人教版高中数学选修1-2 2.2直接证明与间接证明（教案）（共3课时）

第一课时
2.2.1
综合法和分析法（一）
三维目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1.
已知
“若，且，则”，试请此结论推广猜想.
（答案：若，且，则
）
2.
已知，，求证：.
先完成证明
→
讨论：证明过程有什么特点？
二、讲授新课：
1.
教学例题：
①
出示例1：已知a,
b,
c是不全相等的正数，求证：a(b2
+
c2)
+
b(c2
+
a2)
+
c(a2
+
b2)
>
6abc.
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）
→
板演证明过程（注意等号的处理）
→
讨论：证明形式的特点
②
提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示：
要点：顺推证法；由因导果.
③
练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.
④
出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.
求证：为△ABC等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？
如何转化三角形中边角关系？
→
板演证明过程
→
讨论：证明过程的特点.
→
小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
2.
练习：
为锐角，且，求证：.
（提示：算）
②
已知
求证：
3.
小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q.
运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
三、巩固练习：
1.
求证：对于任意角θ，.
（教材P52
练习
1题）
（两人板演
→
订正
→
小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）
2.
的三个内角成等差数列，求证：.
3.
作业：教材P54
A组
1题.
板书设计
课题知识点小结
例题
练习
教学反思
第二课时
2.2.1
综合法和分析法（二）
三维目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1.
提问：基本不等式的形式？
2.
讨论：如何证明基本不等式.
（讨论
→
板演
→
分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
二、讲授新课：
1.
教学例题：
①
出示例1：求证.
讨论：能用综合法证明吗？
→
如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？
→
板演证明过程
（注意格式）
→
再讨论：能用综合法证明吗？
→
比较：两种证法
②
提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示：
要点：逆推证法；执果索因.
③
练习：设x
>
0，y
>
0，证明不等式：.
先讨论方法
→
分别运用分析法、综合法证明.
④
出示例4：见教材P48.
讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）
⑤
出示例5：见教材P49.
讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
2.
练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：>
.
3.
小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.
（框图示意）
三、巩固练习：
1.
设a,
b,
c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：.
略证：正弦、余弦定理代入得：，
即证：，即：，即证：（成立）.
2.
作业：教材P52
练习
2、3题.
板书设计
课题知识点小结
例题
练习
教学反思
第三课时
2.2.2
反证法
三维目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
过程与方法：通过生活实力，简单的数学例子以及生动有趣的故事创设具有启发性的问题情境，使学生体会反证法的思想
情感态度与价值观：培养辩证思维，增强思维的批判性
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1.
讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）
2.
提出问题：
平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”.
讨论如何证明这个命题？
3.
给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，
则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，
即O是l与m的交点。
但
∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)
∴
过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.
二、讲授新课：
1.
教学反证法概念及步骤：
①
练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么
②
提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立
→
从假设出发，经推理论证得到矛盾
→
矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识.
2.
教学例题：
①
出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析：如何否定结论？
→
如何从假设出发进行推理？
→
得到怎样的矛盾？
与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP，
则由垂径定理：OPAB，OPCD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分.
②
出示例2：求证是无理数.
（
同上分析
→
板演证明，提示：有理数可表示为）
证：假设是有理数，则不妨设（m,n为互质正整数），
从而：，，可见m是3的倍数.
设m=3p（p是正整数），则
，可见n
也是3的倍数.
这样，m,
n就不是互质的正整数（矛盾）.
∴不可能，∴是无理数.
③
练习：如果为无理数，求证是无理数.
提示：假设为有理数，则可表示为（为整数），即.
由，则也是有理数，这与已知矛盾.
∴
是无理数.
3.
小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确.
注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）
三、巩固练习：
1.
练习：教材P54
1、2题
2.
作业：教材P54
A组3题.
板书设计
课题知识点小结
例题
练习
教学反思