专题课:机车启动和变力做功问题
例1 A [解析] 汽车以恒定的功率启动,由牛顿第二定律得F-F阻=ma,又知功率Pm=Fv,联立可得-F阻=ma,当速度为10 m/s时的加速度大小为4 m/s2,即-F阻=4m,而汽车达到最大速度时加速度为零,有=F阻,联立解得Pm=60m(W)=60×1.5×103 W=90 kW,故A正确.
变式1 BCD [解析] 由题图可知,加速度是变化的,故赛车做非匀变速直线运动,A错误;由P=Fv和F-F阻=ma可得a=·-,由此式可知,赛车速度增大时,加速度逐渐减小,故赛车做加速度逐渐减小的加速运动,B正确;由a=·-,结合题中a-图像,可得F阻=4m (N),P=400m (W),代入数据解得F阻=1600 N,P=160 kW,C、D正确.
例2 A [解析] 由P=Fv可知,当达到速度v时,牵引力大于阻力,此后继续做加速运动,则牵引力减小,由牛顿第二定律可知F-F阻=ma',汽车做加速度减小的加速运动,当牵引力大小等于阻力时,加速度减小到零,速度达到最大,所以汽车的牵引力先减小后不变,故A正确,B、D错误;汽车的最大速度为vm=,故C错误.
变式2 (1)4000 N (2)48 kW (3)2×105 J
[解析] (1)阻力F阻==4000 N
(2)刚达到额定功率时,由牛顿第二定律得-F阻=ma
解得v1=10 m/s
由v1=at1,解得匀加速运动的时间t1=5 s>3 s
第3 s末的速度v2=at2=6 m/s
由-F阻=ma
解得P2=48 kW
(3)匀加速运动的位移s=a=25 m
牵引力F=F阻+ma=8000 N
则匀加速运动过程中牵引力所做的功W=Fs=2×105 J
例3 50 J
[解析] 由于不计绳的质量及绳与滑轮间的摩擦,故恒力F做的功和绳对物体的拉力做的功相等.由于恒力F作用在绳的端点,故需先求出绳的端点的位移,再求恒力F做的功
由几何关系知,绳的端点的位移为
s=-=h=0.5 m
在物体从A移到B的过程中,恒力F做的功为
W=Fs=100×0.5 J=50 J
故绳的拉力对物体所做的功为50 J.
例4 B [解析] 在转盘转动一周的过程中,力F的方向时刻变化,但每一瞬间力F总是与该瞬间的速度同向(切线方向),即F在每一瞬间与转盘转过的极小位移Δs1,Δ,Δ,…的方向同向,因而在转动一周过程中,力F做的功应等于在各极小位移内所做功的代数和,即W=FΔs1+FΔs2+FΔs3+FΔs4+…=F(Δs1+Δs2+Δs3+Δs4+…)=2πFR,故选B.
例5 B [解析] 由F-s图像的面积可得,推力全过程做功为W=×100×4 J=200 J,选项B正确.
随堂巩固
1.B [解析] 利用微元法求解拉力F所做的功,可将圆周分成无限多小段,对每一小段,可以认为F与位移方向相同,而位移大小与对应弧长相同,则力F做的总功为F在各小段所做功的代数和,即WF=F·2πR=20π J,故B正确.
2.B [解析] 力F对物体做的功等于图线与横轴s所包围面积的代数和,0~4 m,力F对物体做的功为W1=×(3+4)×2 J=7 J,4~5 m,力F对物体做的功为W2=-×(5-4)×2 J=-1 J,全过程中,力F对物体做的功为W=7 J-1 J=6 J,故B正确.
3.B [解析] 由题意知汽车受到的阻力大小为汽车重力的,则阻力大小为F阻=mg=×2×103×10 N=2000 N,选项A错误;由题图知前5 s内的加速度a==2 m/s2,由牛顿第二定律知前5 s内的牵引力大小为F=F阻+ma=(2000+2×103×2) N=6×103 N,选项B正确;5 s末达到额定功率,有P额=Fv5=6×103×10 W=6×104 W=60 kW,最大速度vmax== m/s=30 m/s,选项C、D错误.专题课:机车启动和变力做功问题
1.A [解析] 小轿车速度达到最大后,将匀速前进,设阻力为f,牵引力为F1,根据功率与速度的关系式和力的平衡条件得P=F1v,F1=f.当小轿车的速度大小为时,设牵引力为F2,则有P=F2·,根据牛顿第二定律得F2-f=ma,联立解得a=.
2.BC [解析] 汽车达到额定功率时的牵引力F=,匀加速过程的加速度a=,由牛顿第二定律有F-f=ma,即-f=m,则汽车受到的阻力大小f=-,故A错误,B正确;t时刻有P=Fv,由于汽车做匀加速直线运动,则时刻的速度为=,0~过程中汽车牵引力的平均功率=F×==,故C正确,D错误.
3.C [解析] 力F在0~3 m的过程中对物体做的功为W1=Fs1=2×3 J=6 J,故A错误;根据F-s图像与横轴围成的面积表示力做功的大小,则力F在3~4 m的过程中对物体做的功为W2=×2×1 J=1 J,故B错误;物体在4~5 m的过程中克服力F做的功为W3=×2×1 J=1 J,故C正确;力F在0~5 m的过程中对物体做的功为W总=W1+W2-W3=6 J+1 J-1 J=6 J,故D错误.
4.A [解析] “驴拉磨”过程中,驴做的是圆周运动,任意时刻力的方向都在发生变化,属于变力做功的情况,可将驴转动一圈的路程分割成无数个小段,当将曲线进行切割,切割成极小段时,将趋近于直线,进行累加,从而得到驴拉磨一周所做的功为W=F·2πr=300×2×1.5×π J≈2800 J,故选A.
5.C [解析] 在F-x图像中,图线与x轴所围面积的代数和就表示力F在这段位移内所做的功,面积W=S===Fm·=Fmx0=故选C.
6.D [解析] 重力做功与初、末位置的高度差有关,则有WG=mgL,故A错误;因为悬线的拉力始终与球的运动方向垂直,所以拉力不做功,故B错误;由于空气阻力大小不变,方向始终与运动方向相反,则空气阻力做功为Wf=-f·=-fπL,故C错误,D正确.
7.C [解析] 由题意可知汽车受到的阻力大小为f=λmg,当x=0时,牵引力大小为F1=f,当x=s时,牵引力大小为F2=ks+f,由于牵引力随位移线性变化,所以整个过程的平均牵引力大小为F==ks+λmg,牵引力做功为W=Fs=ks2+λmgs,故选C.
8.D [解析] 电动车匀速运动时,牵引力等于阻力,则F=0.02(m1+m2)g=20 N,A错误;匀速阶段电动机的输出功率为P出=Fv=20×5 W=100 W,B错误;电动车的加速度大小为a= m/s2=0.5 m/s2,根据F-0.02(m1+m2)g=(m1+m2)a,匀加速阶段牵引力大小为F=70 N,C错误;根据P=Fv=Fat,匀加速阶段牵引力不变,电动机的输出功率随时间均匀增大,D正确.
9.BD [解析] 当动车达到最大速度时,牵引力大小等于阻力,此时额定功率为P0=fv=kv3,若将某型号动车的最大运行速度提升到原来的n倍,则额定功率应为P'=f'v'=k(nv)2·nv=n3kv3=n3P0,故A错误,B正确;若仅将动车的阻力系数降到原来的,则此时的额定功率为P″=f″v″=k(nv)2·nv=nkv3=nP0,则还需将功率提升到原来的n倍,故C错误;若仅将动车的阻力系数降到原来的,则此时的功率为P =f v =k(nv)2·nv=n2kv3=n2P0,则再将动车的额定功率提升到原来的n2倍后方案可行,故D正确.
10.B [解析] 在0~t1时间内,重物从静止开始竖直向上做匀加速直线运动,设加速度大小为a1,根据牛顿第二定律,钢索拉力F1=m(g+a1),可见拉力是恒力,其功率P1=F1v=m(g+a1)v,对应的P-t图像是经过原点的倾斜线段;在t1~t2时间内,重物匀速上升,钢索拉力F2=mg,功率P2=F2v=mgv,对应的P-t图像是一条平行于横轴的线段,考虑到在t1时刻,拉力突然减小,而速度大小不变,其功率也突然减小,据此可排除选项A;在t2~t3时间内,重物做匀减速直线运动,设加速度大小为a2,根据牛顿第二定律,钢索拉力F3=m(g-a2),可见拉力是恒力,其功率P3=F3v=m(g-a2)v,对应的P-t图像是倾斜线段,据此,可排除选项D;在t2时刻,拉力突然减小,而速度大小不变,其功率也突然减小,据此可排除选项C,故只有选项B正确.
11.(1)12 m/s (2)1 m/s2
[解析] (1)汽车在整个运动过程中速度达到最大时,牵引力与阻力大小相等,即F=f=0.1mg=5×103 N
又P=Fv,所以最大速度vmax= m/s=12 m/s
(2)当汽车速度v'=6 m/s时,汽车的牵引力F'==1×104 N
设此时汽车的加速度为a,根据牛顿第二定律,有F'-f=ma
解得a==1 m/s2
12.(1)720 N (2)900 N (3)1.008×105 J
[解析] (1)当牵引力等于阻力时,速度达到最大值,则有
Pm=Fvm=fvm
可得该车在运动过程中所受阻力大小为
f== N=720 N
(2)根据v-t图像可知,匀加速阶段加速度大小为
a== m/s2=1 m/s2
根据牛顿第二定律有F牵-f=ma
可得该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小
F牵=f+ma=720 N+180 N=900 N
(3)0~8 s内汽车匀加速运动的位移为s1=a=×1×82 m=32 m
牵引力做的功为W1=F牵s1=900×32 J=2.88×104 J
变加速过程中,即8~18 s内,汽车牵引力的功率恒为7.2×103 W,所以该过程中牵引力做的功为W2=Pt2=7.2×103×10 J=7.2×104 J
则从静止开始到18 s末该车所受牵引力所做的功W=W1+W2=2.88×104 J+7.2×104 J=1.008×105 J专题课:机车启动和变力做功问题
学习任务一 机车启动问题
方式1 以恒定功率启动
过程分析 以恒定功率启动
P-t图和v-t图
OA段 过程分析 v↑ F=↓ a= ↓
运动性质 加速度减小的加速直线运动
AB段 过程分析 F=F阻 a=0 vm=
运动性质 以速度vm做匀速直线运动
例1 质量为1.5×103 kg的汽车以某一恒定功率启动后沿平直路面行驶,且行驶过程中受到的阻力恒定,汽车能够达到的最大速度为30 m/s.若汽车的速度大小为10 m/s时的加速度大小为4 m/s2,则该恒定功率为( )
A.90 kW B.75 kW
C.60 kW D.4 kW
[反思感悟]
变式1 (多选)[2024·揭阳期中] 质量为400 kg的赛车在平直赛道上以恒定功率加速行驶,受到的阻力不变,其加速度a与速度的倒数的关系如图所示,则赛车 ( )
A.速度随时间均匀增大
B.加速度逐渐减小
C.输出功率为160 kW
D.所受阻力大小为1600 N
[反思感悟]
方式2 以恒定加速度启动
过程分析 以恒定加速度启动
P-t图和v-t图
OA段 过程分析 a=不变 F不变,v↑ P=Fv↑ 直到P=P额
运动性质 匀加速直线运动,维持时间t0=
AB段 过程分析 v↑ F=↓ a=↓
运动性质 加速度减小的加速直线运动
BC段 过程分析 F=F阻 a=0 vm=
运动性质 以速度vm做匀速直线运动
例2 [2024·深圳中学月考] 质量为m的汽车在平直公路上启动,阻力F阻保持不变,当它以加速度a加速到速度v时,发动机的实际功率正好等于额定功率P,从此时开始,发动机在额定功率下工作,则此后 ( )
A.汽车的牵引力先减小后不变
B.汽车的牵引力为F阻+ma
C.汽车的最大速度为
D.汽车的加速度在增大
[反思感悟]
变式2 额定功率为80 kW的汽车在平直公路上行驶的最大速度为20 m/s,汽车的质量m=2×103 kg.如果汽车由静止开始做匀加速直线运动,加速度大小为2 m/s2,运动过程中阻力不变,求:
(1)汽车所受的阻力大小;
(2)第3 s末汽车的瞬时功率;
(3)汽车在匀加速运动过程中牵引力所做的功.
【要点总结】
1.机车的最大速度vm的求法.
机车最终匀速前进时速度最大,此时牵引力F等于阻力F阻,故vm==.结合v-t图像进行分析.
2.匀加速启动持续时间的求法.
牵引力F=ma+F阻,匀加速的最后速度vm'=,时间t=.
3.瞬时加速度的求法.
根据F=求出牵引力,则加速度a=.
学习任务二 变力做功的分析和计算
方法一 转换法:若某一变力做的功和某一恒力做的功相等,则可以通过计算恒力做的功,求出该变力做的功.
例3 某人利用如图所示的装置,用100 N的恒力F作用于不计质量的绳的一端,将物体从水平面上的A点移到B点.已知α1=30°,α2=37°,h=1.5 m,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦.求绳的拉力对物体所做的功(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8).
方法二 微元法:功的公式只能计算恒力做功,若一个力的大小不变,只改变方向,可将运动过程分成很多小段,每一小段内F可看成恒力,求出每一小段内力F做的功,然后累加起来得到整个过程中变力所做的功.
例如物体在水平面上做曲线运动,所受摩擦力大小为μmg,路程为l,采用微元法:
W1=-μmgΔl1
W2=-μmgΔl2
W3=-μmgΔl3
……
W=W1+W2+W3+…=-μmg(Δl1+Δl2+Δl3+…)=-μmgl
例4 如图所示,某人用力F转动半径为R的磨盘,力F的大小不变,但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则在转动一周过程中力F做的功为 ( )
A.0 B.2πFR
C.FR D.-2πFR
[反思感悟]
方法三 图像法:若已知F-s图像和P-t图像,则图像与s轴或t轴所围的面积表示功.如图甲所示,在位移s0内力F做的功W=s0.在图乙中,0~t0时间内做功W=·t0.
例5 如图甲所示,质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动,推力大小F随位移大小s变化的情况如图乙所示,则整个过程中推力F所做的功为( )
A.400 J B.200 J
C.100 J D.无法确定
[反思感悟]
1.(变力做功的分析和计算)如图所示,F=10 N的力作用在半径为R=1 m的转盘的边缘上,力F的大小保持不变, 但方向在任何时刻均与作用点的切线方向一致,则转盘转动一周的过程中力F做的总功为 ( )
A.0 B.20π J
C.10 J D.10π J
2.(变力做功的分析和计算)一物体所受的力F随位移s变化的图像如图所示,在这一过程中,力F对物体做的功为 ( )
A.3 J
B.6 J
C.7 J
D.8 J
3.(机车启动问题)[2024·中山一中月考] 一辆汽车在水平路面上由静止启动,在前5 s内做匀加速直线运动,5 s末达到额定功率,之后保持额定功率运动,其v-t图像如图所示.已知汽车的质量为m=2×103 kg,汽车受到的阻力大小恒为汽车重力的,g取10 m/s2,则 ( )
A.汽车在前5 s内受到的阻力大小为200 N
B.前5 s内的牵引力大小为6×103 N
C.汽车的额定功率为40 kW
D.汽车的最大速度为20 m/s专题课:机车启动和变力做功问题建议用时:40分钟
◆ 知识点一 机车启动问题
1.一质量为m的小轿车以恒定功率P启动,沿平直路面行驶,若行驶过程中受到的阻力大小不变,能够达到的最大速度为v,当小轿车的速度大小为时,其加速度大小为 ( )
A. B.
C. D.
2.(多选)一辆质量为m、额定功率为P的汽车在水平路面上从静止开始做匀加速直线运动,经过时间t达到额定功率,此时的速度为v,汽车行驶过程中阻力保持不变.下列说法正确的是 ( )
A.汽车受到的阻力大小为
B.汽车受到的阻力大小为-
C.在0~时间内汽车牵引力的平均功率为
D.在0~时间内汽车牵引力的平均功率为
◆ 知识点二 变力做功的分析和计算
3.[2024·佛山期中] 一物体所受的力F随位移s变化的图像如图所示,则在这一过程中,力F对物体做的功为 ( )
A.力F在0~3 m的过程中对物体做了3 J的功
B.力F在3~4 m的过程中对物体做了-2 J的功
C.物体在4~5 m的过程中克服力F做了1 J的功
D.力F在0~5 m的过程中对物体做了8 J的功
4.[2024·广州中学月考] 如图所示,在西部的偏远山区,人们至今还通过“驴拉磨”的方式把小麦颗粒加工成粗面来食用. 假设驴拉磨的平均拉力大小F=300 N,驴做圆周运动的等效半径r=1.5 m,则驴拉磨转动一周所做的功约为 ( )
A.2800 J B.2200 J
C.1400 J D.0
5.[2024·山东实验中学月考] 如图甲所示,静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F作用下,沿x轴方向运动,拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示,图线为半圆.则小物块运动到x0处时F所做的总功为 ( )
A.0 B.Fmx0 C.Fmx0 D.
6.[2024·中山期末] 如图所示,摆球质量为m,悬线的长为L,把悬线拉到水平位置后放手.设在摆球从A点运动到B点的过程中,空气阻力f的大小不变,则下列说法正确的是( )
A.重力做功为mgπL
B.悬线拉力做负功
C.空气阻力做功为-fL
D.空气阻力做功为-fπL
7.[2024·深圳实验中学月考] 一辆质量为m的汽车,从静止开始运动,其阻力为车重的λ倍,其牵引力的大小F=kx+f,其中k为比例系数,x为车前进的距离,f为车所受的阻力,则当车前进的距离为s时牵引力做的功为 ( )
A.λmgs B.ks2
C.ks2+λmgs D.(ks2+λmgs)
8.[2024·佛山一中月考] 人们生活中出现越来越多的环保电动自行车,这种轻便的交通工具受到许多上班族的喜爱.下表是一辆电动车铭牌上的参数.若质量为70 kg的人骑此电动自行车沿平直公路行驶的v-t图像如图所示,所受阻力大小恒为车重(包括载重)的,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是 ( )
规格 后轮驱动直流永磁体电动机
车型 26'电动自行车 额定输出功率 400 W
整车质量 30 kg 最大载重 120 kg
A.匀速阶段牵引力大小为25 N
B.匀速阶段电动机的输出功率为400 W
C.匀加速阶段牵引力大小为50 N
D.匀加速阶段电动机的输出功率随时间均匀增大
9.(多选)“复兴号”动车以其超大的功率和优异的气动外形,在获得强劲动力的同时,有效地减小了运行阻力.已知高速运行的动车,主要受到空气阻力的影响,且阻力f与速度v满足f=kv2,比例系数k称作动车的阻力系数.现欲将某型号动车的最大运行速度提升到原来的n倍,则理论上可行的方案有 ( )
A.仅将动车的额定功率提升到原来的n2倍
B.仅将动车的额定功率提升到原来的n3倍
C.仅将动车的阻力系数降到原来的
D.将动车的额定功率提升到原来的n2倍,同时将动车的阻力系数降到原来的
10.起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度,其速度图像如图所示,则钢索拉力的功率随时间变化的图像是图中的(不计空气阻力) ( )
11.[2024·清远期中] 广泛使用氢燃料作为交通能源是氢经济的一个关键因素.使用氢为能源的最大好处是它跟空气中的氧反应,仅产生水蒸气排出,有效减少了传统汽油车造成的空气污染.一种氢燃料汽车,质量为m=5×103 kg,发动机的额定功率为60 kW,在平直水平公路上行驶时所受阻力大小恒为车重力的.若汽车保持额定功率由静止开始启动(g取10 m/s2),求:
(1)汽车所能达到的最大速度大小;
(2)当汽车的速度为6 m/s时的加速度大小.
12.[2024·山东济南一中月考] 新能源汽车的研发和使用是近几年的热门话题.一辆试验用的小型电动汽车质量m=180 kg,在水平的公路上由静止开始匀加速启动,当功率达到7.2×103 W后保持功率恒定,匀加速持续的时间是8 s,该车运动的速度与时间的关系如图所示,汽车在运动过程中所受阻力不变,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)该车在运动过程中所受阻力大小;
(2)该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小;
(3)从静止开始到18 s末该车所受牵引力所做的功.(共49张PPT)
专题课：机车启动和变力做功问题
学习任务一 机车启动问题
学习任务二 变力做功的分析和计算
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
学习任务一 机车启动问题
方式1 以恒定功率启动
过程分析 以恒定功率启动
图和图 _____________________________________________________________________________________________________
段 过程分析
运动性质 加速度减小的加速直线运动
段 过程分析
运动性质 以速度做匀速直线运动
例1 质量为的汽车以某一恒定功率启动后沿平直路面行驶,且行驶过程中受到的阻力恒定,汽车能够达到的最大速度为.若汽车的速度大小为时的加速度大小为,则该恒定功率为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 汽车以恒定的功率启动,由牛顿第二定律得,又知功率,联立可得,当速度为时的加速度大小为,即,而汽车达到最大速度时加速度为零,有,联立解得,故A正确.
变式1 (多选)[2024·揭阳期中] 质量为的赛车在平直赛道上以恒定功率加速行驶,受到的阻力不变,其加速度与速度的倒数的关系如图所示,则赛车( )
BCD
A.速度随时间均匀增大 B.加速度逐渐减小
C.输出功率为 D.所受阻力大小为
[解析] 由题图可知,加速度是变化的,故赛车做非匀变速直线运动,A错误;由和可得,由此式可知,赛车速度增大时,加速度逐渐减小,故赛车做加速度逐渐减小的加速运动,B正确;由，结合题中图像,可得,,代入数据解得,,C、D正确.
方式2 以恒定加速度启动
过程分析 以恒定加速度启动
图和图 ___________________________________________________________________________________________________________________
段 过程分析 不变不变， 直到
运动性质 匀加速直线运动,维持时间
段 过程分析
过程分析 以恒定加速度启动
段 运动性质 加速度减小的加速直线运动
段 过程分析
运动性质 以速度做匀速直线运动
续表
例2 [2024·深圳中学月考] 质量为的汽车在平直公路上启动，阻力保持不变，当它以加速度加速到速度时，发动机的实际功率正好等于额定功率，从此时开始，发动机在额定功率下工作，则此后( )
A
A.汽车的牵引力先减小后不变 B.汽车的牵引力为
C.汽车的最大速度为 D.汽车的加速度在增大
[解析] 由可知，当达到速度时，牵引力大于阻力，此后继续做加速运动，则牵引力减小，由牛顿第二定律可知，汽车做加速度减小的加速运动，当牵引力大小等于阻力时，加速度减小到零，速度达到最大，所以汽车的牵引力先减小后不变，故A正确，B、D错误；汽车的最大速度为
，故C错误.
变式2 额定功率为的汽车在平直公路上行驶的最大速度为，汽车的质量.如果汽车由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为，运动过程中阻力不变，求：
(1) 汽车所受的阻力大小；
[答案]
[解析] 阻力
(2) 第末汽车的瞬时功率；
[答案]
[解析] 刚达到额定功率时，由牛顿第二定律得
解得
由，解得匀加速运动的时间
第末的速度
由
解得
(3) 汽车在匀加速运动过程中牵引力所做的功.
[答案]
[解析] 匀加速运动的位移
牵引力
则匀加速运动过程中牵引力所做的功
【要点总结】
1.机车的最大速度的求法.
机车最终匀速前进时速度最大，此时牵引力等于阻力，故.结合图像进行分析.
2.匀加速启动持续时间的求法.
牵引力，匀加速的最后速度，时间.
3..瞬时加速度的求法.
根据求出牵引力，则加速度.
学习任务二 变力做功的分析和计算
方法一 转换法：若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，则可以通过计算恒力做的功，求出该变力做的功.
例3 某人利用如图所示的装置,用的恒力作用于不计质量的绳的一端,将物体从水平面上的点移到点.已知 , ,,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦.求绳的拉力对物体所做的功.
[答案]
[解析] 由于不计绳的质量及绳与滑轮间的摩擦,故恒力做的功和绳对物体的拉力做的功相等.由于恒力作用在绳的端点,故需先求出绳的端点的位移,再求恒力做的功
由几何关系知,绳的端点的位移为
在物体从移到的过程中,恒力做的功为
故绳的拉力对物体所做的功为.
方法二 微元法：功的公式只能计算恒力做功，若一个力的大小不变，只改变方向，可将运动过程分成很多小段，每一小段内可看成恒力，求出每一小段内力做的功，然后累加起来得到整个过程中变力所做的功.
例如物体在水平面上做曲线运动，所受摩擦力大小为，路程为，采用微元法：
……
例4 如图所示，某人用力转动半径为的磨盘，力的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则在转动一周过程中力做的功为( )
B
A.0 B. C. D.
[解析] 在转盘转动一周的过程中，力的方向时刻变化，但每一瞬间力总是与该瞬间的速度同向(切线方向)，即在每一瞬间与转盘转过的极小位移，，， 的方向同向，因而在转动一周过程中，力做的功应等于在各极小位移内所做功的代数和，即，故选B.
方法三 图像法：若已知图像和图像，则图像与轴或轴所围的面积表示功.
如图甲所示，在位移内力做的功.在图乙中，时间内做功.
例5 如图甲所示,质量为的物体在水平推力作用下开始运动,推力大小随位移大小变化的情况如图乙所示,则整个过程中推力所做的功为( )
B
A. B. C. D.无法确定
[解析] 由图像的面积可得，推力全过程做功为,选项B正确.
1.如图所示，用一个大小不变的力拉着滑块(视为质点)使其沿半径为的水平圆轨道匀速运动半周，若力的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成 夹角，则力做的功为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 将力分解为切线方向和径向方向两个分力，其中径向方向始终与速度方向垂直，不做功，切线方向分力始终与速度方向相同，则滑块匀速运动半周，力做的功为，故选A.
2.(多选)质量为的物体在水平面上沿直线运动，受阻力大小恒定.经某点开始沿运动方向的水平拉力与运动距离的关系如图所示，物体做匀速直线运动.下列对图示过程的说法正确的是( )
BC
A.在处物体加速度大小为 B.拉力对物体做功为
C.物体克服阻力做功为 D.合力对物体做功为
[解析] 根据题意可知，物体做匀速直线运动，结合图可得，阻力为，由于阻力不变，由图可知，在水平拉力与的关系式为，则在处，，由牛顿第二定律有，故A错误；由公式可知，图像与横轴所围的面积表示做功，由图可得，拉力对物体做功为
，故B正确；根据题意可得，物体克服阻力做功为，故C正确；根据题意可知，合力对物体做功等于所有力做功之和，则，又有，则，故D错误.
3.汽车发动机的额定功率为，质量为，当汽车在水平路面上行驶时，受到的阻力为车重的.取
(1) 求汽车在路面上能达到的最大速度；
[答案]
[解析] 汽车达到最大速度时，，根据，
可得最大速度为
(2) 若汽车以额定功率启动，求汽车速度为时的加速度大小.
[答案]
[解析] 当速度时，
根据牛顿第二定律得
联立解得
4.小明一家人停车休息之后，重新启动汽车出发.已知汽车的额定功率，人与货物及汽车总质量，在水平直路面上行驶时阻力是车重的.若汽车从静止开始以加速度做匀加速直线运动，求：
(1) 汽车保持加速度不变的时间；
[答案]
[解析] 由，
得
匀加速直线运动过程中速度最大值为
所以匀加速直线运动的时间为
(2) 汽车匀加速直线运动过程中实际功率随时间变化的关系；
[答案]
[解析] 汽车匀加速直线运动过程中实际功率随时间变化的关系
(3) 此后汽车运动所能达到的最大速度.
[答案]
[解析] 汽车速度达到最大值时有
所以汽车运动所能达到的最大速度为.
1.(变力做功的分析和计算)如图所示，的力作用在半径为的转盘的边缘上，力的大小保持不变，但方向在任何时刻均与作用点的切线方向一致，则转盘转动一周的过程中力做的总功为( )
B
A.0 B. C. D.
[解析] 利用微元法求解拉力所做的功,可将圆周分成无限多小段,对每一小段,可以认为与位移方向相同,而位移大小与对应弧长相同,则力做的总功为在各小段所做功的代数和,即,故B正确.
2.(变力做功的分析和计算)一物体所受的力随位移变化的图像如图所示,在这一过程中,力对物体做的功为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 力对物体做的功等于图线与横轴所包围面积的代数和,,力对物体做的功为,,力对物体做的功为,全过程中,力对物体做的功为,故B正确.
3.(机车启动问题)[2024·中山一中月考] 一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前内做匀加速直线运动，末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其图像如图所示.已知汽车的质量为，汽车受到的阻力大小恒为汽车重力的，取，则( )
B
A.汽车在前内受到的阻力大小为 B.前内的牵引力大小为
C.汽车的额定功率为 D.汽车的最大速度为
[解析] 由题意知汽车受到的阻力大小为汽车重力的，则阻力大小为，选项A错误；由题图知前内的加速度，由牛顿第二定律知前内的牵引力大小为，选项B正确；末达到额定功率，有，最大速度，选项C、D错误.
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知识点一 机车启动问题
1.一质量为的小轿车以恒定功率启动，沿平直路面行驶，若行驶过程中受到的阻力大小不变，能够达到的最大速度为，当小轿车的速度大小为时，其加速度大小为 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 小轿车速度达到最大后，将匀速前进，设阻力为，牵引力为，根据功率与速度的关系式和力的平衡条件得，.当小轿车的速度大小为时，设牵引力为，则有，根据牛顿第二定律得，联立解得.
2.(多选)一辆质量为、额定功率为的汽车在水平路面上从静止开始做匀加速直线运动，经过时间达到额定功率，此时的速度为，汽车行驶过程中阻力保持不变.下列说法正确的是( )
BC
A.汽车受到的阻力大小为
B.汽车受到的阻力大小为
C.在时间内汽车牵引力的平均功率为
D.在时间内汽车牵引力的平均功率为
[解析] 汽车达到额定功率时的牵引力，匀加速过程的加速度，由牛顿第二定律有，即，则汽车受到的阻力大小，故A错误，B正确；时刻有，由于汽车做匀加速直线运动，则时刻的速度为，过程中汽车牵引力的平均功率
，故C正确，D错误.
知识点二 变力做功的分析和计算
3.[2024·佛山期中] 一物体所受的力随位移变化的图像如图所示，则在这一过程中，力对物体做的功为 ( )
C
A.力在的过程中对物体做了的功
B.力在的过程中对物体做了的功
C.物体在的过程中克服力做了的功
D.力在的过程中对物体做了的功
[解析] 力在的过程中对物体做的功为，故A错误；根据图像与横轴围成的面积表示力做功的大小，则力在的过程中对物体做的功为，故B错误；物体在的过程中克服力做的功为，故C正确；力
在的过程中对物体做的功为，故D错误.
4.[2024·广州中学月考] 如图所示，在西部的偏远山区，人们至今还通过“驴拉磨”的方式把小麦颗粒加工成粗面来食用.假设驴拉磨的平均拉力大小，驴做圆周运动的等效半径，则驴拉磨转动一周所做的功约为( )
A
A. B. C. D.0
[解析] “驴拉磨”过程中，驴做的是圆周运动，任意时刻力的方向都在发生变化，属于变力做功的情况，可将驴转动一圈的路程分割成无数个小段，当将曲线进行切割，切割成极小段时，将趋近于直线，进行累加，从而得到驴拉磨一周所做的功为，故选A.
5.[2024·山东实验中学月考] 如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力作用下，沿轴方向运动，拉力的大小随物块所在位置坐标的变化关系如图乙所示，图线为半圆.则小物块运动到处时所做的总功为( )
C
A.0 B. C. D.
[解析] 在图像中，图线与轴所围面积的代数和就表示力在这段位移内所做的功，面积故选C.
6.[2024·中山期末] 如图所示，摆球质量为，悬线的长为，把悬线拉到水平位置后放手.设在摆球从点运动到点的过程中，空气阻力的大小不变，则下列说法正确的是( )
D
A.重力做功为 B.悬线拉力做负功
C.空气阻力做功为 D.空气阻力做功为
[解析] 重力做功与初、末位置的高度差有关，则有,故A错误；因为悬线的拉力始终与球的运动方向垂直，所以拉力不做功，故B错误；由于空气阻力大小不变，方向始终与运动方向相反，则空气阻力做功为,故C错误，D正确.
7.[2024·深圳实验中学月考] 一辆质量为的汽车，从静止开始运动，其阻力为车重的 倍，其牵引力的大小，其中为比例系数，为车前进的距离，为车所受的阻力，则当车前进的距离为时牵引力做的功为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知汽车受到的阻力大小为,当时，牵引力大小为,当时，牵引力大小为,由于牵引力随位移线性变化，所以整个过程的平均牵引力大小为,牵引力做功为,故选C.
8.[2024·佛山一中月考] 人们生活中出现越来越多的环保电动自行车，这种轻便的交通工具受到许多上班族的喜爱.下表是一辆电动车铭牌上的参数.若质量为的人骑此电动自行车沿平直公路行驶的图像如图所示，所受阻力大小恒为车重(包括载重)的，重力加速度取，下列说法正确的是( )
规格 后轮驱动直流永磁体电动机
车型 电动自行车 额定输出功率
整车质量 最大载重
A.匀速阶段牵引力大小为
B.匀速阶段电动机的输出功率为
C.匀加速阶段牵引力大小为
D.匀加速阶段电动机的输出功率随时间均匀增大
[解析] 电动车匀速运动时，牵引力等于阻力，则
，A错误；匀速阶段电动机的输出功率为，B错误；电动车的加速度大小为，根据，匀加速阶段牵引力大小为，C错误；根据，匀加速阶段牵引力不变，电动机的输出功率随时间均匀增大，D正确.
√
9.(多选)“复兴号”动车以其超大的功率和优异的气动外形，在获得强劲动力的同时，有效地减小了运行阻力.已知高速运行的动车，主要受到空气阻力的影响，且阻力与速度满足，比例系数称作动车的阻力系数.现欲将某型号动车的最大运行速度提升到原来的倍，则理论上可行的方案有 ( )
BD
A.仅将动车的额定功率提升到原来的倍
B.仅将动车的额定功率提升到原来的倍
C.仅将动车的阻力系数降到原来的
D.将动车的额定功率提升到原来的倍，同时将动车的阻力系数降到原来的
[解析] 当动车达到最大速度时，牵引力大小等于阻力，此时额定功率为，若将某型号动车的最大运行速度提升到原来的倍，则额定功率应为，故A错误，B正确；若仅将动车的阻力系数降到原来的，则此时的额定功率为，则还需将功率提升到原来的倍，故C错误；若仅将动车的阻力系数降到原来的，则此时的功率为，则再将动车的额定功率提升到原来的倍后方案可行，故D正确.
10.起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度,其速度图像如图所示,则钢索拉力的功率
随时间变化的图像是图中的(不计空气阻力)( )
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 在时间内,重物从静止开始竖直向上做匀加速直线运动,设加速度大小为,根据牛顿第二定律,钢索拉力,可见拉力是恒力,其功率,对应的图像是经过原点的倾斜线段；在时间内,重物匀速上升,钢索拉力,功率
,对应的图像是一条平行于横轴的线段,考虑到在时刻,拉力突然减小,而速度大小不变,其功率也突然减小,据此可排除选项A；在时间内,重物做匀减速直线运动,设加速度大小为,根据牛顿第二定律,钢索拉力,可见拉力是恒力,其功率,对应的图像是倾斜线段,据此,可排除选项D；在时刻,拉力突然减小,而速度大小不变,其功率也突然减小,据此可排除选项C，故只有选项B正确.
11.[2024·清远期中] 广泛使用氢燃料作为交通能源是氢经济的一个关键因素.使用氢为能源的最大好处是它跟空气中的氧反应,仅产生水蒸气排出,有效减少了传统汽油车造成的空气污染.一种氢燃料汽车,质量为,发动机的额定功率为,在平直水平公路上行驶时所受阻力大小恒为车重力的.若汽车保持额定功率由静止开始启动取,求:
(1) 汽车所能达到的最大速度大小;
[答案]
[解析] 汽车在整个运动过程中速度达到最大时,牵引力与阻力大小相等,即
又，所以最大速度
(2) 当汽车的速度为时的加速度大小.
[答案]
[解析] 当汽车速度时,汽车的牵引力
设此时汽车的加速度为,根据牛顿第二定律,有
解得
12.[2024·山东济南一中月考] 新能源汽车的研发和使用是近几年的热门话题.一辆试验用的小型电动汽车质量，在水平的公路上由静止开始匀加速启动，当功率达到后保持功率恒定，匀加速持续的时间是，该车运动的速度与时间的关系如图所示，汽车在运动过程中所受阻力不变，重力加速度取，求：
(1) 该车在运动过程中所受阻力大小；
[答案]
[解析] 当牵引力等于阻力时，速度达到最大值，则有
可得该车在运动过程中所受阻力大小为
(2) 该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小；
[答案]
[解析] 根据图像可知，匀加速阶段加速度大小为
根据牛顿第二定律有
可得该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小
(3) 从静止开始到末该车所受牵引力所做的功.
[答案]
[解析] 内汽车匀加速运动的位移为
牵引力做的功为
变加速过程中，即内，汽车牵引力的功率恒为，所以该过程中牵引力做的功为
则从静止开始到末该车所受牵引力所做的功
