2025年广东省中山市第一中学中考模拟（数学）试卷（二）（含答案）

2025年广东省中山市第一中学中考模拟（数学）试卷（二）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是负数的是（）
A. 0 B. C. 5 D.
2.是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（　　）
A. B. C. D.
3.观察下列各组式子：①，；②，；③，．可猜想得到：（），上述探究过程体现的数学思想方法是（ ）
A. 从特殊到一般 B. 类比 C. 转化 D. 公理化
4.如图中几何体的左视图是（）
A. B. C. D.
5.如图，是线段所在直线上的一动点，点在的两侧，，，，，，连接，分别取的中点，连接．随着点的运动，线段的长（ ）
A. 随着点的位置变化而变化 B. 保持不变，长为
C. 保持不变，长为 D. 保持不变，长为
6.一名射击运动员连续射靶8次，命中的环数如下：8，9，，9，8，7，，8．这名运动员射击环数的众数与中位数分别是（　　）
A. 9环与8环 B. 8环与环 C. 环与9环 D. 8环与9环
7.某中学计划在一个长为，宽为的矩形花园中修建入口等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的入口宽度为，则根据题意可列方程为（　　）
A. B.
C. D.
8.小张的爷爷每天坚持锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y米与时间t分钟之间关系的大致图象是（　　）
A. B. C. D.
9.甲，乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑，白，红，转动转盘时，指针指向的颜色即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．转动两次转盘，其中“一定有黑色”的概率是（）
A. B. C. D.
10.如图，在矩形中，，是边的中点，连接，过点作交于点，连接，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解： ．
12.如果两个相似三角形的周长的比是1：2，那么这两个三角形的面积的比是 ．
13.若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围为 ．
14.计算： ．
15.已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知方程，小张同学是这样解方程的：
解： 第一步（___________）
第二步（___________）
第三步（___________）
显然不成立，故原方程无解．
你认为小张同学的解法对吗？如果不对，请指出错误在第几步，并说明理由；如果对，请在对应的括号中填写每一步的运算依据．
17.(本小题8分)
如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：．
18.(本小题8分)
16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为．
(1) 求出a，b的值；
(2) 火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
19.(本小题8分)
如图，在平行四边形中，对角线上有两点，，且．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 若是等边三角形，且边长为8，，求．
20.(本小题8分)
2024年瑞安市非机动车保有量已达50余万辆，其中电动自行车交通违法行为问题日益凸显，佩戴安全头盔可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害．2024年瑞安交警部门在全市范围开展了安全使用电动车专项治理活动．某校学生在吾悦罗阳大道路口对活动前后电动自行车违法行为进行抽样调查，将收集的数据制成如下统计图表．
活动后吾悦路口电动自行车违法行为统计表
类别 人数
A 60
B a
C 20
D 50
合计 250
(1) 请确认“活动后吾悦路口电动车违法行为统计表”中，B类别对应人数的值为 ；
(2) 治理活动前吾悦路口某时段若约有2万人使用电动自行车，请你估计，专项治理活动前该时段骑电动自行车未佩戴安全头盔的人数；
(3) 小明发现，专项治理活动前后C类别人数均为20人，因此认定交警部门开展的此次专项活动没有效果，你认为小明分析数据的方法是否合理？为什么？
21.(本小题8分)
消防车是消防救援的主要装备，图是某种消防车云梯，图是其侧面示意图，点、、在同一直线上，可烧着点旋转，为云梯的液压杆长度可以变化，点，，在同一水平线上，与地面平行，其中可伸缩，云梯的最大长度为，套管的长度不变．
(1) 在某种工作状态下测得，，，求的长．
(2) 将云梯伸长到最大长度米，当从上升到时，云梯顶端的铅直高度升高了多少米？参考数据：，，，，，
22.(本小题8分)
已知：，，
(1) 当时，写出的值 （用科学记数法表示结果）；
(2) 当时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是 ．（直 接 写 出 答 案）
(3) 嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算说明理由．
23.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，．
(1) 如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和B点坐标；
(2) 如图2，当，连接，时，求m的值；
(3) 当时，若，求b的值．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】m(m-1)
12.【答案】
/
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】（答案不唯一）
16.【答案】解：小张的解答是正确，
依据第一步“等式的性质”或“等式左右两边同时加（减）同一个数，等式仍然成立．”
第二步“分式的运算”或“同分母的分式加减：分母不变，分子相加减．”
第三步“分式的化简”或“分子分母同时乘以（除以）一个不为零的数，分式大小不变．”

17.【答案】证明：连接交于，连接，如图，
和为的切线，
，
，
垂直平分，
是的直径，
，
，
．

18.【答案】【小题1】
解：∵火箭第二级的引发点的高度为
∴抛物线和直线均经过点
∴，
解得，．
【小题2】
由①知，，
∴
∴最大值
当时，
则
解得，
又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为．
∴不合题意舍去；
∴当火箭第二级高度时，在第二次则
解得
∴这两个位置之间的距离．

19.【答案】【小题1】
证明：如图，连接交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形；
【小题2】
解：∵是等边三角形，且边长为8，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．

20.【答案】【小题1】
【小题2】
由题意可得，（人）
答：专项治理活动前该时段骑电动自行车未佩戴安全头盔的人数为人；
【小题3】
小明分析数据的方法不合理，理由：
专项治理活动后违法载人的百分比为，
专项治理活动后违法载人的百分比为，
，
∴交警部门开展的此次专项活动有效果．

21.【答案】【小题1】
解：如图所示，过点作于点，，，
在中，，，
∴，，
，
，
；
【小题2】
解：当时，云梯顶端到的距离为，
当时，云梯顶端到的距离为，
∴云梯顶端的铅直高度升高的长度．

22.【答案】【小题1】
【小题2】
【小题3】
嘉淇的发现正确，理由如下：


，
，
当n取大于1的整数时，a、b、c为一组勾股数．

23.【答案】【小题1】
解：当时，一次函数解析式为，
，
点是的中点，且，
，
解得，
，
把点代入反比例函数解析式得，，
解得，，
反比例函数解析式为，
把点代入一次函数解析式得，，
解得，，
一次函数解析式为，
联立反比例函数、一次函数解析式得，，
解得，，，
；
【小题2】
解：当时，同理，，
点是的中点，且，
点的横坐标为，纵坐标为，即，
点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，
，，
解得，，，
一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，
联立方程组得，
解得，，，
，
如图所示，过点作轴于点，
，，
，，，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，即，
，
，
整理得，，
，
解得，或，
或，
解得，或；
【小题3】
解：当时，一次函数解析式为，
把点代入得，，
，则，
，则点，，
，
把点代入得，，
，
反比例函数解析式为，
，
解得，，，
，
当时，，即设一次函数与轴交点，
，
同理，，
，
，则，
设直线的解析式为，
，
解得，，
直线的解析式为，
当时，，即，
由勾股定理得：
，
，
，
，
，
，
，
整理得，，
，
当时，，
，，如图所示，
当时，，
，，如图所示，
若，的值为或．

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