第五章 三角函数（单元培优.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 三角函数
一、选择题
1．（5分）2019°是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．（5分）已知锐角α满足cos（），则sin（2）＝（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知cosα，则（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）已知，则sinθcosθ+cos2θ＝（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）函数f（x）＝cos2x的减区间为（　　）
A．，k∈Z B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
7．（5分）已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）与g（x）cosωx的部分图象如图所示，则（　　）
A．A＝1，ω B．A＝2，ω C．A＝1，ω D．A＝2，ω
8．（5分）若当x＝θ时，函数f（x）＝3sinx+4cosx取得最大值，则cosθ＝（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）已知函数，若f（x）在区间（π，2π）内无最值，则ω的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
10．（5分）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（3，﹣3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝f（t）＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|）．则下列叙述错误的是（　　）
A．
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f（t）单调递减
D．当t＝20时，
二、填空题
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则　 　 ．
12．（5分）函数的最大值为 　 　 ．
13．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R），点（1，0）是其函数图象的对称中心，y轴是其函数图象的对称轴，则ω的最小值为 　 　 ．
14．（5分）关于函数f（x）＝|sinx|+sin|x|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数；
②f（x）在区间（，0）单调递减；
③f（x）在[﹣π，π]有4个零点；
④f（x）的最大值为2．
其中所有正确结论的编号是 　 　
三、解答题
15．（8分）已知角α的终边经过点P（12，﹣5）．
（1）求sinα，cosα，tanα的值；
（2）求的值．
16．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A（1，0）点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
（1）若点B的横坐标为，求sinα的值；
（2）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
（3）若，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）．
17．（10分）已知函数f（x）＝2sin（）+1+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（1）求a和ω的值；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．
18．（10分）已知函数f（x）＝sin（x）﹣2，将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在上的最大值和最小值．
第五章 三角函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）2019°是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】利用终边相同的角化2019°，再判断它是第三象限角．
【解答】解：2019°＝5×360°+219°，
且180°＜219°＜270°，
∴2019°是第三象限角．
故选：C．
【点评】本题考查了终边相同的角的概念与应用问题，是基础题．
2．（5分）已知锐角α满足cos（），则sin（2）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式求得sin（α）的值，再利用二倍角公式求得sin（2）的值．
【解答】解：∵锐角α满足cos（），∴α为锐角，∴sin（α），
则sin（2）＝2sin（α）cos（）＝2 ，
故选：B．
【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
3．（5分）的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用切化弦，以及辅助角公式，倍角公式进行化简即可．
【解答】解：44，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用辅助角公式以及三角函数的倍角公式是解决本题的关键．
4．已知cosα，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两角差的正弦公式化简得，结合诱导公式以及二倍角公式，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴．
令，则，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查两角和差的三角函数和二倍角的三角函数，考查转化思想和整体思想，考查换元法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5．（5分）已知，则sinθcosθ+cos2θ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得tanθ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．
【解答】解：∵已知，即 cosθ﹣3cosθ＝﹣sinθ，∴tanθ＝2．
则sinθcosθ+cos2θ，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
6．（5分）函数f（x）＝cos2x的减区间为（　　）
A．，k∈Z B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
【答案】B
【分析】首先利用函数关系式的变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：函数f（x）＝cos2x，
令：2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），
解得：（k∈Z），
故函数的单调递减区间为[]（k∈Z），
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型
7．（5分）已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）与g（x）cosωx的部分图象如图所示，则（　　）
A．A＝1，ω B．A＝2，ω C．A＝1，ω D．A＝2，ω
【答案】B
【分析】结合图象可知，A＝1，1.5，然后再由周期公式即可求解ω
【解答】解：由图象可知，A＝1，1.5，
∴A＝2，T＝6，
又6＝T，
∴ω，
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题．
8．（5分）若当x＝θ时，函数f（x）＝3sinx+4cosx取得最大值，则cosθ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数的性质即可求解；
【解答】解：函数f（x）＝3sinx+4cosx＝5sin（x+φ），其中sinφ；
当x＝θ时，f（x）取得最大值，即θ+φ；
∴φ2kπ；k∈Z；
∴sin（2kπ）；
即sin（θ）
∴cosθ；
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的化简和性质的应用．
9．（5分）已知函数，若f（x）在区间（π，2π）内无最值，则ω的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得区间（π，2π）是函数的一个单调区间，故有 kπωπ，2ωπkπ，k∈Z，由此求得ω的取值范围．
【解答】解：∵函数 在区间（π，2π）内无最值，
∴区间（π，2π）是函数的一个单调区间，
故有 kπωπ，2ωπkπ，k∈Z．
求得kω．
取k＝0，可得0＜ω；取k＝1，可得ω，
故选：B．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
10．（5分）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（3，﹣3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝f（t）＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|）．则下列叙述错误的是（　　）
A．
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f（t）单调递减
D．当t＝20时，
【答案】C
【分析】求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论．
【解答】解：由题意，R6，T＝60，∴ω，
点A（3，﹣3）代入可得﹣3＝6sinφ，∵|φ|），∴φ．故A正确；
f（t）＝6sin（t），当t∈[35，55]时，t∈[π，]，∴点P到x轴的距离的最大值为6，正确；
当t∈[10，25]时，t∈[π，]，函数y＝f（t）单调递减，不正确；
当t＝20时，t，P的纵坐标为6，|PA|6，正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式．
二、填空题
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则　　 ．
【答案】．
【分析】由任意角的三角函数的定义求得tanθ，再由二倍角的正切求得tan2θ，再由诱导公式及同角三角函数的基本关系式求解．
【解答】解：由题意，tanθ，则tan2θ，
∴cot2θ．
故答案为：．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
12．（5分）函数的最大值为 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用诱导公式及三角恒等变换可将转化为：f（x）＝﹣2（cosx）2，从而可求答案．
【解答】解：∵cos2x﹣3cosx＝﹣2cos2x﹣3cosx+1＝﹣2（cosx）2（当且仅当cosx时取“＝”），
∴函数的最大值为：．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的最值，考查诱导公式的应用，考查三角恒等变换及二次函数的配方法求最值，属于中档题．
13．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R），点（1，0）是其函数图象的对称中心，y轴是其函数图象的对称轴，则ω的最小值为 　　 ．
【答案】．
【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，求得ω的最小值．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R），点（1，0）是其函数图象的对称中心，
y轴是其函数图象的对称轴，
则ω的最小值时，点（1，0）到y轴的距离等于周期，
即 1，∴ω，
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
14．（5分）关于函数f（x）＝|sinx|+sin|x|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数；
②f（x）在区间（，0）单调递减；
③f（x）在[﹣π，π]有4个零点；
④f（x）的最大值为2．
其中所有正确结论的编号是 　①②④　
【答案】①②④．
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的零点和方程的根的关系判断①②③④的结论．
【解答】解：函数f（x）＝|sinx|+sin|x|有下述四个结论：
对于①，由于f（﹣x）＝|sin（﹣x）|+sin|﹣x|＝f（x）所以函数为偶函数，故①正确；
对于②，由x∈（，0）时，f（x）＝|sinx|+sin|x|＝﹣sinx﹣sinx＝﹣2sinx，故函数在（）上单调递减，故②正确；
对于③，当x＝﹣π，0，π时，函数的值为0，故函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误；
对于④，当x≥0时，函数f（x）＝sinx+|sinx|的最大值为2，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的零点和方程的根的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
三、解答题
15．（8分）已知角α的终边经过点P（12，﹣5）．
（1）求sinα，cosα，tanα的值；
（2）求的值．
【答案】（1）sinα，cosα，tanα；
（2）．
【分析】（1）直接利用任意角的三角函数的定义求解sinα，cosα，tanα的值；
（2）利用三角函数的诱导公式化简求值．
【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（12，﹣5），∴|OP|，
则sinα，cosα，tanα；
（2）
．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查利用诱导公式化简求值，是基础题．
16．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A（1，0）点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
（1）若点B的横坐标为，求sinα的值；
（2）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
（3）若，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）．
【答案】（1）．
（2）{β|β2kπ，k∈Z}．
（3）S．
【分析】（1）利用三角函数的定义直接求解；
（2）求出α，即可写出与角α终边相同的角β的集合；
（3）过O作OH⊥AB于H，表示出OH＝cos，AB＝2sin，分别表示出扇形面积和三角形面积，即可求出弓形AB的面积．
【解答】解：（1）因为角α的终边与单位圆相交于B，且点B的横坐标为，
又因为B在x轴上方，
所以B（，），
由三角函数的定义，可得：sinα．
（2）当△AOB为等边三角形时，因为B在x轴上方，则B（cos，sin），即B（，），
所以α＝∠AOB，即与角α终边相同的角β的集合是{β|β2kπ，k∈Z}．
（3）如图所示：
弓形AB的面积：S＝S扇形﹣S△AOB，
扇形的圆心角为α，所以S扇形，
过O作OH⊥AB于H，
则OH＝cos1＝cos，AB＝2OA＝2sin1＝2sin，
所以S△AOBsinα，
所以S＝S扇形﹣S△AOBsinα．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义，终边相同的角的集合，扇形面积和三角形面积的求法，考查了数形结合思想，属于中档题．
17．（10分）已知函数f（x）＝2sin（）+1+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（1）求a和ω的值；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．
【答案】（1）﹣1 和2．
（2）[，]．
【分析】（1）由题意根据函数的最大值求出a，在根据周期性求得ω的值．
（2）由题意利用正弦函数的减区间，得出结论．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝2sin（）+1+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，
∴1+a＝0，a＝﹣1．
且图象上相邻两个最高点的距离为 π，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x）．
（2）对于 f（x）＝2sin（2x），令2kπ2x2kπ，
求得kπx≤kπ，故函数的单调减区间为[kπ，kπ]，k∈Z，
再结合x∈[0，π]，
可得函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为[，]．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
18．（10分）已知函数f（x）＝sin（x）﹣2，将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在上的最大值和最小值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角函数的图象变换关系，求出函数的解析式即可．
（2）求出角的范围，结合三角函数的最值性质进行求解即可．
【解答】解：（1）将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，得到y＝sin（2x）﹣2，
再向左平移个单位，得y＝sin[2（x）]﹣2＝sin（2x）﹣2，
再向上平移2个单位，由题意得．
（2）∵，可得，∴．
当时，函数g（x）有最大值1；
当时，函数g（x）有最小值．
【点评】本题主要考查三角函数的解析式以及三角函数最值的求解，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式是解决本题的关键．难度不大．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)