2.1等式性质与不等式性质同步练习卷（含解析）

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2.1等式性质与不等式性质同步练习卷
一、选择题(共8题；共40分)
1．若，则（　　）
A． B． C． D．
2．命题“ ”的一个充要条件是（　　）
A． B． C． D．
3．若 ， ，则 ， 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
5．记 为 中的最小值，若 为任意正实数，则 的最大值是（　　）
A． B．2 C． D．
6．在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖 ，再添加m克糖（ ，假设全部溶解），可将糖水变甜．这一事实表示为下列哪一个不等式？（　　）
A． B． C． D．
7．若实数 ， 满足 ， ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．已知 ，设 ， 则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．已知实数x，y满足，则（　　）．
A． B．
C． D．
10．若，则（　　）
A． B． C． D．
11．已知a、b、c、d均为实数，有下列命题，正确的是（　　）．
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知，则与的大小关系为　 　.
13．已知﹣1＜a+b＜3且2＜a﹣b＜4，求2a+3b的取值范围　 　 ．
14．已知突数 ，则 　 　 ， 　 　 (用>，<填空).
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围.
16．用作差法证明下列不等式：
（1）对，；
（2）对，.
17．设 .
（1）当 时，比较 的大小；
（2）当 时，比较 的大小.
18．设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋ ≤ ＋xy.
19．（1）已知，试比较与的大小；
（2）证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】A：不妨取，，，则，A不符合题意；
B：由得，又，所以，B符合题意；
C：当时，，，C不符合题意；
D：当时，没有意义，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据不等式的基本性质和特殊值验证法，逐项判定，即可求解.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A. 当时，满足a2B. 当时，满足 ，推不出bC. 当c=0时，bD. 因 ，故充要，
故选：D
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合不等式的基本性质求解即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】 ，
，
故答案为：B.
【分析】利用作差法结合完全平方差公式，从而判断出M与N的差的正负，进而推出M，N的大小关系。
4．【答案】C
【解析】【解答】对于A，a=8，b=2，c=7，d= 1，此时 ， ，显然不成立；
对于B，当c＜0时， ，显然不成立；
对于C，因为a＞b＞0，∴a+ ﹣b﹣ =（a﹣b）+ =（a﹣b）（1+ ）＞0，
∴a+ ＞b+ ，显然成立；
对于D，当a=b= 1时，显然不成立，
故答案为：C
【分析】对A，取a=8，b=2，c=7，d=-1即得结果不成立，对B，c＜0时不成立，对C，作差即得结果成立，对D，a=b=-1时，不成立。
5．【答案】D
【解析】【解答】设 ，不妨设 ，则 ，
有 ，
又 ， ，
则 ，
当 时， ，此时 最小；
当 时， ，此时 最小，则 .
故答案为：D.
【分析】本题主要考查不等式比较大小，先设 ，只需求出a，b，c的最小值，再求最小值的最大值即可得出结果。
6．【答案】B
【解析】【解答】因为向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜，
所以糖水的浓度 ，
再添加m克糖，即浓度 ，
将糖水变甜．则 ，
因为 ， ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】根据不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，利用溶液的浓度计算公式即可得出答案。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，∴ ，∴ .
又∵ ，∴ ，
∴ 的取值范围(-2，3).
故答案为：A.
【分析】先求出-2b的范围，再根据不等式的性质求出a-2b的范围.
8．【答案】A
【解析】【解答】因为 ，
，
所以 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，进而比较出P，Q的大小。
9．【答案】A,C
【解析】【解答】因为，，，所以，A符合题意；
因为，所以，解得，B不符合题意：
因为，又，所以，C符合题意，D不符合题意：
故答案为：AC．
【分析】根据不等式的基本性质，可判定A正确，B不正确，由，结合不等式的基本性质，可判定C正确，D不正确.
10．【答案】B,D
【解析】【解答】因为所以故，
又，所以
A，C不符合题意，B，D符合题意，
故答案为：BD
【分析】结合作差比较法，求得，再由，得到，即可求解.
11．【答案】A,B,C
【解析】【解答】对于A，因为，，所以，即，A符合题意；
对于B，因为，又，即，所以，B符合题意；
对于C，因为，又，即，所以，C符合题意；
对于D，因为，，，所以，即，D不符合题意．
故答案为：ABC.
【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.
12．【答案】
【解析】【解答】由题设，，故，所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合绝对值的性质和平方数的性质，再结合不等式的基本性质，进而比较出 与的大小关系。
13．【答案】﹣＜2a+3b＜　
【解析】【解答】解：2a+3b=m（a+b）+n（a﹣b），
∴∴m=，n=﹣．∴2a+3b=（a+b）﹣（a﹣b）．
∵﹣1＜a+b＜3，2＜a﹣b＜4，∴﹣＜（a+b）＜，﹣2＜﹣（a﹣b）＜﹣1，
∴﹣＜（a+b）﹣（a﹣b）＜即﹣＜2a+3b＜．
故答案为：﹣＜2a+3b＜．
【分析】把2a+3b设为m（a+b）+n（a﹣b），解出m，n，回代，然后利用不等式的性质，求出2a+3b的取值范围．
14．【答案】<；<
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
，∴ ．
故答案为＜；＜．
【分析】用作差法比较大小．
15．【答案】解：令4a-2b=x(a+b)+y(a-b)，
所以4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.
所以
解得
因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，
所以
所以-2≤4a-2b≤10.
【解析】【分析】令 ，得出方程组，求得，进而求得，结合不等式的基本性质，即可求解.
16．【答案】（1）解：
对，，所以
（2）解：
对，，，所以，即.
【解析】【分析】（1）作差，配方判断正负号即可证明原不等式；
（2）作差分子有理化处理，将差式变形为正的和式即可判断符号，从而证明不等式.
17．【答案】（1）解：当 时， ，
则 ，
所以 .
（2）解：
①当 时， ，则 ；
②当 时， ，则 ；
③当 时， ，则 .
【解析】【分析】（1）利用作差法比较 的大小；（2） ，再对 分类讨论得解.
18．【答案】证明：由于x≥1，y≥1，
所以x＋y＋ ≤ ＋ ＋xy xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)·(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.
从而所要证明的不等式成立．
【解析】【分析】利用已知条件结合作差比较大小法，从而证出 x＋y＋ ≤ ＋xy 成立。
19．【答案】（1）解：
，
因，则，即，
所以．
（2）证明：
，
显然，，当且仅当时取等号，又，
因此，所以．
【解析】【分析】利用作差法比较大小即可。
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