＝x2+2ax﹣3在区间（﹣∞，﹣3]上单调递减，利用二次函数的单调性可得a的取值范围；由x＞2，变形xx﹣22，利用基本不等式可得：实数a的取值集合B．
【解答】解：函数f（x）＝x2+2ax﹣3在区间（﹣∞，﹣3]上单调递减，则﹣3≤﹣a，解得a≤3．
∴集合A＝{a|a≤3}，
∵x＞2，∴xx﹣22≥22＝4，当且仅当x＝3时取等号．
不等式xa（x＞2）恒成立时，a≤4．
∴实数a的取值集合B＝{a|a≤4}．
∴A B．
可得：ACD正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了二次函数的单调性、基本不等式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．（5分）给出定义：若mx≤m（m∈Z），则称m为离实数x最近的整数，记作{x}＝m．在此基础上给出下列关于函数f（x）＝|x﹣{x}|的四个结论，其中正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）的定义域为R，值域为[0，]
B．函数y＝f（x）的图象关于直线x（k∈Z）对称
C．函数y＝f（x）是偶函数
D．函数y＝f（x）在[，]上单调递增
【答案】ABC
【分析】由{x}的定义，结合绝对值的性质可得f（x）的值域，可判断A；结合f（x）的图象，可判断B，C，D．
【解答】解：根据{x}的定义可得函数y＝f（x）的定义域为R，
{x}x≤{x}，
即x﹣{x}，所以0≤|x﹣{x}|，
函数y＝f（x）的值域为[0，]，故A正确；
函数y＝f（x）的图象如图所示，由图象可得y＝f（x）的图象关于直线x（k∈Z）对称，故B正确；
由图象可得y＝f（x）是偶函数，故C正确；
由图象可得D不正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查函数的单调性、对称性和奇偶性等性质，以及新定义的理解和应用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
三、填空题
13．（5分）已知函数y＝f（x）+x是奇函数，且f（2）＝1，则f（﹣2）＝　﹣1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】函数y＝f（x）+x是奇函数，可得f（﹣2）﹣2+f（2）+2＝0，即可得出结论．
【解答】解：∵函数y＝f（x）+x是奇函数，
∴f（﹣2）﹣2+f（2）+2＝0，
∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查函数值的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．
14．（5分）当x∈[﹣3，3]时，函数f（x）＝x2﹣4x的最大值为 　21　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】对函数配方，函数f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，结合二次函数的图象与性质，求得函数最大值即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴函数的图象是对称轴为x＝2，开口向上的抛物线；
当x∈[﹣3，3]时，故当x＝﹣3时，f（x）有最大值，最大值为f（﹣3）＝21．
故答案为：21．
【点评】本题考查了二次函数在闭区间上求最值问题，考查了数形结合的思想方法，属于基础题．
15．（5分）有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是 　2500m2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】设每个小矩形长为x米，宽为y米，则依题意可知4x+3y＝200，代入矩形的面积公式，根据基本不等式求出围成矩形面积的最大值．
【解答】解：如图所示：
设每个小矩形长为x米，宽为y米，显然x，y＞0，
则依题意可知4x+3y＝200，
设围成的整个矩形场地的面积为S，
所以，当且仅当4x＝3y时取等号，即当时取等号，
因此Smax＝2500．
故答案为：2500m2．
【点评】本题考查了基本不等式在实际求最值问题中的应用，属于基础题．
16．（5分）已知奇函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，且f（1）＝1，若函数f（x）≥t2﹣4at﹣1对所有的x∈[﹣1，1]都存在a∈[﹣1，1]使不等式成立，则实数t的取值范围是 　[﹣4，4]．　 ．
【答案】[﹣4，4]．
【分析】由f（1）＝1得f（﹣1）＝﹣1，f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，只需要f（x）的最小值大于或等于t2﹣4at+1即可．再利用二次函数的性质求得t的范围．
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，且在[﹣1，1]是单调增函数，又f（1）＝1，∴f（﹣1）＝﹣1，
∴当x∈[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]．
若函数f（x）≥t2﹣4at﹣1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，由已知易得f（x）的最小值是﹣1，
∴﹣1≥t2﹣4at﹣1，等价于t2﹣4at≤0能成立．
设g（a）＝t2﹣4at（﹣1≤a≤1），
欲使 t2﹣4at≤0能成立，则g（﹣1）＝t2+4t≤0 或 g（1）＝t2﹣4t≤0，求得﹣4≤t≤4，
故答案为：[﹣4，4]．
【点评】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知结合函数的奇偶性与单调性判断出当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）值域，是解答本题的关键，考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
四、解答题
17．（10分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）判断函数y＝f（x）在x∈（0，1）上的单调性，并用定义法证明．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用函数奇偶性即可求得f（x）；
（2）利用函数单调性的定义直接判断即可．
【解答】解析：（1）x＞0时，﹣x＜0，，
又f（﹣x）＝﹣f（x），
∴x＞0时，，
故．
（2）f（x）在x∈（0，1）上单调递减．证明如下：
任取0＜x1＜x2＜1，则，
∵0＜x1＜x2＜1，
故，则，
故f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，1）上单调递减．
【点评】本题考查利用函数奇偶性求函数解析式及函数单调性的证明，属于基础题．
18．（12分）若点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点（2，）在幂函数g（x）的图象上，定义h（x），求函数h（x）的最大值及单调区间．
【答案】见试题解答内容
【分析】设f（x）＝xn，g（x）＝xm，代入点的坐标，解方程可得f（x），g（x）的解析式，再由定义，求得h（x）的解析式，通过二次函数和反比例函数的性质，可得最大值和单调区间．
【解答】解：设f（x）＝xn，g（x）＝xm，
由题意可得2＝（）n，解得n＝2，
即有f（x）＝x2；
2m，解得m＝﹣1，即有g（x）＝x﹣1．
由f（x）＝g（x），可得x＝1，
即有h（x）；
当0＜x≤1时，h（x）递增，可得0＜h（x）≤1；
当x＞1或x＜0时，h（x）递减，可得h（x）∈（0，1）∪（﹣∞，0），
即有h（x）的最大值为1；
增区间为（0，1]；减区间为（﹣∞，0），（1，+∞）．
【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，同时考查分段函数的运用，函数的单调性和最值的求法，属于中档题．
19．（12分）湖南省某自来水公司每个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当每户用水量不超过30吨时，按每吨2元收取；当该用户用水量超过30吨但不超过50吨时，超出部分按每吨3元收取；当该用户用水量超过50吨时，超出部分按每吨4元收取．
（1）记某用户在一个收费周期的用水量为x吨，所缴水费为y元，写出y关于x的函数解析式；
（2）在某一个收费周期内，若甲、乙两用户所缴水费的和为214元，且甲、乙两用户用水量之比为3：2，试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意列出分段函数即可，
（2）先分析甲乙两用户的用水量是否超过30吨，再分别设出甲乙的用水量，根据解析式列出方程计算在收费周期甲乙的用水量和水费即可．
【解答】解：（1）由题意知，当x≤30时，y＝2x；
当30＜x≤50时，y＝60+3（x﹣30）＝3x﹣30
当x＞50时，y＝60+（50﹣30）×3+4（x﹣50）＝4x﹣80
则y；
（2）假设乙用户用水量为30吨，则甲用户水量为45吨，
则甲乙所交水费所缴水费之和为165＜200，
∴甲乙两用户用水量都超过30吨．
若甲乙用水都超过50，则有12a﹣80+8a﹣80＝214，解得a＝18.7，但2a＜50，
若甲乙用水都在30到50，则有9a﹣30+6a﹣30＝214，解得a≈18，但3a＞50，
因此甲用水超过50，乙用水在30到50，故有12a﹣80+6a﹣30＝214，解得a＝18，
故甲用水54吨，乙用水36吨．
【点评】本题考查分段函数的解析式和应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）（x∈A）．
（1）若A＝（0，）∪（1，+∞），请根据函数f（x）的图象，直接写出其值域；
（2）若A＝（﹣∞，）∪（，+∞），求证： x∈A，f（x）+f（1﹣x）为定值；
（3）若A＝（﹣∞，）∪（，+∞），求f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（）的值．
【答案】（1）f（x）的图象见解答，f（x）的值域为：（﹣1，1）∪（3，+∞）；
（2）证明过程见解答；
（3）2020．
【分析】（1）作出函数f（x）的图象，即可写出其值域；
（2）由函数f（x）的表达式直接计算f（x）+f（1﹣x），即可证明结论；
（3）利用（2）中得到的f（x）+f（1﹣x）＝2，可计算出结果．
【解答】解：由题设知：f（x）1，
（1）解：当A＝（0，）∪（1，+∞）时，作出函数f（x）的图象如右图所示，由图象可知函数f（x）的值域为：（﹣1，1）∪（3，+∞）；
（2）证明：∵f（x）+f（1﹣x）＝1122，
∴ x∈A，f（x）+f（1﹣x）为定值；
（3）解：由（2）可知：f（x）+f（1﹣x）＝2，
∴f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（）
＝1010×[f（）+f（）]＝1010×2＝2020．
【点评】本题主要考查函数的图象的画法、值域及函数值的求法，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣mx+2．
（1）若f（x）在区间（﹣∞，1]上有最小值为﹣1，求实数m的值；
（2）若m≥4时，对任意的，总有，求实数m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）函数f（x）＝x2﹣mx+2，其图象的对称轴方程为．通过当m≤2时，当m＞2时，求解函数的最小值，推出m即可．
（2）求出函数的最大值以及函数的最小值，通过对任意的x1，，总有．列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）函数f（x）＝x2﹣mx+2，其图象的对称轴方程为．
当m≤2时，，；
当m＞2时，f（x）在区间（﹣∞，1]上单调递减，，∴m＝4．
综上可知，或m＝4．
（2），且，
∴f（x）max＝f（1）＝3﹣m，．
∵对任意的x1，，总有．
∴，得m≥5．
故实数m的取值范围是[5，+∞）．
【点评】本题考查函数恒成立，二次函数的单调性以及函数的最值的应用，考查转化思想以及计算能力．
22．（12分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）＝x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知函数f（x）＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）（a≠0），
（1）当a＝1，b＝﹣2时，求函数f（x）的不动点；
（2）对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将a、b代入函数，根据条件“若存在x0∈R，使f（x0）＝x0成立，则称x0为f（x）的不动点”建立方程解之即可；
（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点转化成对任意实数b，ax2+（b+1）x+b﹣1＝x恒有两个不等实根，再利用判别式建立a、b的不等关系，最后将b看成变量，转化成关于b的恒成立问题求解即可．
【解答】解：（1）当a＝1，b＝﹣2时，
f（x）＝x2﹣x﹣3＝x x2﹣2x﹣3＝0
（x﹣3）（x+1）＝0 x＝3或x＝﹣1，
∴f（x）的不动点为x＝3或x＝﹣1．
（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点
对任意实数b，ax2+（b+1）x+b﹣1＝x，
即ax2+bx+b﹣1＝0恒有两个不等实根，
对任意实数b，Δ＝b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立，
对任意实数b，b2﹣4ab+4a＞0恒成立，
△′＝（4a）2﹣4×4a＜0
a2﹣a＜0
0＜a＜1．
即a的取值范围是0＜a＜1．
【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及恒成立问题的处理，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)