湖北省武汉市部分学校2025～2026学年高三年级九月调研考试（PDF版，含答案）

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武汉市 2026 届高三年级九月调研考试
数学试卷参考答案及评分标准
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A D D B B B D ACD BD BCD
填空题：
7 9 2 1512. 13. 8 14. 5
解答题：
15.（13 分）解：
（1）零假设为H0 :这次考核结果与经验丰富与否无关，根据列联表中的数据，
n(ad bc)2 500 (200 50 100 150)22 250
可得 3.968 6.635，
a b c d a c b d 300 200 350 150 63
根据小概率值 0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认
为这次考核结果与经验是否丰富与否无关. …………5 分
（2）采用分层抽样的方法抽取10名教师，
其中经验不丰富教师人数为 200500 10 4，经验丰富教师人数为
300
500 10 6．
随机变量 X 的所有可能取值为0,1,2,3,4 .
P X 0 C
0C4 C1C3
4 6 1 ， P X 1 4 6 8
C4 14 C4 21
，
10 10
2
P X 2 C4C
2 3 1 4 0
64
3
7 ， P X 3
C4C 6 44 35 ， P X
C C
4 4 6 14 210 .C10 C10 C10
故随机变量 X 的分布列如下：
X 0 1 2 3 4
P 1 8 3 4 114 21 7 35 210
则 E X 0 1 1 8 2 3 3 4 4 1 814 21 7 35 210 5 . …………13 分
16.（15 分）解：
（1）取 BC中点Q，连接 PQ， FQ .由题意， EF // 1 BB ， PQ //
1
1 2 1 2 BB ，得 EF
//
1 PQ .
所以四边形 EFQP是平行四边形，有 PE∥QF .
又QF 平面 B1CF ， PE 平面 B1CF ，所以 PE∥平面 B1CF . …………6 分
（2）建立如图所示的空间直角坐标系. B(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,0,1)，F (0,0,
2
3) .

CB1 (1, 1,1)，CF (0, 1,
2
3)， BC ( 1,1,0) .
设平面 B1CF 的法向量 n (x, y, z)，

n CB 0 x y z 0
由 1 ，即 ，
n CF 0 y
2 z 0
3
取 z 3，得到平面B1CF 的一个法向量 n ( 1,2,3) .
设直线 BC与平面 B1CF 所成角的大小为 ，

BC BCF | n BC | 3 7所以直线 与平面 1 所成角的正弦值 sin | cos n, BC |
3
| n | | BC | 14 2 14
.
…………15 分
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17.（15 分）解：
（1） tan A tan B sin A sin B sin Acos B cos Asin B sin(A B)cos A cos B cos Acos B cos Acos B .
又 sin(A B) sinC ，所以 sinC 2sinCcos Acos B cos B .
由 sinC 0，整理得： cos A 12 .
又0 A ，所以 A 3 . …………5 分
BC 2 AB2 AC 2（2）由余弦定理： 2AB AC cosA 49，故 BC 7 .
AB2 BC 2 AC 2cos B 12AB BC 7 . …………10 分
sin B 1 cos 2 B 4 3（3） 7 .
sin ADC sin(B ) 36 2 sin B
1cos B 132 14 .
56 3
由正弦定理： CD ACsin A sin ADC ，代入解得：CD 13 . …………15 分
18.（17 分）解：
p
（1）由题意，当点 A横坐标为 2时，点 A到准线 x 2 的距离为3，
p 2
即 2 2 3，解得 p 2，所以抛物线 E的标准方程为： y 4x . …………3 分
（2）点 F (1,0)，设 A(x1, y1),B(x2 , y2 ) .
此时直线 l的斜率为 2， l的方程可写为 x 12 y 3.
2
与抛物线方程联立得： y 2y 12 0 .
由韦达定理， y1 y2 2， y1y2 12 .
2
此时 FAB面积为 12 | FP | | y1 y2 | (y1 y2) 4y1y2 2 13 . …………8 分
（3）设直线 l的斜率为 k，显然 k 0 .
2
将直线 l方程 x 1k y 3与抛物线方程联立得： y
4
k y 12 0 .
由韦达定理， y y 41 2 ， y1y2 12 .

k
由题意： FT ∥ ( F A F B ) .
| FA | | FB |

F A F B ( x1 1, y1 ) ( x2 1, y2 ) ( 2(x1x2 1) , x1y2 x2 y1 y y 1 2 ) .
| FA | | FB | x1 1 x1 1 x2 1 x2 1 x1x2 x1 x2 1 x1x2 x1 x2 1
又 FT (1, 2)，所以 x1y2 x2 y1 y1 y2 4(x1x2 1) .
2 2 2 2
代入抛物线方程化简得： y1 y2 y1y2 4(y1 y2 ) y1 y2 16 .
即 (y1y2 4)(y1 y2 ) (y1y2 4)(y1y2 4) .
又 y1y2 4 8 0，故 y1 y2 y1y2 4 .
即 4 12 4，解得： k 1k 4 . …………17 分
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19.（17 分）解：
2
（1）由题意，函数 (x) x kx 1在区间 (0,1)和 (1, )上各有一个零点.
(0) 0
所以 ，解得： k 2 . …………3 分
(1) 0
2
（2） f '(x) (2x k) ln x x kx 1x .
x1, x2 是方程 x
2 kx 1 0的两根，所以 x1 x2 k ， x1x2 1 .
f '(x1) (2x1 k) ln x1，将 k x1 x2 代入，得 f '(x1) (x1 x2 ) ln x1 .
切线方程为 y f '(x1)(x x1)，在 y轴上得截距为 x1 f '(x1) .
S 1 x | x f '(x ) | 1 x 2有 2 1 1 1 2 1 (x1 x2 ) ln x1 .
S
x x
1
2 x
2
1 ln x1，其中0 x1 1.
2 1
F (x) 1 x 2设 2 ln x(0 x 1) ， F '(x) x(ln x
1
2) .
令 F '(x) 0，得 x 1 .
e
当0 x 1 时， F '(x) 0， F (x)单调递增；当 1 x 1时， F '(x) 0， F (x)单调递减.
e e
故 S 的最大值为 F ( 1 ) 1x x 4e . …………9 分2 1 e
（3）记 f '(x)的导函数为 f ''(x)，有 f ''(x) 2ln x k 1x 2 3，显然 f ''(x)是增函数.x
又 f ''(1) 2 k 0， x 时， f ''(x) ，故存在 x0 (1, )，使得 f ''(x0 ) 0 .
当0 x x0 时， f ''(x) 0， f '(x)单调递减；当 x x0时， f ''(x) 0， f '(x)单调递增.
又 f '(x0 ) f '(1) 2 k 0， x 0时， f '(x) ； x 时， f '(x) .
所以存在m (0, x0)， n (x0 , )使得 f '(m) f '(n) 0 .
此时 f (x)在 (0,m)和 (n, )单调递增，在 (m,n)单调递减.
所以 t1 (0,m)， t2 (n, ) .
设曲线 y f (x)在点 (x1,0)处的切线 l1的方程为 y l1(x)，则 l1(x) f '(x1)(x x1) .
设函数 g1(x) f (x) l1(x)(0 x m) .
g1 '(x) f '(x) f '(x1) ， g1 ''(x) f ''(x) 0，所以 g1 '(x)单调递减，又 g1 '(x1) 0 .
所以 0 x x1时， g1 '(x) 0， g1(x)单调递增；所以 x1 x m时， g1 '(x) 0， g1(x)单调递减；
故 g1(x) g1(x1) 0，有 g1(t1) f (t1) l1(t1) 0 .
设直线 y a与直线 l1交点的横坐标为 x1'， l1(t1) f (t1) l1(x1' ) a .
根据 l1斜率 f '(x1) (x1 x2 ) ln x1 0，有 t1 x1' .
相同地，设曲线 y f (x)在点 (x2 ,0)处的切线 l2的方程为 y l2 (x)，则 l2 (x) f '(x2 )(x x2 ) .
设函数 g2 (x) f (x) l2 (x)(x n) . 由 x n时， f ''(x) 0，可得 g2 (x) 0 .
设直线 y a与直线 l2交点的横坐标为 x2'，由 g2 (t2 ) f (t2 ) l2 (t2 ) 0 .
l2 (t2 ) f (t2 ) l2 (x2' ) a l2的斜率 f '(x2 ) (2x2 k) ln x2 (x2 x1) ln x2 0 ，有 t2 x， 2' .
所以 t2 t1 x2' x1' .
又 f '(x1) (x1 x2 ) ln x1， f '(x2 ) (x2 x1) ln x2 ，根据 x1x2 1，有 f '(x1) f '(x2 ) .
即 l1∥ l2，可得 x2' x1' x2 x1，所以 t2 t1 x2 x1 . …………17 分
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