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第一章 集合与常用逻辑用语
一、单选题
1．若1∈{0，a}，则实数a＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1
2．已知集合M＝{0，1，2}，则M的子集有（ ）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
3．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜2} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
4．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}
5．给出下列关系，其中正确的个数为（ ）
①0∈N；
②；
③{0}＝ ；
④R＝（﹣∞，+∞）．
A．1 B．0 C．2 D．3
6．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{2} B．{4，5} C．{3，4} D．{2，3}
7．已知集合A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{小于180°的角}，则A，B，C关系正确的是（ ）
A．B＝A∩C B．A C C．B∪C＝C D．A＝B＝C
8．已知A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜4}，若A RB，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a＜1} B．{a|a≤4} C．{a|a≤1} D．{a|a≥1}
二、多选题
9．集合A＝{x|ax2+2x+1＝0}中有且仅有一个元素，则实数a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
10．已知I＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}为全集，集合A，B为I的子集，且A∩（ IB）＝{1，4，7}，（ IA）∩B＝{2，3}，（ IA）∩（ IB）＝{6，8，9，10}，那么集合A的子集可以为（ ）
A．{6，7，8，9，10} B．{1，4，7}
C．{1，4，5，7} D．{6，8，9}
11．已知集合A＝{4，a}，B＝{1，a2}，a∈R，则A∪B可能是（ ）
A．{﹣1，1，4} B．{1，0，4} C．{1，2，4} D．{﹣2，1，4}
12．已知集合P＝{1，2}，Q＝{x|ax+2＝0}，若P∪Q＝P，则实数a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0
三、填空题
13．已知集合A＝{x∈N|1＜x＜5}，则A的非空真子集有 个．
14．已知集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，n}，若A＝B，则m+n＝ ．
15．已知A，B是两个集合，下列四个命题：
①A不包含于B 对任意x∈A，有x B；
②A不包含于B A∩B＝ ；
③A不包含于B A不包含B；
④A不包含于B 存在x∈A，x B．
其中真命题的序号是 ．
16．定义集合运算A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B所有元素之和为 ．
四、解答题
17．已知A B，A C，B＝{1，2，3，5}，C＝{0，2，4，8}，求A．
18．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，4}，B＝{1，4，5，6}．
（1）求A∩B及A∪B；
（2）求（ UA）∩B．
19．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，求：
（1）（ UA）∪B；
（2） U（A∪B）．
20．已知集合A＝{x|﹣2＜x+1＜3}，集合B为整数集，令C＝A∩B．
（1）求集合C；
（2）若集合D＝{1，a}，C∪D＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，求实数a的值．
21．已知A＝{1，4，x}，B＝{x2，1}，若B A，求实数x的值．
22．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，集合B＝{x|x＞1}．
（1）求（ RB）∩A；
（2）设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围．
第一章 集合与常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一、单选题
1．若1∈{0，a}，则实数a＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1
【答案】C
【分析】根据集合元素的得特点，进行判断即可．
【解答】解：∵1∈{0，a}，
则1在集合{0，a}内，
故a＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．
2．已知集合M＝{0，1，2}，则M的子集有（ ）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
【答案】D
【分析】若集合M有n个元素，则集合M有2n个子集．
【解答】解：∵集合M＝{0，1，2}，
∴M的子集有23＝8个．
故选：D．
【点评】本题考查集合的子集个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜2} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
【答案】A
【分析】由已知结合集合的并集定义即可求解．
【解答】解：因为A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
则A∪B＝{x|x＞﹣1}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的并集求解，属于基础题．
4．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}
【答案】B
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴A∩B＝{0，1}．
故选：B．
【点评】本题考查了列举法和描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
5．给出下列关系，其中正确的个数为（ ）
①0∈N；
②；
③{0}＝ ；
④R＝（﹣∞，+∞）．
A．1 B．0 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，逐一分析①②③④，即可得答案．
【解答】解：对于①：0为自然数，所以0∈N，故①正确，
对于②：为无理数，所以，故②错误，
对于③：{0}含有元素0，不是空集，故③错误，
对于④：R为实数集，所以④正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．
6．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{2} B．{4，5} C．{3，4} D．{2，3}
【答案】B
【分析】先求出集合A的补集，再根据集合的基本运算即可求（ RA）∩B．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，∴ RA＝{x|x≤﹣2或x≥4}，
∵B＝{2，3，4，5}，
∴（ RA）∩B＝{4，5}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
7．已知集合A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{小于180°的角}，则A，B，C关系正确的是（ ）
A．B＝A∩C B．A C C．B∪C＝C D．A＝B＝C
【答案】C
【分析】由钝角是第二象限角，也是小于180°的角，且第二象限角不一定是小于180°，小于180°角也不一定是第二象限角，判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：由题意知，钝角是第二象限角，也是小于180°的角，所以B A∩C，即A错误；
又A与C互不包含，所以B错误；
因为B C，所以B∪C＝C，即C正确；
由以上分析可知D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了任意角的概念与应用问题，也考查了集合之间的关系应用问题，是基础题．
8．已知A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜4}，若A RB，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a＜1} B．{a|a≤4} C．{a|a≤1} D．{a|a≥1}
【答案】C
【分析】求出 RB，然后根据A RB建立条件关系，求出a的值．
【解答】解：∵B＝{x|1＜x＜4}，
∴ RB＝{x|x≤1或x≥4}，
∵A＝{x|x＜a}，A RB，
∴a≤1．故实数a的取值范围为{a|a≤1}．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
二、多选题
9．集合A＝{x|ax2+2x+1＝0}中有且仅有一个元素，则实数a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】AC
【分析】由集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，x∈R}中有且仅有一个元素，得a＝0或，由此能求出实数a．
【解答】解：∵集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，x∈R}中有且仅有一个元素，
∴a＝0或，
解得a＝0或a＝1，
故选：AC．
【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
10．已知I＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}为全集，集合A，B为I的子集，且A∩（ IB）＝{1，4，7}，（ IA）∩B＝{2，3}，（ IA）∩（ IB）＝{6，8，9，10}，那么集合A的子集可以为（ ）
A．{6，7，8，9，10} B．{1，4，7}
C．{1，4，5，7} D．{6，8，9}
【答案】BC
【分析】根据Venn图即可求得集合A，进而得到结论．
【解答】解：∵A∩（ UB）＝{1，4，7}，
∴1，4，7∈A，
∵（ UA）∩B＝{2，3}，∴2，3∈B，
∵（ UA）∩（ UB）＝{6，8，9，10}，
∴A∩B＝{5}，
则A＝{1，4，5，7}，
故选：BC．
【点评】本题主要考查集合关系的应用，利用Venn图是解决本题的关键．
11．已知集合A＝{4，a}，B＝{1，a2}，a∈R，则A∪B可能是（ ）
A．{﹣1，1，4} B．{1，0，4} C．{1，2，4} D．{﹣2，1，4}
【答案】BCD
【分析】A∪B含3个元素时可得出a＝1或a＝a2或a2＝4，然后根据集合元素的互异性求出a＝0，或a＝2或a＝﹣2，然后即可求出A∪B，从而得出正确的选项．
【解答】解：若A∪B含3个元素，则a＝1或a＝a2或a2＝4，
a＝1时，不满足集合元素的互异性，a＝0，a＝2或a＝﹣2时满足题意，
a＝0时，A∪B＝{1，0，4}；a＝2时，A∪B＝{1，2，4}；a＝﹣2时，A∪B＝{4，﹣2，1}．
故选：BCD．
【点评】本题考查了集合的列举法的定义，并集及其运算，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题．
12．已知集合P＝{1，2}，Q＝{x|ax+2＝0}，若P∪Q＝P，则实数a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0
【答案】ABD
【分析】若P∪Q＝P，则Q P，从而可得Q＝ 或{2}或{1}，集合与元素关系可求．
【解答】解：因为P＝{1，2}，Q＝{x|ax+2＝0}，
若P∪Q＝P，则Q P，
故Q＝ 或1或2，
当Q＝ 时，a＝0，
当Q＝{1}时，a＝﹣2，
当Q＝{2}时，a＝﹣1．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了元素与集合关系，集合包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
三、填空题
13．已知集合A＝{x∈N|1＜x＜5}，则A的非空真子集有 6 个．
【答案】6．
【分析】化简集合A，结合求子集个数的计算公式即可求得答案．
【解答】解：由题意可得集合A＝{2，3，4}，
故集合A中有3个元素，
所以集合A的非空真子集的个数为：23﹣2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了集合子集数目的求法，属于基础题．
14．已知集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，n}，若A＝B，则m+n＝ 5 ．
【答案】5．
【分析】直接根据集合相等求出m，n，进而求解结论．
【解答】解：∵集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，n}，A＝B，
∴m＝3，n＝2，
∴m+n＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查集合相等的条件，考查了集合中元素的性质，是基础题．
15．已知A，B是两个集合，下列四个命题：
①A不包含于B 对任意x∈A，有x B；
②A不包含于B A∩B＝ ；
③A不包含于B A不包含B；
④A不包含于B 存在x∈A，x B．
其中真命题的序号是 ④ ．
【答案】④．
【分析】利用两个集合的包含关系，理解不包含于的含义，判断选项．
【解答】解：①A不包含于B，指 x∈A，x B，故①②不正确；
④正确，如：A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，
对于③取A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，此时A不包含于B，但A包含，故③不正确．
故答案为：④．
【点评】本题考查了集合之间的包含关系，属于基础题．
16．定义集合运算A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B所有元素之和为 18 ．
【答案】18．
【分析】根据题意，利用列举法求出集合A⊙B，即可求解．
【解答】解：∵A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，
∴z＝0×2×（0+2）＝0，z＝0×3×（0+3）＝0，z＝1×2×（1+2）＝6，z＝1×3×（1+3）＝12，
∴A⊙B＝{0，6，12}，
∴集合A⊙B所有元素之和为18．
故答案为：18．
【点评】本题考查新定义，集合的互异性，考查运算求解能力，属于基础题．
四、解答题
17．已知A B，A C，B＝{1，2，3，5}，C＝{0，2，4，8}，求A．
【答案】A＝{2}或 ．
【分析】先根据A B，A C可知A （B∩C），然后求出B∩C，最后求出满足条件的A，最后得到结论．
【解答】解：∵A B，A C，
∴A （B∩C），
∵B＝{1，2，3，5}，C＝{0，2，4，8}，
∴B∩C＝{2}，
而A （B∩C），
则A＝{2}或 ．
【点评】本题主要考查了集合包含关系的判断及应用，子集的概念，同时考查了分析问题的能力，属于集合的基础题．
18．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，4}，B＝{1，4，5，6}．
（1）求A∩B及A∪B；
（2）求（ UA）∩B．
【答案】（1）A∩B＝{1，4}，A∪B＝{1，3，4，5，6}；（2）{5，6}．
【分析】（1）利用交集定义和并集定义直接求解．
（2）先求出 UA，由此能求出（ UA）∩B．
【解答】解：（1）因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，4}，B＝{1，4，5，6}，
所以A∩B＝{1，3，4}∩{1，4，5，6}＝{1，4}，
A∪B＝{1，3，4}∪{1，4，5，6}＝{1，3，4，5，6}．
（2）因为U＝{1，2，3，4，5，6}，
所以 UA＝{2，5，6}，
所以（ UA）∩B＝{5，6}．
【点评】本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
19．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，求：
（1）（ UA）∪B；
（2） U（A∪B）．
【答案】（1）（﹣∞，2]∪[3，4]；（2））（﹣∞，﹣3）∪[3，4]．
【分析】直接根据集合的交、并、补定义即可求解．
【解答】解：（1）∵U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，
∴ UA＝{x|x≤﹣2或3≤x≤4}，又B＝{x|﹣3≤x≤2}，
∴（ UA）∪B＝（﹣∞，2]∪[3，4]；
（2）∵A∪B＝[﹣3，3），U＝{x|x≤4}，
∴ U（A∪B）＝（﹣∞，﹣3）∪[3，4]．
【点评】本题考查集合基本运算，属基础题．
20．已知集合A＝{x|﹣2＜x+1＜3}，集合B为整数集，令C＝A∩B．
（1）求集合C；
（2）若集合D＝{1，a}，C∪D＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，求实数a的值．
【答案】（1）{﹣2，﹣1，0，1}；（2）2．
【分析】（1）可求出集合A，然后进行交集的运算即可求出C＝{﹣2，﹣1，0，1}；
（2）根据并集的定义及运算即可求出a的值．
【解答】解：（1）∵A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝Z，
∴C＝A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1}；
（2）∵C＝{﹣2，﹣1，0，1}，D＝{1，a}，C∪D＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴a＝2．
【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，交集和并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
21．已知A＝{1，4，x}，B＝{x2，1}，若B A，求实数x的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据条件B A，确定集合元素之间的关系即可．
【解答】解：因为B A，所以x2＝4或x2＝x，解得x＝﹣2或x＝2或x＝0或x＝1，
当x＝1时，B＝{1，1}不成立，所以舍去．
故x＝﹣2或x＝2或x＝0．
【点评】本题主要考查集合关系的应用，利用B A，确定集合元素之间的关系是解决本题的关键，主要求解之后要进行检验，根据元素的互异性确定是否成立．
22．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，集合B＝{x|x＞1}．
（1）求（ RB）∩A；
（2）设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）进行补集和交集的运算即可；
（2）根据A∪M＝M可得出A M，然后即可得出，解出a的范围即可．
【解答】解：（1）∵A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}，
∴ RB＝{x|x≤1}，（ RB）∩A＝{x|﹣2≤x≤1}；
（2）∵M＝{x|a＜x＜a+6}，A∪M＝M，
∴A M，
∴，解得﹣4＜a＜﹣2，
∴实数a的取值范围为（﹣4，﹣2）．
【点评】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
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