3.1 不等式性质 课件(共15张PPT)

(共15张PPT)
数学北师大版 高一上
3.1 不等式性质
在生活中,存在着形形色色的数量关系,既有相等关系,又有不等关系.在数学中,用不等式来表示不等关系.
这里用x m2和y m2分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积.一般来讲,窗户面积比地板面积小.显然,比值越大,住宅的采光条件越好.
不等式<表示的是:当同时增加相等的窗户面积lm2和地板面积lm2时,住宅的采光条件会得到改善.
3.1 不等式的性质
在初中数学中,可以利用数轴比较任意两个实数a,b的大小.关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实;如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b等于0,那么a=b;如果a-b是负数,那么a这个基本事实可以表示为
a>ba-b>0;
aba-b0;
a=ba—b=0.
性质1 如果a>b,且b>c,那么a>c.
分析要证a>c,只需证a-c>0.
证明 因为a>b,且b>c，
所以a-b>0,b-c>0，
从而a-c=(a-b)＋(b-c)>0,即a>c.
性质2 如果a>b,那么a+c>b+c.
分析 要证a+c>b十c,只需证(a+c)-(b十c)>0.证明 因为a>b,所以a-b>0，
所以(a＋c)-(b+c)=a-b>0,即a+c>b+c.
性质3 (1)如果a>b,c>0,那么ac>bc ;
(2)如果ab,c<0,那么ac分析1)要证ac>bc,只需证ac-bc>0.
证明(1)因为a>b,所以a-b>0.
又因为c>0,所以(a—b)c>0,ac-bc>0,即 ac>bc.
试用(1)的方法完成(2)的证明.
例1试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小.
解 因为(x+1)(x+5)-(x+3)2=(x2＋6x+5)-(x2＋6x＋9)=-4<0,
所以(x+1)(x+5)<(x+3)2
例2试证明:若O0,则;
证明:
因为O性质4 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
证明 因为a>b,所以a+c>b+c.
又因为c>d,所以b+c>b+d.
由不等式的性质1,得a+c>b+d.
性质5 (1)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd ;
(2)如果ab>0,c证明(1)因为a>b>0,c>0,所以ac>bc.
又因为c>d>0,b>0,所以bc>bd.
由不等式的性质1,得ac>bd.
试用(1)的方法完成(2)的证明.
特殊地,当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2.
(2)因为a>b>0,c<0,所以ac又因为c0,所以bc由不等式的性质1,得ac性质6 当a>b>0时,,其中n∈N+,n≥2.
证明假设 .
可得()n()n ,即ab>0矛盾.
一般地,如果一个数的n次方(n∈N: ,n≥2)等于a,那么这个数叫作α的n次方根,记作.
例3（1)已知a>b,ab>0,求证:
(2)已知a>b,cb-d.
证明(1)因为ab>0,所以.
又因为a>b,所以由不等式的性质3,
(2)因为c-d.
又因为α>b,所以由不等式的性质4,得a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.
得a·>b·.即
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