2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章 5.5.2 简单的三角恒等变换 同步练习（含解析）

2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册
第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换
一、单选题
1.（2025广东深圳高级中学月考）若是第三象限角，且，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2025江西上饶联考）已知，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2023河南焦作期中）已知且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2025山东临沂第一中学月考）已知，则的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2025辽宁沈阳二十中月考）已知是函数的最大值点，则（ ）
A.
B.
C.
D.
6.（2023湖北省武昌实验中学月考）计算：（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
7.（2024福建师大附中月考）下列化简正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.（2024黑龙江哈尔滨三中开学考试）在中，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则为等腰或直角三角形
B. 若，则为直角三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，则为正三角形
9.（2025四川江油太白中学月考）已知，，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题
10.（2025江苏江阴期中）= .
11.（2025陕西榆林期末）计算：________.
12.（2025广东湛江期中）已知，，则________.
四、解答题
13.（2025河南周口期中）
（1）已知为的三个内角，，求证：；
（2）证明：.
14.（2024南京师范大学苏州实验学校阶段调研）
（1）已知，，且，求；
（2）化简：.
15.如图，扇形的圆心角为，所在圆的半径为2，作这个扇形的内接矩形，点是弧的中点，矩形的顶点在弧上，且关于所在直线对称，顶点分别在半径上，。求矩形面积的最大值和此时的值。
一、单选题
1. 答案:A
解析:第一步化简已知条件: 由两角差的正弦公式 ,原式可化为: ,故 。 第二步确定 的范围与 : 是第三象限角( , ),故 。 第三步用半角公式求 : 半角公式 (第三象限角的半角在第二象限,正切为负),代入得: 。
2. 答案:A
解析:第一步化简目标式: 由诱导公式 ,得 。 第二步确定 的范围与 : ,故 ； 由 ,得 (第二象限 )。 第三步用半角公式求 : 半角公式 ( 在第一象限,余弦为正),代入得: ,故 。
答案:D
解析:第一步用二倍角公式化简已知条件: 由 ,移项得 。 代入二倍角公式 、 ,得: ,即 。 第二步求解 : 因 ,故 ,两边除以 得: ,即 ,故 。
4. 答案:D
解析:第一步化简已知条件:
展开 ,代入原式得:
。
提取 并利用两角和的正弦公式:
,故 。
第二步化简目标式:
由角的配凑 ,利用诱导公式 ,得:
。
5. 答案:A
解析: 第一步将 化为 " 形式:
辅助角公式: ,
其中 、 (对比 的系数)。
第二步确定最大值点 :
正弦函数最大值点满足 ,故 。
第三步求 :
由诱导公式 ,得 。
6. 答案:C
解析: 第一步将正切化为弦函数:
第二步化简分子:
由二倍角公式 ,分子变为 ；
配凑角 ,代入得:
。
第三步用辅助角公式化简:
分子 ,
结合分母 ,最终化简得 。
二、多选题
7. 答案:BCD
解析: 逐一验证选项:
:由两角和的正切公式 ,得 ,代入原式得 ,错误；
B :
,正确；
: ,原式 (二倍角公式递推: ),故 ,正确；
D: 原式 ,正确。
8. 答案:ACD
解析: 逐一分析选项:
: ,则 或 ,即 或 ,故 为等腰或直角三角形,正确；
B: ,则 或 (即 或 )。 若 、 ,满足 ,但 非直角三角形,错误；
C : 在 中,恒等式 。若 ,则 ,必有一内角为钝角,故 为钝角三角形, 正确;
: ,三余弦乘积为 1,故 ,得 , 为正三角形,正确。
9. 答案:BCD
解析:逐一验证选项:
: ,由二倍角公式 ,解得:
(第二象限 ), 故A错误；
B: 、 ,则 。由 ,知 (第三象限),故 ,正确；
C:由 得 、 ；结合 、 ,得: ,故 。 计算 ,得 ,正确；
D: ,正确。
三、填空题
10. 答案:
解析:第一步用积化和差公式化简:
;
。
第二步合并并利用和角公式:
原式 ,结合 、 ,最终化简得 (数值验证: , ,总和 )。
答案: -8
解析:第一步化简分母:
由二倍角公式 ,分母可化为:
(因 )。
第二步化简分子:
分子 ,
由辅助角公式 ,故分子 。
第三步计算结果:
原式 ,代入 、 ,得:
12. 答案:
解析:设 , (目标值),利用和差化积公式:
①；
②。
已知 ,即 ,设 、 。
代入①式: ,
代入②式: 。
四、解答题
13. 证明: (1):利用降幂公式 ,化简左边:
由两角和的正弦公式 ,且 (故 ), 代入得:
两边乘2得 ,移项得 ,得证。
(2)化简右边:
交叉验证左边与右边相等:
左边分子 右边分母 ,
右边分子 左边分母 。
展开右边分子 分母:
与左边分子 分母相等,故等式成立,得证。
14. 解:(1)第一步确定角的范围及三角函数值:
,故 ;
,故 。
第二步配凑角 :
由 ,得 。
利用诱导公式 ,代入两角差的正弦公式:
(2)第一步化简各部分:
;
( 辅 助 角 公 式 :
；
(半角公式: )。
第二步代入化简:
15. 解:第一步建立坐标系与坐标表示:
以扇形圆心 为原点, 为 轴正方向, 与 轴夹角 ,半径 。 为弧 中点,故 , 。
由对称性:
坐标: ;
坐标: ;
因 、 纵坐标相等(矩形对边平行),故 (利用 化简)。
第二步求矩形的长与宽:
: (和差化积公式)；
: ( 在 上, 方程 )。 ,故 ,宽 。
第三步计算面积并求最值:
面积 。
用二倍角公式化简:
辅助角公式: ( 为辅助角),故 。
当 时, 取得最大值 ？结合 ,实际最值需结合范围:
当 时, (超出范围),故在 内,当 时, ,此时
综上:矩形面积最大值为 ,对应 。