5.1.2利用二分法求方程的近似解 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
数学北师大版 高一上
零点存在定理 若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解．
复习巩固
例： 判定下列方程存在几个实数根,并分别给出每个解的存在区间:
(1) x2+x-1=0;
(2) =0.
解：由x2+x-1=0，得x2=1-x，令f(x)＝x2，g(x)＝1-x,方程x2+x-1=0有几个实数根，就是函数f(x)，g(x)有几个交点，
作出图象，知道有二交点，
故方程x2+x-1=0有2个实数根
f(x)＝x2
g(x)＝1-x
例： 判定下列方程存在几个实数根,并分别给出每个解的存在区间:
(1) x2+x-1=0;
(2) =0.
解：由=0，得，令f(x)＝，g(x)＝,方程=0有几个实数根，就是函数f(x)，g(x)有几个交点，
作出图象，知道有二交点，
故方程=0有2个实数根
g(x)＝
f(x)＝
f(x)＝
g(x)＝
f(x)＝
g(x)＝
判定方程存在几个实数根的方法步骤：
(1)：由方程变形，得f(x)＝g(x)，得到二个函数.
(2)作出这二个函数的图象，有几个交点，方程就有几个实数根，
其中交点的横坐标就是方程的解
5.1.2利用二分法求方程的近似解
绝大部分方程没有求解公式,而且在许多实际应用中,也不需要求出方程解的精确值，只要解满足一定的精确度就可以了.
设是方程的一个解，给定正数，若满足，就称是满足精确度的近似解．
对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)· f(b)<0,则方程f(x)=0在区间(a,b)内有解(如图).
下面我们讨论方程f(x)=0近似解的求法.
求方程f(x)=0的近似解的方法如下:
取区间（写开闭区间都可以）的中点，【分成了二个区间和】
若，则区间内有方程的解．
，则区间内有方程的解．
方程f(x)=0近似解的求法
再取区间的中点…这样操作下去
（如果取到某个区间的中点，恰使，那么就是所求的解；如果区间中点的函数值不等于，且区间某个端点的函数值与异号，那么与这个端点组成新的区间的端点），
经过有限次操作，区间长度越来越小，且其端点的函数值符号相反，随着操作次数的增加，端点逐步逼近方程的解，从而得到近似解．
区间一分为二；
端点函数值异号；
逐步缩小区间；
逼近方程的解．
像这样，对于一般的函数
，若函数的图象是一条连续的曲线，，（异号）则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．
二分的次数越多，近似值就越精确．二分法体现了无限逼近（极限）的数学思想．
练习1.用二分法求方程0.9x-x=0的近似解. (精确度为0.1,可以使用计算器)
y=0.9x
y=x
分析f(x)=0.9x-x的零点就是y=x,y=0.9x的交点的横坐标，
由图可知y=x,y=0.9x的交点的横坐标在5和6之间
f(5)=0.1143，f(6)=-0.1840
说明该函数在区间(5，6)内存在零点x0．
练习1.用二分法求方程0.9x-x=0的近似解. (精确度为0.1,可以使用计算器)
取区间(5，6)的中点5.5
f(5.5)=0.0363
解：f(5)=0.1143，f(6)=-0.1840
再取区间(5.5，6)的中点
f(5.75)=-.0020
0.0363-（-0.1840）=0.2203>0.1
Ι-.0020-0.0363Ι=Ι-0.0383Ι=0.0383<0.1
所以x0∈(5.5，6)
所以x0∈(5.5，5.75)
所以原方程的近似解可取(5.5，5.75)内的任一值
所以x0∈(5，6)
用二分法求函数零点近似值的基本步骤
1 . 确定区间 [a，b]，验证 f(a)·f(b)<0，给定精确度 ε；
2 . 求区间 (a，b) 的中点 x1；
3 . 计算 f(x1)：
(1) 若 f(x1)＝0，则 x1 就是函数的零点；
(2) 若 f(a)·f(x1)<0，则令 b＝x1 (此时零点 x0∈(a，x1))；
(3) 若 f(x1)·f(b)<0，则令 a＝x1 (此时零点 x0∈(x1，b))；
4 . 判断是否达到精确度 ε；即若 |a-b|< ε，则得到零点值 a(或 b)；否则重复步骤 2～4 .
求方程的一个近似解．（精确度为）
解：解考察函数 f(x)=,基于零点存在定理,从一个两端点函数值异号的区间开始,应用二分法逐步缩小方程解所在区间.
经试算，，．
所以方程在区间内有解．
取区间的中点，，
所以方程在区间内有解．
如此下去，得到方程的解所在的区间，如下表：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
f(x)=
0
0.5
0.5
0.625
0.6875
0.71875
0.734375
0.734375
1
1
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.7421875
-3
-1.25
-1.25
-0.63671875
-0.287597656
-0.101135254
-0.004768372
-0.004768372
2
2
0.09375
0.09375
0.09375
0.09375
0.09375
0.044219017
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.015625
0.0078125
至此，可以看出，区间的区间长度为，它小于．而方程的解就在这个区间内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，
例如，就是方程精确度为的一个近似解．
选定初始区间
取区间的中点
是
否
得到新区间
是
否
选取区间内任意一个数
结束
新区间的长度小于精确度
中点函数值为0
二分法求方程近似解步骤
抽象概括
二分法求方程近似解的思想来源于零点存在定理.
利用二分法求方程近似解的过程可以用图表示,其中:
“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间;
新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两
端点中的一个,并且新区间两端点的函数值异号.
在用二分法求方程近似解的步骤中,初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试算.初始区间选得不同，虽然不影响最终计算结果,但可能影响计算量的大小。
若方程f(x)=0有多个解,则需要选取不同的初始区间来
求得不同解的近似值.
练习1.用二分法求方程0.9x-x=0的近似解. (精确度为0.1,可以使用计算器)
如何来确定更小的初始区间，图象法是一种，方程 0.9x-x=0的解就是y=x,y=0.9x的交点的横坐标。
y=0.9x
y=x
由图可知交点的横坐标在5和6之间
用二分法求函数零点近似值的基本步骤
1 . 确定区间 [a，b]，验证 f(a)·f(b)<0，给定精确度 ε；
2 . 求区间 (a，b) 的中点 x1；
3 . 计算 f(x1)：
(1) 若 f(x1)＝0，则 x1 就是函数的零点；
(2) 若 f(a)·f(x1)<0，则令 b＝x1 (此时零点 x0∈(a，x1))；
(3) 若 f(x1)·f(b)<0，则令 a＝x1 (此时零点 x0∈(x1，b))；
4 . 判断是否达到精确度 ε；即若 |a-b|< ε，则得到零点值 a(或 b)；否则重复步骤 2～4 .
本课小结
教材第135页练习第1，2题．
谢谢
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