2.2全称量词与存在量词 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
数学北师大版 高一上
2.2全称量词与存在量词
一、全称量词命题与存在量词命题观察下列命题:
(1）所有正方形都是矩形;
(2)每一个有理数都能写成分数的形式;
(3)对于任意的正实数k,y=kx+b的值随x值的增大而增大;
(4）空集是任何集合的子集;
(5)一切三角形的内角和都等于180°.
以上命题中,“所有”“每一个”“任意”"任何”"一切”都是在指定范围内表示整体或全部的含义.
抽象概括
在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.在命题中，诸如“所有”"每一个”“任意”"任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“ ”表示,读作“对任意的”.
例如,“对于任意的实数x,都有x2≥0”可表示为“ x∈R,有x2≥0”.
在某些全称量词命题中,有时全称量词可以省略.例如,“所有的正方形都是矩形”,可以简写为“正方形是矩形”
例4判断下列命题是不是全称量词命题,如果是,指出其中的全称量词:
(1）所有的正方形都是平行四边形;
(2）能被5整除的整数末位数字为0.
解(1)“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题,“所有”是全称量词;
(2)“能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数,末位数字都为0”,它是全称量词命题,其中省略了全称量词“所有”.
思考交流
请举出初中数学中的一些全称量词命题,并与同学交流.
有一些数学命题,是对个体或整体的一部分的判断.例如:
(1)有些三角形是直角三角形;
(2)在素数中,有一个是偶数;
(3)存在实数x,使得x2+x—1=0.
以上命题中,“有些”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义.
在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,
抽象概括
读作“存在”
用符号“ ”表示,.
例如,“存在实数x,使得x2+x—1=0.”可表示为“ x∈R,使x2+x—1=0”.
例5判断下列命题是不是存在量词命题,如果是,指出其中的存在量词:
(1)存在一个无理数x,使x2也是无理数;
(2〉 x∈R,使x2+x+1=0.
解(1)“存在一个无理数x,使x2也是无理数”是存在量词命题,“存在”是存在量词;
(2)“ x∈R,使x2+x＋1=0”是存在量词命题,“ (即存在)”是存在量词.
思考交流
请举出初中数学中的一些存在量词命题,并与同学交流.
练习1.判断下列命题是不是全称量词命题,如果是,指出其中的全称量词:
（1）每一个多边形的外角和都是360°;
(2）所有的素数都是奇数;
(3)对任意的无理数x,x2也是无理数;
(4) x∈R,,x都有平方根;
(5) x∈R,,有-x2≤0.
2.判断下列命题是不是存在量词命题,如果是,指出其中的存在量词:
(1)实数都能写成小数;
(2)在实数集内,有些一元二次方程无解;
(3)在平面内,过直线外一点,存在另一条直线与其垂直;
(4)存在一个自然数n,使代数式是n2-2n＋2的值是负数.
不是
在数学的讨论中,有时要给出一个命题的否定,例如,在反证法的证明中要先假设命题的否定成立.
当命题是真命题时,命题的否定是假命题;
当命题是假命题时,命题的否定是真命题.
实例分析
“ x∈R,有x+1>0”是一个全称量词命题,如何否定它呢
二、全称量词命题与存在量词命题的否定
要否定这个全称量词命题,只需要找到一个实数x,使x+1>0不成立,即找到一个实数x,使x＋1≤0,也就是“ x∈R,使x＋1≤O”,它是一个存在量词命题.
又如,全称量词命题:“ x∈R,有x2-2x+2>0”.要否定这个全称量词命题,只需要找到一个实数x,使工x2-2x+2>0不成立,即“ x∈R,使x2-2x+2≤O”,它也是一个存在量词命题.
以上的存在量词命题是对原全称量词命题加以否定得到的.
一般地,要否定一个全称量词命题,只需要在给定集合中找到一个元素,使命题的结论不正确,即全称量词命题不成立.
全称量词命题的否定是存在量词命题.
对于全称量词命题p: x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为
x∈M,x不具有性质p(x).
抽象概括
例6写出下列全称量词命题的否定:
(1)任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交;
(2) x∈R,有=x.
解(1)“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数,它的图象与x轴不相交”;
(2)“ x∈R,有=x”的否定是“ x∈R,使≠x”.
思考交流
如何写出下列存在量词命题的否定
(1)存在凸n边形(n∈N,且 n>3),它的内角和等于720°;
(2) x∈N,x2的个位数字等于3.
抽象概括
一般地,要否定一个存在量词命题,需要判定给定集合中每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立.
存在量词命题的否定是全称量词命题.
对于存在量词命题p: x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为
x∈M,x不具有性质p(x)
例7写出下列存在量词命题的否定:
(1)某箱产品中至少有一件次品;
(2）方程x2-8x＋15=0有一个根是偶数;
(3） x∈R,使x2+x+1≤0.
解(1)“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”;
(2)“方程x2-8x＋15=0有一个根是偶数”的否定是“方程x2-8x＋15=0的每一个根都不是偶数”;
(3)“ x∈R,使x2+x+1≤0”的否定是“ x∈R,有 x∈R,使x2+x+1>0”.
练习
1.写出下列命题的否定:
(1)对于任意一个实数x,都有x2>x;
(2)三个连续整数中,至少有一个数是3的倍数;
(3)所有的矩形都是平行四边形;
(4)所有的平行四边形都是菱形;
（5) x∈Q,有3x2+2x+1∈Q;
(6） 锐角α,使sinα=cosα.
谢谢
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