第五节 机械能守恒定律
[物理观念] 小球在摆动过程中受重力和绳的拉力作用,拉力和速度方向总垂直,对小球不做功,只有重力对小球做功;小球在从左向右摆动的过程中重力势能转化为动能,动能又转化回重力势能,故能摆到等高的地方.
[教材链接] (1)动能 势能 (2)①保持不变 ②Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 E1=E2 ③只有重力或系统内弹力做功
例1 C [解析] 甲图中重力和弹力做功,物体A和弹簧组成的系统机械能守恒,但物体A的机械能不守恒,选项A错误.乙图中物体B除受重力外,还受弹力,弹力对B做负功,B的机械能不守恒,A、B组成的系统机械能守恒,选项B错误.丙图中绳子张力对A做负功,对B做正功,做功的代数和为零,A、B组成的系统机械能守恒,选项C正确.丁图中小球的重力势能转化为小球的动能和橡皮条的弹性势能,小球的机械能不守恒,选项D错误.
变式1 C [解析] 由A图可知,力F对木块做正功,机械能增加,故A错误;由B图可知,力F对木块做负功,机械能减小,故B错误;C图中斜面光滑,木块运动过程中只有重力做功,只有重力势能和动能的相互转化,机械能守恒,故C正确;D图中斜面粗糙,木块下滑过程中,摩擦力做负功,机械能减小,故D错误.
[物理观念] 尽管这几种情况下小球的运动过程不同,但是只有重力做功,小球的机械能守恒.小球在出发点时,各情况下的动能和重力势能(mgh)相同(取地面为重力势能为零的参考面),即初始位置的机械能相等,根据机械能守恒定律可得m+mgh=mv2,则落地时的速度大小相等.
例2 (1)5000 J (2)625 J (3)15 m/s 无关
[解析] (1)以水面为参考平面,则运动员在跳台上时具有的重力势能为Ep=mgh=5000 J.
(2)运动员起跳时的速度为v0=5 m/s
则运动员起跳时的动能为Ek=m=625 J.
(3)运动员从起跳到入水过程中,只有重力做功,运动员的机械能守恒,有mgh+m=mv2
解得v=15 m/s
此速度大小与起跳时的方向无关.
变式2 R≤h≤5R
[解析] 设物块在圆弧轨道最高点时速度为v,取圆弧轨道底部所在水平面为零势能面,由机械能守恒定律得mgh=2mgR+mv2
物块在圆弧轨道最高点时受到重力mg和轨道的压力FN,重力与压力的合力提供向心力,有mg+FN=m
物块能通过最高点的条件是FN≥0
联立得v≥,h≥R
由于FN≤5mg,故v≤
则h≤5R
所以h的取值范围是R≤h≤5R.
例3 A [解析] 根据机械能守恒定律得v1=v2=v0,小球沿着MPN管道运动时,先减速后加速,小球沿着MQN管道运动时,先加速后减速,前者平均速率小,后者平均速率大,运动的路程相同,故t1 >t2,选项A正确.
随堂巩固
1.CD [解析] 甲图中,不论是匀速升空还是加速升空,由于推力都对火箭做正功,所以火箭的机械能都增加,故A错误;物体匀速上升,动能不变,重力势能增加,则机械能增加,故B错误;小球在做匀速圆周运动的过程中,细线的拉力不做功,机械能守恒,故C正确; 弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动,只有重力做功,所以弹丸的机械能守恒,故D正确.
2.D [解析] 竖直上抛的物体和沿斜面运动的物体上升到最高点时的速度均为0,由机械能守恒定律得mgh=m,斜上抛的物体在最高点时的速度不为零,设为v1,有mgh2=m-m,所以h23.B [解析] 小球摆动过程中,速度大小变化,向心加速度大小变化,向心力大小变化,A错误;细绳与钉子碰后的瞬间,小球的线速度大小不变,运动半径变小,向心加速度变大,B正确;钉子的位置向下移动少许,在细绳与钉子相碰时,向心加速度更大,绳就更容易断裂,故C错误;由机械能守恒定律可知,小球在左侧所能到达的最高位置的高度等于在右侧释放时的位置的高度,D错误.
4.(1)10 500 J (2)10 m/s (3)15 m
[解析] (1)运动员在A点时的机械能E=Ek+Ep=mv2+mgh=×70×102 J+70×10×10 J=10 500 J
(2)运动员从A点运动到B点的过程中,根据机械能守恒定律得E=m
解得vB== m/s=10 m/s
(3)运动员从A点运动到另一斜坡上最高点的过程中,由机械能守恒定律得E=mgh'
解得h'= m=15 m第五节 机械能守恒定律
1.A [解析] 物体沿着斜面匀速下滑,动能不变,重力势能减小,机械能减小,所以物体的机械能不守恒,故A符合题意;物体做竖直上抛运动时,物体只受到重力的作用,机械能守恒,故B不符合题意;物体做自由落体运动时,物体只受到重力的作用,机械能守恒,故C不符合题意;小球在光滑水平面内做匀速圆周运动,动能和重力势能均不变,其机械能守恒,故D不符合题意.
2.C [解析] 机械能守恒的条件是只有重力或系统内弹力做功.拉弓的整个过程中,人对弓和箭做功,机械能不守恒,选项A错误;过山车在动力的作用下沿轨道缓慢上行,有其他外力对过山车做功,机械能不守恒,选项B错误;滑草运动中,人与滑板车一起匀速下滑,有摩擦力做功,机械能不守恒,选项D错误;蹦床比赛中运动员离开床垫在空中完成动作的过程中,只有重力做功,机械能守恒,选项C正确.
3.A [解析] 以地面为零势能面,物体落到海平面时高度为-h,重力势能为-mgh,故①错误;质量为m的物体从抛出到落到海平面的过程中,物体下落高度为h,重力对物体做功为mgh,故②正确;从地面落到海平面的过程中,根据动能定理得mgh=mv2-m,物体落到海平面时动能为mv2=m+mgh,故③正确;物体运动过程中,只有重力做功,机械能守恒,所以在任一位置时机械能为m,故④正确.故选A.
4.D [解析] 物体沿光滑斜面由静止开始下滑至斜面底端的过程中,若不计空气阻力,则只有重力对物体做功,物体的重力势能减小,动能增加,减小的重力势能全部转化为动能,物体的机械能E随位移s不发生改变,故A、B、C错误,D正确.
5.AB [解析] 设滑块滑到斜面底端时,斜面体的动能为Ek,由机械能守恒定律有mgh=mv2+Ek,可得mv26.AC [解析] 手榴弹做平抛运动,竖直方向满足h=gt2,故甲、乙在空中的运动时间相等,A正确;从投出到落地,每颗手榴弹下降的高度均为h,重力势能都减少mgh,C正确;从投出到落地,只有重力做功,满足机械能守恒,故每颗手榴弹的机械能变化量为0,D错误;手榴弹在落地前瞬间,重力的功率可表示为P=mgvy=mg·gt,即两手榴弹在落地前瞬间,重力的功率相等,B错误.
7.BD [解析] 小球由A向B运动的过程中,做自由落体运动,处于完全失重状态,只有重力做功,机械能守恒,A错误;C点是小球的平衡位置,所以小球由B向C运动的过程中,弹力小于重力,加速度向下,处于失重状态,速度增大,动能增加,弹力对小球做负功,故小球的机械能减少,B正确,C错误;小球由C向D运动的过程中,减速下降,加速度向上,处于超重状态,弹力对小球做负功,故小球的机械能减少,D正确.
8.C [解析] 在0~3h阶段,动能的增加量为3mgh,重力势能的增加量为3mgh,机械能增加了6mgh,机械能不守恒,A错误;在3h~4h 阶段,动能不变,重力势能的增加量为mgh,机械能增加mgh,机械能不守恒,B错误;在4h~6h 阶段,动能减少2mgh,重力势能的增加量为2mgh,机械能守恒,C正确;在6h~8h 阶段,动能减少mgh,重力势能的增加量为2mgh,机械能增加mgh,机械能不守恒,D错误.
9.BC [解析] 运动员从位置A运动到位置B的过程中,除重力做功外还有跳板对运动员的作用力做功,故此过程运动员的机械能不守恒,故A错误;运动员接触跳板后,重力先大于跳板对运动员的作用力,后小于跳板对运动员的作用力,运动员所受合力方向先向下后向上,故合力先做正功后做负功,运动员的动能先增大后减小,故B正确;根据动能定理有mgh-W跳板=0-mv2可得W跳板=mgh+mv2,可知重力做的功小于跳板的作用力对她做的功,故C正确;到达位置B时,运动员的速度为零,跳板对运动员的作用力大于重力,运动员所受合外力不为零,故D错误.
10.见解析
[解析] 物体在A处的机械能为EA=m+mgh0
物体在B处的机械能为EB=m+mgh1
从A到B,根据动能定理得合力做的功W合=m-m
重力在此过程做的功等于物体重力势能的减少量WG=mgh0-mgh1
此过程合力只有重力,合力做的功等于重力所做的功,即W合=WG
联立可得m-m=mgh0-mgh1
即m+mgh1=m+mgh0
所以物体在A、B的机械能相等.
11.(1)v0>2 (2)或
[解析] (1)从A至C的过程中,根据机械能守恒定律得m=2mgR+m
在最高点C时,小球速度vC>0
联立解得v0>2.
(2)小球在C处时受到重力mg和细圆管竖直方向的作用力FN,根据牛顿第二定律得mg+FN=m
又m=2mgR+m
解得FN=-5mg
根据牛顿第三定律,分情况讨论:
当小球对上边缘有压力时,FN=mg
解得v0=
当小球对下边缘有压力时,FN=-mg
解得v0=.第五节 机械能守恒定律
学习任务一 机械能守恒定律的理解和判断
[物理观念] 如图甲和图乙所示,小球受到哪些力的作用,小球在从左向右摆动的过程中各个力的做功情况如何 能量怎么转化,为什么小球能摆到与释放点等高的地方
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空:
(1)机械能: 与 (包括重力势能和弹性势能)统称为机械能.
(2)机械能守恒定律
①内容:在只有重力或弹力做功的系统内,动能与势能发生相互转化,而系统的机械能总量 .这就是机械能守恒定律.
②表达式: 或 .
③机械能守恒的条件: .
例1 如图所示,下列关于机械能是否守恒的判断正确的是 ( )
A.甲图中,物体A将弹簧压缩的过程中,物体A的机械能守恒
B.乙图中,斜面体A置于光滑水平面上,物体B沿光滑斜面下滑,物体B的机械能守恒
C.丙图中,不计任何阻力时A加速下落、B加速上升过程中,A、B的总机械能守恒
D.丁图中,系在橡皮条一端的小球向下摆动时,小球的机械能守恒
[反思感悟]
变式1 [2024·湛江一中月考] 图中,木块均在固定的斜面上运动,其中图A、B、C中的斜面是光滑的,图D中的斜面是粗糙的,图A、B中的F为木块所受的力,方向如图中箭头所示.图A、B、D中的木块向下运动,图C中的木块向上运动.这四个图所示的运动过程中木块的机械能守恒的是( )
【要点总结】
判断机械能是否守恒的方法
(1)能量转化分析法:若系统内物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化,系统跟外界没有发生机械能的传递,机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加),则系统的机械能守恒.
(2)做功条件分析法:若系统内物体间只有重力或弹力做功,则系统的机械能守恒.
特别强调:“守恒”是一个动态概念,指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置,系统的机械能总量总保持不变.
学习任务二 机械能守恒定律的应用
[物理观念] 如图所示,在同一高度处,将同一小球分别以相同大小的速度抛出,忽略空气阻力,这几种情况下小球落地时速度大小相等吗
例2 如图所示,质量m=50 kg的跳水运动员从距水面高h=10 m的跳台上以v0=5 m/s的速度斜向上起跳,最终落入水中.忽略运动员的身高,g取10 m/s2,不计空气阻力.
(1)求运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面);
(2)求运动员起跳时的动能;
(3)求运动员入水时的速度大小,判断入水时的速度大小与起跳时的方向是否有关.
变式2 [2024·广雅中学月考] 如图所示,位于竖直平面内的光滑轨道由一段斜的直轨道和圆弧轨道平滑连接而成,圆弧轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上的某处由静止开始下滑,然后沿圆弧轨道运动.要求物块能通过圆弧轨道最高点,且在该最高点时对轨道的压力不能超过5mg(g为重力加速度).求物块初始位置相对于圆弧轨道底部的高度h的取值范围.
例3 如图所示,一内壁光滑的闭合椭圆形管道置于竖直平面内,MN是通过椭圆中心O点的水平线.一小球从M点出发,初速度大小为v0,沿管道MPN运动,到N点时速度大小为v1,所需时间为t1;若该小球仍由M点以初速度v0出发,而沿管道MQN运动,到N点时速度大小为v2,所需时间为t2,则 ( )
A.v1=v2,t1>t2
B.v1t2
C.v1=v2,t1D.v1【要点总结】
1.应用机械能守恒定律解题时的一般步骤
2.常见的机械能守恒定律表达式
表达式 物理意义
守恒 角度 Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E初=E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
转化 角度 Ek2-Ek1=Ep1-Ep2或ΔEk=-ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量
转移 角度 -=-或ΔEA=-ΔEB 系统只有A、B两物体时,A增加的机械能等于B减少的机械能(不用选择参考平面)
1.(机械能守恒的判定)(多选)如图所示,下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A.甲图中,在火箭升空的过程中,若火箭匀速升空,则机械能守恒,若火箭加速升空,则机械能不守恒
B.乙图中的物体匀速运动,机械能守恒
C.丙图中的小球做匀速圆周运动,机械能守恒
D.丁图中的弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动,机械能守恒
2.(机械能守恒定律的基本应用)以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑,如图所示,三种情况到达的最大高度分别为h1、h2和h3,不计空气阻力(斜上抛物体在最高点的速度方向水平),则 ( )
A.h1=h2>h3 B.h1=h2C.h1=h3h2
3.(机械能守恒定律的基本应用)[2024·惠州一中月考] 如图所示,不可伸长的轻质细绳的一端系一个小球,另一端固定于O点,在O点正下方钉一个钉子A.小球从右侧某一位置(细绳处于拉直状态)由静止释放后摆下,不计空气阻力和细绳与钉子相碰时的能量损失.下列说法中正确的是 ( )
A.小球摆动过程中,所受向心力大小保持不变
B.细绳与钉子碰后的瞬间,小球的向心加速度突然变大
C.钉子的位置向上移动少许,在细绳与钉子相碰时绳就更容易断裂
D.小球在左侧所能到达的最高位置可能高于在右侧释放时的位置
4.(机械能守恒定律的应用)如图所示,质量m=70 kg的运动员以10 m/s的速度从滑雪场中高h=10 m的A点沿斜坡滑下,经最低点B滑上另一斜坡(足够长).以B点所在水平面为零势能面,一切阻力均可忽略不计,g取10 m/s2.求:
(1)运动员在A点时的机械能;
(2)运动员到达最低点B时的速度大小;
(3)运动员相对于B点能到达的最大高度.第五节 机械能守恒定律建议用时:40分钟
◆ 知识点一 机械能守恒定律的理解和判断
1.若不计空气的阻力,以下实例中运动物体机械能不守恒的是 ( )
A.物体沿斜面匀速下滑
B.物体做竖直上抛运动
C.物体做自由落体运动
D.用细绳拴着小球,使小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
2.[2024·北京二中月考] 下列关于机械能守恒的说法中正确的是(忽略空气阻力) ( )
A.将箭搭在弦上,拉弓的整个过程中,弓和箭组成的系统机械能守恒
B.过山车在动力作用下沿轨道缓慢上行,过山车的机械能守恒
C.蹦床比赛中运动员某次离开床垫在空中完成动作的过程中,运动员的机械能守恒
D.滑草运动中,某段时间内人与滑板车一起匀速下滑,人与滑板车的机械能守恒
◆ 知识点二 机械能守恒定律的应用
3.如图所示,在地面上以速度v0抛出质量为m的物体,抛出后物体落到比地面低h的海平面上,重力加速度为g.若以地面为零势能面且不计空气阻力,有以下几种说法:①物体落到海平面时的重力势能为mgh;②物体从抛出至落到海平面的过程中,重力对物体做功为mgh;③物体落到海平面时动能为m+mgh;④物体落到海平面时机械能为m.其中正确的是( )
A.②③④
B.①②③
C.①③④
D.①②④
4.[2024·深圳中学月考] 某物体沿光滑斜面由静止开始下滑至斜面底端的过程中,若不计空气阻力,则如图所示的图像中能正确表示该物体的机械能E随位移s变化规律的是 ( )
A B
C D
5.(多选)[2024·广州六中月考] 如图所示,一斜面体静止在水平地面上,一小滑块(可视为质点)从高度为h的斜面顶端由静止释放后沿斜面下滑.重力加速度大小为g,不计一切摩擦.滑块滑到斜面底端时的速度大小可能为( )
A. B.
C. D.2
6.(多选)[2024·天津一中月考] 长征途中,为了突破敌方关隘,战士爬上陡峭的山头,居高临下向敌方工事内投掷手榴弹,战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹,手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h,在空中的运动可视为平抛运动,轨迹如图所示,重力加速度为g,不计空气阻力,下列说法正确的有 ( )
A.甲、乙在空中的运动时间相等
B.两手榴弹在落地前瞬间,重力的功率不相等
C.从投出到落地,每颗手榴弹的重力势能都减少mgh
D.从投出到落地,每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
7.(多选)如图所示,轻弹簧竖立在地面上,其正上方有一小球从A处自由下落,落到B处时开始与弹簧接触,此后向下压缩弹簧;小球运动到C处时,弹簧对小球的弹力与小球的重力平衡;小球运动到D处时,到达最低点.不计空气阻力,以下描述正确的是 ( )
A.小球由A向B运动的过程中,处于完全失重状态,小球的机械能减少
B.小球由B向C运动的过程中,处于失重状态,小球的机械能减少
C.小球由B向C运动的过程中,处于超重状态,小球的动能增加
D.小球由C向D运动的过程中,处于超重状态,小球的机械能减少
8.[2024·广州中学月考] 水平地面上的物体由静止开始竖直向上运动,在运动过程中,物体的动能Ek与位移s的关系图像如图所示,重力加速度为g,则满足物体机械能守恒的阶段是 ( )
A.0~3h
B.3h~4h
C.4h~6h
D.6h~8h
9.(多选)[2024·中山期末]如图,跳水运动员踏板的过程可以简化为下述模型:运动员从高处落到处于自然状态的跳板上(A位置),随跳板一同向下做变速运动到达最低点(B位置).运动员从位置A运动到位置B的过程中,下列说法正确的是 ( )
A.运动员的机械能守恒
B.运动员的动能先增大后减小
C.重力做的功小于跳板的作用力对她做的功
D.到达位置B时,运动员所受合外力为零
10.[2024·广东实验中学月考] 如图所示,质量为m的物体,从相对地面高度为h0的A处做平抛运动,初速度大小为v0;经过一段时间后,物体下落到相对地面高度为h1的位置B处,速度大小为v1.不计空气阻力,选地面为重力势能的参考平面,重力加速度为g.请根据“动能定理”“重力做功与重力势能的关系”,论证:物体在A处的机械能与在B处的机械能相等.
11.[2024·浙江杭州期末] 如图所示,用细圆管组成的光滑轨道中,AB部分平直,BC部分是处于竖直平面内的半径为R的半圆,圆管截面半径r R.有一质量为m、半径比r略小的光滑小球以水平初速度v0射入圆管.(重力加速度为g)
(1)要使小球能从C端出来,求初速度v0应满足的条件;
(2)若小球从C端出来的瞬间对管壁的压力大小为mg,则小球的初速度v0应为多大 (共48张PPT)
第五节 机械能守恒定律
学习任务一 机械能守恒定律的理解和判断
学习任务二 机械能守恒定律的应用
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
学习任务一 机械能守恒定律的理解和判断
［物理观念］ 如图甲和图乙所示，小球受到哪些力的作用，小球在从左向右摆动的过程中各个力的做功情况如何？能量怎么转化，为什么小球能摆到与释放点等高的地方？
[答案] 小球在摆动过程中受重力和绳的拉力作用，拉力和速度方向总垂直，对小球不做功，只有重力对小球做功；小球在从左向右摆动的过程中重力势能转化为动能，动能又转化回重力势能，故能摆到等高的地方.
［教材链接］ 阅读教材，完成下列填空：
(1) 机械能：______与______(包括重力势能和弹性势能)统称为机械能.
动能
势能
(2) 机械能守恒定律
① 内容:在只有重力或弹力做功的系统内,动能与势能发生相互转化,而系统的机械能总量__________.这就是机械能守恒定律.
② 表达式:_____________________或________.
③ 机械能守恒的条件:__________________________.
保持不变
只有重力或系统内弹力做功
例1 如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
C
A.甲图中，物体将弹簧压缩的过程中，物体的机械能守恒
B.乙图中，斜面体置于光滑水平面上，物体沿光滑斜面下滑，物体的机械能守恒
C.丙图中，不计任何阻力时加速下落、加速上升过程中，、的总机械能守恒
D.丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒
[解析] 甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，选项A错误.乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，B的机械能不守恒，A、B组成的系统机械能守恒，选项B错误.丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，做功的代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，选项C正确.丁图中小球的重力势能转化为小球的动能和橡皮条的弹性势能，小球的机械能不守恒，选项D错误.
变式1 [2024·湛江一中月考] 图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的为木块所受的力，方向如图中箭头所示.图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动.这四个图所示的运动过程中木块的机械能守恒的是( )
C
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 由A图可知，力对木块做正功，机械能增加，故A错误；由B图可知，力对木块做负功，机械能减小，故B错误；C图中斜面光滑，木块运动过程中只有重力做功，只有重力势能和动能的相互转化，机械能守恒，故C正确；D图中斜面粗糙，木块下滑过程中，摩擦力做负功，机械能减小，故D错误.
【要点总结】
判断机械能是否守恒的方法
(1)能量转化分析法：若系统内物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒.
(2)做功条件分析法：若系统内物体间只有重力或弹力做功，则系统的机械能守恒.
特别强调：“守恒”是一个动态概念，指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置，系统的机械能总量总保持不变.
学习任务二 机械能守恒定律的应用
［物理观念］ 如图所示，在同一高度处，将同一小球分别以相同大小的速度抛出，忽略空气阻力，这几种情况下小球落地时速度大小相等吗
[答案] 尽管这几种情况下小球的运动过程不同，但是只有重力做功，小球的机械能守恒.小球在出发点时，各情况下的动能和重力势能相同(取地面为重力势能为零的参考面)，即初始位置的机械能相等，根据机械能守恒定律可得，则落地时的速度大小相等.
例2 如图所示，质量的跳水运动员从距水面高的跳台上以的速度斜向上起跳，最终落入水中.忽略运动员的身高，取，不计空气阻力.
(1) 求运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)；
[答案]
[解析] 以水面为参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为.
(2) 求运动员起跳时的动能；
[答案]
[解析] 运动员起跳时的速度为
则运动员起跳时的动能为.
(3) 求运动员入水时的速度大小，判断入水时的速度大小与起跳时的方向是否有关.
[答案] ; 无关
[解析] 运动员从起跳到入水过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒，有
解得
此速度大小与起跳时的方向无关.
变式2 [2024·广雅中学月考] 如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道由一段斜的直轨道和圆弧轨道平滑连接而成，圆弧轨道的半径为.一质量为的小物块从斜轨道上的某处由静止开始下滑，然后沿圆弧轨道运动.要求物块能通过圆弧轨道最高点，且在该最高点时对轨道的压力不能超过(为重力加速度).求物块初始位置相对于圆弧轨道底部的高度的取值范围.
[答案]
[解析] 设物块在圆弧轨道最高点时速度为，取圆弧轨道底部所在水平面为零势能面，由机械能守恒定律得
物块在圆弧轨道最高点时受到重力和轨道的压力,重力与压力的合力提供向心力，有
物块能通过最高点的条件是
联立得，
由于，故
则
所以的取值范围是.
例3 如图所示，一内壁光滑的闭合椭圆形管道置于竖直平面内，是通过椭圆中心点的水平线.一小球从点出发，初速度大小为，沿管道运动，到点时速度大小为，所需时间为；若该小球仍由
A
A.， B.， C.， D.，
[解析] 根据机械能守恒定律得，小球沿着管道运动时，先减速后加速，小球沿着管道运动时，先加速后减速，前者平均速率小,后者平均速率大,运动的路程相同,故，选项A正确.
点以初速度出发，而沿管道运动，到点时速度大小为，所需时间为,则( )
【要点总结】
1.应用机械能守恒定律解题时的一般步骤
2.常见的机械能守恒定律表达式
表达式 物理意义
守恒角度 初状态的机械能等于末状态的机械能
转化角度 过程中动能的增加量等于势能的减少量
转移角度
1.下列运动过程中,机械能守恒的是( )
C
A.热气球缓缓升空 B.树叶从枝头飘落
C.掷出的铅球在空中运动 D.跳水运动员在水中下沉
[解析] 热气球缓缓升空过程中,空气的浮力做功,机械能不守恒,选项A错误;树叶从枝头飘落,所受的空气阻力不能忽略,空气阻力做负功,其机械能不守恒,选项B错误;掷出的铅球在空中运动时,所受空气的阻力对其运动的影响可以忽略,只有重力做功,其机械能守恒,选项C正确;跳水运动员在水中下沉时,所受水的浮力做负功,其机械能不守恒,选项D错误.
2.如图所示，将质量为的石块从离地面高处以初速度斜向上抛出.以地面为参考平面，不计空气阻力，重力加速度为.当石块落地时( )
D
A.动能为 B.动能为
C.重力势能为 D.机械能为
[解析] 不计空气阻力，石块的机械能守恒，以地面为参考平面，根据机械能守恒定律得，石块落地时动能为，故A、B错误；以地面为参考平面，石块落地时高度为0，则重力势能为0，故C错误；机械能等于重力势能与动能之和，则石块落地时机械能为，故D正确.
3.(多选)如图所示,细绳的一端固定于点,另一端系一小球,在点的正下方钉一个钉子.小球从一定高度处释放,不考虑 细 绳的质量和形变,不计一切阻力,细绳摆到竖直位置时,被钉子挡住,比较细绳被钉子挡住前、后瞬
间( )
BD
A.小球的动能变小 B.小球的动能不变
C.小球的重力势能变小 D.小球的机械能不变
[解析] 小球到达最低点时,速度方向沿水平方向,在钉子挡住细绳瞬间,合外力对小球做功为零,则小球的动能不变,故A错误,B正确;在钉子挡住细绳瞬间,小球的质量和高度不变,则小球的重力势能不变,故C错误;在钉子挡住细绳瞬间,小球的动能与重力势能都不变,则小球的机械能不变,故D正确.
4.(多选)如图所示,半径分别为和的两个光滑半圆形槽的圆心在同一水平面上,质量相等的两物体分别自两个半圆形槽左
CD
A.机械能均逐渐减小 B.经最低点时动能相等
C.均能到达半圆形槽右边缘最高点 D.机械能总是相等的
[解析] 两物体质量相等,开始时高度相同,释放时两物体的机械能相同,释放后两物体都是只有重力做功,机械能都守恒,到最低点时下降高度不同,重力势能不同,动能不同,A、B错误,D正确;根据机械能守恒定律可知,两物体均能到达等高的半圆形槽右边缘最高点,C正确.
边缘的最高点无初速度地释放,在下滑过程中,两物体( )
1.(机械能守恒的判定)(多选)如图所示,下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
CD
甲：火箭升空的过程
乙：力拉着物体匀速上升
丙：小球在水平面内做匀速圆周运动
丁：一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动
A.甲图中,在火箭升空的过程中,若火箭匀速升空,则机械能守恒,若火箭加速升空,则机械能不守恒
B.乙图中的物体匀速运动,机械能守恒
C.丙图中的小球做匀速圆周运动,机械能守恒
D.丁图中的弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动，机械能守恒
[解析] 甲图中,不论是匀速升空还是加速升空,由于推力都对火箭做正功,所以火箭的机械能都增加,故A错误;物体匀速上升,动能不变,重力势能增加,则机械能增加,故B错误;小球在做匀速圆周运动的过程中,细线的拉力不做功,机械能守恒,故C正确; 弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动，只有重力做功，所以弹丸的机械能守恒,故D正确.
甲：火箭升空的过程
乙：力拉着物体匀速上升
丙：小球在水平面内做匀速圆周运动
丁：一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动
2.(机械能守恒定律的基本应用)以相同大小的初速度将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况到达的最大高度分别为、和，不计空气阻力(斜上抛物体在最高点的速度方向水平)，则( )
D
A. B. C. D.
[解析] 竖直上抛的物体和沿斜面运动的物体上升到最高点时的速度均为0，由机械能守恒定律得，斜上抛的物体在最高点时的速度不为零，设为，有，所以，故D正确.
3.(机械能守恒定律的基本应用)[2024·惠州一中月考] 如图所示，不可伸长的轻质细绳的一端系一个小球，另一端固定于点，在点正下方钉一个钉子.小球从右侧某一位置(细绳处于拉直状态)由静止释放后摆下，不计空气阻力和细绳与钉子相碰时的能量损失.下列说法中正确的是( )
B
A.小球摆动过程中，所受向心力大小保持不变
B.细绳与钉子碰后的瞬间，小球的向心加速度突然变大
C.钉子的位置向上移动少许，在细绳与钉子相碰时绳就更容易断裂
D.小球在左侧所能到达的最高位置可能高于在右侧释放时的位置
[解析] 小球摆动过程中，速度大小变化，向心加速度大小变化，向心力大小变化，A错误；细绳与钉子碰后的瞬间，小球的线速度大小不变，运动半径变小，向心加速度变大，B正确；钉子的位置向下移动少许，在细绳与钉子相碰时，向心加速度更大，绳就更容易断裂，故C错误；由机械能守恒定律可知，小球在左侧所能到达的最高位置的高度等于在右侧释放时的位置的高度，D错误.
4.(机械能守恒定律的应用)如图所示，质量的运动员以的速度从滑雪场中高的点沿斜坡滑下，经最低点滑上另一斜坡(足够长).以点所在水平面为零势能面，一切阻力均可忽略不计,取.求：
(1) 运动员在点时的机械能；
[答案]
[解析] 运动员在点时的机械能
(2) 运动员到达最低点时的速度大小；
[答案]
[解析] 运动员从点运动到点的过程中，根据机械能守恒定律得
解得
(3) 运动员相对于点能到达的最大高度.
[答案]
[解析] 运动员从点运动到另一斜坡上最高点的过程中，由机械能守恒定律得
解得
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知识点一 机械能守恒定律的理解和判断
1.若不计空气的阻力，以下实例中运动物体机械能不守恒的是( )
A
A.物体沿斜面匀速下滑
B.物体做竖直上抛运动
C.物体做自由落体运动
D.用细绳拴着小球，使小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
[解析] 物体沿着斜面匀速下滑，动能不变，重力势能减小，机械能减小，所以物体的机械能不守恒，故A符合题意；物体做竖直上抛运动时，物体只受到重力的作用，机械能守恒，故B不符合题意；物体做自由落体运动时，物体只受到重力的作用，机械能守恒，故C不符合题意；小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，动能和重力势能均不变，其机械能守恒，故D不符合题意.
2.[2024·北京二中月考] 下列关于机械能守恒的说法中正确的是(忽略空气阻力)( )
C
A.将箭搭在弦上,拉弓的整个过程中,弓和箭组成的系统机械能守恒
B.过山车在动力作用下沿轨道缓慢上行,过山车的机械能守恒
C.蹦床比赛中运动员某次离开床垫在空中完成动作的过程中,运动员的机械能守恒
D.滑草运动中,某段时间内人与滑板车一起匀速下滑,人与滑板车的机械能守恒
[解析] 机械能守恒的条件是只有重力或系统内弹力做功.拉弓的整个过程中,人对弓和箭做功,机械能不守恒,选项A错误;过山车在动力的作用下沿轨道缓慢上行,有其他外力对过山车做功,机械能不守恒,选项B错误;滑草运动中,人与滑板车一起匀速下滑,有摩擦力做功,机械能不守恒,选项D错误;蹦床比赛中运动员离开床垫在空中完成动作的过程中,只有重力做功,机械能守恒,选项C正确.
知识点二 机械能守恒定律的应用
3.如图所示，在地面上以速度抛出质量为的物体，抛出后物体落到比地面低的海平面上，重力加速度为.若以地面为零势能面且不计空气阻力，有以下几种说法：①物体落到海平面时的重力势能为；②物体从抛出至落到海平面的过程中，重力对物体做功为；③物体落到海平面时动能为；④物体落到海平面时机械能为.其中正确的是( )
A
A.②③④ B.①②③ C.①③④ D.①②④
[解析] 以地面为零势能面，物体落到海平面时高度为，重力势能为，故①错误；质量为的物体从抛出到落到海平面的过程中，物体下落高度为，重力对物体做功为，故②正确；从地面落到海平面的过程中，根据动能定理得,物体落到海平面时动能为,故③正确；物体运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，所以在任一位置时机械能为，故④正确.故选A.
4.[2024·深圳中学月考] 某物体沿光滑斜面由静止开始下滑至斜面底端的过程中，若不计空气阻力，则如图所示的图像中能正确表示该物体的机械能随位移变化规律的是( )
D
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
[解析] 物体沿光滑斜面由静止开始下滑至斜面底端的过程中，若不计空气阻力，则只有重力对物体做功，物体的重力势能减小，动能增加，减小的重力势能全部转化为动能，物体的机械能随位移不发生改变，故A、B、C错误，D正确.
5.(多选)[2024·广州六中月考] 如图所示，一斜面体静止在水平地面上，一小滑块(可视为质点)从高度为的斜面顶端由静止释放后沿斜面下滑.重力加速度大小为，不计一切摩擦.滑块滑到斜面底端时的速度大小可能为( )
AB
A. B. C. D.
[解析] 设滑块滑到斜面底端时，斜面体的动能为，由机械能守恒定律有，可得，解得，故A、B正确.
6.(多选)[2024·天津一中月考] 长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹，战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为的手榴弹，手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹
AC
A.甲、乙在空中的运动时间相等
B.两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率不相等
C.从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能都减少
D.从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为
如图所示，重力加速度为，不计空气阻力，下列说法正确的有( )
[解析] 手榴弹做平抛运动，竖直方向满足，故甲、乙在空中的运动时间相等，A正确；从投出到落地，每颗手榴弹下降的高度均为，重力势能都减少，C正确；从投出到落地，只有重力做功，满足机械能守恒，故每颗手榴弹的机械能变化量为0，D错误；手榴弹在落地前瞬间，重力的功率可表示为，即两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等，B错误.
7.(多选)如图所示，轻弹簧竖立在地面上，其正上方有一小球从处自由下落，落到处时开始与弹簧接触，此后向下压缩弹簧；小球运动到处时，弹簧对小球的弹力与小球的重力平衡；小球运动到处时，到达最低点.不计空气阻力，以下描述正确的是 ( )
BD
A.小球由向运动的过程中，处于完全失重状态，小球的机械能减少
B.小球由向运动的过程中，处于失重状态，小球的机械能减少
C.小球由向运动的过程中，处于超重状态，小球的动能增加
D.小球由向运动的过程中，处于超重状态，小球的机械能减少
[解析] 小球由A向B运动的过程中,做自由落体运动,处于完全失重状态，只有重力做功,机械能守恒,A错误;C点是小球的平衡位置，所以小球由B向C运动的过程中,弹力小于重力,加速度向下,处于失重状态，速度增大，动能增加，弹力对小球做负功,故小球的机械能减少，B正确，C错误；小球由C向D运动的过程中,减速下降,加速度向上,处于超重状态，弹力对小球做负功,故小球的机械能减少，D正确.
8.[2024·广州中学月考] 水平地面上的物体由静止开始竖直向上运动，在运动过程中，物体的动能与位移的关系图像如图所示，重力加速度为,则满足物体机械能守恒的阶段是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 在阶段，动能的增加量为，重力势能的增加量为，机械能增加了，机械能不守恒，A错误；在阶段，动能不变，重力势能的增加量为，机械能增加，机械能不守恒，B错误；在阶段，动能减少，重力势能的增加量为，机械能守恒，C正确；在阶段，动能减少，重力势能的增加量为，机械能增加，机械能不守恒，D错误.
9.(多选)[2024·中山期末] 如图，跳水运动员踏板的过程可以简化为下述模型：运动员从高处落到处于自然状态的跳板上位置，随跳板一同向下做变速运动到达最低点位置.运动员从位置运动到位置的过程中，下列说法正确的是( )
BC
A.运动员的机械能守恒 B.运动员的动能先增大后减小
C.重力做的功小于跳板的作用力对她做的功 D.到达位置时，运动员所受合外力为零
[解析] 运动员从位置A运动到位置B的过程中，除重力做功外还有跳板对运动员的作用力做功，故此过程运动员的机械能不守恒，故A错误；运动员接触跳板后，重力先大于跳板对运动员的作用力，后小于跳板对运动员的作用力，运动员所受合力方向先向下后向上，故合力先做正功后做负功，运动员的动能先增大后减小，故B正确；根据动能定理有可得，可知重力做的功小于跳板的作用力对她做的功，故C正确；到达位置B时，运动员的速度为零，跳板对运动员的作用力大于重力，运动员所受合外力不为零，故D错误.
10.[2024·广东实验中学月考] 如图所示，质量为的物体，从相对地面高度为的处做平抛运动，初速度大小为；经过一段时间后，物体下落到相对地面高度为的位置处，速度大小为.不计空气阻力，选地面为重力势能的参考平面，重力加速度为.请根据“动能定理”“重力做功与重力势能的关系”，论证：物体在处的机械能与在处的机械能相等.
[答案] 见解析
[解析] 物体在处的机械能为
物体在处的机械能为
从到，根据动能定理得合力做的功
重力在此过程做的功等于物体重力势能的减少量
此过程合力只有重力，合力做的功等于重力所做的功，即
联立可得
即
所以物体在、的机械能相等.
11.[2024·浙江杭州期末] 如图所示,用细圆管组成的光滑轨道中，部分平直,部分是处于竖直平面内的半径为的半圆,圆管截面半径.有一质量为、半径比略小的光滑小球以水平初速度射入圆管.(重力加速度为)
(1) 要使小球能从端出来,求初速度应满足的条件；
[答案]
[解析] 从至的过程中,根据机械能守恒定律得
在最高点时，小球速度
联立解得.
(2) 若小球从端出来的瞬间对管壁的压力大小为,则小球的初速度应为多大
[答案] 或
[解析] 小球在处时受到重力和细圆管竖直方向的作用力,根据牛顿第二定律得
又
解得
根据牛顿第三定律，分情况讨论:
当小球对上边缘有压力时,
解得
当小球对下边缘有压力时,
解得.
