2.1 函数概念 课件(共31张PPT)

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数学北师大版 高一上
2.1 函数概念
在初中,我们用函数刻画、分析了具体的“弹力”“匀速运动”等实际问题之后,学习了它们的一般形式——正比例函数.正比例函数舍去了“弹力”“匀速运动”等实际背景,强化了数与数之间的对应关系,是抽象的函数模型.
初中学习了三个重要的函数类型:一次函数y=kx十b、一元二次函数y=ax2+bx+c和反比例函数y=,,其中 k,a,b,c为常数,且k≠0,a≠0.对于每一个x的取值,都有唯一确定的y值和它对应,这是函数的基本特征.
给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数,
记作y= f(x),x∈A.其中集合A称为函数的定义域,x称为自变量，
与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域.
在这里,函数概念强调了数与数之间的对应关系,并且对应关系指的是对应的结果,而不是对应的过程.
比如
y=
1
-1
x>0
x<0
是同一个函数.
与y=
现在,借助集合语言,给出如下的函数定义:
只有两个非空数集之间才能建立函数关系
A，B都是非空数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在.
如y= 就不是函数.
一般情况下,当没有指明函数的定义域时,就认为它的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,如y=,的定义域就是{x|x≠0}.
如果涉及实际问题,函数的定义域还必须使实际问题有意义,如描述弹簧的伸长量x与弹力y的函数y=kx,由于自变量x是伸长量,定义域就不可能包含负数了.
用f(a)表示函数f(x)当x=a时的函数值.
例如,对于函数f(x)=3x2＋2x-1来说，f(5)=3×52＋2×5-1=84,其中84就是函数f(x)当x=5时的函数值.
【解析】　(1)对于A中的元素3，在f作用下得0，但0 B，即3在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
(2)对于A中任意一个非负数都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数都有唯一元素0与之对应，所以是函数．
(3)集合A中的负数，在B中没有元素与之对应，故不是函数．
(4)集合A中的元素0在B中没有元素和它对应，故不是函数．
只有两个非空数集之间才能建立函数关系.
A，B都是非空数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在.
如 就不是函数.
例1下列各组中的两个函数是否为同一个函数 (1) f(x)=,g(x)=()2;
(2)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2;
(3)f(x)=,g(x)=x-1;
(4)f（x)=x+,g(t)=t+.
解(1)因为f(x)的定义域是R,g(x)的定义域是[o，＋),两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数;
(2）因为两个函数的对应关系不同,所以不是同一个函数;
(3)因为f(x)的定义域是{x|x≠-1},g(x)的定义域是R,两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数;
(4) f(x)和g(t)虽然表示自变量的字母不同,但它们的定义域及对应关系都相同,所以是同一个函数.
同一个函数必须是定义域相同且对应关系相同,那么对应函数值也相同.
求函数定义域
(1)自然定义域:使函数解析式有意义的自变量的一切值;
(2)限定定义域:受某种条件制约或有附加条件的定义域应用问题、几何问题中的函数定义域,要考虑自变量的实际意义和几何意义.
判断两个函数是否是同一个函数的步骤：
判断两函数的定义域是否相同；
判断两函数的对应关系是否相同．
判定是不是同一函数.
(1)定义域不同,两函数不同;
(2)值域不同,两函数不同;
(3)对应关系不同，两函数不同.
即使定义域和值城分别相同的两个函数,也不一定是同一函数.如y=5x与y=0.3x,它们的定义域和值域都是实数集R，但不是同一函数.
例2求下列函数的定义域:
(1) y=2x+3+; (2)y=＋;(3)y=＋.
解(1）为使函数有意义,只需解析式中分式的分母不为零,即x-1≠0,解得x≠1.
所以函数y=2x+3+的定义域是{xΙx≠1};
(2)为使函数有意义,只需解析式中的被开方数非负,且分式的分母不为0,即x+3≥O,x≠0,故x≥—3，且x≠0,
所以函数y=的定义域是{xΙx≥—3,且x≠0};
(3)为使函数有意义,只需解析式中的被开方数非负,
即x+3≥O,-x-3≥O.解得x=-3.
所以函数y=+的定义域是{x|x=-3}={-3}.
例3：已知y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]．
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(2x－1)的定义域．
解：(1)由于y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，
∴1≤x≤2，∴3≤2x＋1≤5，
∴函数f(x)的定义域为[3,5]．
(2)由(1)可知，3≤2x－1≤5，∴2≤x≤3，
∴函数f(2x－1)的定义域为[2,3]．
练习：求函数y＝　的定义域．
解：要使函数有意义，必须使（x－2）（x＋3）≠0，
即x－2≠0且x＋3≠0，解得x≠2且x≠－3，
故所求函数的定义域为{x|x≠2，且x≠－3}．
求函数的定义域时，不能先约会
因为约分扩大了自变量的取值范围．
想一想.结合函数的定义，判断下列对应是不是从数
集A到数集B的函数.
A
B
f
1
2
2
4
3
6
A
B
f
1
2
2
4
3
6
4
B
A
f
1
2
2
4
3
6
8
A
B
f
1
2
2
4
3
(1)
(4)
(3)
(2)
不是.在集合A中出现了元素剩余．
是
是
不是,出现了“一对多”
A
B
f
1
2
2
4
3
6
8
集合B和值域是什么关系
思考：该函数的值域是什么
2,4,6
集合B包含值域
集合B不一定是函数的值域，即B中的元素可以没有与之对应者，若将函数的值域记为C，容易得到C B.
C B
函数的概念：
给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作，．其中集合A称为函数的定义域，x称为自变量，与x值对应的y值称为函数值，集合称为函数的值域．
函数的三要素：
定义域、对应法则、值域．
课堂小结
教材第58页练习A组题全做．
作业：
①已知f(x)的定义域为A，求f(g(x)）的定义域，其实质是已知g(x) A,求x的取值范围;
②已知f(g(X)）的定义域为A，求f(x)的定义域，其实质是已知x∈A，求g(x)的取值范围，此范围就是f(x）的定义域.
注意:牢记定义域是指自变量x的取值范围，所以已知f (g(x)）的定义域为A,是指x∈A;求f(g(x)）的定义域，是求f(g(x）)中x的取值范围.
求复合函数定义域的方法:
复合形式的求值问题，可以从里到外逐层求解．
探究3　计算f[f(x0)]的值的步骤：
(1)先求出f(x0)的值；
(2)然后把f(x0)的结果进一步代入函数的表达式中，即可得到f[f(x0)]的值．
常用的方法
①观察法:通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本初等函数的值域,求出函数的值域.
②配方法:对二次函数型的解析式进行配方，再结合二次函数的性质,在自变量取值范围内,求函数的值域.
③换元法:通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域
④分离常数法:先将形如y=的函数分离常数，变形为y=+再结合x的取值范围确定的取值范围,从而确定函数的值域{yΙy≠}.
⑤判别式法:将函数视为关于自变量的二次函数，利用相应一元二次方程根的判别式求函数值的范围,常用于“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.
⑥当函数是根据实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义决定.
求函数值域的常用方法
2.若函数f（X）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=3,f（3）=2那么f（8）是多少？
解:∵f（2）=3，f（3）=2, f（ab）=f（a）+f（b），
得f（18）=f（2×9）
=f（2）+f（9）
=f（2）+ f（3×3）
=f（2）+ f（3）+ f（3）
=3+2+2=7
3.若f（a+b）=f（a） f（b）,且f（1）=1求
……+
解：因为f（a+b）=f（a） f（b）,f（1）=1
所以f（2）=f（1+1）=f（1） f（1）=1×1=1
f（3）=f（2+1）=f（2） f（1）=1×1=1……
f（2022）=1
……+
4.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f(f(5)）=_
[解析] 函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)=
所以f(3)=f(1+2)=
所以f(5)=f(3+2)=
f(f(5)）=f(-5)=
由f(x+2)=
得f(x)=
5.若函数f(x)满足f(ab) =f(a) +f(b),且f(2) =m, f(3) =n,则f(72)的值为______ A. m+n B.3m+2n
C.2m+3n D. m3+2
解:f(2) =m, f(ab) =f (a) +f (b)，
.取a=b=2,得f(4) =f(2) +f (2) =2m,
进而可得，f(8) =f(4) +f(2) =2m+m=3m,
同理可得: f(9) =f(3) +f(3) =2n,
:f(72) =f (8x9) =f(8) +f (9) =3m+2n,
故选: B
6..若f（a+b）=f（a） f（b）,且f（1）=2求
……+
解：因为f（a+b）=f（a） f（b）,f（1）=1
令b=1,f（a+1）=f（a） f（1）=f（a）×1=f（a）
……+
7.若函数f(x)满足f()-2f()=3+函数f(x)的表达式
解：由f()-2f()=3
得f()-2f()=
两边乘以2
得2f()-4f()=
②
①
①+②
-3f()=
故f()=-
谢谢
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