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第一章 集合与常用逻辑用语
一、单选题
1．命题“ x＞1，”的否定是（ ）
A． x≤1， B． x＞1，
C． x≤1， D． x＞1，
2．“x2+x﹣2＝0”是“x＝1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知p：0＜x＜2，q：﹣1＜x＜3，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知命题p： x∈R，x2≥2，则￢p是（ ）
A． x∈R，x2＜2 B． x R，x2≥2
C． x0∈R，x02≥2 D． x0∈R，x02＜2
5．下列语句：
①3＞2；
②作射线AB；
③；
④x2﹣1＝0有一个根是﹣1；
⑤x＜1．
其中是命题的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．③ D．②⑤
6．已知不等式x+3≥0的解集是A，则使得a∈A是假命题的a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a＜﹣3
7．设M、P、S为三个集合，“M P”是“（P∩S） （M∩S）”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．充要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
8．已知方程x2+x﹣a（a+1）＝0，命题甲：x＝1是该方程的解；命题乙：x＝﹣2是该方程的解，则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．下列命题中，是全称量词命题的有（ ）
A．至少有一个x使x2+2x+1＝0成立
B．对任意的x都有x2+2x+1＝0成立
C．对任意的x都有x2+2x+1＝0不成立
D．矩形的对角线垂直平分
10．下列命题是真命题的为（ ）
A． x∈R，﹣x2﹣1＜0
B． n∈Z， m∈Z，nm＝m
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数x，使得
11．命题“ x∈[1，2]，x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥1 B．a≥4 C．a≥﹣2 D．a＝4
12．下列四个选项中，q是p的充分必要条件的是（ ）
A．p：，q：
B．p：，q：
C．p：，q：
D．p：，q：
三、填空题
13．已知命题p：“ x∈R，x2＞0”，则￢p： ．
14．命题p： x0∈R，x02+2x0+5＝0是 （填“全称命题”或“特称命题”），它是 命题（填“真”或“假”）．
15．已知命题p：x＜﹣1或x＞3，命题q：x＜3m+1或x＞m+2，若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 ．
16．已知α：x＞3或x＜1，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，若β是￢α的必要不充分条件，则m的取值范围是 ．
四、解答题
17．判断下列命题的真假．
（1） x∈R，x2﹣5x+6＝0；
（2） x∈R，x2+1＝0；
（3） a，b∈N*，a2+b2＝20．
18．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
（1） x∈N，2x+1是奇数；
（2）存在一个x∈R，使0；
（3）对任意实数a，|a|＞0；
19．判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，如果是，写出这些命题的否定，并说明这否定的真假，不必证明；如果不是全称量词命题和存在量词命题，则只需判断命题真假，并给出证明．
（1）存在实数x，使得x2+2x+3≤0；
（2）有些三角形是等边三角形；
（3）方程x2﹣8x﹣10＝0的每一个根都不是奇数；
（4）若ab≠0，则a+b＝1的充要条件是a2+b+ab﹣a2﹣b2＝0．
20．已知p：x＞1或x＜﹣2，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，求a的取值范围．
21．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．
（1）若B A，求实数m的取值范围；
（2）命题q：“ x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．
22．设命题p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0，命题q：实数x满足x≤1或x≥2．
（1）若a＝1，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
第一章 集合与常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一、单选题
1．命题“ x＞1，”的否定是（ ）
A． x≤1， B． x＞1，
C． x≤1， D． x＞1，
【答案】D
【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
则命题“ x＞1，”的否定是“ x＞1，”．
故选：D．
【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
2．“x2+x﹣2＝0”是“x＝1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：①由x2+x﹣2＝0，得x＝1或x＝﹣2，∴充分性不成立，
②当x＝1时，x2+x﹣2＝0，∴必要性成立，
∴x2+x﹣2＝0是x＝1的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
3．已知p：0＜x＜2，q：﹣1＜x＜3，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分必要条件的定义，由命题p，q的范围即可判断．
【解答】解：因为命题p是命题q的子集，
所以命题p能推出命题q，命题q不能推出命题p，
所以命题p是命题q的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件的定义，属于容易题．
4．已知命题p： x∈R，x2≥2，则￢p是（ ）
A． x∈R，x2＜2 B． x R，x2≥2
C． x0∈R，x02≥2 D． x0∈R，x02＜2
【答案】D
【分析】根据题意，由全称命题和特称命题的关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，命题p： x∈R，x2≥2是全称命题，
其否定为： x0∈R，x02＜2，
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
5．下列语句：
①3＞2；
②作射线AB；
③；
④x2﹣1＝0有一个根是﹣1；
⑤x＜1．
其中是命题的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．③ D．②⑤
【答案】B
【分析】根据命题的定义，能判断真假的陈述语句，即可得答案．
【解答】解：②是祈使句，故不是命题，⑤无法判断真假，故不是命题；
①③④符合命题的定义，
故选：B．
【点评】本题考查命题的定义及判断，考查对命题概念的理解，属于基础题．
6．已知不等式x+3≥0的解集是A，则使得a∈A是假命题的a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a＜﹣3
【答案】D
【分析】利用不等式的解法和命题的否定即可得出．
【解答】解：不等式x+3≥0的解集是{x|x≥﹣3}，
即A＝{x|x≥﹣3}．
因此使得a∈A是假命题的a的取值范围是a＜﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的解法和命题的否定，属于基础题．
7．设M、P、S为三个集合，“M P”是“（P∩S） （M∩S）”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．充要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据充要条件的定义，集合的运算性质，即可得到结论．
【解答】解：当“M P”时，可以推出“（P∩S） （M∩S）”，
由（P∩S） （M∩S）”推出M P，或S P，
故“M P”是“（P∩S） （M∩S）”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了交集的运算性质，充要条件的判断，属于基础题．
8．已知方程x2+x﹣a（a+1）＝0，命题甲：x＝1是该方程的解；命题乙：x＝﹣2是该方程的解，则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，直接判断即可．
【解答】解：方程x2+x﹣a（a+1）＝0，即[x+（a+1）]（x﹣a）＝0，解得x＝﹣a﹣1或x＝a，
令﹣a﹣1＝1可得a＝﹣2，同时a＝1时，﹣1﹣a＝﹣2；令﹣a﹣1＝﹣2可得a＝1，同时a＝﹣2时，﹣1﹣a＝1．
故选：C．
【点评】本题考查充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．
二、多选题
9．下列命题中，是全称量词命题的有（ ）
A．至少有一个x使x2+2x+1＝0成立
B．对任意的x都有x2+2x+1＝0成立
C．对任意的x都有x2+2x+1＝0不成立
D．矩形的对角线垂直平分
【答案】BCD
【分析】根据全称量词命题的定义进行判断即可．
【解答】解：对于A，命题中含有存在量词″至少有一个″，故该命题为特称命题，所以A错误；
对于BC，命题中含有全称量词″任意″，故是全称量词命题，故BC正确；
对于D，命题中的没有全称量词，但是隐含意思为：所有矩形的对角线垂直平分，故该命题为全称量词命题，所以D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查了全称量词命题和特称量词命题的判断，属于基础题．
10．下列命题是真命题的为（ ）
A． x∈R，﹣x2﹣1＜0
B． n∈Z， m∈Z，nm＝m
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数x，使得
【答案】ABC
【分析】根据全称命题、特称命题的定义可判断．
【解答】解：对于A， x∈R，﹣x2 0，所以﹣x2﹣1＜0，此命题是真命题；
对于B，当m＝0时，nm＝m恒成立，此命题是真命题；
对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，此命题是真命题；
对于D，因为x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2 2，所以．故此命题是假命题．
故选：ABC．
【点评】本题考查了命题真假的判断，属于基础题．
11．命题“ x∈[1，2]，x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥1 B．a≥4 C．a≥﹣2 D．a＝4
【答案】BD
【分析】求出命题为真命题的等价条件，结合充分不必要条件的定义转化为求其真子集即可．
【解答】解：∵命题： x∈[1，2]，x2≤a，
∴a≥（x2）min，∴a≥1，
∵[4，+∞） [1，+∞），{4} [1，+∞），
故选：BD．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合定义转化为真子集关系是解决本题的关键，是基础题．
12．下列四个选项中，q是p的充分必要条件的是（ ）
A．p：，q：
B．p：，q：
C．p：，q：
D．p：，q：
【答案】ABC
【分析】利用等式与不等式的性质分别可判断各选项即可．
【解答】解：A． 由a＝0，b＝0，可得a+b＝0，ab＝0，反之也成立，∴q是p的充分必要条件；
B．由a＝1，b＝1，可得a+b＝2，ab＝1；反之也成立，∴q是p的充分必要条件；
C．由a＞0，b＞0，可得a+b＞0，ab＞0；反之也成立，∴q是p的充分必要条件；
D．由a＞1，b＞1，可得a+b＞2，ab＞1；反之不成立，
例如取a＝6，b．∴q是p的必要不充分条件．
故选：ABC．
【点评】本题考查了等式与不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
三、填空题
13．已知命题p：“ x∈R，x2＞0”，则￢p： x∈R，x2≤0 ．
【答案】 x∈R，x2≤0．
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论
【解答】解：p：“ x∈R，x2＞0”，则￢p： x∈R，x2≤0，
故答案为： x∈R，x2≤0．
【点评】本题主要考查了命题的否定的应用，属于基础试题．
14．命题p： x0∈R，x02+2x0+5＝0是 特称命题 （填“全称命题”或“特称命题”），它是 假 命题（填“真”或“假”）．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据含有量词的命题的真假判断即可得到结论．
【解答】解：命题p，含有特称量词 ，是特称命题，为假命题．
x2+2x+5＝0，
所以Δ＝22﹣4×1×5＝﹣16＜0，
方程无解，命题为假命题．
故答案为：特称命题 假．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定以及命题的真假判断，比较基础．
15．已知命题p：x＜﹣1或x＞3，命题q：x＜3m+1或x＞m+2，若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 [，+∞） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别求出关于p，q的不等式，根据p是q的充分非必要条件结合集合的包含关系得到关于m的不等式组，解出即可．
【解答】解：p：x＜﹣1或x＞3，
命题q：x＜3m+1或x＞m+2，
①3m+1＞m+2即m时，命题q：R，
p是q的充分非必要条件，
②3m+1≤m+2即m，
若p是q的充分非必要条件，
则（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） （﹣∞，3m+1）∪（m+2，+∞），
故“＝“不同时成立，
解得：m，
综上：实数m的取值范围是[，+∞）
故答案为：[，+∞）．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．
16．已知α：x＞3或x＜1，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，若β是￢α的必要不充分条件，则m的取值范围是 [，0] ．
【答案】[，0]．
【分析】根据充分必要条件的定义可得，且等号不能同时成立，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵α：x＞3或x＜1，
∴￢α：1≤x≤3，
β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，
若β是￢α的必要不充分条件，
令A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R，}
∴集合A B，
∴，且等号不能同时成立，即m≤0，
故答案为：[，0]．
【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，运用了转化的思想方法，属于基础题．
四、解答题
17．判断下列命题的真假．
（1） x∈R，x2﹣5x+6＝0；
（2） x∈R，x2+1＝0；
（3） a，b∈N*，a2+b2＝20．
【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题．
【分析】（1）利用判断全称命题的方法进行判断即可；（2）（3）利用判断特称命题的方法进行判断即可．
【解答】解：（1）假命题，因为只有x＝2或x＝3时满足x2﹣5x+6＝0．
（2）假命题，因为不存在实数x，使x2+1＝0成立．
（3）真命题，因为存在正整数2和4，使22+42＝20．
【点评】本题主要考查了如何判断全称命题和特称命题的真假．属于较易题．
18．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
（1） x∈N，2x+1是奇数；
（2）存在一个x∈R，使0；
（3）对任意实数a，|a|＞0；
【答案】（1）是全称量词命题，是真命题，
（2）是存在量词命题，是假命题，
（3）是全称量词命题，是假命题．
【分析】根据含有量词的命题的定义进行判断即可
【解答】解：（1）是全称量词命题，是真命题，
（2）是存在量词命题，是假命题，
（3）是全称量词命题，是假命题．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，熟练掌握特称命题和全称命题的定义和性质是解决本题的关键．
19．判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，如果是，写出这些命题的否定，并说明这否定的真假，不必证明；如果不是全称量词命题和存在量词命题，则只需判断命题真假，并给出证明．
（1）存在实数x，使得x2+2x+3≤0；
（2）有些三角形是等边三角形；
（3）方程x2﹣8x﹣10＝0的每一个根都不是奇数；
（4）若ab≠0，则a+b＝1的充要条件是a2+b+ab﹣a2﹣b2＝0．
【答案】（1）是特称命题；命题的否定为：对任意的x，使得x2+2x+3＞0，为真命题；
（2）是特称命题，命题的否定为：所有的三角形不为等边三角形；为假命题；
（3）为全称命题；命题的否定为：方程x2﹣8x﹣10＝0的至少有一个根是奇数；为假命题；
（4）该命题既不是全称命题也不是特称命题；证明过程见解答，该命题为假命题．
【分析】（1）利用特称命题的定义判断，写出命题的否定，再判断命题的真假即可；
（2）利用全称命题的定义判断，写出命题的否定，再判断命题的真假即可；
（3）利用全称命题的定义判断，写出命题的否定，再判断命题的真假即可；
（4）该命题既不是全称命题也不是特称命题，由a2+b+ab﹣a2﹣b2＝0得不出a+b＝1，即判断该命题为假命题．
【解答】解：（1）存在实数x，使得x2+2x+3≤0；是特称命题；
命题的否定为：对任意的x，使得x2+2x+3＞0，为真命题；
（2）有些三角形是等边三角形；是特称命题，
命题的否定为：所有的三角形不为等边三角形；为假命题；
（3）方程x2﹣8x﹣10＝0的每一个根都不是奇数；为全称命题；
命题的否定为：方程x2﹣8x﹣10＝0的至少有一个根是奇数；为假命题；
（4）该命题既不是全称命题也不是特称命题；
证明：当a2+b+ab﹣a2﹣b2＝0时，有b+ab＝b2，则b（1+a）＝b2，
因为ab≠0，所以a+1＝b，即a﹣b＝1，
故由a2+b+ab﹣a2﹣b2＝0得不出a+b＝1，
故该命题为假命题．
【点评】本题考查的知识要点：特称命题和全称命题，命题的否定，命题真假的判定，考查运算能力，属于基础题．
20．已知p：x＞1或x＜﹣2，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，求a的取值范围．
【答案】[1，+∞）．
【分析】利用充要条件与集合间的关系，求解即可．
【解答】解：∵p：x＞1或x＜﹣2，q：x＞a，q是p的充分不必要条件，
∴（a，+∞） （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），
∴a≥1，
∴a的取值范围为[1，+∞）．
【点评】本题考查了充要条件的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
21．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．
（1）若B A，求实数m的取值范围；
（2）命题q：“ x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据B A可讨论B是否为空集：B＝ 时，可得出m＞2；m≠ 时，，然后解出m的范围即可；
（2）根据题意得出B为非空集合且A∩B≠ ，从而得出B为非空集合时m≤2，然后可得出A∩B＝ 时，m＜﹣4，从而可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）①当B为空集时，m+1＜2m﹣1，m＞2成立，
②当B不是空集时，∵B A，，解得﹣1≤m≤2，
综上①②，m的取值范围为[﹣1，+∞）；
（2） x∈A，使得x∈B，∴B为非空集合且A∩B≠ ，
∴m+1≥2m﹣1，m≤2，
∵A∩B＝ 时，2m﹣1≥4或m+1＜﹣3，解得，∴m＜﹣4，
∴A∩B≠ ，﹣4≤m≤2，
∴m的取值范围为：[﹣4，2]．
【点评】本题考查了子集的定义，空集的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
22．设命题p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0，命题q：实数x满足x≤1或x≥2．
（1）若a＝1，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】由复合命题的真假判断来解命题成立的范围．
【解答】解：（1）a＝1时命题p中x 的范围1＜x＜3，
命题q：实数x满足x≤1或x≥2，
若p，q均为真命题，则取交集可得x 的范围[2，3）；
（2）若p是q的充分不必要条件时，（a，3a） （﹣∞，1]，
或（a，3a） [2，+∞），
又a＞0可得a的取值范围a∈（0，]∪[2，+∞）．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，属于简单题．
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