专题课:系统机械能守恒的应用
[模型建构] 物体B的高度不变,速度变大,所以物体B的机械能增加.物体A下落的过程中需克服细绳拉力做功,所以物体A的机械能减少.整个系统没有机械能与其他形式能的转化,所以系统的机械能是守恒的.
例1 D [解析] 由于A、B沿绳方向的速度相等,故vAcos θ=vB,选项A、B错误;A、B两者速度不相等,物块A下降的高度不等于小球B上升的高度,故小球B增加的重力势能不等于物块A减少的重力势能,选项C错误;对A、B组成的系统,绳子拉力所做的总功为0,系统中只有物块和小球的重力做功,系统的机械能守恒,选项D正确.
[模型建构] 球1的高度和速度都变大,所以机械能增加.球2下落的过程中需克服杆的阻力做功,所以球2的机械能减少.整个系统没有机械能与其他形式能的转化,所以系统的机械能是守恒的.
例2
[解析] 对A、B两球(包括轻杆)组成的系统,由机械能守恒定律得-ΔEp=ΔEk
即mg·+mgl=m+m
因A、B两球的角速度ω相等,则
vA=ω·
vB=ωl
联立解得vA=,vB=
例3 D [解析] 由几何关系可知,弹簧的原长为R,A错误;小球过B点时,由重力和弹簧弹力的合力提供小球的向心力,有F合=m,B错误;以小球和弹簧组成的系统为研究对象,在小球从A到B的过程中,只有重力和弹簧的弹力做功,系统机械能守恒,小球的重力势能转化为弹簧的弹性势能和小球的动能,故C错误;根据机械能守恒定律得mgR=mv2+Ep,解得Ep=mgR-mv2,故D正确.
随堂巩固
1.BD [解析] 对于甲,绳子的拉力做正功,甲的机械能增加,对于乙,绳子的拉力做负功,乙的机械能减少,A错误.以甲、乙组成的系统为研究对象,绳子拉力所做的总功为零,故系统的机械能守恒,乙减少的机械能等于甲增加的机械能,乙减少的重力势能大于甲增加的重力势能,B、D正确,C错误.
2.CD [解析] 对物体经过A点时进行受力分析,此时物体只受重力,加速度方向与速度方向相同,所以物体经过A点时继续加速,速度还未达到最大,选项A错误;物体从A下落到B的过程中,由于要克服弹簧弹力做功,所以物体的机械能不守恒,选项B错误,D正确;在A、B之间某位置满足kx=mg,此时加速度为0,所以物体从A下落到B以及从B上升到A的过程中,动能都是先变大后变小,选项C正确.
3.C [解析] 释放后,A球向上运动,速度增大,高度增大,所以A球的动能和势能都增大,即A球的机械能增大,故A项错误;在杆从水平转至竖直的过程中,A球和B球组成的系统只有重力做功,所以系统的机械能守恒,又根据机械能守恒的转化式可得EA增=EB减,所以A球的机械能增大,B球的机械能减少.但B球在运动过程中,速度增大,高度降低,即B球的动能增大,势能减小,但B球的机械能减小.故A、B、D错误,C正确.专题课:系统机械能守恒的应用
1.A [解析] 以木块和砝码组成的系统为研究对象,只有重力做功,系统的机械能守恒,则有Mgh=(M+m)v2,M=3m,解得v=,故A正确,B、C、D错误.
2.D [解析] B球下落的过程中,由A、B两球及绳子组成的系统机械能守恒,有mBgh-mAgh=(mA+mB)v2,解得=,故选D.
3.BD [解析] A球运动的速度增大,高度增大,所以动能和重力势能都增大,故A球的机械能增大;B球运动的速度增大,所以动能增大,高度减小,所以重力势能减小;对于两球组成的系统,只有重力做功,系统的机械能守恒,因为A球的机械能增大,故B球的机械能减小,故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量,选项A、C错误,B、D正确.
4.C [解析] 小球A、B组成的系统只有重力做功,系统机械能守恒,B球减少的机械能等于A球增加的机械能,故A错误;小球A、B组成的系统机械能守恒,可知B球减少的重力势能等于A球增加的重力势能与两小球增加的动能之和,故B错误;小球A、B组成的系统机械能守恒,有2mg·2R-mg·2R=(m+2m)v2,可得B球的最大速度为v=,故C正确;对B球,根据动能定理得2mg·2R-W=×2mv2,解得B球克服细杆所做的功为W=mgR,故D错误.
5.C [解析] t1时刻小球刚与弹簧接触,与弹簧接触后,弹力先小于重力,小球做加速运动,当弹力增大到与重力平衡,即加速度减为零时,速度达到最大,动能达到最大,故A错误;t2时刻,弹力最大,故弹簧的压缩量最大,小球运动到最低点,速度等于零,动能等于零,故B错误;t2~t3这段时间内,小球处于上升过程,先做加速度减小的加速运动,后做加速度增大的减速运动,动能先增加后减少,故C正确;t2~t3这段时间内,小球和弹簧组成的系统机械能守恒,小球增加的动能和重力势能之和等于弹簧减少的弹性势能,故D错误.
6.A [解析] 由题意可知,物体B对地面恰好无压力时,弹簧所受的拉力大小等于物体B的重力,即F=mg,弹簧伸长的长度x=h,由F=kx,得k=,A正确;物体A与弹簧组成的系统机械能守恒,则有mgh=mv2+Ep,则弹簧的弹性势能Ep=mgh-mv2,B错误;物体B对地面恰好无压力时,物体B的速度为零,C错误;对物体A,根据牛顿第二定律有F-mg=ma,又F=mg,得a=0,D错误.
7.B [解析] 设B的质量为m,则A的质量为3m,A球落地前,A、B组成的系统机械能守恒,有3mgR-mgR=(3m+m)v2,解得v=,烧断细线后,对B运用动能定理有-mgh=0-mv2,解得h=,则B上升的最大高度为H=h+R=,故选B.
8.BC [解析] 根据题意,设绳子的弹力为F,对物块Q由平衡条件有mQgsin37°=F,对物块P由平衡条件有F=mPg,联立解得mQ==5 kg,A错误;根据题意可知,不计一切摩擦,P、Q组成的系统运动过程中,只有重力做功,故P、Q组成的系统机械能守恒,B正确;根据题意,设Q落地时速度的大小为v,由关联速度可知,此时P的速度也为v,由机械能守恒定律有mQgH-mPgHsin 37°=v2,代入数据解得v=2 m/s,C正确;由公式P=Fv可得,Q落地瞬间重力的功率为P=mQgv=100 W,故D错误.
9.BD [解析] 当a到达底端时,b的速度为零,b的速度在整个过程中,先增大后减小,则动能先增大后减小,所以轻杆对b先做正功,后做负功,故A错误;b的速度在整个过程中,先增大后减小,所以a对b的作用力先是动力后是阻力,所以b对a的作用力就先是阻力后是动力,所以在b减速的过程中,b对a是向下的拉力,此时a的加速度大于重力加速度g,故C错误;a落地前,把a、b看成整体,只有重力做功,所以机械能守恒,当a的机械能最小时,b的速度最大,此时b受到a的推力为零,b只受到重力的作用,根据牛顿第三定律可知b对地面的压力大小为mg,故B、D正确.
10.(1)5mgL (2)2
[解析] (1)在弹簧上端将一物体P由静止释放,弹簧被压缩到最短时的压缩量为L,此过程物体P的重力势能减少量等于弹簧的弹性势能增加量,此时弹簧的弹性势能为
Ep=5mgL
(2)物体Q从弹簧压缩量为L到圆弧轨道B处的过程,根据系统机械能守恒定律得
Ep=mg×3L+m
解得Q到达B点时速度的大小
vB=2
11.C [解析] 由于小球在A、P两点时,弹簧弹力大小相同,则小球在A点时,弹簧被拉伸,小球在P点时,弹簧被压缩,且拉伸量与压缩量相等,则在A、P之间必有一个弹簧处于原长状态的位置,由对称性原理可知,在P、B之间也必有一个弹簧处于原长状态的位置,小球在A、P、B三个位置时弹簧的弹性势能相等,在小球从A到P的过程中,弹簧的弹性势能先减小后增大,在小球从P到B的过程中,弹簧的弹性势能也是先减小后增大,A错误;弹簧处于原长状态时和小球在P点位置时,小球加速度大小等于g且方向沿杆向下,所以小球加速度大小等于g且方向沿杆向下的位置有三处,B错误;小球从A点运动到B点过程中,由机械能守恒定律可得Ep+mg·2Lsin 45°=Ep+EkB,解得EkB=mgL,C正确;A、P两点处弹簧的弹性势能相等,所以从A点运动到P点的过程中,只有重力势能转化为动能,所以小球在A、P两点的机械能相等,D错误.专题课:系统机械能守恒的应用
学习任务一 绳连接的系统机械能守恒问题
[模型建构] 如图所示, 物体A和物体B用细绳相连,物体B置于光滑水平台面上,二者的质量关系为mA=2mB,不计一切阻力,物体A自高H处由静止开始下落,且物体B始终在水平台面上.若以地面为零势能面,物体A和B的机械能如何变化 两个物体和细绳组成的系统机械能如何变化
例1 [2024·湛江一中月考] 如图所示,轻绳一端跨过无摩擦的定滑轮O与小球B连接,另一端与套在光滑竖直杆上的物块A连接,小球B与物块A质量相等,杆两端固定且足够长.现将物块A从与O等高位置由静止释放,物块A下落到轻绳与杆的夹角为θ时的速度大小为vA,小球B的速度大小为vB,则下列说法中正确的是( )
A.vA=vB
B.vB=vAsin θ
C.小球B增加的重力势能等于物块A减少的重力势能
D.小球B增加的机械能等于物块A减少的机械能
[反思感悟]
【要点总结】
绳连物体系统机械能守恒问题
如图所示的两物体组成的系统,在释放B从而使A、B运动的过程中,A、B的速度方向均沿绳子,在相等时间内A、B运动的路程相等,A、B的速率也相等.但有些问题中两物体的速率并不相等,这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系
求解这类问题时,因为二者速率相等或相关,所以关键是寻找两物体间的位移关系,进而找到系统重力势能的变化.列机械能守恒方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp的形式.另外应注意系统机械能守恒并非每个物体的机械能守恒,因为细绳对系统中的每一个物体都要做功
学习任务二 杆连接的系统机械能守恒问题
[模型建构] 如图所示,用手将装置固定在杆恰好处于水平的位置,然后由静止释放, 在杆到达竖直位置的过程中,球1的机械能如何变化 球2的机械能如何变化 两个球和杆组成的系统机械能如何变化 (忽略摩擦力及空气阻力)
例2 如图所示,轻杆一端安装在光滑的水平转动轴O上,杆的中央和另一端分别固定质量均为m的小球A和B(可以看作质点),杆长为l,将轻杆从水平位置由静止释放,不计空气阻力,重力加速度为g.当轻杆通过竖直位置时,小球A、B的速度各为多大
【要点总结】
杆连物体系统机械能守恒问题
如图所示的两物体组成的系统,释放后A、B在竖直平面内绕过O点的轴转动,且A、B的角速度相等
求解这类问题时,因为二者角速度相等,所以关键是根据二者转动半径的关系寻找两物体的线速度的关系,根据两物体间的位移关系,寻找到系统重力势能的变化,最后根据ΔEk=-ΔEp列出机械能守恒的方程求解.另外应注意轻杆对物体提供的弹力不一定沿着杆,轻杆的弹力也就不一定与速度方向垂直,轻杆的弹力对一个物体做了正功,就对另一物体做了负功,并且二者的绝对值相等
学习任务三 弹簧连接的系统机械能守恒问题
[科学思维]
求解这类问题时,要注意以下四点:
(1)如果系统内每个物体除受弹簧弹力外,所受的其他力的合力为零,则当弹簧为自然长度时,系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放).
(2)当弹簧伸长和缩短的长度相同时,弹力大小相等.要注意始、末弹力的大小与方向要时刻与当时的形变相对应,即伸长量或压缩量,而力的位移就可能是两次形变量之和或之差.
(3)在相互作用过程特征方面,弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时,两端的物体具有相同的速度,弹性势能最大.
(4)虽然不要求知道弹性势能的表达式,但是要清楚弹簧的形变量相同时弹性势能相同,通过运算可以约去.
例3 [2024·广雅中学月考] 如图所示,劲度系数为k的轻质弹簧一端系在竖直放置的半径为R的光滑圆环顶点P上,另一端连接一套在圆环上的质量为m的小球.开始时小球位于A点,此时弹簧处于原长且与竖直方向的夹角为45°,之后小球由静止沿圆环下滑,小球运动到最低点B时的速率为v,此时小球与圆环之间的弹力恰好为零.已知重力加速度为g.下列分析正确的是 ( )
A. 轻质弹簧的原长为R
B.小球运动到B点时,所受的合力为mg+m
C.小球从A到B的过程中,重力势能转化为弹簧的弹性势能
D.小球运动到B点时,弹簧的弹性势能为mgR-mv2
[反思感悟]
1.(绳连接的系统机械能守恒问题)(多选)如图所示,轻绳跨过定滑轮悬挂质量分别为m1、m2的甲、乙两个物体,滑轮的质量及摩擦不计,空气阻力不计.由于m1A.甲、乙各自的机械能分别守恒
B.乙减少的机械能等于甲增加的机械能
C.乙减少的重力势能等于甲增加的重力势能
D.甲、乙组成的系统机械能守恒
2.(弹簧连接的系统机械能守恒问题)(多选)如图所示,小物体从某一高度自由下落,落到竖直固定在地面上的轻弹簧上,在A点物体开始与弹簧接触,到B点物体的速度为零,然后被弹回.下列说法中正确的是 ( )
A.物体经过A点时速度最大
B.从A点下落到B点的过程中,物体的机械能守恒
C.从A点下落到B点以及从B点上升到A点的过程中,物体的动能都是先变大后变小
D.从A点下落到B点的过程中,物体的机械能不守恒
3.(杆连接的系统机械能守恒问题)[2024·湛江一中月考] 如图所示,在两个质量分别为m和2m的小球A和B之间用一根长为L的轻杆连接,轻杆可绕位于中心O的水平轴无摩擦转动,现让杆处于水平位置无初速度释放,在杆转至竖直的过程中(轻杆质量不计) ( )
A.A球机械能减小
B.B球重力势能减小,动能增加,机械能守恒
C.A球和B球总机械能守恒
D.A球和B球总机械能不守恒专题课:系统机械能守恒的应用建议用时:40分钟
◆ 知识点一 绳连接的系统机械能守恒问题
1.[2024·中山一中月考] 如图所示,质量为m的木块放在光滑的水平桌面上,用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的砝码相连,已知M=3m,让绳拉直后使砝码由静止开始下降.若砝码底部与地面的距离为h,砝码刚接触地面时木块仍没离开桌面,不计一切阻力,重力加速度为g,此时木块的速率为( )
A. B.
C. D.
2.[2024·汕头金山中学月考] 如图所示,一条轻绳跨过定滑轮,绳的两端各系一个小球A和B,当轻绳刚好被拉紧后,B球的高度为h,A球静止于地面.定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦力不计,重力加速度为g,释放B球,当B球刚落地时,A球的速度大小为(g为重力加速度), 则A球与B球的质量比为 ( )
A.1∶2
B.1∶3
C.2∶5
D.3∶5
◆ 知识点二 杆连接的系统机械能守恒问题
3.(多选)如图所示,A和B两个小球固定在一根轻杆的两端,mB>mA,此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动.现使轻杆从水平位置无初速度释放,发现杆绕O沿顺时针方向转动,则杆从释放至转动90°的过程中 ( )
A.B球的动能增大,机械能增大
B.A球的重力势能和动能都增大
C.A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量
D.A球和B球的总机械能守恒
4.[2024·广东实验中学期末] 如图所示,固定在竖直面内的光滑圆环半径为R,圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B(均可看作质点),且小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连,在小球B从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中(已知重力加速度为g,不计空气阻力),下列说法正确的是( )
A.B球减少的机械能大于A球增加的机械能
B.B球减少的重力势能等于A球增加的重力势能
C.B球的最大速度为
D.B球克服细杆所做的功为mgR
◆ 知识点三 弹簧连接的系统机械能守恒问题
5.如图甲所示,质量不计的弹簧竖直固定在水平面上,t=0时刻,将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放,小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点,然后又被弹起离开弹簧,上升到一定高度后再下落,如此反复.通过安装在弹簧下端的压力传感器测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图像如图乙所示,则 ( )
A.t1时刻小球的动能最大
B.t2时刻小球的动能最大
C.t2~t3这段时间内,小球的动能先增加后减少
D.t2~t3这段时间内,小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能
6.如图所示,物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧,物体A、B的质量都为m.开始时细绳伸直,用手托着物体A使弹簧处于原长状态且物体A与水平地面的距离为h,物体B静止在地面上.放手后物体A下落,与地面即将接触时速度大小为v,此时物体B对地面恰好无压力,不计空气阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是 ( )
A.弹簧的劲度系数为
B.物体B对地面恰好无压力时,弹簧的弹性势能等于mgh+mv2
C.物体B对地面恰好无压力时,物体B的速度大小也为v
D.物体B对地面恰好无压力时,物体A的加速度大小为g,方向竖直向上
7.如图所示,可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接,跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的3倍.当B位于地面时,A恰与圆柱轴心等高.将A由静止释放(A落地时,立即烧断细线),B上升的最大高度是 ( )
A. B.
C. D.2R
8.(多选)[2024·厦门松柏中学月考] 如图所示,倾角θ=37°的斜面固定在水平地面上,物块P和Q通过不可伸长的轻绳连接并跨过轻质定滑轮,轻绳与斜面平行.已知P的质量mp=3 kg,开始时两物块均静止,P距地面高度H=1 m,Q与定滑轮间的距离足够大.现将P、Q位置互换并从静止释放,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,不计一切摩擦.下列说法正确的是 ( )
A.Q物块的质量为4 kg
B.P、Q组成的系统机械能守恒
C.Q落地时速度的大小为2 m/s
D.Q落地瞬间重力的功率为100 W
9.(多选)如图所示,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上,a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动.不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g.则 ( )
A.a落地前,轻杆对b一直做正功
B.a落地前a、b系统机械能守恒
C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于g
D.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小为mg
10.[2024·惠州一中月考] 轻质弹簧竖直放置,下端固定在水平地面上,上端固定一光滑的圆弧轨道AB,A点与弹簧上端距离为L,如图所示.在弹簧上端将一物体P由静止释放,弹簧被压缩到最短时的压缩量为L.将物体P换成物体Q,并用外力将其缓慢下压,使弹簧压缩量为L,然后撤去外力,Q被弹起后从A点沿切线进入轨道.已知圆弧的半径为L,P的质量为5m,Q的质量为m,重力加速度大小为g,不计空气阻力.
(1)弹簧压缩量为L时,弹簧的弹性势能为多少;
(2)求Q到达B点时速度的大小.
11.如图所示,光滑细杆AB倾斜固定,与水平方向夹角为45°,一轻质弹簧的一端固定在O点,另一端连接质量为m的小球,小球套在细杆上,O与细杆上A点等高,O与细杆AB在同一竖直平面内,OB竖直,OP垂直于AB,且OP=L,当小球位于细杆上A、P两点时,弹簧弹力大小相等.现将小球从细杆上的A点由静止释放,在小球沿细杆由A点运动到B点的过程中,已知重力加速度为g,弹簧形变量一直处于弹性限度内且不弯曲,下列说法正确的是( )
A.弹簧的弹性势能先减小后增大
B.小球加速度大小等于g且方向沿杆向下的位置有两处
C.小球运动到B点时的动能为mgL
D.小球从A点运动到P点,机械能减少了mgL(共53张PPT)
专题课：系统机械能守恒的应用
学习任务一 绳连接的系统机械能守恒问题
学习任务二 杆连接的系统机械能守恒问题
学习任务三 弹簧连接的系统机械能守恒问题
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
学习任务一 绳连接的系统机械能守恒问题
［模型建构］ 如图所示，物体和物体用细绳相连，物体置于光滑水平台面上，二者的质量关系为，不计一切阻力，物体自高处由静止开始下落，且物体始终在水平台面上.若以地面为零势能面，物体和的机械能如何变化 两个物体和细绳组成的系统机械能如何变化
[答案] 物体的高度不变，速度变大，所以物体的机械能增加.物体
下落的过程中需克服细绳拉力做功，所以物体的机械能减少.整个系统没有机械能与其他形式能的转化，所以系统的机械能是守恒的.
例1 [2024·湛江一中月考] 如图所示，轻绳一端跨过无摩擦的定滑轮与小球连接，另一端与套在光滑竖直杆上的物块连接，小球与物块质量相等，杆两端固定且足够长.现将物块从与等高位置由静止释放，物块下落到轻绳与杆的夹角为 时的速度大小为，小球的速度大小为，则下列说法中正确的是( )
D
A.
B.
C.小球增加的重力势能等于物块减少的重力势能
D.小球增加的机械能等于物块减少的机械能
[解析] 由于A、B沿绳方向的速度相等，故，选项A、B错误；A、B两者速度不相等，物块A下降的高度不等于小球B上升的高度，故小球B增加的重力势能不等于物块A减少的重力势能，选项C错误；对A、B组成的系统,绳子拉力所做的总功为0，系统中只有物块和小球的重力做功,系统的机械能守恒，选项D正确.
【要点总结】
绳连物体系统机械能守恒问题
问题简述
方法突破
学习任务二 杆连接的系统机械能守恒问题
［模型建构］ 如图所示，用手将装置固定在杆恰好处于水平的位置，然后由静止释放，
在杆到达竖直位置的过程中，球1的机械能如何变化 球2的机械能如何变化 两个球和杆组成的系统机械能如何变化 (忽略摩擦力及空气阻力)
[答案] 球1的高度和速度都变大，所以机械能增加.球2下落的过程中需克服杆的阻力做功，所以球2的机械能减少.整个系统没有机械能与其他形式能的转化，所以系统的机械能是守恒的.
例2 如图所示，轻杆一端安装在光滑的水平转动轴上，杆的中央和另一端分别固定质量均为的小球和(可以看作质点)，杆长为，将轻杆从水平位置由静止释放，不计空气阻力,重力加速度为.当轻杆通过竖直位置时，小球、的速度各为多大？
[答案] ;
[解析] 对、两球(包括轻杆)组成的系统，由机械能守恒定律得
即
因、两球的角速度 相等，则
联立解得，
【要点总结】
杆连物体系统机械能守恒问题
问题简述
方法突破
学习任务三 弹簧连接的系统机械能守恒问题
［科学思维］
求解这类问题时,要注意以下四点:
(1)如果系统内每个物体除受弹簧弹力外,所受的其他力的合力为零,则当弹簧为自然长度时,系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放).
(2)当弹簧伸长和缩短的长度相同时,弹力大小相等.要注意始、末弹力的大小与方向要时刻与当时的形变相对应,即伸长量或压缩量,而力的位移就可能是两次形变量之和或之差.
(3)在相互作用过程特征方面,弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时,两端的物体具有相同的速度,弹性势能最大.
(4)虽然不要求知道弹性势能的表达式,但是要清楚弹簧的形变量相同时弹性势能相同,通过运算可以约去.
例3 [2024·广雅中学月考] 如图所示，劲度系数为的轻质弹簧一端系在竖直放置的半径为的光滑圆环顶点上，另一端连接一套在圆环上的质量为的小球.开始时小球位于点，此时弹簧处于原长且与竖直方向的夹角为 ，之后小球由静止沿圆环下滑，小球运动到最低点时的速率
D
A.轻质弹簧的原长为
B.小球运动到点时，所受的合力为
C.小球从到的过程中，重力势能转化为弹簧的弹性势能
D.小球运动到点时，弹簧的弹性势能为
为，此时小球与圆环之间的弹力恰好为零.已知重力加速度为.下列分析正确的是( )
[解析] 由几何关系可知，弹簧的原长为，A错误；小球过B点时，由重力和弹簧弹力的合力提供小球的向心力，有，B错误；以小球和弹簧组成的系统为研究对象，在小球从A到B的过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，系统机械能守恒，小球的重力势能转化为弹簧的弹性势能和小球的动能，故C错误；根据机械能守恒定律得，解得，故D正确.
1.(多选)如图所示，两个质量均为的小滑块、通过铰链用长为的刚性轻杆连接，套在固定的竖直光滑杆上，放在光滑水平地面上，轻杆与竖直方向夹角 .原长为的轻弹簧水平放置，右端与相连，左端固定在竖直杆点上.由静止释放，下降到最低点时， 变为
CD
A.、组成的系统机械能守恒
B.、的速度大小始终相等
C.弹簧弹性势能最大值为
D.达到最大动能时，受到地面的支持力大小为
.整个运动过程中，、始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为，则下降过程中( )
[解析] 、、弹簧组成的系统机械能守恒，而、组成的系统机械能不守恒，选项A错误；在下滑过程中，根据速度的合成与分解可知 ，解得 ，故、的速度大小不相同，选项B错误；根据机械能守恒定律得，所以弹
性势能的最大值为，选项C正确；由静止释放，开始向下做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，的速度达到最大，此时动能最大，对、和弹簧组成的整体受力分析，在竖直方向，根据牛顿第二定律得解得，选项D正确.
2.如图所示，上表面光滑、倾角 的斜面固定在水平地面上，斜面顶端固定一光滑的小定滑轮，质量分别为和的两小物块、用轻绳连接，其中被垂直于斜面的挡
C
A.物块的下落轨迹为一段圆
B.物块一直处于静止状态
C.物块在下摆过程中的机械能处于最大值时，速度最大值为
D.物块在下摆过程中的机械能处于最大值时，速度最大值为
板挡住而静止在斜面上，定滑轮与之间绳子水平.已知绳子开始刚好拉直，水平部分长为，重力加速度为.现由静止释放，在向下开始运动到点正下方的过程中，下列说法正确的是( )
[解析] 假设物块B不动，设A摆到最低点时的速度大小为，由机械能守恒定律得，解得，A在最低点时，有，联立得，物块B的重力
沿斜面向下的分力为,所以物块B在绳子拉力作用下会沿斜面向上运动，A的运动轨迹半径变大，故A、B错误；当绳子的拉力为时，物块B恰好不上滑，此后物块B上滑，绳子对物块A做负功，A的机械能减小，故B恰好不滑动时，物块A的机械能最大，设此时与水平方向的夹角为 ，根据机械能守恒定律得,此时物块A受到重力和拉力的合力的径向分力提供向心力，有，其中，联立解得，故C正确，D错误.
3.(多选)如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆、，两杆不接触且两杆间的距离忽略不计.两个小球、(视为质点)质量均为，球套在竖直杆上，球套在水平杆上，、通过铰链用长度为的刚性轻杆连接，将球从图示位置由静止释放(刚性轻杆与杆夹角为)，不计一切摩擦，重力加速度为.在此后的运动过程中，下列说法中正确的是( )
AC
A.球和球所组成的系统机械能守恒
B.球的速度为零时，球的加速度大小一定等于
C.球的最大速度为
D.球的最大速度为
[解析] 对于球和球组成的系统，没有外力做功，因此球和球组成的系统机械能守恒，故A正确；当球再次回到初始位置向下加速时，球此时刻速度为零，但球的加速度小于，故B错误；当刚性轻杆和杆平行，成竖直状态，球运动到最下方，球运动到和交点的位置时，球的速度达到最大，此时球的速度为0，根据机械能守恒定律得，解得
，故C正确；当球向下运动到杆和杆的交点的位置时，刚性轻杆和杆平行，此时球的速度为零，根据机械能守恒定律得
，解得，此时球具有向下的加速度，因此此时球的速度不是最大，球将继续向下运动到加速度为0时速度达到最大，故D错误.
4.如图所示，一轻绳跨过光滑的小定滑轮，一端与在倾角为 的光滑斜面上质量为的小物体1连接，另一端与套在光滑竖直杆上质量为的小物体2连接，滑轮到竖直杆的距离为.现在让物体2从与滑轮等高的点由静止释放，设斜面和杆足够长，物体1不会碰到滑轮，物体2不会碰到地面，取，.
(1) 若，当物体2下滑到距点的点时，求此时两物体的速度大小；
[答案] ;
[解析] 由几何关系知，当物体2下滑到点时，物体1沿斜面上升了
此时两物体的速度关系为
系统的机械能守恒，有
解得，
(2) 若物体2下滑到距点的点时，其速度刚好为0，求两物体的质量之比.
[答案]
[解析] 由几何关系知，当物体2下滑到点时，物体1沿斜面上升了
当物体2下滑到点时，其速度为0，此时物体1的速度也为0.
系统的机械能守恒，有
解得
5.如图所示，长为的轻杆两端分别固定有质量均为的、两小球，杆的三等分点处有光滑的水平固定转轴，使轻杆可绕转轴在竖直面内无摩擦转动.用手将该装置固定在杆恰好水平的位置，然后由静止释放.重力加速度为.
(1) 当杆到达竖直位置时，求小球的速度大小和杆对小球的弹力；
[答案] ; ，方向竖直向上
[解析] 当杆到达竖直位置时，设小球、的速度分别为、,因为小球、的角速度大小相同，所以
对小球、组成的系统，由机械能守恒定律得
联立解得，
杆在竖直位置时，对小球，由牛顿第二定律得
解得
即杆对小球的弹力大小为，方向竖直向上
(2) 从释放杆到杆转到竖直位置的过程中，求杆对小球做的功.
[答案]
[解析] 对小球，由动能定理得
解得
1.(绳连接的系统机械能守恒问题)(多选)如图所示,轻绳跨过定滑轮悬挂质量分别为、的甲、乙两个物体,滑轮的质量及摩擦不计，空气阻力不计.由于,两物体从静止开始运动，则( )
BD
A.甲、乙各自的机械能分别守恒 B.乙减少的机械能等于甲增加的机械能
C.乙减少的重力势能等于甲增加的重力势能 D.甲、乙组成的系统机械能守恒
[解析] 对于甲,绳子的拉力做正功,甲的机械能增加,对于乙,绳子的拉力做负功,乙的机械能减少,A错误.以甲、乙组成的系统为研究对象,绳子拉力所做的总功为零,故系统的机械能守恒,乙减少的机械能等于甲增加的机械能,乙减少的重力势能大于甲增加的重力势能，B、D正确，C错误.
2.(弹簧连接的系统机械能守恒问题)(多选)如图所示，小物体从某一高度自由下落，落到竖直固定在地面上的轻弹簧上，在点物体开始与弹簧接触，到点物体的速度为零，然后被弹回.下列说法中正确的是( )
CD
A.物体经过点时速度最大
B.从点下落到点的过程中，物体的机械能守恒
C.从点下落到点以及从点上升到点的过程中，物体的动能都是先变大后变小
D.从点下落到点的过程中，物体的机械能不守恒
[解析] 对物体经过A点时进行受力分析，此时物体只受重力，加速度方向与速度方向相同，所以物体经过A点时继续加速，速度还未达到最大，选项A错误；物体从A下落到B的过程中,由于要克服弹簧弹力做功，所以物体的机械能不守恒，选项B错误，D正确；在A、B之间某位置满足，此时加速度为0，所以物体从A下落到B以及从B上升到A的过程中，动能都是先变大后变小，选项C正确.
3.(杆连接的系统机械能守恒问题)[2024·湛江一中月考] 如图所示，在两个质量分别为和的小球和之间用一根长为的轻杆连接，轻杆可绕位于中心的水平轴无摩擦转动，现让杆处于水平位置无初速度释放，在杆转至竖直的过程中(轻杆质量不计)( )
C
A.球机械能减小
B.球重力势能减小，动能增加，机械能守恒
C.球和球总机械能守恒
D.球和球总机械能不守恒
[解析] 释放后，A球向上运动，速度增大，高度增大，所以A球的动能和势能都增大，即A球的机械能增大，故A项错误；在杆从水平转至竖直的过程中，A球和B球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，又根据机械能守恒的转化式可得增减，所以A球的机械能增大，B球的机械能减少.但B球在运动过程中，速度增大，高度降低，即B球的动能增大，势能减小，但B球的机械能减小.故A、B、D错误，C正确.
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知识点一 绳连接的系统机械能守恒问题
1.[2024·中山一中月考] 如图所示，质量为的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为的砝码相连，已知，让绳拉直后使砝码由静止开始下降.若砝码底部与地面的距离为<，砝码刚接触地面时木块仍没离开桌面，不计一切阻力，重力加速
A
A. B. C. D.
度为,此时木块的速率为( )
[解析] 以木块和砝码组成的系统为研究对象，只有重力做功，系统的机械能守恒，则有，，解得，故A正确，B、C、D错误.
2.[2024·汕头金山中学月考] 如图所示,一条轻绳跨过定滑轮,绳的两端各系一个小球和,当轻绳刚好被拉紧后,球的高度为,球静止于地面.定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦力不计,重力加速度为,释放球,当球刚落地时,球的速度大小为为重力加速度,则球与球的质量比为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 球下落的过程中,由A、B两球及绳子组成的系统机械能守恒,有,解得,故选D.
知识点二 杆连接的系统机械能守恒问题
3.(多选)如图所示，和两个小球固定在一根轻杆的两端，，此杆可绕穿过其中心的水平轴无摩擦地转动.现使轻杆从水平位置无初速度释放，发现杆绕沿顺时针方向转动，则杆从释放至转动 的过程中( )
BD
A.球的动能增大，机械能增大
B.球的重力势能和动能都增大
C.球的重力势能和动能的增加量等于球的重力势能的减少量
D.球和球的总机械能守恒
[解析] A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能都增大，故A球的机械能增大；B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小；对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，因为A球的机械能增大，故B球的机械能减小，故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，选项A、C错误，B、D正确.
4.[2024·广东实验中学期末] 如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为，圆环上套有质量分别为和的小球、(均可看作质点)，且小球、用一长为的轻质细杆相连，在小球从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中(已知重力加速度为，不计空气阻力)，下列说法正确的是( )
C
A.球减少的机械能大于球增加的机械能
B.球减少的重力势能等于球增加的重力势能
C.球的最大速度为
D.球克服细杆所做的功为
[解析] 小球A、B组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，B球减少的机械能等于A球增加的机械能，故A错误；小球A、B组成的系统机械能守恒，可知B球减少的重力势能等于A球增加的重力势能与两小球增加的动能之和，故B错误；小球A、B组成的系统机械能守恒，有,可得B球的最大速度为，故C正确；对
B球，根据动能定理得，解得B球克服细杆所做的功为，故D错误.
知识点三 弹簧连接的系统机械能守恒问题
5.如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复.通过安装在弹簧下
C
A.时刻小球的动能最大
B.时刻小球的动能最大
C.这段时间内，小球的动能先增加后减少
D.这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能
端的压力传感器测出这一过程弹簧弹力随时间变化的图像如图乙所示，则( )
[解析] 时刻小球刚与弹簧接触,与弹簧接触后,弹力先小于重力,小球做加速运动,当弹力增大到与重力平衡,即加速度减为零时,速度达到最大,动能达到最大,故A错误;时刻,弹力最大,故弹簧的压缩量最大,小球运动到最低点,速度等于零,动能等于零,故B错误;这段时间内,小球处于上升过程,先做加速度减小的加速运动,后做加速度增大的减速运动,动能先增加后减少,故C正确;这段时间内,小球和弹簧组成的系统机械能守恒,小球增加的动能和重力势能之和等于弹簧减少的弹性势能,故D错误.
6.如图所示,物体、通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧,物体、的质量都为.开始时细绳伸直,用手托着物体使弹簧处于原长状态且物体与水平地面的距离为,物体静止在地面上.放手后物体下落,与地面即将接触时速度大小为,此时物体对地面恰好无压力,不计空气阻力,重力加速度为,则下列说法正确的是( )
A
A.弹簧的劲度系数为
B.物体对地面恰好无压力时,弹簧的弹性势能等于
C.物体对地面恰好无压力时,物体的速度大小也为
D.物体对地面恰好无压力时,物体的加速度大小为,方向竖直向上
[解析] 由题意可知,物体B对地面恰好无压力时,弹簧所受的拉力大小等于物体B的重力,即,弹簧伸长的长度,由,得,A正确;物体A与弹簧组成的系统机械能守恒,则有,则弹簧的弹性势能,B错误;物体B对地面恰好无压力时,物体B的速度为零,C错误;对物体A,根据牛顿第二定律有,又,得,D错误.
7.如图所示，可视为质点的小球、用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在水平地面上、半径为的光滑圆柱，的质量为的3倍.当位于地面时，恰与圆柱轴心等高.将由静止释放落地时，立即烧断细线，上升的最大高度是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设B的质量为，则A的质量为，A球落地前，A、B组成的系统机械能守恒，有，解得，烧断细线后，对B运用动能定理有，解得，则B上升的最大高度为，故选B.
8.(多选)[2024·厦门松柏中学月考] 如图所示，倾角 的斜面固定在水平地面上，物块和通过不可伸长的轻绳连接并跨过轻质定滑轮，轻绳与斜面平行.已知的质量，开始时两物块均静止，距地面高度，与定滑轮间的距离足够大.现将、位置互换并从静止释放，重力加速度取，，，不计一切摩擦.下列说法正确的是( )
BC
A.物块的质量为 B.、组成的系统机械能守恒
C.落地时速度的大小为 D.落地瞬间重力的功率为
[解析] 根据题意，设绳子的弹力为，对物块由平衡条件有，对物块由平衡条件有，联立解得，A错误；根据题意可知，不计一切摩擦，、组成的系统运动过程中，只有重力做功，故、组成的系统机械能守恒，B正确；根据题意，设落地时速度的大小为，由关联速度可知，此时的速度也为，由机械能守恒定律有，代入数据解得，C正确；由公式可得，落地瞬间重力的功率为，故D错误.
9.(多选)如图所示，滑块、的质量均为，套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距，放在地面上，、通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动.不计摩擦，、可视为质点，重力加速度大小为.则( )
BD
A.落地前，轻杆对一直做正功
B.落地前、系统机械能守恒
C.下落过程中，其加速度大小始终不大于
D.落地前，当的机械能最小时，对地面的压力大小为
[解析] 当到达底端时，的速度为零，的速度在整个过程中，先增大后减小，则动能先增大后减小，所以轻杆对先做正功，后做负功，故A错误；的速度在整个过程中，先增大后减小，所以对的作用力先是动力后是阻力，所以对的作用力就先是阻力后是动力，所以在减速的过程中，对是向下的拉力，此时的加速度大于重
力加速度，故C错误；落地前，把、看成整体，只有重力做功，所以机械能守恒，当的机械能最小时，的速度最大，此时受到的推力为零，只受到重力的作用，根据牛顿第三定律可知对地面的压力大小为，故B、D正确.
10.[2024·惠州一中月考] 轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，上端固定一光滑的圆弧轨道，点与弹簧上端距离为，如图所示.在弹簧上端将一物体由静止释放，弹簧被压缩到最短时的压缩量为.将物体换成物体，并用外力将其缓慢下压，使弹簧压缩量为，然后撤去外力，被弹起后从点沿切线进入轨道.已知圆弧的半径为，的质量为，的质量为，重力加速度大小为，不计空气阻力.
(1) 弹簧压缩量为时，弹簧的弹性势能为多少；
[答案]
[解析] 在弹簧上端将一物体由静止释放，弹簧被压缩到最短时的压缩量为，此过程物体的重力势能减少量等于弹簧的弹性势能增加量，此时弹簧的弹性势能为
(2) 求到达点时速度的大小.
[答案]
[解析] 物体从弹簧压缩量为到圆弧轨道处的过程，根据系统机械能守恒定律得
解得到达点时速度的大小
11.如图所示,光滑细杆倾斜固定,与水平方向夹角为 ,一轻质弹簧的一端固定在点,另一端连接质量为的小球,小球套在细杆上,与细杆上点等高,与细杆在同一竖直平面内,竖直,垂直于,且,当小球位于细杆上、两点时,弹簧弹力大小相等.现将小球从细杆上的
点 由静止释放,在小球沿细杆由点运动到点的过程中,已知重力加速度为,弹簧形变量一直处于弹性限度内且不弯曲,下列说法正确的是( )
A.弹簧的弹性势能先减小后增大
B.小球加速度大小等于且方向沿杆向下的位置有两处
C.小球运动到点时的动能为
D.小球从点运动到点,机械能减少了
√
[解析] 由于小球在A、两点时,弹簧弹力大小相同,则小球在A点时,弹簧被拉伸,小球在点时,弹簧被压缩,且拉伸量与压缩量相等,则在A、之间必有一个弹簧处于原长状态的位置,由对称性原理可知,在、B之间也必有一个弹簧处于原长状态的位置,小球在A、、B三个位置时弹簧的弹性
势能相等,在小球从A到的过程中,弹簧的弹性势能先减小后增大,在小球从到B的过程中,弹簧的弹性势能也是先减小后增大,A错误;弹簧处于原长状态时和小球在点位置时,小球加速度大小等于且方向沿杆向下,所以小球加速度大小等于且方向沿杆向下的位置有三处,B错误;小球从A点运动到B点过程中,由机械能守恒定律可得,解得,C正确;A、两点处弹簧的弹性势能相等,所以从A点运动到点的过程中,只有重力势能转化为动能,所以小球在A、两点的机械能相等,D错误.
