章末素养测评(三)
1.D [解析] 由对称性得tAB=tBA,选项A、B错误;由开普勒第二定律可知,卫星在近地点时运动快,在远地点时运动慢,所以tCD2.B [解析] 对环绕地球做匀速圆周运动的卫星而言,因为所需的向心力由万有引力提供,所以其圆轨道的圆心应为地心,选项A错误,B正确;静止卫星的轨道与赤道共面,选项C、D错误.
3.C [解析] 第一宇宙速度7.9 km/s是环绕地球做圆周运动的最大速度,则神舟十五号载人飞船的运行速度小于7.9 km/s,选项A错误;根据G=m(R+h)可得地球的质量为M=,选项B错误;根据G=mg可得地球表面重力加速度为g=,选项C正确;根据开普勒第三定律可知,若离地高度增大为2h,神舟十五号载人飞船运行周期将会变大,选项D错误.
4.C [解析] 发射绕地卫星时,最小的发射速度为7.9 km/s,所以选项A错误;进入轨道后的宇航员,受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力,所以选项B错误;根据万有引力提供向心力得=m=ma=mω2·r=m·r,可知轨道半径越大,向心加速度、线速度、角速度越小,周期越大,因此选项C正确,D错误.
5.C [解析] b为近地卫星,则=man,解得an=,由于b的轨道半径约等于地球半径,则b的加速度等于g,且b的向心加速度大于c的向心加速度,同步卫星的周期和地球相同,则由an=r可知a的加速度小于c的加速度,故A、B错误;卫星绕地球做匀速圆周运动时,有=m,解得v=,因为b的轨道半径小于c的轨道半径,所以b、c的线速度大小关系为vb>vc,对a、c,根据v=rω可知vc>va,故C正确;a为地球赤道上随地球自转的物体,则a的周期等于地球自转周期,c为地球同步卫星,则c的周期等于地球自转周期,所以a的周期等于c的周期,根据=mr解得T=可知b的周期最小,故D错误.
6.C [解析] 设两个黑洞质量分别为mA、mB,轨道半径分别为RA、RB,角速度为ω,则由万有引力定律可知=mAω2RA,=mBω2RB,联立可以得到=,而RA>RB,所以mAvB,故选项B错误;联立方程式=mAω2RA、=mBω2RB、RA+RB=L,可以得到M=mA+mB=,而且T=,整理可以得到T=2π,可知当总质量M一定,L越大,则T越大,角速度越小,故选项C正确,D错误.
7.C [解析] “神舟十四号”在“停泊点”时,飞船相对空间站静止,则它的角速度与空间站相同,根据v=ωr可知它的环绕半径r比空间站小,则它的线速度也小于空间站的线速度,故A错误;组合体和地球同步卫星都绕地球做圆周运动,由题意可得组合体的轨道半径较小,根据万有引力提供环绕体的向心力可得F=G=mω2r,化简可得ω=,组合体轨道半径更小则角速度更大,B错误;根据F=G=ma,可得a=,组合体轨道半径更小则对比地球同步卫星来说组合体向心加速度更大,即a组>a同,地球同步卫星与赤道上的物体相比,角速度相同,则根据a=ω2r可知同步卫星的轨道半径更大,则a同>a赤,故a组>a赤,即组合体的向心加速度更大,C正确;组合体在太空中处于完全失重状态,则哑铃也处于完全失重状态,因而宇航员不能用它锻炼身体,D错误.
8.AC [解析] “鹊桥”的轨道半径大于月球的轨道半径,但两者运行的角速度相同,由v=ωr,可知“鹊桥”的线速度大于月球的线速度,由向心加速度a=ω2r,可知“鹊桥”的向心加速度大于月球的向心加速度,A、C正确;“鹊桥”位于地月系统的拉格朗日点L2,与月球同步绕地球做匀速圆周运动,所受合外力指向地心,处于非平衡状态,B错误;“鹊桥”的向心力由地球和月球的引力共同提供,D错误.
9.BD [解析] 对地球表面的物体有=mg,可得M=,则地球的平均密度ρ===,选项A、C错误;空间站绕地球运行,由万有引力提供向心力得G=m',解得v=,选项B正确;由牛顿第二定律有=m'·(R+h),解得T=2π,选项D正确.
10.AD [解析] 由开普勒第三定律可得=k,则有绕地轨道中公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变,故A正确;第三宇宙速度是能够脱离太阳系的最小发射速度,“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨,进入地月转移轨道,没有脱离地球的引力范围,发射时的速度小于第二宇宙速度,故B错误;设轨道Ⅰ上运动时的速度为v1,轨道Ⅱ上近月点的速度为v2,轨道Ⅱ上远月点的速度为v3,若在轨道Ⅱ上的远月点建立以月球球心为圆心的圆轨道,其速度为v4,卫星加速做离心运动,根据线速度与轨道半径大小关系得v2>v1,v4>v3,由万有引力提供向心力G=m,可得v=,故v1>v4,故v2>v1>v4>v3,因此在轨道Ⅰ上运动时的速度不是小于轨道Ⅱ上任意位置的速度,故绕月轨道Ⅱ变轨到Ⅰ上需点火减速,故C错误,D正确.
11.(1) (2)-R
[解析] (1)设地球质量为M,卫星质量为m,引力常量为G,A点距地面高度为h1卫星在A点的加速度大小为a,由牛顿第二定律得G=ma
物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力,有G=m'g
联立解得a=
(2)设远地点B距地面的高度为h2,卫星受到的万有引力提供向心力,
由牛顿第二定律得G=m(R+h2)
解得h2=-R
12.(1)M= (2)T
[解析] (1)在两极处有=mg极
在赤道上有-mg赤=mω2R
由题意mg赤=mg极
可知mω2R=
又由ω=解得M==.
(2)“赤道”上的物体刚好飘起来,则=mR
解得T'==T.
13.(1)v (2) (3)4π
[解析] (1)小球在最高点时,由重力提供向心力,有mg=m
环月卫星的最小发射速度v1满足m'g=m'
解得v1=v
(2)由=mg
可得M=
又因为ρ==
所以解得ρ=
(3)对该卫星,有G=m1·2R
解得T=4π
14.(1) (2) (3)-R
[解析] (1)设行星表面的重力加速度为g
对小球,有h=gt2
解得g=
对行星表面的质量为m的物体,有G=mg
故行星质量M=
故该行星的平均密度ρ==.
(2)设处于行星表面附近做匀速圆周运动的卫星质量为m'
由牛顿第二定律有m'g=m'
故该行星的第一宇宙速度v==.
(3)同步卫星的运动周期与该行星的自转周期相同,均为T,设同步卫星的质量为m″,由牛顿第二定律有
G=m″(R+H)
联立解得同步卫星距行星表面的高度H=-R.章末素养测评(三)
第三章 万有引力定律
一、单项选择题
1.[2024·汕头金山中学月考] 如图所示,O表示地球,P表示绕地球沿椭圆轨道做逆时针方向运动的人造卫星,AB为长轴,CD为短轴.在卫星绕地球运动一周的时间内,从A到B的时间为tAB,从B到A、从C到D、从D到C的时间分别为tBA、tCD、tDC.下列关系式正确的是( )
A.tAB>tBA B.tABC.tCD>tDC D.tCD2.如图所示,a、b、c三圆的圆心均在地球的自转轴线上,对环绕地球做匀速圆周运动的卫星而言 ( )
A.卫星的轨道可能为a
B.卫星的轨道可能为b
C.静止卫星的轨道可能为c
D.静止卫星的轨道可能为b
3.[2024·湖南衡阳八中月考] 神舟十五号载人飞船入轨后,于北京时间2022年11月30日5时42分,成功对接于空间站天和核心舱前向端口.若神舟十五号载人飞船绕地球的运动可看作匀速圆周运动,周期为T,离地高度为h,已知地球半径为R,引力常量为G,则( )
A.神舟十五号载人飞船的运行速度大于7.9 km/s
B.地球的质量为
C.地球表面重力加速度为
D.若离地高度增大为2h,神舟十五号载人飞船运行周期将会减小
4.2021年9月16日8时,全球首次全平民太空飞行任务灵感4的四名机组乘员,搭乘龙飞船与猎鹰9号火箭,前往575 km高的预定轨道.图为灵感4、哈勃望远镜、国际空间站三种航天器的轨道高度,它们都在绕地球正常做匀速圆周运动,下列说法正确的是 ( )
A.灵感4发射时的速度可能比7.9 km/s要小
B.进入轨道后的宇航员受到万有引力和向心力的作用
C.国际空间站绕地的线速度最大
D.灵感4绕地的向心加速度最大
5.[2024·深圳中学期中] 如图所示,a是在赤道平面上相对地球静止的物体,随地球一起做匀速圆周运动.b是在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星,轨道半径约等于地球半径.c是地球同步卫星,已知地球表面两极处的重力加速度为g,下列关于a、b、c的说法正确的是 ( )
A.a的向心加速度等于c的向心加速度
B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度最大的是c
C.a、b、c做匀速圆周运动的速率最大的是b
D.a、b、c做匀速圆周运动的周期最小的是a
6.[2024·辽宁大连期中] 人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程.设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动,如图所示,黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径,两个黑洞的总质量为M,两个黑洞中心间的距离为L,则 ( )
A.黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量
B.黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度
C.其运动周期T=2π
D.两个黑洞的总质量M一定,L越大,角速度越大
7.[2024·山东省实验中学月考] 2022年6月5日,“神舟十四号”载人飞船点火发射,将刘洋等3位航天员成功送入离地表高度约为400 km的“天宫”空间站.“神舟十四号”与空间站采用径向对接,即飞船先到达空间站正下方的“停泊点”(飞船相对于空间站静止)位置,如图所示,然后调整姿态,沿径向与空间站自主交会对接.已知飞船和空间站对接后,组合体绕地球做匀速圆周运动,地球同步卫星离地球表面的高度约为36 000 km.下列说法正确的是 ( )
A.“神舟十四号”在“停泊点”时,它的线速度大于空间站的线速度
B.与地球同步卫星相比,组合体的角速度更小
C.与地球赤道上随地球自转的物体相比,组合体的向心加速度更大
D.对接完成后,组合体上的宇航员可用哑铃锻炼身体
二、多项选择题
8.拉格朗日点的定义是:“指受两大物体引力作用下,能使小物体稳定的点.”在数学上共有五个解,如图中的L1、L2、L3、L4、L5点.2018年5月21日,我国用长征四号丙运载火箭,成功将嫦娥四号任务“鹊桥”号中继星发射升空.“鹊桥”是世界首颗运行于拉格朗日点L2的通信卫星,当“鹊桥”处于拉格朗日点L2时,会在月球与地球共同的引力作用下,几乎不消耗燃料的情况下以与月球相同的周期同步绕地球运行.则以下有关判断正确的是 ( )
A.“鹊桥”的线速度大于月球的线速度
B.“鹊桥”在拉格朗日点L2处受力平衡
C.“鹊桥”的向心加速度大于月球的向心加速度
D.“鹊桥”的向心力仅由地球的引力提供
9.[2024·广州六中月考] 2022年11月3日9时32分,梦天实验舱顺利完成转位,标志着中国空间站“T”字形基本结构在轨组装完成,如图所示.已知空间站离地面的高度为h,地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g, 引力常量为G,忽略地球自转.若空间站可视为绕地心做匀速圆周运动,则下列说法正确的是 ( )
A.地球的质量为
B.空间站的线速度大小为
C.地球的平均密度为
D.空间站的周期为2π
10.[2024·深圳中学期中] 中国预计将在2028年实现载人登月计划,把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点.如图所示是“嫦娥一号”奔月的示意图,“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨,进入地月转移轨道,最终被月球引力捕获,成为绕月卫星.关于“嫦娥一号”下列说法正确的是( )
A.在绕地轨道中,公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变
B.发射时的速度必须达到第三宇宙速度
C.在轨道Ⅰ上运动时的速度小于轨道Ⅱ上任意位置的速度
D.绕月轨道Ⅱ变轨到Ⅰ上需减速
三、计算题
11.发射地球同步卫星时,先将卫星发射到距地面高度为h1的圆轨道上,在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道,最后在椭圆轨道的远地点B再次点火将卫星送入同步轨道,如图所示.已知同步卫星的运动周期为T,地球的半径为R,地球表面重力加速度为g,忽略地球自转的影响.求:
(1)卫星在A点的加速度大小;
(2)远地点B距地面的高度.
12.[2024·广雅中学月考] 已知某球形行星的半径为R,自转周期为T.在该行星上用弹簧测力计测同一物体的重力,发现在其“赤道”上弹簧测力计的读数比其两极处小25%,引力常量为G.
(1)根据以上条件写出该行星质量的表达式;
(2)设想该行星的自转速度加快,“赤道”上的物体刚好飘起来,求此时该行星的自转周期.
13.[2024·佛山一中期中] 宇航员在月球表面完成下面的实验:在一固定的竖直光滑圆轨道内部有一质量为m的小球(可视为质点),如图所示.当在最高点给小球一瞬时速度v时,刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动.已知圆轨道半径为r,月球的半径为R,引力常量为G.
(1)若在月球表面上发射一颗环月卫星,所需最小发射速度为多少
(2)月球的平均密度为多大
(3)轨道半径为2R的环月卫星的周期为多大
14.假如宇航员乘坐宇宙飞船到达某行星,在该行星“北极”距地面h处由静止释放一个小球(引力视为恒力,阻力可忽略),经过时间t落到地面.已知该行星半径为R,自转周期为T,引力常量为G.
(1)求该行星的平均密度ρ;
(2)求该行星的第一宇宙速度v;
(3)如果该行星有一颗同步卫星,其距行星表面的高度H为多少 (共32张PPT)
章末素养测评(三)
◆ 测评卷
一、单项选择题
二、多项选择题
三、计算题
一、单项选择题
1.[2024·汕头金山中学月考] 如图所示,表示地球,表示绕地球沿椭圆轨道做逆时针方向运动的人造卫星,为长轴,为短轴.在卫星绕地球运动一周的时间内,从到的时间为,从到、从到、从到的时间分别为、、.下列关系式正确的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由对称性得,选项A、B错误;由开普勒第二定律可知,卫星在近地点时运动快,在远地点时运动慢,所以,选项C错误,D正确.
2.如图所示，、、三圆的圆心均在地球的自转轴线上，对环绕地球做匀速圆周运动的卫星而言( )
B
A.卫星的轨道可能为 B.卫星的轨道可能为
C.静止卫星的轨道可能为 D.静止卫星的轨道可能为
[解析] 对环绕地球做匀速圆周运动的卫星而言，因为所需的向心力由万有引力提供，所以其圆轨道的圆心应为地心，选项A错误，B正确；静止卫星的轨道与赤道共面，选项C、D错误.
3.[2024·湖南衡阳八中月考] 神舟十五号载人飞船入轨后，于北京时间2022年11月30日5时42分，成功对接于空间站天和核心舱前向端口.若神舟十五号载人飞船绕地球的运动可看作匀速圆周运动，周期为，离地高度为，已知地球半径为，引力常量为，则( )
C
A.神舟十五号载人飞船的运行速度大于
B.地球的质量为
C.地球表面重力加速度为
D.若离地高度增大为，神舟十五号载人飞船运行周期将会减小
[解析] 第一宇宙速度是环绕地球做圆周运动的最大速度，则神舟十五号载人飞船的运行速度小于，选项A错误；根据可得地球的质量为，选项B错误；根据可得地球表面重力加速度为，选项C正确；根据开普勒第三定律可知，若离地高度增大为，神舟十五号载人飞船运行周期将会变大，选项D错误.
4.2021年9月16日8时，全球首次全平民太空飞行任务灵感4的四名机组乘员，搭乘龙飞船与猎鹰9号火箭，前往高的预定轨道.图为灵感4、哈勃望远镜、国际空间站三种航天器的轨道高度，它们都在绕地球正常做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
C
A.灵感4发射时的速度可能比要小
B.进入轨道后的宇航员受到万有引力和向心力的作用
C.国际空间站绕地的线速度最大
D.灵感4绕地的向心加速度最大
[解析] 发射绕地卫星时，最小的发射速度为，所以选项A错误；进入轨道后的宇航员，受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力，所以选项B错误；根据万有引力提供向心力得，可知轨道半径越大，向心加速度、线速度、角速度越小，周期越大，因此选项C正确，D错误.
5.[2024·深圳中学期中] 如图所示，是在赤道平面上相对地球静止的物体，随地球一起做匀速圆周运动.是在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，轨道半径约等于地球半径.是地球同步卫星，已知地球表面两极处的重力加速度为，下列关于、、的说法正确的是( )
C
A.的向心加速度等于的向心加速度
B.、、做匀速圆周运动的向心加速度最大的是
C.、、做匀速圆周运动的速率最大的是
D.、、做匀速圆周运动的周期最小的是
[解析] 为近地卫星，则，解得，由于的轨道半径约等于地球半径，则的加速度等于，且的向心加速度大于的向心加速度，同步卫星的周期和地球相同，则由可知的加速度小于的加速度，故A、B错误；卫星绕地球做
匀速圆周运动时，有，解得，因为的轨道半径小于的轨道半径，所以、的线速度大小关系为，对、，根据 可知，故C正确；为地球赤道上随地球自转的物体，则的周期等于地球自转周期，为地球同步卫星，则的周期等于地球自转周期，所以的周期等于的周期，根据解得可知的周期最小，故D错误.
6.[2024·辽宁大连期中] 人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程.设两个黑洞、绕其连线上的点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞的轨道半径大于黑洞的轨道半径，两个黑洞的总质量为，两个黑洞中心间的距离为，则( )
C
A.黑洞的质量一定大于黑洞的质量
B.黑洞的线速度一定小于黑洞的线速度
C.其运动周期
D.两个黑洞的总质量一定，越大，角速度越大
[解析] 设两个黑洞质量分别为、，轨道半径分别为、，角速度为 ，则由万有引力定律可知，，联立可以得到，而，所以，故选项A错误；由于
二者角速度相等，则线速度分别为，，则，故选项B错误；联立方程式、、，可以得到，而且，整理可以得到，可知当总质量一定，越大，则越大，角速度越小，故选项C正确，D错误.
7.[2024·山东省实验中学月考] 2022年6月5日，“神舟十四号”载人飞船点火发射，将刘洋等3位航天员成功送入离地表高度约为的“天宫”空间站.“神舟十四号”与空间站采用径向对接，即飞船先到达空间站正下方的“停泊点”(飞船相对于空间站静止)位置，如图所示，然后调整姿态，沿径向与空间站自主交会对接.已知飞船和空间站对接后，组合体绕地球做匀速圆周运动，地球同步卫星离地球表面的高度约为.下列说法正确的是( )
C
A.“神舟十四号”在“停泊点”时，它的线速度大于空间站的线速度
B.与地球同步卫星相比，组合体的角速度更小
C.与地球赤道上随地球自转的物体相比，组合体的向心加速度更大
D.对接完成后，组合体上的宇航员可用哑铃锻炼身体
[解析] “神舟十四号”在“停泊点”时，飞船相对空间站静止，则它的角速度与空间站相同，根据可知它的环绕半径比空间站小，则它的线速度也小于空间站的线速度，故A错误；组合体和地球同步卫星都绕地球做圆周运动，由题意可得组合体的轨道半径较小，根据万有引力提供环绕体的向心力可得，化简可得，组合体轨道半径更小则角速度更大，B错误；根据
，可得，组合体轨道半径更小则对比地球同步卫星来说组合体向心加速度更大，即，地球同步卫星与赤道上的物体相比，角速度相同，则根据可知同步卫星的轨道半径更大，则，故，即组合体的向心加速度更大，C正确；组合体在太空中处于完全失重状态，则哑铃也处于完全失重状态，因而宇航员不能用它锻炼身体，D错误.
二、多项选择题
8.拉格朗日点的定义是：“指受两大物体引力作用下，能使小物体稳定的点.”在数学上共有五个解，如图中的、、、、点.2018年5月21日，我国用长征四号丙运载火箭，成功将嫦娥四号任务“鹊桥”号中继星发射升空.“鹊桥”是世界首颗运行于拉格朗日点的通信卫星，当“鹊桥”处于拉格朗日点时，会在月球与地球共同的引力作用下，几乎不消耗燃料的情况下以与月球相同的周期同步绕地球运行.则以下有关判断正确的是( )
A.“鹊桥”的线速度大于月球的线速度
B.“鹊桥”在拉格朗日点处受力平衡
C.“鹊桥”的向心加速度大于月球的向心加速度
D.“鹊桥”的向心力仅由地球的引力提供
[解析] “鹊桥”的轨道半径大于月球的轨道半径，但两者运行的角速度相同，由，可知“鹊桥”的线速度大于月球的线速度，由向心加速度，可知“鹊桥”的向心加速度大于月球的向心加速度，A、C正确；“鹊桥”位于地月系统的拉格朗日点，与月球同步绕地球做匀速圆周运动，所受合外力指向地心，处于非平衡状态，B错误；“鹊桥”的向心力由地球和月球的引力共同提供，D错误.
√
√
9.[2024·广州六中月考] 2022年11月3日9时32分，梦天实验舱顺利完成转位，标志着中国空间站“”字形基本结构在轨组装完成，如图所示.已知空间站离地面的高度为，地球的半径为，地球表面的重力加速度为，引力常量为，忽略地球自转.若空间站可视为绕地心做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
BD
A.地球的质量为 B.空间站的线速度大小为
C.地球的平均密度为 D.空间站的周期为
[解析] 对地球表面的物体有，可得，则地球的平均密度，选项A、C错误；空间站绕地球运行，由万有引力提供向心力得，解得，选项B正确；由牛顿第二定律有，解得，选项D正确.
10.[2024·深圳中学期中] 中国预计将在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点.如图所示是“嫦娥一号”奔月的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星.关于“嫦娥一号”下列说法正确的是( )
AD
A.在绕地轨道中，公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变
B.发射时的速度必须达到第三宇宙速度
C.在轨道Ⅰ上运动时的速度小于轨道Ⅱ上任意位置的速度
D.绕月轨道Ⅱ变轨到Ⅰ上需减速
[解析] 由开普勒第三定律可得，则有绕地轨道中公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变，故A正确；第三宇宙速度是能够脱离太阳系的最小发射
速度，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，没有脱离地球的引力范围，发射时的速度小于第二宇宙速度，故B错误；设轨道Ⅰ上运动时的速度为，轨道Ⅱ上近月点的速度为，轨道Ⅱ上远月点的速度为，若在轨道Ⅱ上的远月点建立以月球球心为圆心的圆轨道，其速度为，卫星加速做离心运动，根据线速度与轨道半径大小关系得，，由万有引力提供向心力，可得，故，故，因此在轨道Ⅰ上运动时的速度不是小于轨道Ⅱ上任意位置的速度，故绕月轨道Ⅱ变轨到Ⅰ上需点火减速，故C错误,D正确.
三、计算题
11.发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为的圆轨道上，在卫星经过点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示.已知同步卫星的运动周期为，地球的半径为，地球表面重力加速度为，忽略地球自转的影响.求：
(1) 卫星在点的加速度大小；
[答案]
[解析] 设地球质量为，卫星质量为，引力常量为，点距地面高度为卫星在点的加速度大小为，由牛顿第二定律得
物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力，有
联立解得
(2) 远地点距地面的高度.
[答案]
[解析] 设远地点距地面的高度为，卫星受到的万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得
解得
12.[2024·广雅中学月考] 已知某球形行星的半径为，自转周期为.在该行星上用弹簧测力计测同一物体的重力，发现在其“赤道”上弹簧测力计的读数比其两极处小，引力常量为.
(1) 根据以上条件写出该行星质量的表达式；
[答案]
[解析] 在两极处有
在赤道上有
由题意
可知
又由解得.
(2) 设想该行星的自转速度加快，“赤道”上的物体刚好飘起来，求此时该行星的自转周期.
[答案]
[解析] “赤道”上的物体刚好飘起来，则
解得.
13.[2024·佛山一中期中] 宇航员在月球表面完成下面的实验：在一固定的竖直光滑圆轨道内部有一质量为的小球(可视为质点),如图所示.当在最高点给小球一瞬时速度时,刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动.已知圆轨道半径为,月球的半径为,引力常量为.
(1) 若在月球表面上发射一颗环月卫星,所需最小发射速度为多少？
[答案]
[解析] 小球在最高点时，由重力提供向心力，有
环月卫星的最小发射速度满足
解得
(2) 月球的平均密度为多大？
[答案]
[解析] 由
可得
又因为
所以解得
(3) 轨道半径为的环月卫星的周期为多大？
[答案]
[解析] 对该卫星，有
解得
14.假如宇航员乘坐宇宙飞船到达某行星，在该行星“北极”距地面处由静止释放一个小球(引力视为恒力，阻力可忽略)，经过时间落到地面.已知该行星半径为，自转周期为，引力常量为.
(1) 求该行星的平均密度 ；
[答案]
[解析] 设行星表面的重力加速度为
对小球，有
解得
对行星表面的质量为的物体，有
故行星质量
故该行星的平均密度.
(2) 求该行星的第一宇宙速度；
[答案]
[解析] 设处于行星表面附近做匀速圆周运动的卫星质量为
由牛顿第二定律有
故该行星的第一宇宙速度.
(3) 如果该行星有一颗同步卫星，其距行星表面的高度为多少？
[答案]
[解析] 同步卫星的运动周期与该行星的自转周期相同，均为，设同步卫星的质量为，由牛顿第二定律有
联立解得同步卫星距行星表面的高度.
