4.2.2 换底公式 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
数学北师大版 高一上
4.2.2 换底公式
有些计算器上只有常用对数键“LOG”(即“lg”)和自然对数键“LN”(即“ln”)．对一般的底数，且和，要计算 ，必须将它转换成常用对数或自然对数．
如何转换呢
用计算器求的值
操作步骤：
设，
则5，
等式两边取常用对数：
得，所以．
用计算器中的常用对数键“LOG”算出的值:
(计算器显示的数位是有限的，所以得到的结果一般是近似值)．
同理可得．这就同样可以用计算器中的自然对数键“LN”算出的值．
一般地，若，，，且，，则，
常见的有：或．
这个结论称为对数的换底公式．
注意：(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义；
(2) 换底公式用于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算及证明；
你能用其他方法证明对数的换底公式吗
证明：令，则，，
计算，故，等式两边同时取对数：
，
所以．
常用结论：①(a>0且，b>0且
②且，，．
③且，b>0
计算：（1）；（2）；（3）（0，0，且，）．
解： 根据对数的换底公式，得
（1）；
（2）；
（3）．
计算：（1）；
（2）．
解：根据对数的换底公式，得
（1）
计算：（1）；
（2）．
解：根据对数的换底公式，得
（2）
在对数运算中,要特别注意观察对数的特点,若是同底数对数的加减运算,通常运用对数的运算性质,先将对数之间的加减运算转化为真数之间的乘除运算,然后再进行对数运算;若不是同底数对数,则要考虑使用换底公式化为同底数对数再计算.
(1)已知，，试用，表示．
(2)设，求的值．
解：(1)由，得．
又，则．
(2)由，得，，
由换底公式得，，则．
技巧总结：(1)用已知对数表示其他对数的思路：
①统一底数：巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种问题的关键；
②分拆代换：结合对数运算法则，把所求向已知条件靠拢，巧妙代换求值．
(2)指数式的连等式求值方法：
第一步：可令连等式等于k（k>0），然后将指数式用对数式表示；
第二步：由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数；
第三步：运用对数的运算性质化简求值．
计算：（1）；（2）；
（3）；（4）．
解：（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
．
计算：（1）；（2）；
（3）；（4）．
分别计算下列各式，你能得出什么结论 （1）；
（2）；（3）．
解：（1）；
（2））；
（3）
通过观察得出结论：且，，．
设0，0，0且，，利用对数的换底公式证明：（1）;（2）．
证明：（1）；
（2）．
设
是正数，且，求的值．
解：因为0，0，，所以 因为，所以，
即，所以，所以．
换底公式：一般地，若，，，且，，则．
常用结论：
①(a>0且，b>0且
②且，，．
③且，b>0
教材第104页习题4-2A 组第6-7题．
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