第七节 生产和生活中的机械能守恒
[模型建构] 只有重力做功,重力势能转化为动能
例1 (1)120 W (2)30 J
[解析] (1)撤去F前,根据动能定理,有(F-mg)h=Ek-0
由图像乙得斜率为k=F-mg=20 N
代入数据解得F=30 N
又由图像得,h=0.4 m时Ek=8 J
由Ek=mv2得v=4 m/s
代入数据解得PF=Fv=120 W.
(2)撤去拉力F后物体仅受重力作用,由机械能守恒定律得Ek1+mgh1=Ek2
由图像乙得h1=1 m时,Ek1=20 J,代入上式解得Ek2=30 J.
例2 (1)20 m (2)1.25×104 J (3)1 000 J
[解析] (1)滑雪者从B到C做平抛运动,竖直方向上有hBC=gt2,得hBC=20 m. (2分)
(2)从B到C,以C点所在水平面为参考平面,根据机械能守恒定律,有m+mghBC=m (1分)
滑雪者在C处的动能EkC=m (1分)
联立可得EkC=1.25×104 J. (2分)
(3)滑雪者在AB段,根据动能定理有
mghAB-Wf=m-0 (2分)
得Wf=mghAB-m=1000 J. (2分)
[模型建构] 不是
例3 (1) 2.5R (2)3mg
[解析] (1)小球恰能通过最高点,即小球通过最高点时恰好不受轨道的压力,由牛顿第二定律得mg=m
小球在最高点处的速度至少为v=
小球由静止运动到最高点的过程中,只有重力做功,由机械能守恒定律得mgh=mv2+mg·2R
联立解得h=2.5R.
(2)h'=4R时,小球由静止运动到最高点的过程中,由机械能守恒定律得mgh'=mv'2+mg·2R
解得v'=2
小球在最高点,由牛顿第二定律得FN+mg=m
解得FN=3mg
根据牛顿第三定律知,小球在通过圆轨道最高点时对轨道的压力是3mg.
随堂巩固
1.A [解析] 从开始到下落至最低点的过程中,弹性绳未拉直时,只有重力做功,小明的机械能守恒,保持不变;当弹性绳拉直后,弹性绳的弹力一直对小明做负功,其机械能逐渐减小,故A正确.从开始到下落至最低点的过程中,弹性绳未拉直时,小明只受重力,加速度保持不变;弹性绳拉直后,合力向下且逐渐减小,加速度变小;速度达到最大值后,合力向上且逐渐增加,加速度变大,故B错误.依题意,可知小明下落速度最大处应是小明加速度为零时,即弹性绳的弹力等于小明重力时,小明速度最大,故C错误.根据系统机械能守恒可知,从开始到下落速度最大,小明动能的增加量与弹性绳弹性势能增加量之和等于小明重力势能的减少量,故D错误.
2.BD [解析] 由于不计运动员经过N点的机械能损失及运动过程中的摩擦力和空气阻力,故整个过程中运动员的机械能守恒,A错误,B正确;MN段为以初速度为0的匀加速运动,由功能关系得动能 Ek与水平位移s成正比,NP段为匀速运动,动能不变,PQ段为平抛运动,有Ek=mgh+m,又因为水平向有Δs=v0t,竖直方向有h=gt2,联立得Ek=mg2+m,所以PQ段的Ek-s图像为抛物线,C错误,D正确.
3.B [解析] 小球进入圆形轨道后刚好能通过c点,由牛顿第二定律有mg=m,得vc=,小球到达c点的动能为Ek=m=mgR,A错误;小球从a点到c点,根据机械能守恒,有m=m+mg·2R,解得v0=,B正确;小球到达b点时,由牛顿第二定律有F-mg=,解得轨道对小球的支持力F=6mg,根据牛顿第三定律知小球对轨道的压力为6mg,故C错误;小球离开c点做平抛运动,由2R=gt2得t=2, 小球在直轨道上的落点d与b点距离s=vct=2R,D错误.第七节 生产和生活中的机械能守恒
1.B [解析] 运动员着网前做自由落体运动,机械能守恒,则mgh+0=0+mv2,解得v=8 m/s,故选B.
2.D [解析] 重锤做自由落体运动,由机械能守恒定律得mgh=mv2,落地速度v=,下落过程重力的平均功率=mg=mg=mg,A、B错误;落地时重力的瞬时功率P=mgv=mg,C错误,D正确.
3.ACD [解析] 小球从A到B的过程中,根据机械能守恒定律可得mg·=mv2,解得v=,A正确;在B点,当重力恰好提供向心力时,有mg=m,解得vB=,所以当小球到达B点时,对光滑半球的压力为零,即从B点开始做平抛运动,B错误,C正确;对整个过程由机械能守恒定律,有mg·R=m,解得vC=,故D正确.
4.C [解析] 由机械能守恒定律,可得mgR=mv2,小球下滑至B点时的速度v=,方向水平向右.在B点做圆周运动的临界速度v0=,由于v>v0,所以小球将做平抛运动,结合平抛运动规律y=R=gt2,x=vt,得x=2R,则小球落地点到A点的水平距离为3R,故C正确.
5.B [解析] 图a、c、d中小球到达h高度的速度可以为零,根据机械能守恒定律得,mgh+0=mgh'+0,则h'=h,故A、C、D不符合题意;图b中小球到达h高度时的速度不能为零,否则无法做圆周运动,故B符合题意.
6.BC [解析] 运动员从起跳区水平起跳后做平抛运动,在空中只受到重力,加速度为重力加速度,根据加速度定义式有Δv=gt,Δv-t函数图像为一条过原点直线,故A错误;运动员从起跳区水平起跳后在竖直方向做自由落体运动,则vy=gt,重力的瞬时功率为P=mgv=mg2t,P-t函数图像为一条过原点的直线,故B正确;运动员从起跳区水平起跳后运动员的速度为v=运动员的动能为Ek=mv2=m+mg2t2,Ek-t函数图像为抛物线的一部分,顶点在纵轴的正半轴,故C正确;运动员从起跳区水平起跳后在空中只受到重力,机械能守恒,E-t函数图像为平行于横轴的一条直线,故D错误.
7.CD [解析] 设平台距离地面的高度为H,特战队员落地时的速率为v,特战队员从开始下摆到落地,绳索的拉力不做功,根据机械能守恒定律有mgH=mv2,得v=,v的大小与绳索长度无关,故A错误;设绳索的长度为L,放开绳索时,特战队员的水平速度为v1,则特战队员在抓住绳索下摆的过程中,根据机械能守恒定律有mgL=m,得v1=,特战队员放开绳索后做平抛运动,则特战队员总的水平位移大小x=L+v1t,又在竖直方向上有H-L=gt2,得x=L+2,若绳索越长,则对应L越大,v1越大,令L=H得x=L,不是x的最大值,故B错误,C正确;特战队员落地时的竖直方向速度大小为vy==,故D正确.
8.(1)4 m/s (2)4 J (3)3.2 m
[解析] (1)小球通过C点时,由牛顿第二定律有mg=m
解得vC=4 m/s
(2)小球从释放至运动到C点,由机械能守恒定律有Ep=2mgR+m
解得Ep=4 J
(3)小球从C到E的过程中,由机械能守恒定律有mg(2R-h)=m-m
又由平抛运动规律有h=gt2
且x=vEt
解得x=3.2 m
9.(1)60° (2)4 m/s≤v≤5 m/s
[解析] (1)假设在B点时绳子正好被拉断,由牛顿第二定律得T-mg=m
代入数据解得v=4 m/s
从A到B过程,根据机械能守恒可得mgL(1-cos θ)=mv2
代入数据解得θ=60°
若轻绳不被拉断,开始下摆时偏离竖直方向的最大角度θ=60°.
(2)小明离开平板车后做平抛运动,竖直方向有y=gt2
解得t==0.6 s
离C点水平位移最小为x-R=vmint
解得vmin=4 m/s
离C点水平最大位移为x+R=vmaxt
解得vmax=5 m/s
则小明跳离平板车时的速度范围为4 m/s≤v≤5 m/s.第七节 生产和生活中的机械能守恒
学习任务一 机械能守恒与自由落体运动模型的综合
[模型建构] 落锤打桩机主要由桩锤、卷扬机和导向架组成,分析桩锤自由下落时的做功和能量转化情况.
例1 [2024·深圳一中月考] 打桩机是利用冲击力将桩贯入地层的桩工机械.某同学对打桩机的工作原理产生了兴趣,他构建了一个打桩机的简易模型,如图甲所示.他设想,用恒定大小的拉力F拉动绳端B,使物体从A点(与钉子接触处)由静止开始运动,上升一段高度后撤去F,物体运动到最高点后自由下落并撞击钉子,将钉子打入一定深度.按此模型分析,若物体质量m=1 kg,上升了1 m高度时撤去拉力,撤去拉力前物体的动能Ek与上升高度h的关系图像如图乙所示.(g取10 m/s2,不计空气阻力)求:
(1)物体上升到0.4 m处时F的瞬时功率;
(2)物体撞击钉子时的动能.
【要点总结】
1.自由落体模型是一种简单、简洁的运动模型,该运动模型中物体只受重力,机械能守恒.
2.求解自由落体的速度既可以用匀变速直线运动的规律,也可以用动能定理或机械能守恒定律,但求解能量时只能用动能定理或机械能守恒定律,机械能守恒定律比动能定理更简洁,不用考虑中间过程,只考虑始末状态即可.
学习任务二 机械能守恒与抛体运动模型的综合
[模型建构] 跳台滑雪是滑雪运动项目的一种.运动员跃入空中,使整个身体在空中飞行一小段时间后落在坡面上.为确保运动员的安全,同时使空中飞行的距离尽量远,需要综合考虑运动员速度、坡面倾斜度和跳台高度等要素.运动员做抛体运动过程中,无论做的是平抛、斜抛、竖直下抛或竖直上抛等,只要是忽略空气阻力的抛体运动,运动员的机械能都守恒.
例2 (10分)2022年第24届冬季奥林匹克运动会在中国成功举行,跳台滑雪是其中的比赛项目之一.如图所示为简化后的跳台滑雪赛道示意图的一部分.一个质量为50 kg的滑雪者(含滑板)从助滑道上的A处由静止滑下,滑到B处以速度10 m/s水平飞出做平抛运动,落到着陆坡上的C处.已知A、B间高度差为7 m,滑雪者从B到C的时间为 2 s,不计空气阻力的影响,滑雪者可视为质点,重力加速度g取10 m/s2.求:
(1)B、C之间的高度差;
(2)滑雪者落到C处时的动能;
(3)滑雪者从A滑到B克服助滑道阻力所做的功.
规范答题区 自评项目 (共100分) 自评 得分
书写工整无涂抹(20分)
有必要的文字说明(20分)
使用原始表达式、无代数过程(30分)
有据①②得③等说明(10分)
结果为数字的带有单位,求矢量的有方向说明(20分)
【要点总结】
1.抛体运动模型包括上抛、下抛、平抛、斜抛等,各种抛体运动模型中物体只受重力作用,物体的机械能守恒,如果只求解速度的大小,应用机械能守恒定律最简单.
2.如果求解时间或者涉及速度的方向,宜用分解的思想化曲为直,将曲线运动分解为简单的直线运动,再求解.
3.若涉及多过程问题,前一个过程的末速度即为后一个过程的初速度,前一个过程的末动能即为后一个过程的初动能.
学习任务三 机械能守恒与圆周运动模型的综合
[模型建构] 过山车由倾斜轨道和圆形轨道组成.思考:若过山车从倾斜轨道上任意一点释放,是否都可以安全通过圆形轨道
例3 游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行,游客却不会掉下来,如图甲所示.我们把这种情况抽象为如图乙所示的模型:半径为R的圆弧轨道竖直放置,下端与弧形轨道相切,使质量为m的小球从弧形轨道上端无初速度滚下,小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动.实验表明,只要h大于一定值,小球就可以顺利通过圆轨道的最高点.(不考虑摩擦及空气阻力)
(1)若小球恰能通过最高点,则小球在最高点的速度为多大 此时对应的h多高
(2)若h'=4R,则小球在通过圆轨道的最高点时对轨道的压力是多少
【要点总结】
1.圆周运动模型中如果圆弧轨道光滑,忽略空气阻力,此时物体除了受到重力作用,还有圆弧轨道的支持力或者绳子的拉力,但弹力与速度垂直不做功,物体的机械能守恒.
2.在竖直面内的圆周运动模型中,经常在最高点(或等效最高点)、最低点(或等效最低点)要分析向心力来源,应用合力提供向心力列方程.
3.解题时题眼往往是恰好通过圆周的最高点,其临界条件是FN=0,mg=m,即通过最高点的最小速度为v=.
1.(机械能守恒与自由落体运动模型的综合)[2024·荔湾期末] 如图所示,小明在体验蹦极运动时,把一端固定的长弹性绳绑在踝关节处,从高处由静止落下.将小明的蹦极过程近似为在竖直方向的运动,在运动过程中,把小明视作质点,不计空气阻力.下列判断中正确的是 ( )
A.从开始到下落至最低点的过程中,小明的机械能先不变后变小
B.从开始到下落至最低点的过程中,小明的加速度先变小后变大
C.下落到弹性绳刚好被拉直时,小明的下落速度最大
D.从开始到下落速度最大的过程中,小明动能的增加量等于其重力势能的减少量
2.(机械能守恒与抛体运动模型的综合)(多选)[2024·深圳期末] 滑雪道的示意图如图所示.可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下,经过水平NP段后进入空中,落在斜面上的Q点.不计运动员经过N点的机械能损失,不计一切摩擦和空气阻力.从M到Q的过程中,下列关于运动员机械能E和动能Ek随水平位移s变化的图像合理的是 ( )
A B
C D
3.(机械能守恒与圆周运动模型的综合)[2024·佛山一中月考] 水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc相切,一质量为m的小球以一定初速度沿直轨道向右运动,如图所示,小球进入圆形轨道后刚好能通过c点,然后小球做平抛运动落在直轨道上的d点,则 ( )
A.小球到达c点的动能为mgR
B.小球的初速度为
C.小球到达b点时对轨道的压力为5mg
D.小球在直轨道上的落点d与b点距离为R第七节 生产和生活中的机械能守恒建议用时:40分钟
1.蹦床运动是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目.一个质量为60 kg的运动员,从离水平网面3.2 m高处自由下落,则运动员着网时的速度大小为(重力加速度g取10 m/s2) ( )
A.6 m/s B.8 m/s C.10 m/s D.12 m/s
2.[2024·湛江期末] 如图为打桩机工作的示意图.打桩机重锤的质量为m,从距离木桩顶端高h处自由下落击打木桩,重力加速度为g.则重锤 ( )
A.自由下落过程中重力的平均功率为mg
B.自由下落过程中重力的平均功率为mg
C.击打木桩前瞬间,重力的瞬时功率为mg
D.击打木桩前瞬间,重力的瞬时功率为mg
3.(多选)如图所示,光滑半球的半径为R,球心为O,固定在水平面上,其上方有一个光滑曲面轨道AB,高度为.轨道底端水平并与半球顶端相切于B点,质量为m的小球由A点静止滑下,最后落在水平面上的C点.重力加速度为g,则 ( )
A.小球运动到B点的速度为
B.小球运动到B点时对光滑半球的压力为mg
C.小球离开B点后将做平抛运动
D.小球运动到C点时的速率为
4.如图所示,水平地面上固定一个光滑轨道ABC,该轨道由两个半径均为R的四分之一圆弧平滑连接而成,O1、O2分别为两段圆弧所对应的圆心, O1、O2的连线竖直,现将一质量为m的小球(可视为质点)由轨道上的A点静止释放,则小球落地点到A点的水平距离为 ( )
A.2R B.R C.3R D.R
5.如图所示,可视为质点的小球以初速度v0从光滑斜面底端向上滑,恰能到达高度为h的斜面顶端.下图四种运动中小球在最低点的水平初速度都为v0,不计空气阻力,则小球不能到达高度h的是 ( )
A.图a中小球滑入轨道半径等于h的光滑管道
B.图b中小球系在半径大于h而小于h的轻绳下端
C.图c中小球滑入半径大于h的光滑轨道
D.图d中小球固定在长为h的轻杆下端
6.(多选)[2024·北京四中月考] 北京2022年冬奥会跳台滑雪比赛在张家口赛区的国家跳台滑雪中心进行,跳台由助滑道、起跳区、着陆坡、停止区组成,如图所示.运动员从起跳区水平起跳后在空中运动的速度变化量、重力的瞬时功率、动能、机械能分别用Δv、P、Ek、E表示,用t表示运动员在空中的运动时间,设起跳处为零势能参考面,不计空气阻力,下列图像中可能正确的是 ( )
A B
C D
7.(多选)特战队员在进行训练时,抓住一端固定在同一水平高度的绳索的另一端,从高度一定的平台上由水平状态无初速度开始下摆,如图所示,在绳索到达竖直状态时特战队员放开绳索,随后被水平抛出直到落地.不计绳索质量和空气阻力,特战队员可看成质点,绳索一直处于伸直状态.下列说法正确的是 ( )
A.绳索越长,特战队员落地时的速率越大
B.绳索越长,特战队员落地时的水平位移越大
C.绳索越长,特战队员落地时的水平方向速度越大
D.绳索越长,特战队员落地时的竖直方向速度越小
8.一种弹射游戏装置的简化示意图如图所示,它由弹射器、水平直轨道AB、半径R=1.6 m的竖直圆轨道BC、倾斜轨道DE连接组成,E点距地高度h=0.8 m,小球经过E点后将沿水平方向射出.质量为m=0.1 kg(可视为质点)小球经弹射器水平弹出后,恰能通过C点,不计一切阻力,重力加速度g取10 m/s2.求:
(1)小球通过C点时的速度大小;
(2)弹簧储存的弹性势能Ep;
(3)小球落地时的水平射程.
9.[2024·中山期末] 如图所示,小明参加户外竞技活动,站在平台边缘A点抓住轻绳一端(绳子刚好被拉直),轻绳另一端固定在O点.小明从静止往下摆,达到O点正下方B点突然松手,顺利落到静止在水平平台的平板车上,然后随平板车一起向右运动.到达C点时,小明跳离平板车(近似认为水平跳离),安全落到漂浮在水池中的圆形浮漂上.已知绳长L=1.6 m,能够承受的最大拉力为1200 N,浮漂圆心与C点的水平距离x=2.7 m、竖直高度y=1.8 m,浮漂半径R=0.3 m(不计浮漂厚度),小明的质量m=60 kg.重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)若轻绳不被拉断,开始下摆时偏离竖直方向的最大角度θ;
(2)小明跳离平板车的速度范围.(共51张PPT)
第七节 生产和生活中的机械能守恒
学习任务一 机械能守恒与自由落体运动模型的综合
学习任务二 机械能守恒与抛体运动模型的综合解答规范
学习任务三 机械能守恒与圆周运动模型的综合
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
学习任务一 机械能守恒与自由落体运动模型的综合
［模型建构］ 落锤打桩机主要由桩锤、卷扬机和导向架组成，分析桩锤自由下落时的做功和能量转化情况.
[答案] 只有重力做功，重力势能转化为动能
例1 [2024·深圳一中月考] 打桩机是利用冲击力将桩贯入地层的桩工机械.某同学对打桩机的工作原理产生了兴趣,他构建了一个打桩机的简易模型，如图甲所示.他设想，用恒定大小的拉力拉动绳端，使物体从点(与钉子接触处)由静止开始运动，上升一段高度后撤去，物体运动到最高点后自由下落并撞击钉子，将钉子打入一定深度.按此模型分析，若物体质量，上升了高度时撤去拉力，撤去拉力前物体的动能与上升高度的关系图像如图乙所示.(取，不计空气阻力)求：
(1) 物体上升到处时的瞬时功率；
[答案]
[解析] 撤去前，根据动能定理，有
由图像乙得斜率为
代入数据解得
又由图像得，时
由得
代入数据解得.
(2) 物体撞击钉子时的动能.
[答案]
[解析] 撤去拉力后物体仅受重力作用，由机械能守恒定律得
由图像乙得时，，代入上式解得.
【要点总结】
1.自由落体模型是一种简单、简洁的运动模型，该运动模型中物体只受重力，机械能守恒.
2.求解自由落体的速度既可以用匀变速直线运动的规律，也可以用动能定理或机械能守恒定律，但求解能量时只能用动能定理或机械能守恒定律，机械能守恒定律比动能定理更简洁，不用考虑中间过程，只考虑始末状态即可.
学习任务二 机械能守恒与抛体运动模型的综合&1& .
［模型建构］ 跳台滑雪是滑雪运动项目的一种.运动员跃入空中，使整个身体在空中飞行一小段时间后落在坡面上.为确保运动员的安全，同时使空中飞行的距离尽量远，需要综合考虑运动员速度、坡面倾斜度和跳台高度等要素.运动员做抛体运动过程中，无论做的是平抛、斜抛、竖直下抛或竖直上抛等，只要是忽略空气阻力的抛体运动，运动员的机械能都守恒.
例2 (10分)2022年第24届冬季奥林匹克运动会在中国成功举行，跳台滑雪是其中的比赛项目之一.如图所示为简化后的跳台滑雪赛道示意图的一部分.一个质量为的滑雪者(含滑板)从助滑道上的处由静止滑下，
(1) 、之间的高度差；
[答案]
[解析] 滑雪者从到做平抛运动，竖直方向上有，得.(2分)
滑到处以速度水平飞出做平抛运动，落到着陆坡上的处.已知、间高度差为，滑雪者从到的时间为，不计空气阻力的影响，滑雪者可视为质点，重力加速度取.求：
(2) 滑雪者落到处时的动能；
[答案]
[解析] 从到，以点所在水平面为参考平面，根据机械能守恒定律，有(1分)
滑雪者在处的动能(1分)
联立可得.(2分)
(3) 滑雪者从滑到克服助滑道阻力所做的功.
[答案]
[解析] 滑雪者在段，根据动能定理有
(2分)
得.(2分)
【要点总结】
1.抛体运动模型包括上抛、下抛、平抛、斜抛等，各种抛体运动模型中物体只受重力作用，物体的机械能守恒，如果只求解速度的大小，应用机械能守恒定律最简单.
2.如果求解时间或者涉及速度的方向，宜用分解的思想化曲为直，将曲线运动分解为简单的直线运动，再求解.
3.若涉及多过程问题，前一个过程的末速度即为后一个过程的初速度，前一个过程的末动能即为后一个过程的初动能.
学习任务三 机械能守恒与圆周运动模型的综合
［模型建构］ 过山车由倾斜轨道和圆形轨道组成.思考：若过山车从倾斜轨道上任意一点释放，是否都可以安全通过圆形轨道？
[答案] 不是
例3 游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来，如图甲所示.我们把这种情况抽象为如图乙所示的模型：半径为的圆弧轨道竖直放置，下端与弧形轨道相切，使质量为的小球从弧形轨道上端无初速度滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动.实验表明，只要大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点.(不考虑摩擦及空气阻力)
(1) 若小球恰能通过最高点，则小球在最高点的速度为多大？此时对应的多高？
[答案] ;
[解析] 小球恰能通过最高点，即小球通过最高点时恰好不受轨道的压力，由牛顿第二定律得
小球在最高点处的速度至少为
小球由静止运动到最高点的过程中，只有重力做功，由机械能守恒定律得
联立解得.
(2) 若，则小球在通过圆轨道的最高点时对轨道的压力是多少？
[答案]
[解析] 时，小球由静止运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律得
解得
小球在最高点，由牛顿第二定律得
解得
根据牛顿第三定律知，小球在通过圆轨道最高点时对轨道的压力是.
【要点总结】
1.圆周运动模型中如果圆弧轨道光滑，忽略空气阻力，此时物体除了受到重力作用，还有圆弧轨道的支持力或者绳子的拉力，但弹力与速度垂直不做功，物体的机械能守恒.
2.在竖直面内的圆周运动模型中，经常在最高点(或等效最高点)、最低点(或等效最低点)要分析向心力来源，应用合力提供向心力列方程.
3.解题时题眼往往是恰好通过圆周的最高点，其临界条件是，，即通过最高点的最小速度为.
1.如图是一种底部装有弹簧的新型弹簧鞋，可以提高垂直弹跳高度.当人穿着弹簧鞋从某高处下落，着地后开始压缩弹簧至最低点，随后人被弹到更高的高度，整个过程都在竖直方向上运动，那么从人开始向上运动到弹簧鞋恰好离开地面的整个过程中，下列说法正确的是( )
C
A.人处于超重的状态
B.人一直做加速运动
C.人和弹簧鞋组成的系统机械能守恒
D.弹簧的弹性势能全部转化为人和弹簧鞋的动能
[解析] 从人开始向上运动到弹簧鞋恰好离开地面的整个过程中，弹簧弹力先大于人的重力，加速度向上，超重，人向上做加速运动；然后弹簧的弹力小于人的重力，加速度向下，失重，人向上减速，则选项A、B错误；人和弹簧鞋组成的系统，只有重力和弹力做功，机械能守恒，选项C正确；弹簧的弹性势能全部转化为人和弹簧鞋的动能以及重力势能，选项D错误.
2.(多选)滑雪道的示意图如图所示.可视为质点的运动员从斜坡上的点由静止自由滑下，经过水平段后进入空中，落在斜面上的点.不计运动员经过点的机械能损失，不计一切摩擦和空气阻力.从到的过程中，下列关于运动员机械能和动能随水平位移变化的图像合理的是( )
BD
A.&6& B.&7& C.&8& D.&9&
[解析] 由于不计运动员经过点的机械能损失及运动过程中的摩擦力和空气阻力，故整个过程中运动员的机械能守恒，A错误，B正确；设斜坡倾角为 ，在段由动能定理得，则动能与水平位移成正比,在段做匀速运动，动能不变，在段做平抛运动，有，又有，故，C错误，D正确.
3.如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨道、圆心为的竖直半圆轨道、水平直轨道及弹性板等组成，半圆轨道最高点与水平直轨道右端点处在同一竖直线上，且点略高于点.已知可视为质点的滑块质量，轨道的半径，轨道的长度，滑块与轨道间的动摩擦因数，其余各部分轨道均
光滑.游戏时滑块从点弹出，经过圆轨道并滑上水平直轨道.弹簧的弹性势能最大值，弹射器中滑块与弹簧相互作用时，机械能损失忽略不计，滑块与弹性板作用后以等大速率弹回，不计滑块通过之间的能量损失，取.
(1) 求滑块恰好能通过点的速度大小；
[答案]
[解析] 恰好通过点时，由重力提供向心力，则有
解得
(2) 若弹簧的弹性势能，求滑块运动到与圆心等高的点时所受弹力大小；
[答案]
[解析] 滑块从到，由机械能守恒定律得
在点，轨道的弹力提供向心力，由牛顿第二定律得
联立解得
(3) 若滑块最终静止在水平直轨道上，求弹簧的弹性势能的范围.
[答案] 见解析
[解析] 若滑块恰能通过半圆轨道最高点，则有
若滑块以最大弹性势能弹出时，能停在水平直轨道上，在上滑行的最大路程为，则有
代入数据解得
在轨道上往返一次损失的能量为
可知，若滑块最终静止在水平直轨道，如下两种情况满足要求：
①，则有
解得
②，则有
解得
1.(机械能守恒与自由落体运动模型的综合)[2024·荔湾期末] 如图所示，小明在体验蹦极运动时，把一端固定的长弹性绳绑在踝关节处，从高处由静止落下.将小明的蹦极过程近似为在竖直方向的运动，在运动过程中，把小明视作质点，不计空气阻力.下列判断中正确的是( )
A
A.从开始到下落至最低点的过程中，小明的机械能先不变后变小
B.从开始到下落至最低点的过程中，小明的加速度先变小后变大
C.下落到弹性绳刚好被拉直时，小明的下落速度最大
D.从开始到下落速度最大的过程中，小明动能的增加量等于其重力势能的减少量
[解析] 从开始到下落至最低点的过程中，弹性绳未拉直时，只有重力做功，小明的机械能守恒，保持不变；当弹性绳拉直后，弹性绳的弹力一直对小明做负功，其机械能逐渐减小，故A正确.从开始到下落至最低点的过程中，弹性绳未拉直时，小明只受重力，加速度保持不变；弹性绳拉直后，合力向下且逐渐减小，加速度变小；速度达到最大值后，合力向上且逐渐增加，加速度变大，故B
错误.依题意，可知小明下落速度最大处应是小明加速度为零时，即弹性绳的弹力等于小明重力时，小明速度最大，故C错误.根据系统机械能守恒可知，从开始到下落速度最大，小明动能的增加量与弹性绳弹性势能增加量之和等于小明重力势能的减少量，故D错误.
2.(机械能守恒与抛体运动模型的综合)(多选)[2024·深圳期末] 滑雪道的示意图如图所示.可视为质点的运动员从斜坡上的点由静止自由滑下，经过水平段后进入空中，落在斜面上的点.不计运动员经过点的机械能损失，不计一切摩擦和空气阻力.从到的过程
BD
A.&2& B.&3& C.&4& D.&5&
中，下列关于运动员机械能和动能随水平位移变化的图像合理的是( )
[解析] 由于不计运动员经过点的机械能损失及运动过程中的摩擦力和空气阻力，故整个过程中运动员的机械能守恒，A错误，B正确；段为以初速度为0的匀加速运动，由功能关系得动能与水平位移成正比，段为匀速运动，动能不变，段为平抛运动，有，又因为水平向有,竖直方向有,联立得,所以段的图像为抛物线，C错误，D正确.
3.(机械能守恒与圆周运动模型的综合)[2024·佛山一中月考] 水平光滑直轨道与半径为的竖直半圆形光滑轨道相切，一质量为的小球以一定初速度沿直轨道向右运动，如图所示，小球进入圆形轨道后刚好能通过点，然后小球做平抛运动落在直轨道上的点，则( )
B
A.小球到达点的动能为 B.小球的初速度为
C.小球到达点时对轨道的压力为 D.小球在直轨道上的落点与点距离为
[解析] 小球进入圆形轨道后刚好能通过点，由牛顿第二定律有，得，小球到达点的动能为，A错误；小球从点到点，根据机械能守恒，
有，解得，B正确；小球到达点时，由牛顿第二定律有，解得轨道对小球的支持力，根据牛顿第三定律知小球对轨道的压力为，故C错误；小球离开点做平抛运动，由得，小球在直轨道上的落点与点距离，D错误.
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1.蹦床运动是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目.一个质量为的运动员，从离水平网面高处自由下落，则运动员着网时的速度大小为重力加速度取( )
B
A. B. C. D.
[解析] 运动员着网前做自由落体运动，机械能守恒，则，解得，故选B.
2.[2024·湛江期末] 如图为打桩机工作的示意图.打桩机重锤的质量为，从距离木桩顶端高处自由下落击打木桩，重力加速度为.则重锤( )
D
A.自由下落过程中重力的平均功率为
B.自由下落过程中重力的平均功率为
C.击打木桩前瞬间，重力的瞬时功率为
D.击打木桩前瞬间，重力的瞬时功率为
[解析] 重锤做自由落体运动，由机械能守恒定律得，落地速度，下落过程重力的平均功率，A、B错误；落地时重力的瞬时功率，C错误，D正确.
3.(多选)如图所示，光滑半球的半径为，球心为，固定在水平面上，其上方有一个光滑曲面轨道，高度为.轨道底端水平并与半球顶端相切于点，质量为的小球由点静止滑下，最后落在水平面上的点.重力加速度为，则( )
ACD
A.小球运动到点的速度为
B.小球运动到点时对光滑半球的压力为
C.小球离开点后将做平抛运动
D.小球运动到点时的速率为
[解析] 小球从A到B的过程中，根据机械能守恒定律可得，解得，A正确；在B点，当重力恰好提供向心力时，有，解得，所以当小球到达B点时，对光滑半球的压力为零，即从B点开始做平抛运动，B错误，C正确；对整个过程由机械能守恒定律，有，解得，故D正确.
4.如图所示，水平地面上固定一个光滑轨道，该轨道由两个半径均为的四分之一圆弧平滑连接而成，、分别为两段圆弧所对应的圆心，、的连线竖直，现将一质量为的小球(可视为质点)由轨道上的点静止释放，则小球落地点到点的水平距离为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由机械能守恒定律，可得，小球下滑至B点时的速度，方向水平向右.在B点做圆周运动的临界速度，由于，所以小球将做平抛运动，结合平抛运动规律，，得，则小球落地点到A点的水平距离为，故C正确.
5.如图所示，可视为质点的小球以初速度从光滑斜面底端向上滑，恰能到达高度为的斜面顶端.下图四种运动中小球在最低点的
B
A.图a中小球滑入轨道半径等于的光滑管道
B.图b中小球系在半径大于而小于的轻绳下端
C.图c中小球滑入半径大于的光滑轨道
D.图d中小球固定在长为的轻杆下端
[解析] 图a、、中小球到达高度的速度可以为零，根据机械能守恒定律得，，则，故A、C、D不符合题意；图b中小球到达高度时的速度不能为零，否则无法做圆周运动，故B符合题意.
水平初速度都为，不计空气阻力，则小球不能到达高度的是( )
6.(多选)[2024·北京四中月考] 北京2022年冬奥会跳台滑雪比赛在张家口赛区的国家跳台滑雪中心进行，跳台由助滑道、起跳区、着陆坡、停止区组成，如图所示.运动员从起跳区水平起跳后在空中运动的速度变化量、重力的瞬时功率、动能、机械能分别用、、、表示，用表示运动员在空中的运动时
BC
A.&10& B.&11& C.&12& D.&13&
间，设起跳处为零势能参考面，不计空气阻力，下列图像中可能正确的是( )
[解析] 运动员从起跳区水平起跳后做平抛运动，在空中只受到重力，加速度为重力加速度，根据加速度定义式有，函数图像为一条过原点直线，故A错误；运动员从起跳区水平起跳后在竖直方向做自由落体运动，则，重力的瞬时功率为，函数图像为一条过原点的
直线，故B正确；运动员从起跳区水平起跳后运动员的速度为运动员的动能为，函数图像为抛物线的一部分，顶点在纵轴的正半轴，故C正确；运动员从起跳区水平起跳后在空中只受到重力，机械能守恒，函数图像为平行于横轴的一条直线，故D错误.
7.(多选)特战队员在进行训练时，抓住一端固定在同一水平高度的绳索的另一端，从高度一定的平台上由水平状态无初速度开始下摆，如图所示，在绳索到达竖直状态时特战队员放开绳索，随后被水平抛出直
CD
A.绳索越长，特战队员落地时的速率越大
B.绳索越长，特战队员落地时的水平位移越大
C.绳索越长，特战队员落地时的水平方向速度越大
D.绳索越长，特战队员落地时的竖直方向速度越小
到落地.不计绳索质量和空气阻力，特战队员可看成质点，绳索一直处于伸直状态.下列说法正确的是( )
[解析] 设平台距离地面的高度为，特战队员落地时的速率为，特战队员从开始下摆到落地，绳索的拉力不做功，根据机械能守恒定律有，得，的大小与绳索长度无关，故A错误；设
绳索的长度为，放开绳索时，特战队员的水平速度为，则特战队员在抓住绳索下摆的过程中，根据机械能守恒定律有，得，特战队员放开绳索后做平抛运动，则特战队员总的水平位移大小，又在竖直方向上有，得，若绳索越长，则对应越大，越大，令得，不是的最大值，故B错误，C正确；特战队员落地时的竖直方向速度大小为，故D正确.
8.一种弹射游戏装置的简化示意图如图所示，它由弹射器、水平直轨道、半径的竖直圆轨道、倾斜轨道连接组
(1) 小球通过点时的速度大小；
[答案]
[解析] 小球通过点时，由牛顿第二定律有
解得
成，点距地高度，小球经过点后将沿水平方向射出.质量为(可视为质点)小球经弹射器水平弹出后，恰能通过点，不计一切阻力，重力加速度取.求：
(2) 弹簧储存的弹性势能；
[答案]
[解析] 小球从释放至运动到点，由机械能守恒定律有
解得
(3) 小球落地时的水平射程.
[答案]
[解析] 小球从到的过程中，由机械能守恒定律有
又由平抛运动规律有
且
解得
9.[2024·中山期末] 如图所示，小明参加户外竞技活动，站在平台边缘点抓住轻绳一端(绳子刚好被拉直)，轻绳另一端固定在点.小明从静止往下摆，达到点正下方点突然松手，顺利落到静止在水平平台的平板车上，
然后随平板车一起向右运动.到达点时，小明跳离平板车(近似认为水平跳离)，安全落到漂浮在水池中的圆形浮漂上.已知绳长，能够承受的最大拉力为，浮漂圆心与点的水平距离、竖直高度，浮漂半径(不计浮漂厚度)，小明的质量.重力加速度取，求：
(1) 若轻绳不被拉断，开始下摆时偏离竖直方向的最大角度 ；
[答案]
[解析] 假设在点时绳子正好被拉断，由牛顿第二定律得
代入数据解得
从到过程，根据机械能守恒可得
代入数据解得
若轻绳不被拉断，开始下摆时偏离竖直方向的最大角度 .
(2) 小明跳离平板车的速度范围.
[答案]
[解析] 小明离开平板车后做平抛运动，竖直方向有
解得
离点水平位移最小为
解得
离点水平最大位移为
解得
则小明跳离平板车时的速度范围为.
