第五章 三角函数（单元测试.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第五章 三角函数
一、选择题
1．已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
2．的值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
4．图是函数y＝Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的点（　　）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
5．将函数y＝cos（x）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（　　）
A．x B．x C．x＝π D．x
二、填空题
6．已知tanα，α∈（0，），则sinα﹣cosα＝　 　 ．
7．已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6＝0的根，α是第三象限角，则 tan2（π﹣α）＝　 　 ．
8．设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ，x∈R）的部分图象如图所示．则函数y＝f（x）的解析式为　 　 ．
9．函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别是　 　 ．
10．将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得各点向右平行移动个单位长度，所得图象的函数解析式为　 　 ．
三、解答题
11．已知角α的终边过点P（3a﹣9，a+2），且cosα＜0，sinα＞0，求α的取值范围．
12．已知α是三角形的内角，且sinα+cosα．
（1）求tanα的值；
（2）把用tanα表示出来，并求其值．
13．已知tanα＝3，求下列各式的值
（1）；
（2）sinαcosα
14．已知π＜α＜2π，cos（α﹣7π），求sin（3π+α） tan（απ）的值．
15．化简：
（1）（0＜θ＜π）；
（2）（） （1+tanα tan）．
16．化简：．
17．已知sin（x），0＜x，求的值．
18．已知函数f（x）＝sinxcosx，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）图象的对称轴方程和对称中心的坐标．
19．已知函数的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
20．已知函数f（x）＝2sin1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在（0，π）上的单调区间；
（3）若对任意x∈R，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，试求m的取值范围．
21．已知曲线y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为（，），由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（π，0），φ∈（，）．
（1）求这条曲线的函数解析式；
（2）写出函数的单调区间．
第五章 三角函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m的值．
【解答】解：由题意可得x＝﹣8m，y＝﹣6sin30°＝﹣3，r＝|OP|，cosα，
解得m，
故选：B．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2．的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据诱导公式sin110°＝sin（90°+20°）＝cos20°，cos2155°﹣sin2155°＝cos310°，然后利用二倍角公式和诱导公式得出cos20°sin20°sin40°，cos310°＝cos（360°﹣50°）＝cos50°，即可求出结果．
【解答】解：原式
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及二倍角公式，熟练掌握公式能够提高做题速度，解题过程中要细心，属于基础题．
3．已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过利用两角和的正切公式，求出tanα，结合角的范围，求出sinα，化简要求的表达式，代入sinα，即可得到选项．
【解答】解：因为，所以，解得tanα，因为，所以sinα；
．
故选：A．
【点评】本题是基础题，考查两角和的正切公式的应用，三角函数的表达式的化简求值，考查计算能力，注意角的范围，三角函数的值的符号的确定，以防出错．
4．图是函数y＝Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的点（　　）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A
【分析】先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．
【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，
所以函数的表达式可以是y＝sin（2x+φ）．
代入（，0）可得φ的一个值为 ，
故图象中函数的一个表达式是y＝sin（2x），
即y＝sin2（x），
所以只需将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与图象变换的基础知识，属于基础题题．根据图象求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求φ．三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的
5．将函数y＝cos（x）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（　　）
A．x B．x C．x＝π D．x
【答案】D
【分析】由函数图象变换的知识可得函数解析式，由余弦函数的对称性结合选项可得．
【解答】解：将函数y＝cos（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝cos（x）的图象，
再向左平移个单位，得到y＝cos[（x））]，即y＝cos（x）的图象，
令xkπ可解得x＝2kπ，
故函数的对称轴为x＝2kπ，k∈Z，
结合选项可得函数图象的一条对称轴是直线x．
故选：D．
【点评】本题考查余弦函数的图象和对称性以及图象变换，属基础题．
二、填空题
6．已知tanα，α∈（0，），则sinα﹣cosα＝　　 ．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解．
【解答】解：tanα，α∈（0，），
则，解得，
故sinα﹣cosα．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
7．已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6＝0的根，α是第三象限角，则 tan2（π﹣α）＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】求解方程的根，再由角所在的象限确定角的正弦值，进而求出它的余弦值，利用诱导公式把所求的式子进行化简，把此角的正弦值和余弦值代入进行求解．
【解答】解：解得方程5x2﹣7x﹣6＝0的两根为x1，x2＝2，
由于α是第三象限角，∴sinα，则cosα，
∴ tan2（π﹣α）
tan2α
tan2α＝﹣tan2α．
故答案为：．
【点评】本题的考点是诱导公式和平方关系的应用，注意利用角所在的象限和诱导公式的口诀，正确确定三角函数值的符号，对于符号问题是易错的地方，需要认真和细心．
8．设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ，x∈R）的部分图象如图所示．则函数y＝f（x）的解析式为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由图象知，A，周期T，利用周期公式可求ω，由点（，2）在函数图象上，结合范围φ，可求φ，从而解得函数解析式．
【解答】（本题满分为8分）
解：由图象知，A＝2，…（2分）
又，ω＞0，
所以T＝2π，得ω＝1．…（4分）
所以f（x）＝2sin（x+φ），
将点（，2）代入，得φ＝2kπ（k∈Z），
即φ2kπ（k∈Z），又φ，
所以，φ．…（6分）
所以f（x）＝2sin（x）．
故答案为：．…（8分）
【点评】本题是中档题，主要考查了函数的图象求出函数的解析式的方法，考查了正弦函数的图象和性质，注意视图用图能力的培养．
9．函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别是　ω＝2，φ　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由图知，T＝π，从而可得ω＝2；又y＝2sin（2x+φ）的图象经过（，2），可得2φ＝2kπ（k∈Z），又|φ|，于是可得φ的值．
【解答】解：由图知，Tπ﹣（）＝π，
所以ω2；又y＝2sin（2x+φ）的图象经过（，2），
所以2φ＝2kπ，k∈Z．
所以φ＝2kπ，k∈Z．
又|φ|，
所以φ，
故ω和φ的值分别是：ω＝2，φ；
故答案为：ω＝2，φ．
【点评】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，由周期确定ω，再由曲线过定点确定φ是解决问题的关键，属于中档题．
10．将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得各点向右平行移动个单位长度，所得图象的函数解析式为　y＝sin（）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），就是把x的系数变为原来的，再把所得各点向右平行移动个单位长度，就是把x换为，整理后得答案．
【解答】解：将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
所得函数解析式为，再把所得图象上各点向右平行移动个单位长度，
所得函数解析式为．
故答案为：y＝sin（）．
【点评】本题主要考查三角函数的平移和周期变换，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，周期变换是改变自变量x的系数ω，ω扩大，周期缩小，ω缩小，周期扩大，是中档题．
三、解答题
11．已知角α的终边过点P（3a﹣9，a+2），且cosα＜0，sinα＞0，求α的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】由cosα＜0、sinα＞0判断出α的终边所在的象限，再列出不等式组求出α的取值范围．
【解答】解：由题意得，cosα＜0，sinα＞0，
所以角α是第二象限角，
因为角α的终边过点P（3a﹣9，a+2），
所以，解得﹣2＜a＜3，
故α的取值范围是（﹣2，3）．
【点评】本题考查三角函数值的符号，以及象限中点的坐标符号，属于基础题．
12．已知α是三角形的内角，且sinα+cosα．
（1）求tanα的值；
（2）把用tanα表示出来，并求其值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由已知两边同时平方，结合同角平方关系即可求解sinα，cosα，然后结合商的关系即可求解；
（2）结合同角商的关系对所求式子分母上用1代换，然后结合同角基本关系可求．
【解答】解（1）∵sinα+cosα．
两边同时平方可得，1+2sinαcosα
，∴sinαcosα，
由于角α为三角形内角，则sinα＞0，cos＜0，
可得，
解之得；
（2）∵．
【点评】本题主要考查了同角平方关系及商的关系在三角求值化简中的应用，属于中档试题．
13．已知tanα＝3，求下列各式的值
（1）；
（2）sinαcosα
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值；
（2）原式分母看作“1”，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵tanα＝3，
∴原式；
（2）∵tanα＝3，
∴原式．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
14．已知π＜α＜2π，cos（α﹣7π），求sin（3π+α） tan（απ）的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知求出sinα，tanα．利用诱导公式化简后代入求得答案．
【解答】解：由cos（α﹣7π），得﹣cosα，∴cosα，
∵π＜α＜2π，∴sinα，tanα．
则sin（3π+α） tan（απ）＝﹣sinα （）．
【点评】本题考查由已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，考查了诱导公式的应用，是基础题．
15．化简：
（1）（0＜θ＜π）；
（2）（） （1+tanα tan）．
【答案】（1）﹣cosθ；
（2）．
【分析】（1）由已知结合二倍角公式进行化简即可求解；
（2）由已知结合同角基本关系，二倍角公式进行化简即可求解．
【解答】解：（1）因为0＜θ＜π，
所以0，
所以cosθ；
（2）（） （1+tanα tan）＝（） （1）


．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
16．化简：．
【答案】见试题解答内容
【分析】由诱导公式可得sin（x）＝cos（x），整体代入要求的式子结合三角函数公式化简可得．
【解答】解：由诱导公式可得sin（x）＝sin[（x）]＝cos（x），
∴
cos2x．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，涉及诱导公式和二倍角公式以及整体思想，属中档题．
17．已知sin（x），0＜x，求的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】角之间的关系：（x）+（x）及2x＝2（x），利用余角间的三角函数的关系便可求之．
【解答】解：∵（x）+（x），
∴cos（x）＝sin（x）．
又cos2x＝sin（2x）
＝sin2（x）＝2sin（x）cos（x），
∴2cos（x）＝2．
【点评】本题主要考查了倍角公式的应用．三角函数中的公式较多，故应强化记忆．
18．已知函数f（x）＝sinxcosx，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）图象的对称轴方程和对称中心的坐标．
【答案】（1）T＝π；
（2）[kπ，kπ]，k∈Z；
（3）f（x）图象的对称轴方程为x，k∈Z，对称中心的坐标为（，0），k∈Z．
【分析】（1）利用三角恒等变换将函数f（x）化简，利用三角函数周期公式即可求解；
（2）利用正弦函数的单调性即可求解；
（3）利用三角函数的对称性即可求解．
【解答】解：（1）f（x）＝sinxcosxsin2xcos2x＝sin（2x），
所以f（x）的最小正周期Tπ．
（2）令2kπ2x2kπ，k∈Z，
解得kπx≤kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．
（3）令2xkπ，k∈Z，解得x，k∈Z，
即f（x）图象的对称轴方程为x，k∈Z．
令2xkπ，k∈Z，解得x，k∈Z，
所以f（x）图象的对称中心的坐标为（，0），k∈Z．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性，属于中档题．
19．已知函数的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先将函数根据三角函数的二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简为y＝Asin（ωx+ρ）的形式，根据T可得答案．
（2）将2x看作一个整体，根据解出x的范围可得答案．
【解答】解：（Ⅰ），
又因为，
所以ω＝1
（Ⅱ），
由
得
单调递增区间为
【点评】本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法，一般先将函数化简为y＝Asin（ωx+ρ）的形式再解题．
20．已知函数f（x）＝2sin1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在（0，π）上的单调区间；
（3）若对任意x∈R，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，试求m的取值范围．
【答案】（1）f（x）的最小正周期为π；（2）单调增区间为；单调减区间为．
（3）m的取值范围为m．
【分析】（1）利用公式求解；（2）解不等式2kπ，再与区间（0，π）取交集可得f（x）在（0，π）上的增区间；
（3）参变量分离得m≥1，构造函数g（x），则m≥[g（x）]max，求出g（x）的最大值．
【解答】解：（1）函数f（x）的最小正周期为π．
（2）令2kπ，k∈Z，得kπ，k∈Z．
当k＝0时，；当k＝1时，．
∵x∈（0，π），∴函数f（x）在（0，π）上的单调增区间为．
函数f（x）在（0，π）上的单调减区间为．
（3）∵f（x）＝2sin1，∴﹣1≤f（x）≤3，∴f（x）+2＞0，
∴mf（x）+2m≥f（x）可化为m≥1，
∴要使不等式恒成立，只需m即可．
∵﹣1≤f（x）≤3，
∴﹣1≤1，
∴m．
【点评】本题考查三角函数周期性，单调性，不等式的恒成立问题，属于中档题．
21．已知曲线y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为（，），由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（π，0），φ∈（，）．
（1）求这条曲线的函数解析式；
（2）写出函数的单调区间．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数的单调区间．
【解答】解：（1）由题意可得A， ，求得ω．
再根据最高点的坐标为（，），可得sin（φ），即sin（φ）＝1 ①．
再根据由此最高点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（π，0），可得sin（φ）＝0，即sin（φ）＝0 ②，
由①②求得φ，故曲线的解析式为ysin（x）．
（2）对于函数ysin（x），令2kπ2kπ，求得4kπx≤4kπ，
可得函数的增区间为[4kπ，4kπ]，k∈Z．
令2kπ2kπ，求得4kπx≤4kπ，
可得函数的减区间为[4kπ，4kπ]，k∈Z．
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，正弦函数的单调性，属于中档题．
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