专题课:天体运动综合问题
[科学思维] 在绕地球运动的轨道上加速,使飞船做离心运动,飞船转移到奔月轨道;要进入绕月球运动的轨道,飞船应减速.
例1 AD [解析] 由低轨道进入高轨道,即由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要加速做离心运动,A正确;轨道Ⅰ的半径小于轨道Ⅲ的半径,根据开普勒第三定律,可知“神舟十二号”飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于“天和”核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期,B错误;“神舟十二号”飞船沿轨道Ⅱ运动到对接点P的过程中,根据开普勒第二定律,可知速度越来越小,C错误;根据开普勒第三定律可知=,解得T2=T1,D正确.
变式1 BD [解析] “嫦娥三号”在环地球轨道上的运行速度总小于第一宇宙速度,A错误;“嫦娥三号”需在M点点火加速才能进入地月转移轨道,B正确;由a=知,“嫦娥三号”在经过圆轨道a上的N点和经过椭圆轨道b上的N点时的加速度相等,C错误;“嫦娥三号”要从b轨道转移到a轨道,需要在N点减速,D正确.
[科学探究] (1)万有引力 (2)角速度
例2 (1)m2∶m1 (2)m2∶m1 (3)
[解析] (1)这两个天体必须各自以一定的速度绕某点匀速转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起,从而保持两天体之间的距离L不变,且两者做匀速圆周运动的角速度ω相同.设两者轨迹圆的圆心为O,A的轨道半径为R1,B的轨道半径为R2,由万有引力提供向心力得
G=m1ω2R1
G=m2ω2R2
解得=.
(2)因为v=ωR,所以==.
(3)由几何关系知R1+R2=L
联立解得ω=.
变式2 AC [解析] 由于二者绕连线上同一点做匀速圆周运动,二者角速度相等,又由彼此间的万有引力提供向心力,二者做圆周运动的向心力之比为1∶1,故有mAω2rA=mBω2rB,解得==,故A、C正确,B错误;由线速度与角速度的关系可知,当角速度相同时,二者做圆周运动的线速度与半径成正比,故二者线速度之比为1∶n,故D错误.
例3 (1)1∶8 (2)2∶1 (3)
[解析] (1)卫星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,对于地面上物体,重力与万有引力相等,有
G=m0g
对于a卫星有G=maR
解得Ta=2π
对于b卫星有G=mb(3R+R)
解得Tb=16π
则=1∶8.
(2)卫星做匀速圆周运动,万有引力提供圆周运动向心力
对于a卫星有G=ma
可得va=
对于b卫星有G=mb,
可得vb=
所以=2∶1.
(3)当两卫星转过的角度相差半个圆周时相距最远,故相距最远的条件为t-t=π
代入a和b的周期可解得t=.
变式3 B [解析] 以火星与地球的“冲日”为例,设相邻两次“冲日”时间间隔为t,根据t=2π和开普勒第三定律=,可以计算得t=2.2年≈803天,选项B正确,A错误;同理可知,天王星与地球相邻两次“冲日”的时间间隔约为369天,选项C、D错误.
随堂巩固
1.B [解析] 在飞船绕地飞行的三圈内,轨道半长轴越来越大,根据开普勒第三定律可知,后一圈比前一圈用时多,A错误;变轨提升高度是离心运动,必须通过加速才能实现,B正确;绕地飞行的卫星圆周运动的最大速度为7.9 km/s,C错误;对接后的三舱(船)组合体与对接前的二舱(船)组合体在同一轨道上,根据a=可知,加速度大小相同,D错误.
2.A [解析] 设两星轨道半径分别为r1、r2,由=Mω2r1=mω2r2,得r1∶r2=m∶M=1∶7,选项A正确;两星角速度相同,选项B错误;线速度v=ωr,则v1∶v2=1∶7,选项C错误;两星间的万有引力是相互作用力,大小相等,双星系统中的向心力由万有引力提供,故F1∶F2=1∶1,选项D错误.
3.B [解析] 设太阳质量为M,行星质量为m,轨道半径为r,周期为T,加速度为a.对行星由牛顿第二定律可得G=ma=mr,解得a=,T=2π,由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍,因此,木星运行的加速度比地球的小,木星运行的周期比地球的大,故C、D错误;地球公转周期T1=1年,由T=2π可知,木星公转周期T2=T1≈11.2年.设经时间t,再次出现“木星冲日”,则有ω1t-ω2t=2π,其中ω1=,ω2=,解得t≈1.1年,因此下一次“木星冲日”发生在2023年,故A错误,B正确. 专题课:天体运动综合问题
1.B [解析] 根据开普勒第二定律可知,卫星在近地点速度大,在远地点速度小,所以v1>v2;卫星经过近地点做圆周运动的速度为v= ,由于“东方红一号”在近地点做离心运动,所以v1>,故B正确.
2.D [解析] 11.2 km/s是第二宇宙速度,是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度,故该卫星的发射速度一定小于11.2 km/s,A错误;地球静止同步卫星的轨道在赤道上空,该卫星的同步轨道Ⅱ不可以在杭州正上方,B错误;根据卫星变轨的原理可知,卫星在轨道Ⅰ上的Q点需加速,才能进入轨道Ⅱ,所以该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点处速度大小不相等,C错误;由a=知该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点处加速度相等,D正确.
3.A [解析] “天问一号” 在P点制动后进入轨道Ⅱ运动,故“天问一号”在轨道Ⅰ上P点的速度大于在轨道Ⅱ上P点的速度,故vⅠ>vⅡ;“天问一号”的加速度是由万有引力提供的,由F==ma,可知在同一点,万有引力使“天问一号”产生的加速度相同,故aⅠ=aⅡ,A正确,B、C、D错误.
4.C [解析] 黑洞和恒星组成双星系统,根据双星系统的特点可知,黑洞与恒星的向心力都等于黑洞和恒星之间的万有引力,转动的角速度、周期相等,故A、B错误,C正确;根据牛顿第二定律a=,可知黑洞与恒星的加速度大小之比为==,故D错误.
5.A [解析] 在双星系统中,双星的角速度和周期都相同,故B、D错误;由于双星系统中,双星间的万有引力提供圆周运动的向心力,则=m1ω2r1,=m2ω2r2,解得m1∶m2=r2∶r1=2∶3,故C错误;双星的角速度相同,由v=ωr知v1∶v2=r1∶r2=3∶2,故A正确.
6.A [解析] 设该黑洞的半径为R,根据题意可得G=m,对围绕黑洞运行的星体有G=m'r,联立解得R=,故选A.
7.ABD [解析] 卫星绕行星做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力得G=mr,解得M=,因为T甲=4T乙,R甲=2R乙,r甲=2R甲,r乙=2R乙,得甲、乙两行星的质量之比为1∶2,根据V=,ρ=,可得甲、乙两行星的密度之比为1∶16,A正确;根据G=m,可得v=,甲、乙两行星第一宇宙速度之比为1∶2,B正确;根据G=mg,解得g=,甲、乙两行星表面的重力加速度之比为1∶8,C错误;根据G=mω2r,解得ω=,环绕甲、乙两行星运行的两卫星的角速度之比为1∶4,D正确.
8.D [解析] 根据G=mg,可知g月=G≈g,故A错误;登月火箭的发射没有脱离地球束缚,速度应小于11.2 km/s,故B错误;根据G=m,可得地球第一宇宙速度v==7.9 km/s,同理可得,月球第一宇宙速度v月==v≈1.68 km/s,故飞船返回地球时从月球发射的速度应大于1.68 km/s,故C错误;根据G=mR月,ρ月==,可得ρ月=,故月球密度ρ月=,故D正确.
9.A [解析] 根据开普勒第三定律可知,探测器在轨道Ⅰ、Ⅱ上的运动周期之比===3∶4,故A正确;根据万有引力提供向心力有=ma,探测器在轨道Ⅰ、Ⅲ上的加速度之比===1∶9,故B错误;探测器在轨道Ⅰ上经过B点时需要减速做近心运动,才能变轨到轨道Ⅱ,故探测器在轨道Ⅰ上运行速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度,故C错误;探测器在地月转移轨道上经过A点时需要减速做近心运动,应向前喷气实施变轨,故D错误.
10.C [解析] 黑洞A与黑洞B绕O点转动,相同时间内转过的角度相同,所以,二者的角速度相等,设它们间的距离为L,角速度为ω,根据牛顿第二定律得G=M1ω2·OA,G=M2ω2·OB,联立得M1·OA=M2·OB,由题图乙知OA>OB,所以M1
11.(1) (2) (3)-R
[解析] (1)在地球表面附近,由万有引力定律,得F=.
(2)卫星环绕地球飞行,万有引力提供向心力,有
=m
则第一宇宙速度v=.
(3)设卫星的同步轨道半径为r,则=mr
r=
h=r-R
得h=-R.
12. 2π
[解析] 两天体做匀速圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供,所以
G=m1r1,G=m2r2
且r1+r2=L
联立得r1=,r2=,T=2π.专题课:天体运动综合问题
学习任务一 人造卫星变轨问题
[科学思维] 图是飞船从地球上发射到绕月球运动的轨道的飞行示意图,请思考:从绕地球运动的轨道进入奔月轨道,飞船应采取什么措施 从奔月轨道进入绕月球运动的轨道,又应采取什么措施呢
[模型建构] (1)卫星变轨的动力学原理
①稳定运行:卫星绕天体稳定运行时,万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,即G=m.
②变轨运行:卫星变轨时,先是线速度大小发生变化,导致需要的向心力发生变化,进而使轨道半径r发生变化.
a.当卫星减速时,卫星所需的向心力mb.当卫星加速时,卫星所需的向心力m>G,卫星将做离心运动,向高轨道变迁.
(2)人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道,如图所示.
①为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向将卫星发射到圆轨道Ⅰ上.
②在A点点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
③在B点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ.
(3)卫星在不同轨道上运行物理量的大小比较
①速度:设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速度大小分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点时的速度大小分别为vA、vB.在A点加速,则vA>v1,在B点加速,则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB.
②加速度:比较加速度大小时,可以根据a==判断,在同一点处,加速度大小相等.
③周期:设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的运行周期分别为T1、T2、T3,轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3,由开普勒第三定律=k,可知T1例1 (多选)[2024·深圳中学月考] 2021年6月17日,“神舟十二号”载人飞船与“天和”核心舱完成对接,航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波先后进入“天和”核心舱,标志着中国人首次进入了自己的空间站.对接过程如图所示,“天和”核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ,“神舟十二号”飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ,运行周期为T1,通过变轨操作后,沿椭圆轨道Ⅱ运动到P处与“天和”核心舱对接.则“神舟十二号”飞船( )
A.需要加速才能由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
B.沿轨道Ⅰ运行的周期大于“天和”核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期
C.沿轨道Ⅱ运动到对接点P的过程中,速度不断增大
D.沿轨道Ⅱ运行的周期为T2=T1
变式1 (多选)[2024·佛山一中月考] 图为“嫦娥三号”登月轨迹示意图.图中M点为环地球运行轨道上的近地点,N点为环月球运行轨道上的近月点.a为环月球运行的圆轨道,b为环月球运行的椭圆轨道.下列说法中正确的是 ( )
A.“嫦娥三号”在环地球轨道上的速度大于11.2 km/s
B.“嫦娥三号”在M点进入地月转移轨道时应点火加速
C.设“嫦娥三号”在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1,在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2,则a1>a2
D.设“嫦娥三号”在圆轨道a上经过N点时的速度为v1,在椭圆轨道b上经过N点时的速度为v2,则v1[反思感悟]
【要点总结】
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时,可根据“越远越慢”的规律判断.
(2)判断卫星的加速度大小时,可根据a==G判断.
学习任务二 双星问题和黑洞问题
[科学探究] 宇宙中两颗靠得很近的天体构成一个“双星系统”,两颗天体绕它们连线上的一点各自做匀速圆周运动.请思考:
(1)“双星系统”中的两颗天体做圆周运动的向心力由 提供.
(2)两颗天体转动的 相同.
[模型建构] 宇宙中存在黑洞与双星结构,下面为可能存在的构成形式:
系统 可视天体绕黑洞做圆周运动 黑洞与可视天体构成的双星系统 两颗可视天体构成的双星系统
图示
向心力 的来源 黑洞对可视天体的万有引力 彼此给对方的万有引力 彼此给对方的万有引力
(1)双星模型的特点
①两星的运动轨道为同心圆,圆心是它们之间连线上的某一点.
②两星所受的向心力大小相等,由它们之间的万有引力提供.对质量为m1的星体,有G=m1ω2r1,对质量为m2的星体,有G=m2ω2r2.
③两星的运动周期、角速度都相同.
④两星的运动半径之和等于它们之间的距离,即r1+r2=L.
(2)黑洞是客观存在的一种超高密度的天体,其引力场极强,连电磁波(光线)都不能逃出,因此黑洞无法直接观测,但可以借助间接方式得知它的存在与它的质量,并且观测到它对其他事物的影响,例如黑洞可以和一颗可视天体构成双星系统.
例2 宇宙中两个相距较近的天体可构成“双星系统”,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起.如图所示,设A、B的质量为m1、m2,两者相距为L.求:
(1)A、B的轨道半径之比;
(2)A、B的线速度之比;
(3)A、B的角速度.
变式2 (多选)[2024·中山一中月考] 图甲是一对相互环绕旋转的质量不等的双黑洞系统,其示意图如图乙所示.双黑洞A、B在相互之间的万有引力的作用下,绕其连线上的O点做匀速圆周运动,若双黑洞的质量之比mA∶mB=n∶1,则 ( )
A.黑洞A、B做圆周运动的角速度之比为1∶1
B.黑洞A、B做圆周运动的向心力大小之比为n2∶1
C.黑洞A、B做圆周运动的半径之比为1∶n
D.黑洞A、B做圆周运动的线速度之比为1∶n2
[反思感悟]
【要点总结】
解决双星问题的基本思路
(1)明确两星做匀速圆周运动的圆心、半径、向心力(来源于相互间的万有引力).
(2)由牛顿运动定律分别对两星列向心力方程.
(3)利用两星运动的特点,构建两星的角速度(或周期)、半径、向心力之间的关系方程.
注意:万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离L,而不是轨道半径(双星中两颗星的轨道半径一般不同).
学习任务三 天体的相距“最近最远”问题
[科学思维] 两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动,a卫星的角速度为ωa,b卫星的角速度为ωb.
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方,相距最近,如图甲所示.
当它们转过的角度之差Δθ=π,即满足ωaΔt-ωbΔt=π时,两卫星第一次相距最远,如图乙所示.
当它们转过的角度之差Δθ=2π,即满足ωaΔt-ωbΔt=2π时,两卫星再次相距最近.
例3 a、b两颗卫星均在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动,a为近地卫星,b卫星离地面高度为3R,已知地球半径为R,表面的重力加速度为g,试求:
(1)a、b两颗卫星周期之比是多少
(2)a、b两颗卫星速度之比是多少
(3)若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方,则至少经过多长时间两卫星相距最远
变式3 [2023·浙江1月选考] 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动.当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现象,称为“行星冲日”.已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表:
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为 ( )
A.火星365天
B.火星800天
C.天王星365天
D.天王星800天
[反思感悟]
1.(卫星变轨问题)[2024·佛山一中月考] 2021年6月17日,搭载“神舟十二号”载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空.此后,在飞船绕地飞行的三圈内,每绕飞半圈变轨一次以提升高度,于当日15时54分采用自主快速交会对接模式,成功对接于“天和”核心舱的前向端口,与此前已对接的“天舟二号”货运飞船一起构成三舱(船)组合体(如图所示)以下说法正确的是 ( )
A.在飞船绕地飞行的三圈内,后一圈比前一圈用时少
B.飞船的6次变轨都是通过点火加速实现的
C.三舱(船)组合体圆周运动的运行速度介于7.9 km/s到11.2 km/s之间
D.三舱(船)组合体的加速度比对接前的二舱(船)组合体的加速度大
2.(双星问题)冥王星与其附近的另一星体“卡戎”可视为双星系统,质量之比约为7∶1,同时绕它们连线上的O点做匀速圆周运动.由此可知,冥王星绕O点运动的 ( )
A.轨道半径约为“卡戎”的
B.角速度约为“卡戎”的
C.线速度大小约为“卡戎”的7倍
D.向心力大小约为“卡戎”的7倍
3.(天体最近最远问题)当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时,称之为“木星冲日”,若2022年9月26日出现一次“木星冲日”.已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动,木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍.则下列说法正确的是 ( )
A.下一次的“木星冲日”时间肯定在2024年
B.下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年
C.木星运行的加速度比地球的大
D.木星运行的周期比地球的小专题课:天体运动综合问题建议用时:40分钟
◆ 知识点一 人造卫星变轨问题
1.[2024·珠海一中月考] 1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星,该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动.如图所示,设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2,近地点到地心的距离为r,地球质量为M,引力常量为G,则 ( )
A.v1>v2,v1=
B.v1>v2,v1>
C.v1D.v1
2.[2024·惠州一中月考] 如图所示,在发射地球同步卫星的过程中,卫星首先进入椭圆轨道 Ⅰ,然后在Q点通过改变卫星速度,让卫星进入地球静止同步轨道Ⅱ,下列说法正确的是( )
A.该卫星的发射速度必定大于11.2 km/s
B.该卫星的静止同步轨道Ⅱ可以在杭州正上方
C.该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点处速度相等
D.该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点处加速度相等
3.[2024·广州二中月考] 2021年11月8日,天问一号探测器成功实施近火制动,准确进入遥感使命轨道.制动前探测器在轨道Ⅰ上运动,在P点制动后进入轨道Ⅱ运动.如图所示,探测器沿轨道Ⅰ、Ⅱ运动到P点的速度大小分别为vⅠ、vⅡ,加速度大小分别为aⅠ、aⅡ.则( )
A.vⅠ>vⅡ,aⅠ=aⅡ
B.vⅠC.vⅠ=vⅡ,aⅠ=aⅡ
D.vⅠ=vⅡ,aⅠ>aⅡ
◆ 知识点二 双星问题和黑洞问题
4.[2024·广州期末] 中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的MAXIJ1820+070是一个由黑洞和恒星组成的双星系统,距离地球约10 000光年.根据观测,此双星系统中的黑洞质量大约是恒星质量的16倍,可推断该黑洞与恒星的 ( )
A.向心力大小之比为16∶1
B.周期大小之比为16∶1
C.角速度大小之比为1∶1
D.加速度大小之比为1∶1
5.[2024·惠州期末] 现代观测表明,由于引力作用,恒星有“聚集”的特点,众多的恒星组成了不同层次的恒星系统,最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星,事实上,冥王星也是和另一星体构成双星,如图所示,这两颗行星1、2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动,这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起,现测出双星间的距离始终不变,且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2,则 ( )
A.它们的线速度大小之比v1∶v2=3∶2
B.它们的角速度大小之比ω1∶ω2=2∶3
C.它们的质量之比m1∶m2=3∶2
D.它们的周期之比T1∶T2=2∶3
6.[2024·仲元中学月考] 银河系中心为一超大密度的黑洞,其第一宇宙速度达到光速c,一距离该黑洞中心为r的星体,绕黑洞中心运动的周期为T,则该黑洞的半径为 ( )
A. B. C. D.
7.(多选)[2024·湖南长沙一中月考] 甲、乙两行星半径之比为2∶1,分别环绕甲、乙两行星运行的两卫星的周期之比为4∶1,已知两卫星的运动轨道距离甲、乙两行星表面的高度分别等于两行星的半径,则下列关系正确的是 ( )
A.甲、乙两行星的密度之比为1∶16
B.甲、乙两行星第一宇宙速度之比为1∶2
C.甲、乙两行星表面的重力加速度之比为1∶4
D.环绕甲、乙两行星运行的两卫星的角速度之比为1∶4
8.[2024·汕头一中月考] 我国载人登月计划的核心技术是“绕、落、回”,先绕月球运行,然后软着陆到月球表面,最后从月球表面返回地球.已知月球的质量只有地球质量的,月球半径为地球半径的,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,下列说法正确的是 ( )
A.月球表面的重力加速度约为6g
B.登月火箭的发射速度应大于11.2 km/s
C.飞船返回地球时从月球发射的速度应大于7.9 km/s
D.若知道飞船近月环绕的周期,就可以求出月球的密度
9.如图,某月球探测器的发射过程简化如下:探测器从地球表面发射后,进入地月转移轨道,经过A点时变轨进入距离月球表面2R高的圆形轨道Ⅰ,在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动,经过B点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ,之后将变轨到近月圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动,经过一段时间最终在C点着陆,已知月球半径为R.下列说法正确的是 ( )
A.探测器在轨道Ⅰ、Ⅱ上的运动周期之比为3∶4
B.探测器在轨道Ⅰ、Ⅲ上的加速度之比为1∶4
C.探测器在轨道Ⅰ上运行速度小于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度
D.探测器在地月转移轨道上经过A点时应向后喷气实施变轨
10.[2024·石家庄一中月考] 银河外星系中两黑洞A、B的质量分别为M1和M2,它们以两者连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动.为研究方便简化为如图所示的示意图,黑洞A和黑洞B均可看成球体,OA>OB,且黑洞A的半径大于黑洞B的半径,下列说法正确的是 ( )
A.两黑洞质量之间的关系一定是M1>M2
B.黑洞A的运行角速度小于黑洞B的运行角速度
C.人类要把宇航器发射到距黑洞A较近的区域进行探索,发射速度一定大于第三宇宙速度
D.若两黑洞间的距离一定,把黑洞A上的物质移到黑洞B上,它们运行的周期变大
11.[2024·湛江期末] 假设卫星以第一宇宙速度发射绕地球飞行一圈后在A点(近地点)加速进入椭圆轨道,在椭圆轨道的B点(远地点)再次加速变轨进入地球同步轨道.已知卫星质量为m,地球质量为M,地球半径为R,地球的自转周期为T,引力常量为G.求:
(1)卫星在地球表面受到的万有引力大小F;
(2)第一宇宙速度大小v;
(3)卫星在同步轨道运行时离地面的高度h.
12.两个靠得很近的天体离其他天体非常遥远,它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动,两者的距离保持不变,科学家把这样的两个天体称为“双星”,如图所示.已知双星的质量分别为m1和m2,它们之间的距离为L,引力常量为G.求双星的运行轨道半径r1、r2以及运行的周期T.(共60张PPT)
专题课：天体运动综合问题
学习任务一 人造卫星变轨问题
学习任务二 双星问题和黑洞问题
学习任务三 天体的相距“最近最远”问题
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
学习任务一 人造卫星变轨问题
［科学思维］ 图是飞船从地球上发射到绕月球运动的轨道的飞行示意图，请思考：从绕地球运动的轨道进入奔月轨道，飞船应采取什么措施 从奔月轨道进入绕月球运动的轨道，又应采取什么措施呢
[答案] 在绕地球运动的轨道上加速，使飞船做离心运动，飞船转移到奔月轨道；要进入绕月球运动的轨道，飞船应减速.
［模型建构］(1)卫星变轨的动力学原理
①稳定运行：卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即.
②变轨运行：卫星变轨时，先是线速度大小发生变化，导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径发生变化.
.当卫星减速时，卫星所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁.
.当卫星加速时，卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁.
(2)人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示.
①为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向将卫星发射到圆轨道Ⅰ上.
②在点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
③在点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ.
(3)卫星在不同轨道上运行物理量的大小比较
①速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速度大小分别为、，在轨道Ⅱ上过点和点时的速度大小分别为、.在点加速，则，在点加速，则，又因，故有.
②加速度：比较加速度大小时，可以根据判断，在同一点处，加速度大小相等.
③周期：设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的运行周期分别为、、，轨道半径分别为、(半长轴)、，由开普勒第三定律，可知.
例1 (多选)[2024·深圳中学月考] 2021年6月17日，“神舟十二号”载人飞船与“天和”核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波先后进入“天和”核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站.对接过程如图所示，“天和”核心舱处于半径为的圆轨道Ⅲ，“神舟十二号”飞船处于半径为的圆轨道Ⅰ，运行周期为，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到处与“天和”核心舱对接.则“神舟十二号”飞船( )
A.需要加速才能由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
B.沿轨道Ⅰ运行的周期大于“天和”核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期
C.沿轨道Ⅱ运动到对接点的过程中，速度不断增大
D.沿轨道Ⅱ运行的周期为
√
√
[解析] 由低轨道进入高轨道，即由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要加速做离心运动，A正确；轨道Ⅰ的半径小于轨道Ⅲ的半径，根据开普勒第三定律，可知“神舟十二号”飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于“天和”核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期，B错误；“神舟十二号”飞船沿轨道Ⅱ运动到对接点的过程中，根据开普勒第二定律，可知速度越来越小，C错误；根据开普勒第三定律可知
，解得，D正确.
变式1 (多选)[2024·佛山一中月考] 图为“嫦娥三号”登月轨迹示意图.图中点为环地球运行轨道上的近地点，点为环月球运行轨道上的近月点.为环月球运行的圆轨道，为环月球运行的椭圆轨道.下列说法中正确的是( )
BD
A.“嫦娥三号”在环地球轨道上的速度大于
B.“嫦娥三号”在点进入地月转移轨道时应点火加速
C.设“嫦娥三号”在圆轨道上经过点时的加速度为，在椭圆轨道上经过点时的加速度为，则
D.设“嫦娥三号”在圆轨道上经过点时的速度为，在椭圆轨道上经过点时的速度为，则
[解析] “嫦娥三号”在环地球轨道上的运行速度总小于第一宇宙速度，A错误；“嫦娥三号”需在点点火加速才能进入地月转移轨道，B正确；由知，“嫦娥三号”在经过圆轨道上的点和经过椭圆轨道上的点时的加速度相等，C错误；“嫦娥三号”要从轨道转移到轨道，需要在点减速，D正确.
【要点总结】
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断.
(2)判断卫星的加速度大小时，可根据判断.
学习任务二 双星问题和黑洞问题
［科学探究］ 宇宙中两颗靠得很近的天体构成一个“双星系统”，两颗天体绕它们连线上的一点各自做匀速圆周运动.请思考：
(1) “双星系统”中的两颗天体做圆周运动的向心力由__________提供.
(2) 两颗天体转动的________相同.
万有引力
角速度
［模型建构］ 宇宙中存在黑洞与双星结构，下面为可能存在的构成形式：
系统 可视天体绕黑洞做圆周运动 黑洞与可视天体构成的双星系统 两颗可视天体构成的双星系统
图示 ___________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
向心力的来源 黑洞对可视天体的万有引力 彼此给对方的万有引力 彼此给对方的万有引力
(1)双星模型的特点
①两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点.
②两星所受的向心力大小相等，由它们之间的万有引力提供.对质量为的星体，有，对质量为的星体，有.
③两星的运动周期、角速度都相同.
④两星的运动半径之和等于它们之间的距离，即.
(2)黑洞是客观存在的一种超高密度的天体，其引力场极强，连电磁波(光线)都不能逃出，因此黑洞无法直接观测，但可以借助间接方式得知它的存在与它的质量，并且观测到它对其他事物的影响，例如黑洞可以和一颗可视天体构成双星系统.
例2 宇宙中两个相距较近的天体可构成“双星系统”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起.如图所示，设、的质量为、，两者相距为.求：
(1) 、的轨道半径之比；
[答案]
[解析] 这两个天体必须各自以一定的速度绕某点匀速转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，从而保持两天体之间的距离不变，且两者做匀速圆周运动的角速度 相同.设两者轨迹圆的圆心为，的轨
道半径为，的轨道半径为，由万有引力提供向心力得
解得.
(2) 、的线速度之比；
[答案]
[解析] 因为，所以.
(3) 、的角速度.
[答案]
[解析] 由几何关系知
联立解得.
变式2 (多选)[2024·中山一中月考] 图甲是一对相互环绕旋转的质量不等的双黑洞系统，其示意图如图乙所示.双黑洞、在相互之间的万有引力的作用下，绕其连线上的点做匀速圆周运动，若双黑洞的质量之比，则( )
A.黑洞、做圆周运动的角速度之比为
B.黑洞、做圆周运动的向心力大小之比为
C.黑洞、做圆周运动的半径之比为
D.黑洞、做圆周运动的线速度之比为
[解析] 由于二者绕连线上同一点做匀速圆周运动，二者角速度相等，又由彼此间的万有引力提供向心力，二者做圆周运动的向心力之比为，故有，解得，故A、C正确，B错误；由线速度与角速度的关系可知，当角速度相同时，二者做圆周运动的线速度与半径成正比，故二者线速度之比为，故D错误.
√
√
【要点总结】
解决双星问题的基本思路
(1)明确两星做匀速圆周运动的圆心、半径、向心力(来源于相互间的万有引力).
(2)由牛顿运动定律分别对两星列向心力方程.
(3)利用两星运动的特点，构建两星的角速度(或周期)、半径、向心力之间的关系方程.
注意：万有引力定律表达式中的表示双星间的距离，而不是轨道半径(双星中两颗星的轨道半径一般不同).
学习任务三 天体的相距“最近最远”问题
［科学思维］ 两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，卫星的角速度为，卫星的角速度为.
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示.
当它们转过的角度之差 ，即满足 时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示.
当它们转过的角度之差 ，即满足 时，两卫星再次相距最近.
例3 、两颗卫星均在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，为近地卫星，卫星离地面高度为，已知地球半径为，表面的重力加速度为,试求：
(1) 、两颗卫星周期之比是多少？
[答案]
[解析] 卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，对于地面上物体，重力与万有引力相等，有
对于卫星有
解得
对于卫星有
解得
则.
(2) 、两颗卫星速度之比是多少？
[答案]
[解析] 卫星做匀速圆周运动，万有引力提供圆周运动向心力
对于卫星有
可得
对于卫星有，
可得
所以.
(3) 若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？
[答案]
[解析] 当两卫星转过的角度相差半个圆周时相距最远，故相距最远的条件为
代入和的周期可解得.
变式3 [2023·浙江1月选考] 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动.当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”.已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为( )
B
A.火星365天 B.火星800天 C.天王星365天 D.天王星800天
[解析] 以火星与地球的“冲日”为例，设相邻两次“冲日”时间间隔为，根据 和开普勒第三定律，可以计算得年天，选项B正确，A错误；同理可知，天王星与地球相邻两次“冲日”的时间间隔约为369天，选项C、D错误.
1.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量为的星球位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗星球的距离均为，并绕其中心做匀速圆周运动.忽略其他星球对它们的引力作用，引力常量为.以下对该三星系统的说法正确的是 ( )
C
A.每颗星球做圆周运动的半径都等于
B.每颗星球做圆周运动的加速度与星球的质量无关
C.每颗星球做圆周运动的线速度
D.每颗星球做圆周运动的周期为
[解析] 三颗星球均绕中心做圆周运动，由几何关系可知,A错误；任一星球做圆周运动的向心力由其他两个星球的引力的合力提供，根据平行四边形定则得,解得,B错误；由，解得,,C正确，D错误.
2.大约每隔26个月，地球与火星的距离会达到最近，即发生一次“火星冲日”现象，在此期间可以用较小的成本将探测器送往火星.火星探测器“天问一号”就是巧妙地利用“火星冲日”现象成功发射的.如图所示的虚线为火星探测器飞往火星的轨道示意图，若地球、火星的公转轨道半径分别为、，公转周期分别为、，引力常量为，下列说法正确的是( )
C
A.探测器在飞往火星的过程中，需要持续的动力
B.火星的质量为
C.的数值大约为26个月
D.如果错过了2020年7月的最佳发射时机，下次最佳发射时机最早也需等到2022年5月
[解析] 探测器在飞往火星的过程中，不需要持续的动力来维持速度,把探测器加速到所需要的速度,就可关闭发动机，探测器靠惯性飞行,但是需要多次调整或修正方向使之能够进入火星轨道，故A错误；火星公转时，太阳对其万有引力提供向心力，可得太阳的质量为，故B错误；根据开普
勒第三定律可知，两次“火星冲日”现象之间地球比火星多转一周，设时间为，则有 ，解得，根据题意可知个月，故C正确；由于两次“火星冲日”现象的时间间隔约为26个月，故若2020年7月发生一次，则下一次发生的时间为2022年9月，故D错误.
3.太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统,它们运行的原理可以理解为：质量为的恒星和质量为的行星在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着.如图所示,我们可认为行星在以某一
(1) 试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置.
[答案] 如图所示
[解析] 恒星运动的轨道和位置大致如图所示.
定点为中心、半径为的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星).设引力常量为,恒星和行星的大小可忽略不计.
(2) 试计算恒星与点间的距离和恒星的运行速率.
[答案] ;
[解析] 对行星，有
对恒星，有
根据牛顿第三定律可知,与大小相等
联立可得
对恒星，有
解得.
1.(卫星变轨问题)[2024·佛山一中月考] 2021年6月17日，搭载“神舟十二号”载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空.此后，在飞船绕地飞行的三圈内，每绕飞半圈变轨一次以提升高度，于当日15时54分采用自主快速交会对接模式，成
B
A.在飞船绕地飞行的三圈内，后一圈比前一圈用时少
B.飞船的6次变轨都是通过点火加速实现的
C.三舱(船)组合体圆周运动的运行速度介于到之间
D.三舱(船)组合体的加速度比对接前的二舱(船)组合体的加速度大
功对接于“天和”核心舱的前向端口，与此前已对接的“天舟二号”货运飞船一起构成三舱(船)组合体(如图所示)以下说法正确的是( )
[解析] 在飞船绕地飞行的三圈内，轨道半长轴越来越大，根据开普勒第三定律可知，后一圈比前一圈用时多，A错误；变轨提升高度是离心运动，必须通过加速才能实现，B正确；绕地飞行的卫星圆周运动的最大速度为，C错误；对接后的三舱(船)组合体与对接前的二舱(船)组合体在同一轨道上，根据可知，加速度大小相同，D错误.
2.(双星问题)冥王星与其附近的另一星体“卡戎”可视为双星系统,质量之比约为,同时绕它们连线上的点做匀速圆周运动.由此可知,冥王星绕点运动的( )
A
A.轨道半径约为“卡戎”的 B.角速度约为“卡戎”的
C.线速度大小约为“卡戎”的7倍 D.向心力大小约为“卡戎”的7倍
[解析] 设两星轨道半径分别为、,由,得,选项A正确;两星角速度相同,选项B错误;线速度,则,选项C错误;两星间的万有引力是相互作用力，大小相等，双星系统中的向心力由万有引力提供，故,选项D错误.
3.(天体最近最远问题)当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2022年9月26日出现一次“木星冲日”.已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍.则下列说法正确的是( )
B
A.下一次的“木星冲日”时间肯定在2024年 B.下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年
C.木星运行的加速度比地球的大 D.木星运行的周期比地球的小
[解析] 设太阳质量为，行星质量为，轨道半径为，周期为，加速度为.对行星由牛顿第二定律可得，解得，，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D错误；地球公转周期年，由可知，木星公转周期年.设经时间，再次出现“木星冲日”，则有 ，其中，，解得年，因此下一次“木星冲日”发生在2023年，故A错误，B正确.
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知识点一 人造卫星变轨问题
1.[2024·珠海一中月考] 1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动.如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为、，近地点到地心的距离为，地球质量为，引力常量为，则( )
B
A., B.,
C., D.,
[解析] 根据开普勒第二定律可知，卫星在近地点速度大，在远地点速度小，所以；卫星经过近地点做圆周运动的速度为
，由于“东方红一号”在近地点做离心运动，所以，故B正确.
2.[2024·惠州一中月考] 如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道 Ⅰ，然后在点通过改变卫星速度，让卫星进入地球静止同步轨道Ⅱ，下列说法正确的是( )
D
A.该卫星的发射速度必定大于
B.该卫星的静止同步轨道Ⅱ可以在杭州正上方
C.该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的点处速度相等
D.该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的点处加速度相等
[解析] 是第二宇宙速度，是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，故该卫星的发射速度一定小于，A错误；地球静止同步卫星的轨道在赤道上空，该卫星的同步轨道Ⅱ不可以在杭州正上方，B错误；根据卫星变轨的原理可知，卫星在轨道Ⅰ上的点需加速，才能进入轨道Ⅱ，所以该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的点处速度大小不相等，C错误；由知该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的点处加速度相等，D正确.
3.[2024·广州二中月考] 2021年11月8日，天问一号探测器成功实施近火制动，准确进入遥感使命轨道.制动前探测器在轨道Ⅰ上运动，在点制动后进入轨道Ⅱ运动.如图所示，探测器沿轨道Ⅰ、Ⅱ运动到点的速度大小分别为，加速度大小分别为.则( )
A
A.， B.， C.， D.，
[解析] “天问一号” 在点制动后进入轨道Ⅱ运动，故“天问一号”在轨道Ⅰ上点的速度大于在轨道Ⅱ上点的速度，故；“天问一号”的加速度是由万有引力提供的，由，可知在同一点，万有引力使“天问一号”产生的加速度相同，故，A正确，B、C、D错误.
知识点二 双星问题和黑洞问题
4.[2024·广州期末] 中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，距离地球约10 000光年.根据观测，此双星系统中的黑洞质量大约是恒星质量的16倍，可推断该黑洞与恒星的( )
C
A.向心力大小之比为 B.周期大小之比为
C.角速度大小之比为 D.加速度大小之比为
[解析] 黑洞和恒星组成双星系统，根据双星系统的特点可知，黑洞与恒星的向心力都等于黑洞和恒星之间的万有引力，转动的角速度、周期相等，故A、B错误，C正确；根据牛顿第二定律，可知黑洞与恒星的加速度大小之比为，故D错误.
5.[2024·惠州期末] 现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，事实上，冥王星也是和另一星体构成双星，如图所示，这两颗行星1、2各以一定速率绕它们连线上某一中心匀速转动，这样
A
A.它们的线速度大小之比 B.它们的角速度大小之比
C.它们的质量之比 D.它们的周期之比
[解析] 在双星系统中，双星的角速度和周期都相同，故B、D错误；由于双星系统中，双星间的万有引力提供圆周运动的向心力，则，，解得，故C错误；双星的角速度相同，由知，故A正确.
才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终不变，且它们做匀速圆周运动的半径与之比为，则( )
6.[2024·仲元中学月考] 银河系中心为一超大密度的黑洞，其第一宇宙速度达到光速，一距离该黑洞中心为的星体，绕黑洞中心运动的周期为，则该黑洞的半径为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设该黑洞的半径为，根据题意可得，对围绕黑洞运行的星体有，联立解得，故选A.
7.(多选)[2024·湖南长沙一中月考] 甲、乙两行星半径之比为，分别环绕甲、乙两行星运行的两卫星的周期之比为，已知两卫星的运动轨道距离甲、乙两行星表面的高度分别等于两行星的半径，则下列关系正确的是( )
ABD
A.甲、乙两行星的密度之比为
B.甲、乙两行星第一宇宙速度之比为
C.甲、乙两行星表面的重力加速度之比为
D.环绕甲、乙两行星运行的两卫星的角速度之比为
[解析] 卫星绕行星做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力得,解得,因为,,,,得甲、乙两行星的质量之比为,根据,,可得甲、乙两行星的密度之比为,A正确;根据,可得,甲、乙两行星第一宇宙速度之比为,B正确;根据,解得,甲、乙两行星表面的重力加速度之比为,C错误;根据,解得,环绕甲、乙两行星运行的两卫星的角速度之比为,D正确.
8.[2024·汕头一中月考] 我国载人登月计划的核心技术是“绕、落、回”，先绕月球运行，然后软着陆到月球表面，最后从月球表面返回地球.已知月球的质量只有地球质量的，月球半径为地球半径的，地球表面的重力加速度为，引力常量为，下列说法正确的是( )
D
A.月球表面的重力加速度约为
B.登月火箭的发射速度应大于
C.飞船返回地球时从月球发射的速度应大于
D.若知道飞船近月环绕的周期，就可以求出月球的密度
[解析] 根据，可知，故A错误；登月火箭的发射没有脱离地球束缚，速度应小于，故B错误；根据，可得地球第一宇宙速度，同理可得，月球第一宇宙速度，故飞船返回地球时从月球发射的速度应大于，故C错误；根据，，可得，故月球密度，故D正确.
9.如图，某月球探测器的发射过程简化如下：探测器从地球表面发射后，进入地月转移轨道，经过点时变轨进入距离月球表面高的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，经过点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将变轨到近月圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动，经过一段时间最终在点着陆，已知月球半径为.下列说法正确的是( )
A
A.探测器在轨道Ⅰ、Ⅱ上的运动周期之比为
B.探测器在轨道Ⅰ、Ⅲ上的加速度之比为
C.探测器在轨道Ⅰ上运行速度小于在轨道Ⅱ上经过点时的速度
D.探测器在地月转移轨道上经过点时应向后喷气实施变轨
[解析] 根据开普勒第三定律可知，探测器在轨道Ⅰ、Ⅱ上的运动周期之比，故A正确；根据万有引力提供向心力有，探测器在轨道Ⅰ、Ⅲ上的加速度之比，故B错误；探测器在轨道Ⅰ上经过
B点时需要减速做近心运动，才能变轨到轨道Ⅱ，故探测器在轨道Ⅰ上运行速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度，故C错误；探测器在地月转移轨道上经过A点时需要减速做近心运动，应向前喷气实施变轨，故D错误.
10.[2024·石家庄一中月考] 银河外星系中两黑洞、的质量分别为和，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动.为研究方便简化为如图所示的示意图，黑洞和黑洞均可看成球体，，且黑洞的半径大于黑洞的半径，下列说法正确的是( )
C
A.两黑洞质量之间的关系一定是
B.黑洞的运行角速度小于黑洞的运行角速度
C.人类要把宇航器发射到距黑洞较近的区域进行探索，发射速度一定大于第三宇宙速度
D.若两黑洞间的距离一定，把黑洞上的物质移到黑洞上，它们运行的周期变大
[解析] 黑洞A与黑洞B绕点转动，相同时间内转过的角度相同，所以，二者的角速度相等，设它们间的距离为，角速度为 ，根据牛顿第二定律得，，联立得，由题图乙知，所以，故A、B错误；人类要把宇航器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，必须冲出太阳系，所以发射速度一定大于第三宇宙速度，故C正确；根据，，可得，又由于，整理得，所以周期为，若两黑洞间的距离一定，把黑洞A上的物质移到黑洞B上，两黑洞质量之和不变，周期不变，故D错误.
11.[2024·湛江期末] 假设卫星以第一宇宙速度发射绕地球飞行一圈后在点(近地点)加速进入椭圆轨道，在椭圆轨道的点(远地点)再次加速变轨进入地球同步轨道.已知卫星质量为，地球质量为，地球半径为，地球的自转周期为，引力常量为.求：
(1) 卫星在地球表面受到的万有引力大小；
[答案]
[解析] 在地球表面附近，由万有引力定律，得.
(2) 第一宇宙速度大小；
[答案]
[解析] 卫星环绕地球飞行，万有引力提供向心力，有
则第一宇宙速度.
(3) 卫星在同步轨道运行时离地面的高度.
[答案]
[解析] 设卫星的同步轨道半径为，则
得.
12.两个靠得很近的天体离其他天体非常遥远,它们以其连线上某一点为圆心各自做匀速圆周运动,两者的距离保持不变,科学家把这样的两个天体称为“双星”,如图所示.已知双星的质量分别为和,它们之间的距离为，引力常量为.求双星的运行轨道半径、以及运行的周期.
[答案] ; ;
[解析] 两天体做匀速圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供,所以
,
且
联立得,,.