2.3 函数的单调性和最值（第2课时） 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
数学北师大版 高一上
2.3 函数的单调性和最值（第2课时）
我们已经感受到,判定函数的单调性时,函数的图象能够起到很大的作用.严格地说,判定函数的单调性,要依据函数单调性的定义,尤其是用解析法表示的函数,要通过代数运算的结果证明其单调性.有的函数很复杂,图象很难画出,这时代数运算的价值更加凸显.
任取x1,x2∈R,且x1所以f(x1)-f(x2)=(—3x1+2)-(—3x2+2)=—3(x1-x2)>0，
即f(x1)> f(x2).
由函数单调性的定义可知,函数f(x)=-3x十2在定义域R上是减函数.
例3判断函数f(x)=-3x+2的单调性,并给出证明.
解 画出函数f(x)=-3x＋2的图象(如图).
由图象可以看出,函数f(x)=—3x＋2在定义域R上可能是减函数.
这个证明是在定义域上任取x1,x2,通过计算f(x1)-f(x2)的差,得到f(x1)>f(x2),从而由函数单调性的定义判断函数f(x)=-3x＋2在定义域R上是减函数.
由图象可以看出,函数f(x)=在定义域
例4 判断函数f(x)=的单调性,并给出证明.
解 画出函数f(x)=的图象(如图).
任取x1,x2 ∈[0,+),且x1所以f(x1)- f(x2)= =
由>0,可知f(x1)- f(x2)<0,即f(x1)由函数单调性的定义可知,函数f(x)=在定义域[0,+)上是增函数.
[0,+)上可能是增函数.
这个证明是在定义域上任取x1例5试用函数单调性的定义证明:函数f(x)= x+在区间(0,1]上单调递减,在区间[1，+)上单调递增.
证明 任取x1,x2 ∈(0,1),且x1所以f(x1)- f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+(-)
=(x1-x2)()=
因为00
f(x1)- f(x2)>0
得f(x1)>f(x2)
这表明函数f(z)=x+在区间(0，1]上单调递减.
例5试用函数单调性的定义证明:函数f(x)= x+在区间(0,1]上单调递减,在区间[1，+)上单调递增.
证明 任取x1,x2 ∈[1，+),且x1所以f(x1)- f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+(-)
=(x1-x2)()=
因为l≤x10
f(x1)- f(x2)<0
得f(x1)这表明函数f(z)=x+在区间[1，+)上单调递增.
②形如f（x）＝ax＋ （a＞0，b＞0）的(对勾）函数，
在区间（0，＋∞）上也具有类似的性质；
根据均值不等式，可得当x＝时，函数取得最小值；
函数在区间(0,)上是减函数，在区间(,)上是增函数．
-
③有些函数问题中（如求值域、求最值等），如果要用到函数的单调性，
而又不需证明，可以通过分析的方法，得到函数的单调性．
例如：求函数f（x）＝　　　在区间[2，3]上的最值．
f（x）＝
当x∈[2，3]时，随着x增大，　　　增大，所以函数f（x）增大，即函数单调增．
所以f（x）min＝f（2）＝－3，f（x）max＝f（3）＝ 　．
④区分y＝f（x）在区间D上递减和y＝f（x）的单调递减区间是D．
应用对勾函数模型的3个关键点
明确对勾函数是由正比例函数和反比例函数叠加而成的；
解决实际问题时一般可以直接建立模型，有时可以将所列函数解析式转化为的形式；
当时，，当且仅当，即时取等号．
小结： 在判断函数的单调性时,常常借助其图象,得到猜测.证明函数f(x)在一个区间上的单调性时,通常在这个区间上任取x1,x2,且x1作业：P65页A组第3、4、5题，B组第1、4题．
备选习题
例1 已知函数 f(x)＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
【解析】设 x1，x2 是区间[2,6]上的任意两个实数，且 x1则 f(x1)-f(x2)＝- ==
由 2≤x10，(x1-1)(x2-1)>0，
于是 f(x1)-f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)．
所以，函数 y＝在区间 [2,6] 上是减函数．
因此，函数y＝在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2,在x＝6时取得最小值，最小值是0.4．
要熟记常见函数的单调性：
一次函数 y＝kx＋b(k≠0)，当k>0 时单调递增，当 k<0 时单调递减；
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 a>0 时，在(-)上单调递减，在()上单调递增，a<0 时相反；
y＝(x≠0)，当 k>0 时，在 (－∞，0) 和 (0，＋∞) 上都单调递减．当k<0 时，在 (－∞，0) 和 (0，＋∞) 上都单调递增．
如果有两个函数y＝f（x）和y＝g（x），在同一个区间I上都是单增（单减）函数，那么函数y＝f（x）＋g（x）的具有怎样的单调性？能不能判断函数y＝f（x）－g（x）的单调性呢？
函数y＝f（x）＋g（x）也是单增（单减）函数，
函数y＝f（x）－g（x）的单调性不确定．如f（x）=5x, g（x）=7x,y=-2x为减函数。 或f（x）=8x, g（x）=2x，y=6x为增函数
例2（1）设函数f（x）＝－ax，证明：当a≥1时，函数f（x）在区间[0，＋∞）上是减函数？
（1）设，且，
f（x1）－f（x2）＝
因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，
所以
故函数f（x）在区间[0，＋∞）上是减函数．
（2）已知a＞0，函数f（x）＝x3－ax是区间[1，＋∞）上的单调函数，求实数a的取值范围？
（2）任取x1＜x2，且x1，x2∈[1，＋∞），
f（x1）－f（x2）＝
，
由于x1，x2∈[1，＋∞），故，
根据题意的符号恒正或恒负，所以a≤3．
故实数a的取值范围是（0，3]．
例3　 （1）已知函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，3）上是减函数，求实数a的取值范围；
y＝f（x）的对称轴为x＝－（1－a）＝a－1，
（1）a－1≥3 a≥4；
（2）a－1＝3 a＝4．
分析：函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2顶点的左边（对称轴左边）为单调递减，
3
动轴定区间：指求对称轴不确定的二次函数在固定区间的最值问题．
在
单调递增
当时
例：求二次函数的最值．
对称轴
函数在内的图象形状，与对称轴和区间的相对位置有关．
在
单调递减
当时
在
单调递减
在
单调递增
当时
例4：函数y＝f（x）满足：对任意的x1，x2∈R总有　　　　 　　　　．则不等式f（m2＋1）＞f（2m）的解集为｛m｜m≠1｝．
解析：因为对任意的x1，x2∈R，总有　　　　　　　　，
所以函数y＝f（x）是R上的单调增函数，
从而由f（m2＋1）＞f（2m），可得m2＋1＞2m，解得m≠1．
故答案为｛m｜m≠1｝．
练习：1.如果函数f（x）＝x2＋bx＋c，对任意实数x都有f（2＋x）＝f（2－x），试比较f（－3）、f（2）、f（3）的大小．
解答：根据题意，对任意实数x都有f（2＋x）＝f（2－x），
则二次函数图象的对称轴为x＝2，抛物线开口向上，
所以离对称轴距离越远的自变量对应的函数值越大，
所以f（－3）＞f（3）＞f（2）．
若f（a＋x）＝f（b－x）则f（x）的对称轴是 x＝
2.函数f（x）＝在R上单调递增，求实数a的取值范围．
解答：函数在R上单调递增，则在x＞0时单调递增，
且在分界点x＝0处右侧函数值不小于左侧函数值，
即a＞0且a－1≥1，解得a≥2，
故实数a的取值范围为a≥2．
3.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x），满足：
（i）对任意x，y∈（0，＋∞），都有f（xy）＝f（x）＋f（y）；
（ii）当0＜x＜1时，f（x）＞0．
①判断并证明f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性；
②解关于a的不等式f（1－2a）－f（4－a2）＞0．
解析： ①设x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝
－f（x2）
＝　　　＋f（x2）－f（x2）＝　　　，
因为x1＜x2，故0＜　 ＜1，
所以　　　＞0，即f（x1）－f（x2）＞0，
故函数在区间（0，＋∞）上单调递减．
解：②不等式f（1－2a）－f（4－a2）＞0，即f（1－2a）＞f（4－a2）
已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x），满足：
（i）对任意x，y∈（0，＋∞），都有f（xy）＝f（x）＋f（y）；
（ii）当0＜x＜1时，f（x）＞0．
②解关于a的不等式f（1－2a）－f（4－a2）＞0．
由函数的定义域和单调递减，得，
解得
4.已知函数f（x）＝kx2＋4x－2在[1，2]上为增函数，求实数k的取值范围．
解答：当k＝0时，函数f（x）＝4x－2在[1，2]上为增函数，符合题意；
当k≠0时，函数的对称轴为x＝ ，
则　　　　或　　　　 解得k＞0或－1≤k＜0．
综上可得，实数k的取值范围是k≥－1．
练习 5.已知函数 f(x)＝x2-2x-3，若 x∈[，t＋2] 时，求函数 f(x) 的最值．
【解析】∵对称轴 x＝1，
① 当 1≥t＋2 即 t≤-1 时，
f(x)max＝f(t)＝t2 -2t -3，
f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t -3 ．
② 当 ≤1f(x)max＝f(t)＝t2 -2t -3，
f(x)min＝f(1)＝-4 ．
t
t+2


③ 当 t ≤1<　　　 ，即 0f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t -3，f(x)min＝f(1)＝-4 ．
④当1< t，即 t >1 时，
f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t -3，
f(x)min＝f(t)＝t2 -2t -3 ．
设函数最大值为 g(t)，最小值为 φ(t) 时，则有
g(t)＝ 　　　　　　　，φ(t)＝　　　　　　　　 ．
t
t+2


探究　二次函数在闭区间上的最值
例 求二次函数 f(x)＝x2 -2ax＋2 在 [2,4] 上的最小值．
【解析】∵函数图象的对称轴是 x＝a，
∴当 a<2 时，f(x) 在 [2,4] 上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6 - 4a ．
当 a>4 时，f(x) 在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18 - 8a ．
当 2≤a≤4 时，f(x)min＝f(a)＝2 - a2．
2
4


∴f(x)min＝
谢谢
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