6.2第三课时 最短路径问题应用 课件(共26张PPT) 2025-2026学年青岛版七年级数学上册

(共26张PPT)
以梦为马，不负韶华；
前程似锦，未来可期！
最短路径
图形与几何
垂线段最短
青岛版
图形的性质
最短路径
两点之间，线段最短
平行线之间的距离
将军饮马
立体图形展开图的最短路径
整体框架
造桥选址
“最短路径”问题应用
---造桥选址问题
学习目标及重难点
（1）当A村、B村分别在公路l的两侧
l
A
B
C
C1
要在某县公路l旁建一所小学，到A村和B村的距离和最小？
复习旧知
两点之间，线段最短
两点之间，线段最短
依据：
复习旧知
A
B
l
A
B
A′
轴对称---“将军饮马问题”模型
利用“轴对称”化折为直，转化为“两点之间，线段最短”
C
假设点A、B分别是直线l同侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得CA+CB最小？
此县周边有四个村（田楼、张集、威龙山、庞家村）想借文化节拉动经济，县政府决定对这四个村进行道路规划，整合四村资源共同发展。
县城
威龙山
庞家村
田楼
张集
勘察情况如下：
A、B之间有一条河流
B、C之间无公路也无障碍
C、D之间有一条水流量常年不变的窄小溪
为方便数学建模：设田楼、庞家村、张集、威龙山分别为A、B、C、D
C
B
D
A
情景导入
某县举行“魅力旅游文化节”活动
本次设计由于经费预算有限，要尽可能节约经费。
节约经费
转 化
路程最短
C
B
D
①
②
③
A
县城
威龙山
庞家村
田楼
张集
C
B
D
A
已修路线②、① .
数学建模
B
C
②
实际问题
数学问题
转化
解决
★作图依据： .
两点之间，线段最短.
数学建模
C
D
①
运用数学知识解决实际问题的基本流程是什么？
C
B
D
A
③
②
①
抽象成
A
B
C
D
a
b
现准备修建线路③
（八年级下册195页综合与实践）
A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥CD．桥造在何处可使从A到B的路径A-C-D-B最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
思考：修建路线③∵要过河∴
要建桥
（假设河的两岸是平行的）
A
B
任务一 单桥选址（两岸）
A到B的路径A-C-D-B最短
AC+CD+DB的和最小
由于河宽CD是固定的
造桥选址问题
数学问题
a
B
A
b
C
D
转 化
（八年级下册195页综合与实践）
转 化
AC+DB和最小
转化
AC 与 DB不在同一条直线上 怎么利用线段公理？
“平移”
单桥选址（两岸）
l1
A
B
l2
B
l2
A'
D
l1
A
l1
A
B
l2
B'
B
l1
A'
l2
C'
B
A
D'
作法:
1、平移A到A'，使AA'⊥河岸，且等于河宽
2、连接A'B，交河岸于D'，作桥C'D'
3、连接AC'、D'B
（八年级下册195页综合与实践）
C
单桥选址（两岸）
造桥选址问题
两点之间，线段最短
平移定点，化折为直
方法总结
将不在同一条直线上的两条线段利用平移转化到同一条直线，利用“两点之间线段最短”解决问题。
如图，工厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个工厂水平距离是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥（MN)，使工厂A到工厂B的距离最短（河岸是平行的），请画出架桥的位置（不写画法）。
学以致用
任务二 模型总结
（A、B在直线异侧）
（A、B在直线同侧）
A'
A'
C
A’’
平移
轴对称
共端点
异侧
两点之间线段最短
定长线段（异侧与同侧） 使AC+CD+DB和最小
联 系
平移定点，化折为直
在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为OB的中点.线段EF在边OA上移动，保持EF=2，当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.
任务三 定长线段（同侧）
（八下173页第10题）
-2
=_____＋DE＋_____＋CF，
其中固定长为：________________
求
转 化
求
分析：
EF
CD
CD+EF
怎么求？
定长线段（同侧）
（八下173页第10题）
解：
将点C向左平移两个单位记作C'
找点D关于x轴对称的点D'，ED=ED'.连接C'D'，交x轴于点E.
∴求 = =
∵C'（1、4）D'（0、-2）
∴设直线C'D'为y=kx+b (k≠0)，将C'(1、4)D'(0、-2)代入得
∴y=6x-2
∵点E在直线C'D'上，其y=0代入y=6x-2得x=
∴E（ ，0） F（ ，0）.
解得
1、谁是定值？
2、谁是动态的？
3、怎么转化？
如图，抛物线 与x轴交于A（-3，0）,B（1，0）两点，与y轴交于点C(0，3)，OC=OA,AB=4,对称轴为直线 ,将抛物线 绕点O旋转 后得到新抛物线 ，抛物线 与y轴交于点D(0,-3)，顶点为E，对称轴为直线 .
（2）如图1，点F的坐标为（-6，0），动点M在直线 上，过点M作MN∥x轴与直线 交于点N，连接FM,DN.求FM+MN+DN的最小值；
（2024年烟台第24题（2）问）
MN的长度
FM+DN 的和
走进中考
解：
作点D关于 的对称点 （2，-3），将点F向右平移2个单位到 （MN=2）.连接 交直线 于点N，过点N作NM⊥ 交于点M，连接FM.
∵ F∥MN， F=MN ，
则四边形F NM为平行四边形
∴FM= N
则 = N + N +MN
= +2
= +2
= +2
将不在同一条直线上的两条线段利用平移和轴对称转化到同一条直线，利用“两点之间线段最短”解决问题。
课堂小结
造桥选址问题
单桥选址
a
B
A
b
C
D
定长线段
（同侧）
依据
依据
平移定点，化折为直
平移
轴对称
共端点
异侧
两点之间，线段最短
数学模型
抽
象
实际问题
1、如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（　 ）
A
B
C
D
D
达标检测
2、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为 　 ．
---走进中考（2022自贡）
达标检测
基础题：
《导学案1-5题》
提高训练:
《导学案6、7题》
思维拓展:
探讨利用旋转解决最短路径问题（八下198页挑战自我）
分层作业
评价维度 评价标准 自我评价
（合格、良好、优秀）
概念理解 理解造桥选址问题本质（平移的性质；两点之间，线段最短.）
模型识别 快速判断题目是否适用造桥选址模型；区分定长线段（异侧）与同侧
灵活运用 能利用造桥选址求线段和最小值；会利用平移、轴对称+平移变化将复杂问题转化为基本模型.
总结反思 记录典型错题并分析原因；总结技巧方法
自我评价
同学们：
从造桥选址到人生选择，平移最短路径的奥秘教会我们：换个角度，变换方法，看似复杂的问题也能找到简洁答案。
以梦为马，不负韶华；金榜题名，未来可期！
结束语