河北省衡水市安平中学2025-2026学年高一上学期9月第一次半月考数学试卷（含解析）

河北安平中学高一年级学情检测数学学科试题
一 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知集合 A {x N∣x 1}, B {x∣0 x 4}，则 A B （ ）
{x∣1 x 4}
{x∣x 0}
2, 3
1, 2,3
设全集U Z ，集合 A 1, 2,3, 4,5 ， B 1,3,5, 7,9 ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
1,3,5
1, 2,3, 4,5
7, 9
2, 4
“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的
充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
已知集合 A 1,3, a2 ， B 1, a 2 ，若 A B A ，则实数a 的值为（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
已知全集U N ，集合 A x x 3k, k N ，B x x 6k, k N ，则正确的关系是（ ）
A． A
B． B
C． B
D．A
已知集合 A {x R | x2 ax 2 0} 有且仅有 1 个真子集，则实数a 的取值集合为（ ）
A． a | 2
C． 2 2
a 2 2
B． 2 2, 2 2
D． a | a 2 2或a 2 2
已知集合 A 1,2,3,4,5 , B x, y x A, y A, x y A ,则集合 B 中则所含元素的个数为 （ ）
A.3 B.6 C.8 D.10
已知集合U x N* x 6 ，若 A U ，且同时满足：①若 x A，则3x A ；②若 x A ，则3x U A .则集合A 的个数为（ ）
4 B． 8 C．16 D． 20
二 多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
下列关系中，正确的是（ ）
1 R 4
C. －3∈N
Q
已知集合 A 1,1 ， B x kx 1 ，且 B A ，则实数k 的值可以为（ ）
1
B. 0 C. 1 D. 2
下列说法正确的是（ ）
方程组 x y 2 的解集是 4, 2

若集合 A x | ax2 x 1 0 中只有一个元素，则a 1
“ ac 0 ”是“一元二次方程ax2 bx c 0 有一正一负根”的充要条件
已知集合M 0, 4 ，则满足条件M N M 的集合 N 的个数为 4
三 填空题：每小题 5 分，共 15 分.
12 若集合 x 1, x2 与集合 1, 0 相等，则实数 x .
一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试.已知有 100 名学生参加了数学考试，50 名学生参加了物理考试，48 名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的 2 倍，也是参加三门考试学生数的 3 倍，则学生总数为 .
设 A，B 是 R 的两个子集，对于 x R ，定义： m 0, x A ， n 0, x B ，
1, x A 1, x B
①若 A B ，则对任意 x R, m 1 m ；
②若对任意 x R, m n 1，则 A，B 的关系为 ．
四 解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
已知集合 A x N∣*
x 9 ， B 1, 2,3 ， C x Z | 3 2x 1 9 ．
求 A B ， A
B C ；
求 B
AC ， AB AC ．
已知集合 A x 2 x 6 ， B x m 2 x m 2 ．
若 x B 成立的一个必要条件是 x A，求实数m 的取值范围；
若 A B ，求实数m 的取值范围．
若集合 A x x2 5x 6 0 , B x x2 2 m 1 x m2 3 0 .
若m 0 ,写出 A ∪ B 的子集;
若 B R A ,求实数m 的取值范围.
已知集合 A x a 1 x 3 2a ，B x x2 2x 8 0 ．
若a 0 ，求 A B ;
若 A B B ，求实数a 的取值范围；
若 x B 是 x A的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
若集合A 中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即
A {x | x m2 n2, m Z, n Z} ，则称集合A 为“弦方集”
分别判断5 ，15 ， 25 ，169 是否为弦方集中的元素；
已知集合A 为弦方集，且a A ，正整数b 能表示为某个整数的平方，证明：ab A；
已知集合A 为弦方集，集合 B {x | x 4k 3, k Z}，证明： A B .
【详解】由题意， A I
B {x N∣1 x 4} 2, 3 故选：C
【答案】D
【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为 A A ∩ B ，然后根据集合的基本运算即可求解．【详解】解：∵全集U Z ，集合 A 1, 2, 3, 4, 5 ， B 1, 3, 5, 7, 9 ，
∴ A ∩ B 1,3, 5 ，∴ A A ∩ B 2, 4 ．故选：D．
【详解】将 x 1 代入 x2 4x 3 0 中可得1 3 2 0 ,即“ x 1 ”是“ x2 4x 3 0 ”
的充分条件；
由 x2 4x 3 0 可得 x 1 x 3 0 ,即 x 1 或 x 3 ,所以“ x 1 ”不是 “ x2 4x 3 0 ”的必要条件,故选:A.
【详解】因为 A 1, 3, a2 ， B 1, a 2 且 A ∪ B A ，
【答案】B【分析】根据题意先判断集合A 与集合 B 的基本关系，再逐项验证即可.
【答案】B
答案 【 D 】
解析 本题考查列举法表示集合.由集合 B 的代表元素的特征可知,集合 B 表示一个点集.由题意可知: B 2,1 , 3,2 , 3,1 , 4,3 , 4,2 , 4,1 , 5,4 , 5,3 , 5,2 , 5,1 ,共有 10 个元素.
∴选择答案【 D 】.
【答案】C
【详解】根据常见数集的范围： 1 R ，故 A 正确；
4
不是有理数，所以
Q.故 B 正确；
N 为自然数集合，所以－3 N.故 C 错误；
3 为无限不循环小数，所以 3 Z .故 D 错误.故选：AB
【详解】由题意，集合 A 1,1 ， B x kx 1 ，且 B A ，当 k 0 时，集合 B ，满足 B A ，符合题意；
当 k 0 时，集合 B 1 ，要使得 B A ，则满足 1 1或 1 1 ，解得k 1或 k 1 ，

k k
结合选项，实数 k 的值可以为 1, 0,1 .
故选：ABC.
12 【答案】 1或0
【详解】因为集合 x 1, x2 与集合 1, 0 相等， 所以当 x 1 1时， x 0 ，则 x2 0 ，符合题意；
当 x 1 0 时， x 1 ，则 x2 1 ，符合题意.
故 x 0 或 x 1 .故答案为： 1或0 .
13.详解】因为 M N M ，所以 M N ，又 M 3, 2,0,2,3 ， N x x m ，所以 m 3 ，则实数 m 的最大值为 3 ，
故答案为： 3 .
13.【详解】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为 x ， y ， z ；
参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为
c ， a ， b ；
同时参加了三门学科考试的学生数为m ，如图所示：
x b c m 100
y c a m 50
根据题意可得 z a b m 48 ，
x y z a b c m 2 x y z 3m
前面三个等式相加，可得 x y z 2(a b c) 3m 198 ．
由第四个等式可得 x y z 3 m ， a b c m ，
2 2
因此 3 m m 3m 198 ， 2
解得 m 36 ．因此学生总数为3m 108 ．故答案为：108.
【答案】（1） 0, 4
（2） ∞, 4 8, ∞
【解析】【分析】（1） x B 成立的一个必要条件是 x A ，则 B A ，求解即可；
（2）由 A ∩ B ，则 m 2 2 或 m 2 6 ，求解即可.
【小问 1 详解】
因为集合 A x 2 x 6 ， B x m 2 x m 2 ．若 x B 成立的一个必要条件是 x A ，所以 B A ，
m 2 2
则 m 2 6 ，所以0 m 4 ，
故实数 m 的取值范围 0, 4 .
【小问 2 详解】
若 A ∩ B ，则 m 2 2 或 m 2 6 ，所以 m 4 或m 8 ，
故实数 m 的取值范围 ∞, 4 8, ∞ .
解:（1）当 m 0 时, B x x 2 2x 3 0 3,1 .
∵ A x x 2 5x 6 0 6,1
∴ A ∪ B 6, 1,1 .
∴其子集为: , 6 , 1 , 1 , 6, 1 , 6,1 , 1,1 , 6, 1,1 ,共 8 个（ 23 8 ）;
（2）∵U R, B A , ,∴ B A .
分为两种情况:
当 B 时,符合题意,此时 2 m 1 2 4 m 2 3 0 ,解之得: m 2 ;
当 B 时,则 B 6 或 B 1 或 B 6,1 :
若 B 6 或 B 1 ,则 2 m 1 2 4 m 2 3 0 ,解之得: m 2 ,此时 B 1 ,符合题
意;
2 m 1 2 4 m 2 3 0
若 B 6,1 ,则有 2 m 1 6 1
m 2 3 6 1
综上所述,实数 m 的取值范围为 , 2 .
,解之得:无解.
19. 【小问 1 详解】
因为5 12 22 , 25 32 42 ,169 02 132 ，所以5, 25,169 是弦方集中的元素.
不存在 m, n Z ，使得15 m2 n2 ，所以15 不是弦方集中的元素.
【小问 2 详解】
依题意，集合A 为弦方集，且 a A ，即存在 m, n Z ，使得 a m2 n2 ，正整数b 能表示为某个整数的平方，即存在 x Z, b x2 , b 0 ，
所以 ab m2 n2 x2 mx 2 nx 2 , mx, nx Z ，
所以ab 是弦方集中的元素，即 ab A .
【小问 3 详解】
假设 A ∩ B ，则存在 m, n Z ， x0 4k 3, k Z ，
使得4k 3 m2 n2 ，由于4k 3 是奇数，所以 m2 n2 是奇数，所以 m, n 一个是奇数，另一个是偶数，
不妨设 m 2s, s Z, n 2t 1, t Z ，
则 m2 n2 2s 2 2t 1 2 4 s2 t 2 t 1，
而4k 3 除以4 的余数为3 ， 4 s2 t 2 t 1除以4 的余数为1，所以4k 3 m2 n2 ，与已知矛盾，所以 A ∩ B .