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第二十一章 一元二次方程（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·吉林期末）某农家前年水蜜桃亩产量为千克，今年的亩产量为千克，设从前年到今年的年平均增长率为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·镇海区期末）若关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足则的值为（ ）
A．或 B． C． D．不存在
3．（2024九上·吴桥期末）已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·潮阳月考）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，一次项系数、常数项分别是（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
5．（2024九上·长沙开学考）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
6．（2024九上·丛台月考）某节数学课上，老师让学生解关于的方程，下面是三位同学的解答过程：
小逸 小明 小琛
两边同时除以，得． 整理得，配方得，，，，． 移项得，，或，．
下列选项中说法正确的是（ ）
A．只有小明的解法正确 B．只有小琛的解法正确
C．只有小逸的解法错误 D．小逸和小琛的解法都是错误的
7．（2024·裕华模拟）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为的形式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·铜梁月考） 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（ ）
A．52 B．60 C．68 D．76
9．（2022九上·子洲月考）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程的根 B．-1可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
10．（2023九上·永善期末）三角形两边的长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．24或 C．48或 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·南山开学考）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 m.
12．（2024九上·合江月考）李伟同学在解关于 x的一元二次方程x －3 x＋m＝0时，误将－3 x看作＋3 x，结果解得 x ＝1，x ＝－4，则原方程的解为
．
13．（2024九上·深圳月考）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣2a＝0有实数根，则a的取值范围是 ．
14．（2024九上·韶关月考）某校要组织一次篮球赛邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为 .
15．（2023九上·恩阳期中）若对任何实数a，关于x的方程x2-2ax-a+2b＝0都有实数根，求实数b的取值范围 ．
16．（2023九上·成都开学考）已知实数，满足，，且，且的值为 ．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·南山期中）解下列方程：
（1）；
（2）
18．（2024九上·深圳期中）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
19．（2024九上·襄阳期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
20．（2024九上·中山期中）学校课外兴趣活动小组准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于墙一边长为．如图，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成．
（1）___________：(用含的代数式表示)
（2）当苗圃园的面积为时，求的值．
21．（2024九上·阳山期末）以下是某同学解方程的过程：
解：方程两边因式分解，得，①
方程两边同除以，得，②
∴原方程的解为．③
（1）上面的运算过程第______步出现了错误．
（2）请你写出正确的解答过程．
22．（2024九上·柳州开学考）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围．
23．（2024九上·孝昌开学考）沈阳街头随处可见单车出行，单车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计2021年某区8月份租用单车次数6400辆，10月份租用单车次数10000辆．
（1）若该区2021年8月至10月的单车租用次数的月平均增长率相同，求该区单车租用次数的月平均增长率是多少？
（2）若单车租用次数的月平均增长率保持不变，预计该区11月份单车次数租用 辆．
24．（2024九上·越秀月考）第二十届省运会将于2022年在泰州举行，运动会纪念徽章在网上进行销售．平均每天可售出100枚，每枚售价20元．为了扩大销售，现采取了降价措施，在每枚售价不少于15元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10枚，若每枚商品降价元．
（1）降价后平均每天销售数量为 枚（用含的代数式表示），的取值范围是 ；
（2）若该网店每天销售额为2160元时，求的值．
25．（2024九上·四会期末） 2023年杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，吉祥物一开售，就深受大家的喜爱. 某商家销售吉祥物进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低1元，平均每天可多售出40件．
（1）若每件商品降价3元，则商店每天的平均销量是 件；
（2）不考虑其他因素的影响，若平均每天的利润为1280元，则每件商品应降价多少元？
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第二十一章 一元二次方程（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·吉林期末）某农家前年水蜜桃亩产量为千克，今年的亩产量为千克，设从前年到今年的年平均增长率为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】设从前年到今年的年平均增长率为，
根据题意可得：，
故答案为：D.
【分析】设从前年到今年的年平均增长率为，根据“今年的亩产量为千克”列出方程即可.
2．（2024九上·镇海区期末）若关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足则的值为（ ）
A．或 B． C． D．不存在
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，是 方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得，，
当时，原方程变形为：，
，此方程有两个不相等的实数根，
当时，原方程变形为：，
，此方程无实数根，
∴k的值为；
故答案为：C.
【分析】先根据根与系数的关系，及题意列出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据根的判别式，确定满足条件的k的值.
根的判别式：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根.
3．（2024九上·吴桥期末）已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设一元二次方程为（），则方程的根为，
∵ ，
∴，，，
∴一元二次方程为．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的求根公式结合题意得到，，，进而即可求解。
4．（2024九上·潮阳月考）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，一次项系数、常数项分别是（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】A
【解析】【解答】解： 将方程化为一元二次方程的一般形式得，
一次项系数、常数项分别是 -8，-10，
故答案为：A.
【分析】先将方程化为一般式的形式，再根据一元二次方程的相关系数的定义即可得出结论.
5．（2024九上·长沙开学考）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 直线y＝x+a不经过第二象限，
∴，
当a<0时， 方程ax2+2x+1＝0 是一元二次方程，
∵b2-4ac=4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
当a=0时，
方程ax2+2x+1＝0变为2x+1=0，解得，.
因此， 方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是 1或2 。
故答案为： 1或2 .
【分析】 直线y＝x+a不经过第二象限可得，分两种情况，结合一元二次方程根的判别式求解。
6．（2024九上·丛台月考）某节数学课上，老师让学生解关于的方程，下面是三位同学的解答过程：
小逸 小明 小琛
两边同时除以，得． 整理得，配方得，，，，． 移项得，，或，．
下列选项中说法正确的是（ ）
A．只有小明的解法正确 B．只有小琛的解法正确
C．只有小逸的解法错误 D．小逸和小琛的解法都是错误的
【答案】C
【解析】【解答】解：只有小逸的解法错误，方程两边同时除以（x+5），这样会导致方程漏解，小明，小琛分别用配方法、因式分解解方程，计算皆正确，
故答案为：C.
【分析】分别运用解一元二次方法的常用方法：配方法，因式分解法进行解方程即可.
7．（2024·裕华模拟）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为的形式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意
等号两侧同时加上4
得：
由完全平方公式得：
故答案为：D
【分析】掌握一元二次方程用配方法求解的过程，就能够顺利解决恒等变形，找到a、b的值，从而求得a+b的值。
8．（2023九上·铜梁月考） 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（ ）
A．52 B．60 C．68 D．76
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，
设，
∵正方形中，E是边中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴的最小值为，
故答案为：B．
【分析】过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，证四边形和四边形都是矩形，根据AAS证明，利全等三角形的性质，结合勾股定理和配方法求解即可．
9．（2022九上·子洲月考）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程的根 B．-1可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
【答案】D
【解析】【解答】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D
【分析】由于方程有两个相等的实数根，可得且，从而得出，可知x=0、x=-1可能但不能同时是方程 的根；当x=0时，可知p、q的值且都符合题意，继而判断.
10．（2023九上·永善期末）三角形两边的长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．24或 C．48或 D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 三角形第三边的长是一元二次方程的一个实数根
∴ 解方程，得x1=10，x2=6
∵ 三角形两边的长分别是6和8，
∴ 三角形的三边为6，8，10或6，6，8
（1）当三角形三边为6，8，10，则此时三角形为直角三角形， 该三角形的面积是=24；
（2）当三角形三边为6，6，8，则此时三角形为等腰三角形，
则高为， 该三角形的面积是；
综上，该三角形的面积是24或；
故答案为B
【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题关键。 解方程，得x1=10，x2=6；则 三角形的三边为6，8，10或6，6，8，分别计算面积即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·南山开学考）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 m.
【答案】2
【解析】【解答】解：设小路宽为x，则花坛长为16-2x，宽为12-2x
由题意可得：
解得：x=2
故答案为：2
【分析】设小路宽为x，则花坛长为16-2x，宽为12-2x，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
12．（2024九上·合江月考）李伟同学在解关于 x的一元二次方程x －3 x＋m＝0时，误将－3 x看作＋3 x，结果解得 x ＝1，x ＝－4，则原方程的解为
．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意及韦达定理得： ，
∴原方程为： ，
解得： ；
故答案为 ．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出原来的方程，再计算即可。
13．（2024九上·深圳月考）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣2a＝0有实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意得△= ≥0，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式大于等于零，即可得到a的取值范围。
14．（2024九上·韶关月考）某校要组织一次篮球赛邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为 .
【答案】
【解析】【解答】每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为： x（x﹣1）=2×5．
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝2×5，把相关数值代入列方程即可作答．
15．（2023九上·恩阳期中）若对任何实数a，关于x的方程x2-2ax-a+2b＝0都有实数根，求实数b的取值范围 ．
【答案】b≤
【解析】【解答】根据题意
x2-2ax-a+2b＝0有实数根
故填：
【分析】一元二次方程的判别式大于等于0，方程有实数根，由判别式得到关于a的二次不等式，二次不等式的判别式如果小于等于0，说明无论a取何值，二次不等式的最小值是大于等于0的，即原方程总有实数根，解这个二次不等式的判别式小于等于0时的b值即可。
16．（2023九上·成都开学考）已知实数，满足，，且，且的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·南山期中）解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
则或，
解得：．
【解析】【分析】（1）利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：，
配方得：，
即，
开平方得：，
解得：；
（2）解：，
移项得：，
因式分解得：，
即，
则或，
解得：．
18．（2024九上·深圳期中）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，移项，得，
配方，得，即，
开方，得，
，．
（2）解：
移项，得
因式分解，得
即或，
，．
【解析】【分析】（1）把常数项移到右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出，进而开平方，即可求解；
（2）先移项，使方程的右边为0，然后把左边进行因式分解，即可求解。
（1）∵，
移项，得，
配方，得，即，
开方，得，
，．
（2）移项，得
因式分解，得
即或，
，．
19．（2024九上·襄阳期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
【答案】（1）解：根据题意得，．
解得，．
（2）解；由题意可知，，．所以．
解得，．
∵，
∴．
【解析】【分析】(1)根据根的判别式与方程的根的情况之间的关系，可得出，解不等式即可得出；
（2）利用根与系数的关系及， 可得出，解方程，并根据取符合题意的m的值即可。
（1）解：根据题意得，．
解得，．
（2）由题意可知，，．
所以．
解得，．
∵，
∴．
20．（2024九上·中山期中）学校课外兴趣活动小组准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于墙一边长为．如图，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成．
（1）___________：(用含的代数式表示)
（2）当苗圃园的面积为时，求的值．
【答案】（1）
（2）解：由题意得：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去，
，
【解析】【解答】（1）解：四边形是矩形，
，，
；
故答案为：；
【分析】（1）根据矩形性质即可求出答案.
（2）根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：四边形是矩形，
，，
；
故答案为：；
（2）由题意得：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去，
，
21．（2024九上·阳山期末）以下是某同学解方程的过程：
解：方程两边因式分解，得，①
方程两边同除以，得，②
∴原方程的解为．③
（1）上面的运算过程第______步出现了错误．
（2）请你写出正确的解答过程．
【答案】（1）②
（2）解：方程两边因式分解，得，
移项，得，
∴，
∴，．
【解析】【解答】（1）解：∵可能为0，
∴不能除以，
∴第②步出现了错误
故答案为：②．
【分析】（1）根据等式的性质即可求出答案.
（2）移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
（1）解：∵可能为0，
∴不能除以，
∴第②步出现了错误
故答案为②．
（2）解：方程两边因式分解，得，
移项，得，
∴，
∴，．
22．（2024九上·柳州开学考）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围．
【答案】（1）一元二次方程有实数根，
，
解得：；
（2），是方程的两个实数根，
，，
∵，
，解得：，
由（1）可得：，
．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，则判别式，列出不等式，解不等式即可求出答案.
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关系m的不等式，解不等式即可求出答案.
23．（2024九上·孝昌开学考）沈阳街头随处可见单车出行，单车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计2021年某区8月份租用单车次数6400辆，10月份租用单车次数10000辆．
（1）若该区2021年8月至10月的单车租用次数的月平均增长率相同，求该区单车租用次数的月平均增长率是多少？
（2）若单车租用次数的月平均增长率保持不变，预计该区11月份单车次数租用 辆．
【答案】解：（1）设该区单车租用次数的月平均增长率是x，
根据题意可得：
解方程，得：或（舍去）
即该区单车租用次数的月平均增长率是25%；
（2）（辆）
即11月份单车次数租用12500辆；
故答案为：12500．
【解析】【分析】（1）设该区单车租用次数的月平均增长率是x，根据“ 10月份租用单车次数10000辆 ”列出方程即可；
（2）利用（1）的百分比，列出算式求解即可.
24．（2024九上·越秀月考）第二十届省运会将于2022年在泰州举行，运动会纪念徽章在网上进行销售．平均每天可售出100枚，每枚售价20元．为了扩大销售，现采取了降价措施，在每枚售价不少于15元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10枚，若每枚商品降价元．
（1）降价后平均每天销售数量为 枚（用含的代数式表示），的取值范围是 ；
（2）若该网店每天销售额为2160元时，求的值．
【答案】解：（1）（100+10a），0＜a≤5.
（2）由题意可得：
（20﹣a）（100+10a）＝2160
解得a1＝2，a2＝8
由（1）知0＜a≤5
∴a＝2
答：若该网店每天销售额为2160元时，则a的值是2．
【解析】【解答】解：（1）∵ 每枚商品降价元
∴每天销售的数量为（100+10a）枚，每枚售价为(20-a)元
∵每枚售价不少于15元
∴20－a≥15
解得：a≤5
又∵a＞0
∴a的取值范围是0＜a≤5.
故答案为：（100+10a），0＜a≤5.
【分析】（1） 销售单价每降低1元，平均每天可多售出10枚，若每枚商品降价元 ，则每天销售的数量为（100+10a）枚，每枚售价为(20-a)元，再根据每枚售价不少于15元，列出不等式20－a≥15，解出a，又因为a>0，因此可得：a的取值范围是0＜a≤5.
（2）根据等量关系：销售额=销售量×售价，列出方程得：（20﹣a）（100+10a）＝2160，解出a，再结合a的范围进行取舍即可.
25．（2024九上·四会期末） 2023年杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，吉祥物一开售，就深受大家的喜爱. 某商家销售吉祥物进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低1元，平均每天可多售出40件．
（1）若每件商品降价3元，则商店每天的平均销量是 件；
（2）不考虑其他因素的影响，若平均每天的利润为1280元，则每件商品应降价多少元？
【答案】（1）200
（2）解：设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，平均每天能售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每件商品应降价或元．
【解析】【解答】解：（1）由题意得每件商品降价3元，则商店每天的平均销量（件），
故答案为：；
【分析】（1）根据题意得到每件商品降价3元，进而即可求出其平均的销量；
（2）设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，平均每天能售出件，根据“平均每天的利润为元”即可列出一元二次方程，从而即可求解。
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