第三节 万有引力定律的应用
[教材链接] 1.扁平 2.重力 向心力 3.等于
例1 A [解析] 由F=G可知,若将地球看成球形,则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力大小都相等,除两极外,此引力的两个分力一个是物体的重力,另一个是物体随地球自转所需的向心力,在赤道上,向心力最大,重力最小,A正确;地球各处的角速度均等于地球自转的角速度,B错误;只有赤道上物体的向心加速度指向地心,其他位置物体的向心加速度均不指向地心,C错误;地面上物体随地球自转所需的向心力是由物体所受万有引力与地面支持力的合力提供的,D错误.
变式 C [解析] 地球自转不可忽略时,物体受到的万有引力可分解为重力和向心力,所以物体在不同纬度处所受重力不同,在两极时轨道半径为零,向心力为零,此时万有引力等于重力,即F1=,在赤道上时轨道半径为地球半径,有=F2+mω2R,即F1=F2+mω2R,C正确,A、B、D错误.
例2 CD [解析] 由行星的发现历史可知,天王星是通过观测发现的,海王星不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的,而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差,然后运用万有引力定律计算出“新”行星的轨道,从而发现了海王星, 海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位,选项A、B错误,C、D正确.
例3 BC [解析] 地球的密度为ρ=,G=m(R+h),解得M=,ρ=,所以A错误,B正确;空间站运行的角速度为ω=,所以C正确;空间站运行的线速度为v=,所以D错误.
例4 A [解析] 由h=g,解得g=,在月球表面,万有引力近似等于重力,则mg=G=mr,解得月球的半径为r=,故A正确;由g=G,g=,解得M=,故B错误;由ρ==,解得月球的平均密度为ρ=,故C错误;由G=m,g=G,g=,得v==,故D错误.
[科学思维] (1)由G=m,得v=,可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星绕恒星运动的轨道半径共同决定的
(2)无关,因为在G=ma=m=mω2r=mr各项中都含有m,可以消掉.
例5 ABD [解析] 设地球质量为M,核心舱质量为m,核心舱离地球表面高度为h,地球半径为r,核心舱绕地球运动的周期为T.依题意,根据核心舱所受地球的引力提供向心力,可得G=m(r+h),可得地球质量M=,核心舱的运行速度v=,核心舱所处位置的重力加速度g=a=(r+h),故A、B、D正确;由于核心舱的质量未知,所以不能求出核心舱所受地球的引力大小,故C错误.
随堂巩固
1.A [解析] 重力就是由于物体受到地球的吸引而产生的,但重力只是万有引力的一个分力,故A错误.
2.B [解析] 测出地球的公转周期和地球与太阳的距离,根据万有引力提供向心力,只能求出太阳的质量,故①错误;月球绕地球做匀速圆周运动,它受到的地球的万有引力提供向心力,由万有引力定律结合牛顿第二定律得G=m月r,所以地球的质量M=,其中r为地球与月球间的距离,T为月球的公转周期,故②正确;地球表面的物体受到的重力大小近似等于万有引力大小,即mg=G,可求出地球的质量M=,故③正确;测出月球的公转周期及月球的线速度,根据圆周运动公式可得,轨道半径r=,由万有引力定律结合牛顿第二定律得G=m月r,将r=代入可求出地球的质量M,故④正确,选项B正确.
3.A [解析] 根据h=gt2,得星球表面的重力加速度g=,根据G=mg,得星球的质量M==,故A正确.
4.BC [解析] 根据万有引力提供向心力,有G=ma',G=mg,联立可得核心舱的加速度为a=g,故A错误;根据万有引力提供向心力,有G=m,结合GM=gR2,得核心舱运行速度为v=,故B正确;根据万有引力提供向心力,有G=m(R+h),结合GM=gR2,可得核心舱运行周期为T=,故C正确;地球的密度为ρ=,结合GM=gR2,可得ρ=,故D错误.第三节 万有引力定律的应用
1.D [解析] 根据F=G可知,放在赤道和两极上的物体受到地球的万有引力均不变, A、C正确;放在两极上的物体的重力等于万有引力,也不变,D错误;由G-mg=mω2R可知,放在赤道上的物体的重力减小,B正确.
2.B [解析] 设小行星的质量为M,则在极点有=mg1,在赤道有=mg2+mω2R,由上述两个式子解得g1≠g2,故A项错误;对极点处物块受力分析,物块受重力和弹簧弹力,且二者合力为零,所以有F=mg1,故B项正确;由之前的分析可知=F,根据题意有F=mg2,则F=F+mω2R,解得F=mω2R,故C、D错误.
3.B [解析] 根据G=mg可得,M=,故A正确;根据G=mr可得M=,需要知道地球的公转周期而不是自转周期,故B错误;海王星的轨道是利用万有引力定律计算预言的,因此被称为“笔尖下发现的行星”,故C正确;牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象,故D正确.
4.C [解析] 质量为m的宇宙飞船围绕该系外行星做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供宇宙飞船所需的向心力,可得G=mr1,整理可得=,故C正确,D错误.开普勒第三定律仅适用于绕同一中心天体运动的物体,题中系外行星公转和宇宙飞船绕系外行星飞行的中心天体不同,不能使用开普勒第三定律,故A、B错误.
5.B [解析] 根据G=m(R+h),可得地球的质量M=,故选B.
6.BD [解析] 由万有引力提供向心力,可得G=m,解得M=,月球体积V=πR3 ,所以月球平均密度为ρ== ,故A错误,B正确;在月球表面,有G=mg,可解得月球表面重力加速度为g==,故C错误,D正确.
7.C [解析] 地球对“中星6D”卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力,有G=m=m(R+h)=ma,得速度大小为v=,A错误;角速度ω==,B错误;加速度大小a=,C正确;周期为T=2π(R+h),D错误.
8.D [解析] 根据万有引力定律得F=,对地面上的物体,有G=m'g,代入化简得F=,故选D.
9.D [解析] 当压力为零时,G=mR,又M=ρ×πR3,联立解得T=,所以A、B、C错误,D正确.
10.C [解析] 当火箭达到某高度时,对物体由牛顿第二定律可知FN-mg'=ma,解得g'=0.4 m/s2,根据mg=G,mg'=G,解得h=4R,故选C.
11.B [解析] 行星绕太阳做匀速圆周运动,由太阳对行星的引力提供向心力有,G=mω2r=m=mr ,得v=,ω=,T=2π.三颗行星中地球绕太阳运动的半径最小,速度最大,周期最小;三者运行周期分别与其轨道半径的二分之三次方的比值相等;由于三星绕太阳运行角速度不等,所以2023年4月5日凌晨不会再次上演此“星星相吸”现象,A、C错误,B正确.由开普勒第二定律可知,同一行星绕太阳运动过程中,相等时间内行星与太阳的连线扫过相等的面积,D错误.
12.D [解析] 设小球的质量为m,该星球的质量为M,因小球恰好能做完整的圆周运动,在最高点时小球速度为v,则由牛顿第二定律得mg=m,解得g=,对于在该星球表面上质量为m'的物体,万有引力近似等于其重力,有m'g=G,可得M=,故D正确.
13.(1)m(R+h) (2)(R+h)3
(3)(R+h)3
[解析] (1)组合体绕地球运动的周期T=
则所受的万有引力大小为
F=m(R+h)=m(R+h)
(2)根据万有引力提供向心力得
G=m(R+h)
解得地球的质量M=(R+h)3
(3)根据G=mg
解得g==(R+h)3第三节 万有引力定律的应用
学习任务一 万有引力和重力的关系
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空:
1.牛顿大胆预测:地球由于自转作用,赤道部分应该隆起,成为两极 的椭球体.
2.万有引力与重力的关系
万有引力主要产生两大作用效果,一方面是在竖直方向上与物体受到的拉力平衡,另一方面是提供物体随地球一起自转的向心力.因此,可以将引力F分解为F1和F2两个分量,如图所示.分力F1=T,即为 .分力F2=mω2Rcos θ,是物体随地球自转所需的 ,其方向垂直指向地轴.
3.万有引力指向地轴的分力F2实际上特别小,所以一般认为地球附近的物体所受的重力近似 地球对物体的万有引力.
例1 地球可近似看成球形,由于地球表面上物体都随地球自转,所以有 ( )
A.物体在赤道处受到的地球引力等于两极处,而重力小于两极处
B.赤道处的角速度比南纬30°大
C.地球上物体的向心加速度都指向地心,且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D.地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
[反思感悟]
变式 [2024·广州月考] 为探究地球表面万有引力与重力的关系,一科学爱好者用同一弹簧测力计分别在地面的不同纬度位置测量一质量为m的物体所受的重力.假设在两极时,物体静止时竖直方向的弹簧弹力为F1,在赤道上时,物体静止时竖直方向的弹簧弹力为F2.地球自转角速度为ω,设地球为标准的球体,半径为R,质量为M,引力常量为G.则以下表达式正确的是 ( )
A.F1=F2
B.F2=
C.F1=F2+mω2R
D.=ω2R
【要点总结】
1.“地上的物体”的重力与万有引力的关系
(1)极点:向心力F'=0,重力最大,由mgmax=G知,重力加速度最大值gmax=,方向指向地心.
(2)赤道处:向心力F'=mω2R最大,重力最小.由mgmin+mω2R=G知,重力加速度最小值gmin=-ω2R,方向指向地心.
(3)从两极到赤道,随着纬度减小,向心力F'=mω2R'增大,F'与F引之间的夹角减小,所以重力mg在减小,重力加速度减小.
(4)地球自转角速度非常小,通常可忽略地球自转,认为mg=G.
2.“天上的物体”的重力与万有引力的关系
“天上的物体”就是指在空中的物体,忽略地球自转,物体的重力等于物体在空中受到的万有引力.mg'=G,g'=,高度h越大,重力加速度g'越小.
学习任务二 预测未知天体
[质疑创新] 海王星被称为“笔尖下发现的行星”,原因就是计算出来的轨道和预测的位置跟实际观测的结果非常接近.在18世纪,人们已经知道太阳系有7颗行星,而天王星的运动轨道与万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差.科学家大胆预测未知行星的存在,根据万有引力定律计算出了这颗“新”行星的轨道并在这轨道附近发现了它.
例2 (多选)下列说法正确的是 ( )
A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C.海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位
D.天王星的运动轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差,其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用,由此,人们发现了海王星
学习任务三 估算天体的质量
考向一 环绕法求中心天体的质量
若已知环绕天体的轨道半径r和周期T,以及引力常量G,将天体的运动近似看成匀速圆周运动,天体所需的向心力都来自万有引力,可得M=.
例3 (多选)[2024·广雅中学月考] 2021年12月9日下午,“天宫课堂”第一课在太空“教室”中国空间站正式开讲并直播.若中国空间站的轨道离地球表面高度为h,绕地球运行周期为T,地球半径为R,引力常量为G,则 ( )
A.地球密度为ρ=
B.地球质量为M=
C.中国空间站运行的角速度为ω=
D.中国空间站运行的线速度为v=
[反思感悟]
考向二 重力加速度法求中心天体的质量
若已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g,以及引力常量G,根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力,有mg=G,得中心天体质量为M=.
例4 在未来的某一天,我国载人探月飞船嫦娥X号飞临月球,先在月球表面附近的圆轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动,然后逐渐调整并安全登月.宇航员出舱后沿竖直方向做了一次跳跃,不计空气阻力,他腾空的高度为h,腾空时间为t,引力常量为G.由此可计算出( )
A.月球的半径为
B.月球的质量为
C.月球的平均密度为
D.飞船在近月圆轨道上运行的线速度大小为
学习任务四 天体运行参量的分析与计算
[科学思维] 行星在围绕太阳做匀速圆周运动.
(1)行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的
(2)行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗
例5 (多选)2022年4月16日,“神舟十三号”载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,“神舟十三号”载人飞行任务取得圆满成功.航天员进驻“天和”核心舱,期间开展了机械臂操作、出舱活动、舱段转移等工作,进一步验证航天员长期在轨驻留、再生生保等一系列关键技术.“天和”核心舱距离地面的高度约400 km,绕地球的运动可近似为圆周运动,运动一周约1.5 h.已知引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2,地球半径约6400 km.根据以上信息可估算出 ( )
A.地球的质量
B.核心舱的运行速度
C.核心舱所受地球的引力
D.核心舱所处位置的重力加速度
【要点总结】
1.基本思路
一般行星或卫星的运动可看成匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供,即F万=F向.
2.常用关系
(1)万有引力提供行星或卫星做匀速圆周运动的向心力,有G=m=mω2r=mr=mωv=ma.
(2)在天体表面物体的重力近似等于它受到的万有引力,即mg=G,可得gR2=Gm中,该公式称为“黄金代换式”.
1.(万有引力与重力的关系)关于重力和万有引力的关系,下列认识错误的是 ( )
A.地球表面的物体所受的重力就是万有引力
B.重力是由于物体受到地球的吸引而产生的
C.在不太精确的计算中,可以认为地球表面的物体的重力大小等于所受万有引力的大小
D.严格来说,除两极处物体的重力大小等于所受万有引力的大小外,在地球表面其他各处的重力都略小于所受万有引力
2.(计算天体的质量)已知引力常量G,下列各组数据测出后能估算出地球质量的是( )
①地球到太阳的距离及地球的公转周期
②月球到地球的距离及月球的公转周期
③地球表面的重力加速度及地球半径
④月球的公转周期及月球的线速度
A.①③④ B.②③④
C.②③ D.③④
3.(计算中心天体的质量)宇航员站在某一星球上距离星球表面h高度处以初速度v0沿水平方向抛出一个小球,经过时间t,小球落到星球表面.不计空气阻力,已知该星球的半径为R,引力常量为G,则该星球的质量为 ( )
A. B. C. D.
4.(天体运行参量的分析与计算)(多选)[2024·深圳中学月考] 2022年6月5日神舟十四号载人飞船成功发射,宇航员陈冬、刘洋和蔡旭哲顺利进驻空间站天和核心舱,正式开启为期6个月的在轨驻留(如图所示),已知天和核心舱绕地球运行近似为匀速圆周运动,离地面高度为h、地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,地球看作匀质球体,忽略地球的自转,下列说法正确的是 ( )
A.核心舱的加速度为g
B.核心舱运行速度为
C.核心舱运行周期为
D.地球的密度为第三节 万有引力定律的应用建议用时:40分钟
◆ 知识点一 重力与万有引力的关系
1.假如地球的自转角速度增大,则下列说法错误的是 ( )
A.放在赤道上的物体受到地球的万有引力不变
B.放在赤道上的物体的重力减小
C.放在两极上的物体受到地球的万有引力不变
D.放在两极上的物体的重力减小
2.[2024·普宁期中] 设宇宙中有一自转角速度为ω、半径为R、质量分布均匀的小行星.在小行星上用弹簧测力计称量某一质量为m的物块,在极点处弹簧测力计的示数为F,此处重力加速度大小为g1;在赤道处弹簧测力计的示数为F,此处重力加速度大小为g2,则下列关系式正确的是 ( )
A.g2=g1 B.F=mg1
C.F=mω2R D.F=mω2R
◆ 知识点二 预测未知天体
3.[2024·山东青岛一中月考] 下列关于万有引力定律理论成就的说法,错误的是 ( )
A.已知地球的半径、地球表面的重力加速度和引力常量,可以“称量”出地球的质量
B.已知地球的公转轨道半径、地球的自转周期和引力常量,可以估算出太阳的质量
C.海王星的轨道是利用万有引力定律计算预言的,因此被称为“笔尖下发现的行星”
D.牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象4.[2024·广州中学月考] 瑞士天文学家迪迪埃·奎洛兹(Didier Queloz)因为发现了围绕其他类太阳恒星运行的系外行星而获得了2019年诺贝尔物理学奖.假设某一系外行星的半径为R,质量为M,公转半径为r,公转周期为T.一质量为m的宇宙飞船围绕该系外行星做匀速圆周运动,运转轨道半径为r1,运转周期为T1.不考虑其他天体的影响,已知引力常量为G,则有 ( )
A.= B.=
C.= D.=
◆ 知识点三 天体质量和密度的计算
5.[2024·高州中学月考] 2022年10月15日,我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭,成功将“遥感三十六号”卫星顺利送入预定轨道,发射任务获得圆满成功.该卫星绕地球做匀速圆周运动,运行的周期为T,运行轨道离地球表面的高度为h,地球的半径为R,引力常量为G,则地球的质量可表示为 ( )
A. B.
C. D.
6.(多选)[2024·长沙一中月考] “嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时,轨道半径为r,速度大小为v.已知月球半径为R,引力常量为G,忽略月球自转的影响.下列选项正确的是( )
A.月球平均密度为
B.月球平均密度为
C.月球表面重力加速度为
D.月球表面重力加速度为
◆ 知识点四 天体运行参量的分析与计算
7.2022年4月,我国在西昌卫星发射中心成功发射了“中星6D”卫星.“中星6D”卫星升空,增强了中国卫星广播电视传输核心保障力量.“中星6D”的质量为m、运行轨道距离地面高度为h.已知地球的质量为m地,半径为R,引力常量为G,据以上信息可知“中星6D”在轨道上运行时 ( )
A.速度的大小为
B.角速度的大小为
C.加速度的大小为
D.周期为2πR
8.[2024·石家庄正定中学月考] 2021年11月5日,太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭将一颗广目地球科学卫星成功送入轨道,已知卫星在轨道上做匀速圆周运动,引力常量为G,地球半径为R、卫星质量为m,地球表面重力加速度为g,该卫星离地面高度为h,则该卫星所受万有引力为 ( )
A.F=mg B.F=
C.F= D.F=
9.一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上.已知引力常量为G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零,则天体自转周期为 ( )
A. B.
C. D.
10.[2024·珠海二中月考] 在以加速度a=5 m/s2加速竖直上升的火箭中,有一个质量为5 kg的物体放在其工作平台上.当火箭上升到某一高度时,工作平台受到的压力大小为27 N,已知地球半径为R,地球表面的重力加速度g取10 m/s2,则此时火箭离地面的高度为 ( )
A.2R B.3R
C.4R D.5R
11.[2024·佛山期末] 2022年4月5日凌晨,火星与土星在太空上演“星星相吸”的天文好戏. 即地球、火星和土星排成近似一条直线,如图所示.则( )
A.2023年4月5日凌晨会再次上演此“星星相吸”现象
B.三颗行星中地球绕太阳运动的速度最大
C.三颗行星的运行周期分别与其轨道半径的比值相等
D.三颗行星与太阳的连线在相同时间扫过的面积相等
12.假如人类发现了某星球,人类登上该星球后,进行了如下实验:在固定的竖直光滑圆轨道内部,一小球恰好能做完整的圆周运动,小球在最高点时的速度为v,轨道半径为r.不计空气阻力,若已测得该星球的半径为R,引力常量为G,则该星球的质量为 ( )
A. B. C. D.
13.[2024·石家庄一中月考] 2021年10月16日,我国成功发射了神舟十三号载人飞船,与空间站组合体完成自主快速交会对接,为我国空间站后续建造及运营任务奠定基础.已知“神舟十三号”与空间站组合体完成对接后在轨道上的运动,可视为匀速圆周运动,它们飞行n圈所用时间为t.已知它们的总质量为m,它们距地面的高度为h,地球半径为R,引力常量为G.求:
(1)“神舟十三号”与空间站组合体对接后,地球对它们的万有引力大小F;
(2)地球的质量M;
(3)地球表面的重力加速度大小g.(共46张PPT)
第三节 万有引力定律的应用
学习任务一 万有引力和重力的关系
学习任务二 预测未知天体
学习任务三 估算天体的质量
学习任务四 天体运行参量的分析与计算
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
学习任务一 万有引力和重力的关系
［教材链接］ 阅读教材，完成下列填空:
1.牛顿大胆预测：地球由于自转作用，赤道部分应该隆起，成为两极______的椭球体.
扁平
2.万有引力与重力的关系
万有引力主要产生两大作用效果，一方面是在竖直方向上与物体受到的拉力平衡，另一方面是提供物体随地球一起自转的向心力.因此，可以将引力分解为和两个分量，如图所示.分力，即为______.分力 ，是物体随地球自转所需的________，其方向垂直指向地轴.
重力
向心力
3.万有引力指向地轴的分力实际上特别小，所以一般认为地球附近的物体所受的重力近似______地球对物体的万有引力.
等于
例1 地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A
A.物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B.赤道处的角速度比南纬 大
C.地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D.地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
[解析] 由可知，若将地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力大小都相等，除两极外，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力，在赤道上，向心力最大，重力最小，A正确；地球各处的角速度均等于地球自转的角速度，B错误；只有赤道上物体的向心加速度指向地心，其他位置物体的向心加速度均不指向地心，C错误；地面上物体随地球自转所需的向心力是由物体所受万有引力与地面支持力的合力提供的，D错误.
变式 [2024·广州月考] 为探究地球表面万有引力与重力的关系，一科学爱好者用同一弹簧测力计分别在地面的不同纬度位置测量一质量为的物体所受的重力.假设在两极时，物体静止时竖直方向的弹簧弹力为，在赤道上时，物体静止时竖直方向的弹簧弹力为.地球自转角速度为 ，设地球为标准的球体，半径为，质量为，引力常量为.则以下表达式正确的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 地球自转不可忽略时，物体受到的万有引力可分解为重力和向心力，所以物体在不同纬度处所受重力不同，在两极时轨道半径为零，向心力为零，此时万有引力等于重力，即，在赤道上时轨道半径为地球半径，有，即，C正确，A、B、D错误.
【要点总结】
1.“地上的物体”的重力与万有引力的关系
(1)极点：向心力，重力最大，由知，重力加速度最大值，方向指向地心.
(2)赤道处：向心力最大，重力最小.由知，重力加速度最小值，方向指向地心.
(3)从两极到赤道，随着纬度减小，向心力增大，与之间的夹角减小，所以重力在减小，重力加速度减小.
(4)地球自转角速度非常小，通常可忽略地球自转，认为.
2.“天上的物体”的重力与万有引力的关系
“天上的物体”就是指在空中的物体，忽略地球自转，物体的重力等于物体在空中受到的万有引力.，，高度越大，重力加速度越小.
学习任务二 预测未知天体
［质疑创新］ 海王星被称为“笔尖下发现的行星”，原因就是计算出来的轨道和预测的位置跟实际观测的结果非常接近.在18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，而天王星的运动轨道与万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差.科学家大胆预测未知行星的存在，根据万有引力定律计算出了这颗“新”行星的轨道并在这轨道附近发现了它.
例2 (多选)下列说法正确的是( )
CD
A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C.海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位
D.天王星的运动轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星
[解析] 由行星的发现历史可知，天王星是通过观测发现的，海王星不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”行星的轨道，从而发现了海王星，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，选项A、B错误，C、D正确.
学习任务三 估算天体的质量
考向一 环绕法求中心天体的质量
若已知环绕天体的轨道半径和周期，以及引力常量，将天体的运动近似看成匀速圆周运动,天体所需的向心力都来自万有引力,可得.
例3 (多选)[2024·广雅中学月考] 2021年12月9日下午，“天宫课堂”第一课在太空“教室”中国空间站正式开讲并直播.若中国空间站的轨道离地球表面高度为，绕地球运行周期为，地球半径为，引力常量为，则( )
BC
A.地球密度为 B.地球质量为
C.中国空间站运行的角速度为 D.中国空间站运行的线速度为
[解析] 地球的密度为，，解得，，所以A错误，B正确；空间站运行的角速度为，所以C正确；空间站运行的线速度为，所以D错误.
考向二 重力加速度法求中心天体的质量
若已知中心天体的半径和中心天体表面的重力加速度,以及引力常量，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力,有,得中心天体质量为.
例4 在未来的某一天，我国载人探月飞船嫦娥号飞临月球，先在月球表面附近的圆轨道上绕月球做周期为的匀速圆周运动，然后逐渐调整并安全登月.宇航员出舱后沿竖直方向做了一次跳跃，不计空气阻力，他腾空的高度为，腾空时间为，引力常量为.由此可计算出( )
A
A.月球的半径为
B.月球的质量为
C.月球的平均密度为
D.飞船在近月圆轨道上运行的线速度大小为
[解析] 由，解得，在月球表面，万有引力近似等于重力，则，解得月球的半径为，故A正确；由，，解得，故B错误；由，解得月球的平均密度为，故C错误；由，，，得，故D错误.
学习任务四 天体运行参量的分析与计算
［科学思维］ 行星在围绕太阳做匀速圆周运动.
(1) 行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？
[答案] 由，得，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星绕恒星运动的轨道半径共同决定的
(2) 行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？
[答案] 无关，因为在各项中都含有，可以消掉.
例5 (多选)2022年4月16日，“神舟十三号”载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，“神舟十三号”载人飞行任务取得圆满成功.航天员进驻“天和”核心舱，期间开展了机械臂操作、出舱活动、舱段转移等工作，进一步验证航天员长期在轨驻留、再生生保等一系列关键技术.“天和”核心舱距离地面的高度约，绕地球的运动可近似为圆周运动，运动一周约.已知引力常量为，地球半径约.根据以上信息可估算出( )
ABD
A.地球的质量 B.核心舱的运行速度
C.核心舱所受地球的引力 D.核心舱所处位置的重力加速度
[解析] 设地球质量为，核心舱质量为，核心舱离地球表面高度为，地球半径为，核心舱绕地球运动的周期为.依题意，根据核心舱所受地球的引力提供向心力，可得，可得地球质量，核心舱的运行速度，核心舱所处位置的重力加速度，故A、B、D正确；由于核心舱的质量未知，所以不能求出核心舱所受地球的引力大小，故C错误.
【要点总结】
1.基本思路
一般行星或卫星的运动可看成匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即.
2.常用关系
(1)万有引力提供行星或卫星做匀速圆周运动的向心力，有.
(2)在天体表面物体的重力近似等于它受到的万有引力，即,可得，该公式称为“黄金代换式”.
1.地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为;假设月球绕地球做匀速圆周运动,轨道半径为,向心加速度为.已知引力常量为,地球半径为.下列说法中正确的是( )
A
A.地球质量 B.地球质量
C.地球赤道表面处的重力加速度 D.向心加速度之比
[解析] 根据万有引力充当向心力,有,解得地球质量,选项A正确,B错误;设地球表面赤道处物体受到的支持力为,由牛顿第二定律有,其中,则地球表面赤道处的重力加速度,选项C错误;由于地球表面赤道处物体是由于地球自转而做匀速圆周运动,故向心加速度不与半径的二次方成反比,选项D错误.
2.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为的物体的重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为，已知引力常量为，忽略该行星的自转，则这颗行星的质量为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设星球半径为，星球质量为，卫星质量为，卫星做圆周运动向心力由万有引力提供，即，而星球表面物体所受的重力大小等于万有引力，即,联立解得星球质量，故B正确.
3.天文学上常利用环绕星的运动了解中心星的一些特点，随着梦天实验舱的发射成功，我国的空间站已搭建完成，若知道我国空间站距地面的高度为，每经过时间绕地球转一圈，地球半径为，引力常量为，则可求出地球的密度 为( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 根据，，解得，故选B.
1.(万有引力与重力的关系)关于重力和万有引力的关系，下列认识错误的是( )
A
A.地球表面的物体所受的重力就是万有引力
B.重力是由于物体受到地球的吸引而产生的
C.在不太精确的计算中，可以认为地球表面的物体的重力大小等于所受万有引力的大小
D.严格来说，除两极处物体的重力大小等于所受万有引力的大小外，在地球表面其他各处的重力都略小于所受万有引力
[解析] 重力就是由于物体受到地球的吸引而产生的，但重力只是万有引力的一个分力，故A错误.
2.(计算天体的质量)已知引力常量，下列各组数据测出后能估算出地球质量的是( )
B
①地球到太阳的距离及地球的公转周期 ②月球到地球的距离及月球的公转周期
③地球表面的重力加速度及地球半径 ④月球的公转周期及月球的线速度
A.①③④ B.②③④ C.②③ D.③④
[解析] 测出地球的公转周期和地球与太阳的距离,根据万有引力提供向心力,只能求出太阳的质量,故①错误;月球绕地球做匀速圆周运动,它受到的地球的万有引力提供向心力,由万有引力定律结合牛顿第二定律得,所以地球的质量,其中为地球与月球间的距离,为月球的公转周期，故②正确;地球表面的物体受到的重力大小近似等于万有引力大小,即,可求出地球的质量,故③正确;测出月球的公转周期及月球的线速度,根据圆周运动公式可得,轨道半径,由万有引力定律结合牛顿第二定律得,将代入可求出地球的质量,故④正确,选项B正确.
3.(计算中心天体的质量)宇航员站在某一星球上距离星球表面高度处以初速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间，小球落到星球表面.不计空气阻力，已知该星球的半径为，引力常量为，则该星球的质量为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 根据，得星球表面的重力加速度,根据，得星球的质量,故A正确.
4.(天体运行参量的分析与计算)(多选)[2024·深圳中学月考] 2022年6月5日神舟十四号载人飞船成功发射，宇航员陈冬、刘洋和蔡旭哲顺利进驻空间站天和核心舱，正式开启为期6个月的在轨驻留(如图所示)，已知天和核心舱绕地球运行近似为匀速圆周运动，离地面高度为、地球半径为，地球表面的重力加速度为，引力常量为，地球看作匀质球体，忽略地球的自转，下列说法正确的是( )
BC
A.核心舱的加速度为 B.核心舱运行速度为
C.核心舱运行周期为 D.地球的密度为
[解析] 根据万有引力提供向心力，有，，联立可得核心舱的加速度为，故A错误；根据万有引力提供向心力，有，结合，得核心舱运行速度为，故B正确；根据万有引力提供向心力，有，结合，可得核心舱运行周期为，故C正确；地球的密度为，结合，可得，故D错误.
知识点一 重力与万有引力的关系
1.假如地球的自转角速度增大，则下列说法错误的是( )
D
A.放在赤道上的物体受到地球的万有引力不变
B.放在赤道上的物体的重力减小
C.放在两极上的物体受到地球的万有引力不变
D.放在两极上的物体的重力减小
[解析] 根据可知，放在赤道和两极上的物体受到地球的万有引力均不变，、C正确；放在两极上的物体的重力等于万有引力，也不变，D错误；由可知，放在赤道上的物体的重力减小，B正确.
2.[2024·普宁期中] 设宇宙中有一自转角速度为 、半径为、质量分布均匀的小行星.在小行星上用弹簧测力计称量某一质量为的物块，在极点处弹簧测力计的示数为，此处重力加速度大小为；在赤道处弹簧测力计的示数为，此处重力加速度大小为，则下列关系式正确的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设小行星的质量为，则在极点有，在赤道有，由上述两个式子解得，故A项错误；对极点处物块受力分析，物块受重力和弹簧弹力，且二者合力为零，所以有，故B项正确；由之前的分析可知，根据题意有，则，解得，故C、D错误.
知识点二 预测未知天体
3.[2024·山东青岛一中月考] 下列关于万有引力定律理论成就的说法，错误的是( )
B
A.已知地球的半径、地球表面的重力加速度和引力常量，可以“称量”出地球的质量
B.已知地球的公转轨道半径、地球的自转周期和引力常量，可以估算出太阳的质量
C.海王星的轨道是利用万有引力定律计算预言的，因此被称为“笔尖下发现的行星”
D.牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象
[解析] 根据可得，，故A正确；根据可得，需要知道地球的公转周期而不是自转周期，故B错误；海王星的轨道是利用万有引力定律计算预言的，因此被称为“笔尖下发现的行星”，故C正确；牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象，故D正确.
4.[2024·广州中学月考] 瑞士天文学家迪迪埃·奎洛兹因为发现了围绕其他类太阳恒星运行的系外行星而获得了2019年诺贝尔物理学奖.假设某一系外行星的半径为，质量为，公转半径为，公转周期为.一质量为的宇宙飞船围绕该系外行星做匀速圆周运动，运转轨道半径为，运转周期为.不考虑其他天体的影响，已知引力常量为，则有( )
C
A. B. C. D.
[解析] 质量为的宇宙飞船围绕该系外行星做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供宇宙飞船所需的向心力，可得，整理可得，故C正确，D错误.开普勒第三定律仅适用于绕同一中心天体运动的物体，题中系外行星公转和宇宙飞船绕系外行星飞行的中心天体不同，不能使用开普勒第三定律，故A、B错误.
知识点三 天体质量和密度的计算
5.[2024·高州中学月考] 2022年10月15日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭，成功将“遥感三十六号”卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星绕地球做匀速圆周运动，运行的周期为，运行轨道离地球表面的高度为，地球的半径为，引力常量为，则地球的质量可表示为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 根据，可得地球的质量，故选B.
6.(多选)[2024·长沙一中月考] “嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为，速度大小为.已知月球半径为，引力常量为，忽略月球自转的影响.下列选项正确的是( )
BD
A.月球平均密度为 B.月球平均密度为
C.月球表面重力加速度为 D.月球表面重力加速度为
[解析] 由万有引力提供向心力，可得，解得，月球体积 ，所以月球平均密度为 ，故A错误，B正确；在月球表面，有，可解得月球表面重力加速度为，故C错误，D正确.
知识点四 天体运行参量的分析与计算
7.2022年4月，我国在西昌卫星发射中心成功发射了“中星”卫星.“中星”卫星升空，增强了中国卫星广播电视传输核心保障力量.“中星”的质量为、运行轨道距离地面高度为.已知地球的质量为，半径为，引力常量为，据以上信息可知“中星”在轨道上运行时( )
C
A.速度的大小为 B.角速度的大小为
C.加速度的大小为 D.周期为
[解析] 地球对“中星”卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有，得速度大小为，A错误；角速度，B错误；加速度大小，C正确；周期为，D错误.
8.[2024·石家庄正定中学月考] 2021年11月5日，太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭将一颗广目地球科学卫星成功送入轨道，已知卫星在轨道上做匀速圆周运动，引力常量为，地球半径为、卫星质量为，地球表面重力加速度为，该卫星离地面高度为，则该卫星所受万有引力为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 根据万有引力定律得，对地面上的物体，有，代入化简得，故选D.
9.一物体静置在平均密度为 的球形天体表面的赤道上.已知引力常量为,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零,则天体自转周期为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 当压力为零时，,又,联立解得,所以A、B、C错误，D正确.
10.[2024·珠海二中月考] 在以加速度加速竖直上升的火箭中，有一个质量为的物体放在其工作平台上.当火箭上升到某一高度时，工作平台受到的压力大小为，已知地球半径为，地球表面的重力加速度取，则此时火箭离地面的高度为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 当火箭达到某高度时，对物体由牛顿第二定律可知，解得，根据，，解得，故选C.
11.[2024·佛山期末] 2022年4月5日凌晨，火星与土星在太空上演“星星相吸”的天文好戏. 即地球、火星和土星排成近似一条直线，如图所示.则( )
B
A.2023年4月5日凌晨会再次上演此“星星相吸”现象
B.三颗行星中地球绕太阳运动的速度最大
C.三颗行星的运行周期分别与其轨道半径的比值相等
D.三颗行星与太阳的连线在相同时间扫过的面积相等
[解析] 行星绕太阳做匀速圆周运动，由太阳对行星的引力提供向心力有，，得，，.三颗行星中地球绕太阳运动的半径最小，速度最大，周期最小；三者运行周期分别与其轨道半径的二分之三次方的比值相等；由于三星绕太阳运行角速度不等，所以2023年4月5日凌晨不会再次上演此“星星相吸”现象，A、C错误，B正确.由开普勒第二定律可知，同一行星绕太阳运动过程中，相等时间内行星与太阳的连线扫过相等的面积，D错误.
12.假如人类发现了某星球，人类登上该星球后，进行了如下实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部，一小球恰好能做完整的圆周运动，小球在最高点时的速度为，轨道半径为.不计空气阻力，若已测得该星球的半径为，引力常量为，则该星球的质量为 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设小球的质量为，该星球的质量为，因小球恰好能做完整的圆周运动，在最高点时小球速度为，则由牛顿第二定律得，解得，对于在该星球表面上质量为的物体，万有引力近似等于其重力，有，可得，故D正确.
13.[2024·石家庄一中月考] 2021年10月16日,我国成功发射了神舟十三号载人飞船,与空间站组合体完成自主快速交会对接,为我国空间站后续建造及运营任务奠定基础.已知“神舟十三号”与空间站组合体完成对接
(1) “神舟十三号”与空间站组合体对接后,地球对它们的万有引力大小;
[答案]
[解析] 组合体绕地球运动的周期
则所受的万有引力大小为
后在轨道上的运动,可视为匀速圆周运动,它们飞行圈所用时间为.已知它们的总质量为,它们距地面的高度为,地球半径为,引力常量为.求:
(2) 地球的质量;
[答案]
[解析] 根据万有引力提供向心力得
解得地球的质量
(3) 地球表面的重力加速度大小.
[答案]
[解析] 根据
解得
